答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁福建省南安成功中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期模擬檢測（一）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設(shè)集合，若，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．13．雙曲線的實(shí)軸長是虛軸長的2倍，則（

）A． B． C． D．4．當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．5．在平行四邊形中，，，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．7．已知.則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．已知是圓C：上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．在邊長為2的正方體中，M為邊的中點(diǎn)，N為邊的中點(diǎn).則（

）A．B．平面C．直線所成角的余弦值為D．直線所成角的余弦值為10．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（

）A． B．C． D．11．在△ABC中，內(nèi)角的對邊分別為a、b、c，已知，則（

）A．B．b的取值范圍可能為C．b的取值范圍可能為D．△ABC的面積最大值為三、填空題12．在等比數(shù)列中，則13．函數(shù)為偶函數(shù)，圖象在點(diǎn)的切線方程為，則=．14．通過手機(jī)驗(yàn)證碼注冊某APP時(shí)，收到的驗(yàn)證碼由4個(gè)數(shù)字（其中隨機(jī)組成，如果驗(yàn)證碼滿足，則稱該驗(yàn)證碼為遞增型驗(yàn)證碼.某人收到一個(gè)驗(yàn)證碼，則它首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為．四、解答題15．某種產(chǎn)品可以采用甲、乙兩種工藝來生產(chǎn)，為了研究產(chǎn)品的質(zhì)量與所采用的生產(chǎn)工藝的關(guān)聯(lián)性，現(xiàn)對該種產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽查，得到的結(jié)果如下表所示.工藝甲工藝乙合計(jì)合格6040100不合格203050合計(jì)8070150(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析產(chǎn)品的質(zhì)量是否與采用的工藝有關(guān)；(2)在不合格的50件樣本產(chǎn)品中任選3件，求在這3件樣本產(chǎn)品中至少有1件是采用工藝甲生產(chǎn)的條件下，這3件樣本產(chǎn)品中恰有一件是采用工藝乙生產(chǎn)的概率.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．17．在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．18．已知數(shù)列中，(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)令，證明:．19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若曲線與在上至少有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若，、，且，，求的最小值．《福建省南安成功中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期模擬檢測（一）數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案AACDBDBBADABD題號11答案ACD1．A【分析】根據(jù)給定條件，利用交并補(bǔ)的混合運(yùn)算求解.【詳解】由，得，而，所以.故選：A2．A【分析】由復(fù)數(shù)除法即可求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.3．C【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，從而得到，再由離心率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式可得，則，即，且其實(shí)軸長是虛軸長的2倍，即，解得，即，離心率.故選：C4．D【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)作出兩函數(shù)圖象，再確定在指定區(qū)間內(nèi)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，在坐標(biāo)系中，由五點(diǎn)法作圖畫出兩函數(shù)在上的圖象，如圖：

觀測圖象知，函數(shù)與在上的圖象有8個(gè)交點(diǎn).故選：D5．B【分析】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及平面向量的基本定理即可求解.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，，，因?yàn)?，，所以，所以?因?yàn)?，，所以，解得，所以，故選：B.6．D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，再利用任意角的正弦函數(shù)值求解【詳解】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有周期.故.而故選：7．B【分析】因?yàn)?，分別構(gòu)造和，利用其單調(diào)性，比較的大小關(guān)系，進(jìn)而得到的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，，令，，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以.，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞減所以，所以，即，所以，即.綜上，.故選：B.8．B【分析】的幾何意義為直線的斜率，再根據(jù)直線與圓得交點(diǎn)即可得出答案.【詳解】設(shè)，變形得，于是的幾何意義為圓上點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，圓的圓心為，半徑為，由是圓上任意一點(diǎn)，得圓與直線有公共點(diǎn)，因此圓心到直線的距離不大于圓的半徑，則，解得，所以的最小值為.故選：B9．AD【分析】取的中點(diǎn)，連接，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，可判定A正確；建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，結(jié)合，可判定B錯(cuò)誤；結(jié)合向量的夾角公式，可判定C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】對于A，取的中點(diǎn)，連接，可得在正方形中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以A正確；對于B，連接，設(shè)正方體的棱長為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，因?yàn)椋耘c平面不垂直，所以B錯(cuò)誤；對于C，由向量，設(shè)與平面所成的角為，可得，其中所以，即與平面所成角的余弦值為，所以C不正確；對于D，由向量，設(shè)直線所成角為，則，其中所以，即直線所成角的余弦值為，所以D正確.故選：AD.

