數(shù)列(9)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．[2019·河北衡水中學(xué)摸底]已知數(shù)列{an}，若數(shù)列{3n－1an}的前n項和Tn＝eq\f(1,5)×6n－eq\f(1,5)，則a5的值為()A.eq\f(81,5)B.eq\f(16,5)C．16D．32答案：C解析：通解∵Tn＝eq\f(1,5)×6n－eq\f(1,5)，∴n≥2時，3n－1an＝Tn－Tn－1＝eq\f(1,5)×6n－eq\f(1,5)×6n－1＝6n－1，即an＝2n－1(n≥2)，∴a5＝16，故選C.優(yōu)解∵Tn＝eq\f(1,5)×6n－eq\f(1,5)，∴34a5＝T5－T4＝eq\f(65－1,5)－eq\f(64－1,5)＝64，∴a5＝24＝16，故選C.2．[2019·重慶一中期末]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，前n項和為Sn，且Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，則{an}(n≥2)的通項公式為an＝()A．2n－1B．2n－2C．2n＋1－3D．3－2n答案：B解析：∵Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，∴n≥3時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥3)，易得a2＝1，∴an＝2n－2(n≥2)，故選B.3．[2019·天津一中月考]在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1＝2，aeq\o\al(2,n＋1)－2an＋1an－3aeq\o\al(2,n)＝0，Sn為{an}的前n項和，若Sn＝242，則n＝()A．5B．6C．7D．8答案：A解析：由aeq\o\al(2,n＋1)－2an＋1an－3aeq\o\al(2,n)＝0，得(an＋1－3an)(an＋1＋an)＝0，即an＋1＝3an或an＋1＝－an，又{an}各項均為正數(shù)，所以an＋1＝3an.因為a1＝2，an＋1＝3an，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則由Sn＝eq\f(21－3n,1－3)＝242，解得n＝5，故選A.4．[2019·湖北武漢部分重點中學(xué)聯(lián)考]已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n·(3n－1)，則a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－15答案：A解析：依題意，得a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10)＝－(2＋8＋…＋26)＋(5＋11＋…＋29)＝－eq\f(2＋26,2)×5＋eq\f(5＋29,2)×5＝－70＋85＝15.故選A.5．[2019·湖北武漢武昌實驗中學(xué)月考]兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題．他們在沙灘上畫出點或用小石子表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如下圖中實心點的個數(shù)依次為5，9，14，20，…，這樣的一組數(shù)被稱為梯形數(shù)，記此數(shù)列為{an}，則()A．a(chǎn)n＋1＋an＝n＋2B．a(chǎn)n＋1－an＝n＋2C．a(chǎn)n＋1＋an＝n＋3D．a(chǎn)n＋1－an＝n＋3答案：D解析：由已知可得a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6，…，由此可以得到an＋1－an＝n＋3.故選D.6．[2019·湖北武漢一中月考]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(1,2)n2＋n，則()A．a(chǎn)n＝n＋eq\f(1,2)B．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，,n＋\f(1,2)，n≥2))C．a(chǎn)n＝2n－eq\f(1,2)D．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，,2n－\f(1,2)，n≥2))答案：A解析：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2)n2＋n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)n－12＋n－1))＝n＋eq\f(1,2)；當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝eq\f(1,2)×12＋1＝eq\f(3,2)，符合上式．所以an＝n＋eq\f(1,2)(n∈N*)．故選A.7．[2019·甘肅酒泉五校聯(lián)考]設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4，a3，a5成等差數(shù)列，且Sk＝33，Sk＋1＝－63，其中k∈N*，則k的值為()A．4B．5C．6D．7答案：B解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a4，a3，a5成等差數(shù)列，得2a3＝a4＋a5，即2a1q2＝a1q3＋a1q4.易知a1≠0，q≠0，所以q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.當(dāng)q＝1時，與Sk＝33，Sk＋1＝－63矛盾，舍去，所以q＝－2.又Sk＝eq\f(a11－qk,1－q)＝33，Sk＋1＝eq\f(a11－qk＋1,1－q)＝－63，所以k＝5.故選B.8．[2019·山西河津二中月考]已知數(shù)列{an}為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，eq\f(1,4)＋eq\f(2,4)＋eq\f(3,4)，eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)，…，若bn＝eq\f(1,anan＋1)，則數(shù)列{bn}的前n項和Sn為()A.eq\f(4n,n＋1)B.eq\f(2n－2,n＋1)C.eq\f(n,n＋1)D.eq\f(n－1,2n＋1)答案：A解析：∵an＝eq\f(1＋2＋…＋n,n＋1)＝eq\f(n,2)，∴bn＝eq\f(4,nn＋1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(4n,n＋1).故選A.9．[2019·遼寧沈陽二中月考]已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2，n為偶數(shù)，,－n2，n為奇數(shù)，))且bn＝an＋an＋1，則b1＋b2＋…＋b200＝()A．－400B．400C．－200D．