專題04圓（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律圓的基本概念與垂徑定理①利用垂徑定理及其推論求弦長，半徑及其弦心距；②證明線段相等、垂直關(guān)系?？夹☆}與綜合題圓心角、弧、弦的關(guān)系①能直接證明角、弧、弦的相等關(guān)系；②能與其他定理（如圓周角定理）結(jié)合進行證明或計算常考小題與綜合題圓周角定理①能利用定理求角度；②證明角相等；③利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度?？夹☆}與綜合題（求角度最?？迹┣芯€的性質(zhì)與判定（絕對核心）①證明切線；②利用切線性質(zhì)求長度或角度?？夹☆}與綜合題（必考點）切線長定理①求線段長度、角度；②證明線段相等、角相等、線段垂直或平行；③能夠與三角形的內(nèi)心、外心等知識點結(jié)合解決相應(yīng)題目。?？夹☆}與綜合題弧長與扇形面積①能夠直接套用公式計算；②能與實際問題結(jié)合，如計算彎管長度、羊吃草的面積、零件面積等③能熟練求陰影部分面積（割補法）?？夹☆}圓錐的側(cè)面積和全面積①求側(cè)面積或全面積?？夹☆}知識點01圓的定義及其相關(guān)概念1.圓的定義：靜態(tài)定義：圓可以看做是到定點O的距離等于定長r的所有點的集合。定點是圓心，定長是圓的半徑。動態(tài)定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA的長叫做半徑。2.圓的相關(guān)概念：(1) 弦的概念：如圖：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。(2) 直徑：過圓心的弦叫做直徑。直徑是弦，但是弦不一定是直徑。(3) ?。簣A上任意兩點之間的部分叫做弧。它包含半圓、優(yōu)弧、劣弧。① 半圓：直徑的兩個端點把圓分成了兩條弧，每一條弧都叫做半圓。② 優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。如圖中的優(yōu)弧AOC，表示為EQ\*jc2\*"Font:Calibri"\*hps11\o\ad(\s\up10(⌒),AOC)。讀作弧AOC。表示優(yōu)弧時，必須有三個字母表示，中間加圓心或弧上的字母。若只有兩個字母默認(rèn)為劣弧。③ 劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧，如圖中的劣弧AC，表示為EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps11\o\ad(\s\up10(⌒),AC)。讀作弧AC。(4) 等圓：能夠重合的兩個圓或半徑相等的兩個圓叫做等圓。(5) 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。知識點02垂徑定理及其推論1.垂徑定理的內(nèi)容：垂直于弦的直徑，平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧和劣弧。即若AB是直徑，CD是弦，且AB⊥CD垂足為E，AB交CD弧于B，交弧CAD于A，則：CE＝DE，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD。注意：垂直于弦的直徑不一定非要是直徑，只要是過圓心即可。2.垂直定理的推論：推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。知識點03弧、弦以及圓心角1.圓心角的認(rèn)識：頂點在圓心的角叫做圓心角。大小范圍為0°＜α＜360°。2.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系（圓心角定理）：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。3.弧、弦、圓心角的關(guān)系的推論：（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對圓心角與弦都相等。（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對圓心角與弧都相等。圓心角定理及其推論必須要在同圓或等圓中才成立。4.弧的度數(shù)：弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)。知識點04圓周角1.圓周角的定義：頂點在圓上，且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。2.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半。3.圓周角定理的推論：（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相等。相等的圓周角所對的弧也相等。如圖：若EQ\*jc2\*"Font:TimesNewRoman"\*hps14\o\ad(\s\up9(⌒),AC)＝EQ\*jc2\*"Font:TimesNewRoman"\*hps14\o\ad(\s\up9(⌒),BD)，則∠ABC＝∠BAD；若∠ABC＝∠BAD，則EQ\*jc2\*"Font:TimesNewRoman"\*hps14\o\ad(\s\up9(⌒),AC)＝EQ\*jc2\*"Font:TimesNewRoman"\*hps14\o\ad(\s\up9(⌒),BD)。（2）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。如圖：若AB是⊙O的直徑，則∠ADB＝∠BCA＝90°。若∠ADB＝∠BCA＝90°，則AB是⊙O的直徑。4.圓的內(nèi)接四邊形：（1）概念：如圖：四個頂點都在圓上的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形。多邊形的頂點都在圓上的多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形。（2）圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓的內(nèi)接四邊形的對角互補。即∠B＋∠D＝180°，∠C＋∠BAD＝180°。②圓的內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）即：∠EAD＝∠C。