10．ABD【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)代入求出，即可求出拋物線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式判斷B，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷C，根據(jù)斜率公式判斷D.【詳解】因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故A正確；所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)，設(shè)直線，則，消去整理得，則，所以，，則，，所以，故B正確；所以，，所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：ABD11．ACD【分析】根據(jù)三角恒等變形化簡得，即，對于A，利用化簡可判斷；利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，解得即可判斷BC；根據(jù)面積公式，再利用基本不等式即可得到△ABC的面積最大值即可判斷D．【詳解】，則，整理得，，，即，，對于A，因?yàn)椋?，所以，故A正確；所以，當(dāng)時(shí)取等，所以，故B錯(cuò)誤，C正確；，當(dāng)時(shí)取等，所以△ABC的面積最大值為，故D正確．故選：ACD．12．【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合題干條件，可得，代入所求，即可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意，所以，即，所以，解得或（舍），所以.故答案為：13．/【分析】由為偶函數(shù)可得，結(jié)合已知切線方程的斜率求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以.由已知可知，所以，故答案為：.14．【分析】根據(jù)題意，由分步計(jì)數(shù)原理求得驗(yàn)證碼總數(shù)為種，再由，且，利用組合數(shù)公式，求得位為2的遞增型驗(yàn)證碼數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，手機(jī)驗(yàn)證碼由4個(gè)數(shù)字（其中隨機(jī)組成，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得驗(yàn)證碼共有種，若，且滿足，則從，這7個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字，并且按從小到大的順序排列，共有種，所以首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率.故答案為：15．(1)產(chǎn)品的質(zhì)量與采用的工藝有關(guān)(2)【分析】（1）根據(jù)卡方的計(jì)算公式求解卡方，即可與臨界值比較作答，（2）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）零假設(shè)：產(chǎn)品的質(zhì)量與采用的工藝無關(guān)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，產(chǎn)品的質(zhì)量與采用的工藝有關(guān).（2）記事件為3件樣本產(chǎn)品中至少有1件是采用工藝甲，事件為這3件樣本產(chǎn)品中恰有一件是采用工藝乙..16．(1)(2)直線的方程為或.【分析】（1）代入兩點(diǎn)得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）方法一：以為底，求出三角形的高，即點(diǎn)到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，則得到直線的方程；方法二：同法一得到點(diǎn)到直線的距離，再設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離和點(diǎn)在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點(diǎn)到直線的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：首先驗(yàn)證直線斜率不存在的情況，再設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線斜率不存在的情況，再設(shè)，利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到答案；法六：設(shè)線法與法五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘表達(dá)面積即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，，此時(shí)該直線與橢圓無交點(diǎn).綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，符合題意，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則，解得，此時(shí)，則得到此時(shí)，直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.法五：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，令，，消可得，，且，即，，到直線距離，或，均滿足題意，或，即或.法六：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，令，則，聯(lián)立，則有，，其中，且，則，則，解得或，經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿足題意.則直線為或，即或.17．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，，則，而，故.在正方形中，因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)椋势矫?，因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫?（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.18．(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件化簡，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求即得；（3）將（2）中得到的的通項(xiàng)代入求得，化簡后利用數(shù)列的單調(diào)性即可得證.【詳解】（1）由得，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得,解得：.（3）令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則所以數(shù)列在上單調(diào)遞減，從而數(shù)列在上單調(diào)遞增，且，故得.19．(1)(2)(3)最小值為【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）令，由參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，即為實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，由題意可知，在上單調(diào)遞減，可知在上恒成立，由參變量分離法可得對時(shí)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，即可得出整數(shù)的最小值.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即．（2）解：由，得，令，其中，則，其中，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．所以，，所以，則的取值范圍為．（3）解：因?yàn)椤?，且，，所以，設(shè)函數(shù)，則，可得在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即對時(shí)恒成立．設(shè)，則．設(shè)，則，令，解得．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．，，當(dāng)時(shí)，，，則，，所以