200答案：C解析：∵an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2，n為偶數(shù)，,－n2，n為奇數(shù)，))且bn＝an＋an＋1，∴n為奇數(shù)時，bn＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，n為偶數(shù)時，bn＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，∴b1＋b2＋…＋b200＝(b1＋b3＋…＋b199)＋(b2＋b4＋…＋b200)＝eq\f(100×3＋399,2)＋eq\f(100×－5－401,2)＝－200.故選C.10．[2019·天津部分地區(qū)第三次聯(lián)考]已知f(x)＝eq\f(1,2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，數(shù)列{an}滿足an＝f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)，則a2019＝()A．1009B．1010C．2019D．2020答案：B解析：因為f(x)＝eq\f(1,2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，所以f(x)＋f(1－x)＝eq\f(1,2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x－\f(1,2)))＝1＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝1.又?jǐn)?shù)列{an}滿足an＝f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)，所以a2019＝f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2019)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2018,2019)))＋f(1)＝1010×1＝1010.故選B.11．[2019·河北邢臺月考]在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n2,n2－1)·an－1(n∈N*，n≥2)，記Sn為數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n2)))的前n項和，若Sn＝eq\f(49,25)，則n＝()A．25B．49C．50D．26答案：B解析：設(shè)eq\f(an,n2)＝bn，∵an＝eq\f(n2,n2－1)an－1(n≥2)，∴eq\f(an,n2)＝eq\f(an－1,n－12)·eq\f(n－1,n＋1)，∴bn＝eq\f(n－1,n＋1)bn－1，b1＝1，∴bn＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝eq\f(2n,n＋1)，∴eq\f(2n,n＋1)＝eq\f(49,25)，∴n＝49.故選B.12．[2019·甘肅酒泉五校聯(lián)考]在遞減的等差數(shù)列{an}中，a1a3＝aeq\o\al(2,2)－4，若a1＝13，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n項和Sn的最大值為()A.eq\f(24,143)B.eq\f(1,143)C.eq\f(24,13)D.eq\f(6,13)答案：D解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d<0，由a1a3＝aeq\o\al(2,2)－4，a1＝13，得13(13＋2d)＝(13＋d)2－4，解得d＝－2或d＝2(舍去)，所以an＝13－2(n－1)＝15－2n.因為eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,15－2n13－2n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－15)－\f(1,2n－13)))，所以Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,13)－\f(1,2n－13)))≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,13)－\f(1,2×6－13)))＝eq\f(6,13).故選D.二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．[2019·湖北宜昌兩校聯(lián)考]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2n＋1－1，則數(shù)列{an}的通項公式為____________．答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2))解析：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n；當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝22－1＝3，不符合上式．所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2.))14．[2019·吉林省實驗中學(xué)模擬]設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝n·2n－1(n∈N*)，則{an}的前5項和為____________．答案：129解析：∵an＝n·2n－1(n∈N*)，∴數(shù)列{an}的前5項和為1＋4＋12＋32＋80＝129.15．[2019·湖北武漢十六中月考]已知數(shù)列{an}滿足：a1，eq\f(a2,a1)，eq\f(a3,a2)，…，eq\f(an,an－1)是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,log2an)))的前n項和為____________．答案：eq\f(2n,n＋1)解析：∵a1，eq\f(a2,a1)，eq\f(a3,a2)，…，eq\f(an,an－1)是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝2×22×23×…×2n＝2eq\f(nn＋1,2)，∴eq\f(1,log2an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,log2an)))的前n項和為eq\f(2n,n＋1).16．[2019·山東濟南四校聯(lián)考]已知數(shù)列{an}滿足eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n)an＝2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為____________．答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a