知識點05點與圓的位置關(guān)系1.點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離OP為d。如圖：（1）如圖1：d＞r點在圓外。（2）如圖2：d＝r點在圓上。（3）如圖3：d＜r點在圓內(nèi)。2.三角形的外接圓與外心：（1）外接圓：如圖：若三角形的三個頂點都在圓上，則此時三角形是圓的內(nèi)接三角形，圓是三角形的外接圓。（2）外心：三角形外接圓的圓心即是三角形的外心。是三角形三條邊的垂直平分線的交點。所以到三角形三個頂點的距離相等。特別說明：①銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．②找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個。知識點06直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離OP為d。如圖（1）d＜r直線與圓相交，有2個交點，直線叫圓的割線。（2）d＝r直線與圓相切，與圓只有1個交點，此時直線叫做圓的切線，交點叫做直線與圓的切點。（3）d＞r直線與圓相離，與圓沒有公共點。2.切線的判定：（1）判定定理：經(jīng)過半徑的外端點且與這條半徑垂直的直線叫做圓的切線。（2）切線的判定的方法：①直線與圓有公共點，連半徑，證明垂直。證明垂直的方法：①利用勾股定理證明垂直。②利用特殊角或一般角之間的轉(zhuǎn)換證明垂直。③利用三角形的全等轉(zhuǎn)換證明垂直。④利用平行線轉(zhuǎn)換證明垂直。②直線與圓無公共點：作垂直，證半徑。3.切線的性質(zhì)：（1）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。（2）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。（3）經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。4.切線長定理：（1）切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。即如圖，若PA與PB是圓的切線，切點分別是A與B，則PA與PB的長度是切線長。（2）切線長定理：從圓外一點作圓的切線，可以作2條，它們的長度相等。圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。即PA＝PB，∠APO＝∠BPO。推廣：由切線長定理的結(jié)論可得：①△APO≌△BPO∠AOP＝∠BOPEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps11\o\ad(\s\up10(⌒),AM)＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps11\o\ad(\s\up10(⌒),AM)AB⊥OP。5.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：（1）內(nèi)切圓如圖：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓。（2）三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等。特別說明：任意三角形有且只有一個內(nèi)切圓，圓有無數(shù)個外切三角形。（3）直角三角形內(nèi)切圓半徑與直角三角形的邊的關(guān)系：（4）三角形的面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系：6.弦切角與弦切角定理：（1）弦切角：如圖，像∠ACP這樣頂點在圓上，一邊與圓相交，一邊與圓相切的角叫弦切角。即圓的切線與經(jīng)過切點的弦構(gòu)成的夾角。（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)與弦所對的圓周角度數(shù)相等。等于弦所對的圓心角度數(shù)的一半。知識點07正多邊形與圓1.正多邊形及其相關(guān)概念：（1）正多邊形的概念：各條邊相等，各個角也相等的多邊形叫做正多邊。（2）圓的內(nèi)接正多邊形：把一個圓平均分成n（n是大于2的自然數(shù)）份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓。（3）圓的內(nèi)接正多邊形的相關(guān)概念：①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。即OB既是圓的半徑，也是正多邊形的半徑。④邊心距：中心到正多邊形的邊的距離叫做正多邊形的邊心距。即過O做邊BC的垂線即為邊心距。2.正多邊形的有關(guān)計算：(1) 正多邊形的內(nèi)角計算：(2) 正多邊形的中心角：(3) 正多邊形的外角：(4) 正多邊形的半徑、邊長以及邊心距之間的關(guān)系：(5) 正多邊形的周長和面積：知識點08弧長與扇形的面積1.扇形的弧長：（1）扇形弧長的定義：扇形的弧長就是扇形兩條半徑間圓弧的長度。（2）扇形弧長的計算公式：2.扇形的面積計算：3.圓錐的側(cè)面積與全面積：（1）圓錐的認(rèn)識：如圖，圓錐是由一個側(cè)面和一個底面構(gòu)成。頂點C到底面圓上任意一點的連線是圓錐的母線，如的CA與CB。AB是圓錐底面直徑，頂點C到底面圓心O的距離CO是圓錐的高。（2）圓錐的母線長、高與底面半徑的關(guān)系：圓錐的母線長與高與底面半徑構(gòu)成勾股定理。（3）圓錐的側(cè)面展開圖的認(rèn)識：圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長。扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長。（4）圓錐的側(cè)面積計算：題型一利用垂徑定理求弦長、半徑及弦心距解｜題｜技｜巧在垂徑定理中，利用勾股定理“弦心距2+半弦長2＝半徑2”解決相關(guān)題目【典例1】已知：如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為P，且AP＝4cm，PD＝2cm，則⊙O的半徑為（）A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm【變式1】數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點A，B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點D，交AB于點C，測出AB＝40cm，CD＝10cm，則圓形工件的半徑為．【典例2】如圖，AB是⊙O的弦，若⊙O的半徑OA＝5，圓心O到弦AB的距離OC＝3，則弦AB的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【變式1】如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A為圓心AC長為半徑作圓A，延長CB交圓A于點D，則BD長為．【典例3】（2025春?道縣期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若CD＝8，OD＝5，則OE的長為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1】日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1），它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足為點C，BD⊥CD，垂足為點D，CD＝16cm，⊙O的半徑r＝10cm，則圓盤離桌面CD最近的距離是．題型二利用垂徑定理證明線段相等以及垂直關(guān)系解｜題｜技｜巧【典例1】如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點F．（1）求證：AC＝BD；（2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半徑．【典例2】已知：如圖，M是弧AB的中點，過點M的弦MN交弦AB于點C，設(shè)⊙O的半徑為4cm，MN＝43cm．（1）求圓心O到弦MN的距離；（2）猜想OM和AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）求∠ACM的度數(shù)．題型三垂徑定理的應(yīng)用解｜題｜技｜巧把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，在利用垂徑定理中的勾股定理解決問題。易｜錯｜點｜撥注意實際問題中的量對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題中的量，不能混淆。【典例1】（2025春?鄆城縣期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．(3-5)米 D．【典例2】（2025春?石景山區(qū)校級期中）我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》總共收集了246個數(shù)學(xué)問題，這些問題的算法要比歐洲同類算法早1500年．其中有這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可以表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE＝2寸，AB＝8寸（注：1尺＝10寸），則可得直徑CD的長為尺．”【典例3】如圖，一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5cm，瓶內(nèi)液體的最大深度CD＝2cm，則截面圓中弦AB的長為（）cm．A．42 B．6 C．8 D．8.4題型四弦、弧及圓心角之間的關(guān)系易｜錯｜點｜撥在判斷弦和弧的關(guān)系時，前提條件必須是同圓或等圓中，注意相等關(guān)系成立，加減運算關(guān)系不成立。涉及加減運算關(guān)系時，弦的大小關(guān)系要利用三角形的三邊關(guān)系判斷。【典例1】下列說法中，正確的個數(shù)為（）（1）在同圓或等圓中，弦相等則所對的弧相等；（2）優(yōu)弧一定比劣弧長；（3）弧長相等的弧則所對的圓心角相等；（4）在同圓或等圓中，圓心角相等則所對的弦相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【典例2】如圖，在⊙O中，AB＝CD，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AC＝BD D【典例3】如圖，⊙O中，點A、B、C在圓上，且弧AB長等于弧AC長的2倍，則下列結(jié)論正確的是（）A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上結(jié)論都不對題型五利用弦、弧及圓心角的關(guān)系進行證明與計算【典例1】如圖，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，則∠ACO的度數(shù)為（）A．42° B．44° C．46° D．48°【變式1】（2025春?江蘇校級期中）如圖，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延長線交于點P，且∠P＝40°，則弧CD的度數(shù)為．（1）若AG＝1，AE＝4，求OG的長；（2）連接OF，OE，如圖2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度數(shù)．【變式3】如圖，圓內(nèi)接四邊形ABDC，AB是⊙O的直徑，OD⊥BC交BC于點E．（1）求證：點D為BC的中點；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．題型六圓周角定理解｜題｜技｜巧在解決圓周角相關(guān)的題目時，遇圓周角找到其對應(yīng)的弧及其這段弧對應(yīng)的其他圓周角；遇直徑則找到其所對的直角；在復(fù)雜的圖形中，學(xué)會化簡剝離圖形。易｜錯｜點｜撥在運用圓周角定理時，同樣要注意前提條件必須是同圓或等圓中應(yīng)用。還要注意特殊的弦（直徑）?！镜淅?】（2025春?平輿縣期中）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，∠ABC的平分線交⊙O于點D，連接CD．若CD=32cmA．3cm B．32cm C．6cm D．【變式1】（2025春?高州市期中）如圖，在圓O中，AD是直徑，∠ABC＝40°，則∠CAD等于（）A．40° B．60° C．50° D．45°【變式2】（2025春?北碚區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D是圓上兩點，連接OC、AC、AD、CD，若∠BOC＝∠ACD＝35°，則∠DAC的度數(shù)是（）A．35° B．37° C．37.5° D．52.5°【典例2】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．（1）求證：∠1＝∠2；（2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半徑長．【變式1】如圖，AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E．連接AC、OC、BC．（1）證明：∠BCO＝∠ACD；（2）若AE＝2，BE＝8，求弦CD的長．題型六內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例1】（2025春?前郭縣期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若∠B＝110°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．70° B．100° C．110° D．140°【變式1】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（）A．128° B．100° C．120° D．132°【變式2】（2025春?泗縣期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過點B作BE∥CD交AD于點E．若∠AEB＝73°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．117° B．107° C．105° D．97°題型七切線的性質(zhì)與判定解｜題｜技｜巧在進行切線的判定時，通常情況下要么連半徑，證垂直，要么你作垂直，證半徑。注意證明垂直時可利用勾股定理證明垂直；利用特殊角或一般角之間的轉(zhuǎn)換證明垂直；利用三角形的全等轉(zhuǎn)換證明垂直；利用平行線轉(zhuǎn)換證明垂直。在進行角度計算時，利用半徑與切線垂直構(gòu)造直角三角形解決問題。【典例1】如圖，AB為⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點C，D為OB上一點，延長CD交⊙O于點E，延長OB至F，使DF＝FE，連接EF．（1）求證：EF為⊙O的切線；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半徑．【典例2】如圖，以點O為圓心，AB長為直徑作圓，在⊙O上取一點C，延長AB至點D，連接DC，∠DCB＝∠DAC，過點A作AE⊥AD交DC的延長線于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的長．【典例3】如圖⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°，延長BC于D，連接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．（1）求證：AD與⊙O相切；（2）若AE＝25，CE＝2．求⊙O的半徑和AB的長度．題型八切線長定理解｜題｜技｜巧回歸切線長的概念以及切線長定理，注意圓心與圓外一點的連線，是平分兩條切線形成的夾角的?！镜淅?】如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1】如圖，P是⊙O外一點，PA，PB分別和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一點，過C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E，若△PDE的周長為12，則PA等于（）A．12 B．6 C．8 D．10題型八三角形的內(nèi)切圓與外接圓解｜題｜技｜巧解決內(nèi)切圓有關(guān)的題目時，抓住關(guān)鍵點“圓心到三邊的距離相等”；解決外接圓有關(guān)的問題時，抓住關(guān)鍵點“圓心到三個頂點的距離相等”【典例1】（2025春?沈丘縣期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AB＝2，∠C＝45°，則⊙O的半徑OA的長度為（）A．22 B．1 C．2 D．2【變式1】（2025春?寧江區(qū)期中）如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，AB＝AC．射線CO與⊙O交于點D．若∠ABC＝76°，則∠DCB的度數(shù)為（）A．52° B．62° C．68° D．72°【典例2】（2025春?葉縣期中）如圖，點I為△ABC的內(nèi)心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，將∠ACB平移，使其頂點與點I重合，則圖中陰影部分的周長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【變式1】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝40°，點I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長線交⊙O于點D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)為（）A．35° B．30° C．25° D．20°題型九正多邊形和圓解｜題｜技｜巧熟記相關(guān)計算公式并應(yīng)用【典例1】（2025春?泗陽縣期中）學(xué)校九月份舉辦運動會，小明制作了如圖所示的宣傳牌，在正六邊形ABCDEF和正方形ABHG中，AH、BG的延長線分別交CD、EF于點M，N，則∠HMC的度數(shù)是（）A．60° B．75° C．80° D．85°【變式1】（2025春?富順縣期中）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，P為AB上一點，連接PA，PE，則∠APE的度數(shù)為（）A．18° B．36° C．54° D．72°【變式2】（2025春?固安縣期中）如圖，正六邊形和正八邊形的頂點A，B，C，D在同一直線上，頂點E重合，若CE＝2，則正六邊形的周長為．題型十扇形的弧長與面積解｜題｜技｜巧熟記相關(guān)計算公式并應(yīng)用【典例1】（2025春?烏當(dāng)區(qū)校級期中）如圖，一張直徑為20cm的圓餅被切掉了一塊，則切掉部分的圓弧AC的長度為（）A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．5πcm【變式1】（2025春?寶山區(qū)校級期中）如圖所示，將一個半徑OA＝10cm，圓心角∠AOB＝90°的扇形紙板放置在水平面的一條射線OM上．在沒有滑動的情況下，將扇形AOB沿射線OM翻滾至OB再次回到OM上，則點O運動的路線長為cm．（計算結(jié)果不取近似值）【典例2】（2025春?重慶校級期中）如圖，點A，B，C是⊙O上的點，且∠ACB＝40°，⊙O的半徑為2，則此陰影部分的面積為（）A．89π B．29π C．8【變式1】（2025春?新野縣期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∠DAB＝30°，OE＝2，則陰影部分的面積為（）A．2π3 B．4π3 C．2π題型十一圓錐側(cè)面積與全面積的計算解｜題｜技｜巧熟記相關(guān)計算公式并應(yīng)用，注意原圖形與展開圖之間的對應(yīng)關(guān)系不能混淆?！镜淅?】（2025春?楊浦區(qū)校級期中）已知圓錐的底面積為16πcm2，母線長為6cm，則圓錐的側(cè)面積是（）A．18πcm2 B．18cm2 C．24cm2 D．24πcm2【變式1】（2025春?祁東縣期中）將圓心角為90°，半徑為16的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓半徑為．【變式2】（2025春?楊浦區(qū)校級期中）如圖，現(xiàn)有一個圓心角為120°，半徑為10cm的扇形紙片（接縫忽略不計），則該圓錐的全面積為cm2．題型三（跨章節(jié)/學(xué)科題型）易｜錯｜點｜撥解決跨學(xué)科題型時，一定要結(jié)合相應(yīng)學(xué)科相應(yīng)知識點，不能單一的只考慮數(shù)學(xué)問題【典例1】如圖，物理實驗中利用一個半徑為6cm的定滑輪提起砝碼，小明向下拉動繩子一端，使得定滑輪逆時針轉(zhuǎn)動了120°，此時砝碼被提起了cm．（結(jié)果保留π）【典例2】物理實驗課上，同學(xué)們分組研究定滑輪“可以改變用力的方向，但不能省力”時，愛動腦筋的小穎發(fā)現(xiàn)：重物上升時，滑輪上點A的位置在不斷改變，已知滑輪的半徑為12cm；當(dāng)重物上升4πcm時，滑輪上點A轉(zhuǎn)過的度數(shù)為．【典例3】苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學(xué)家凱庫勒提出的．發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等（如圖1），組成了一個完美的正六邊形如圖2，則∠1的度數(shù)為°．期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）1．下列說法中，不正確的是（）A．直徑是最長的弦 B．同圓中，所有的半徑都相等 C．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 D．長度相等的弧是等弧2．石拱橋是中國傳統(tǒng)的橋梁四大基本形式之一，是用天然石料作為主要建筑材料的拱橋，以歷史悠久，形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)堅固等特點聞名于世，它的主橋是圓弧形．如圖，某石拱橋的跨度AB（AB所對的弦的長）約為36m，拱高CD（AB的中點到弦AB的距離）約為6m，則AB所在圓的半徑OA為（）A．30m B．27m C．617m D．3．如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，E為垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，則圓心O到CD的距離是（）A．2 B．210 C．5 D．4．如圖，在⊙O中，AB=2BC且BD⊥OC，垂足為D．若AB＝8，CD＝2，則⊙O的半徑為5．如圖，AB是圓的直徑，∠1、∠2、∠3、∠4的頂點均在AB上方的圓弧上，∠1、∠4的一邊分別經(jīng)過點A、B，則∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)為（）A．45° B．90° C．135° D．180°6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分別為BC、CD上一點，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．則BE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，在一張Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著⊙O的切線DE剪下一塊三角形ADE，則△ADE的周長為（）A．4 B．5 C．6 D．88．將若干個大小相等的正五邊形排成環(huán)狀，如圖是排的前3個正五邊形，要完成這一圓環(huán)還需要（）個這樣的正五邊形．A．5 B．7 C．9 D．109．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點D，E，連接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，則陰影部分的面積為（）A．π4 B．π3 C．2π3期中重難突破練（測試時間：10分鐘）10．如圖AB，CD是⊙O中兩條互相垂直的弦，BD＝6，AC＝2，則⊙O的半徑為（）A．10 B．22 C．25 D11．如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D，且DC+DA＝12，⊙O的直徑為20，則AB的長等于（）A．8 B．12 C．16 D．1812．如圖，點I和O分別是△ABC的內(nèi)心和外心，若∠AIB＝125°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．135° D．140°13．如圖，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為6，且圓心到大正方形中心的距離為170，則大正方形的邊長為（）A．25 B．26 C．30 D．3414．如圖，在矩形ABCD中，AB＞BC，以點B為圓心，AB的長為半徑