2/24專題01空間向量定理與范圍最值題型1基底題型8基底轉(zhuǎn)化求數(shù)量積（重點）題型2雙體系基底互換題型9基底轉(zhuǎn)化求長度求模題型3空間“繞三角形”（重點）題型10空間軌跡與動點（難點）題型4基底求參（重點）題型11動點數(shù)量積最值范圍題型5三點共線求參題型12動點長度最值范圍（常考點）題型6空間點共面求參題型13空間定理的應用題型7空間向量共面定理應用（?？键c）題型一、基底（共3小題）1．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知，，是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【分析】利用空間向量的基底的定義，逐項判斷作答.【詳解】假定向量，，共面，則存在不全為0的實數(shù)，使得，顯然不成立，所以向量不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，故A正確；由于，則，，共面，故B錯誤；由于，則，，共面，故C錯誤；由于，則，，共面，故D錯誤；故選：A.2．（23-24高二上·吉林長春階段練習）若是空間的一組基，且向量，則可以與構(gòu)成空間的另一組基的向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐一判斷選項中的向量是否與共面即可，如果不共面就符合題意.【詳解】由題意知，不共面，對于選項A，，故共面，排除A；對于選項B，，故共面，排除B；對于選項D，由選項A得，，故共面，排除D．對于C，，向量，而不與共面，故C正確.故選：C.3．（24-25高二上·安徽六安·階段練習）已知為空間不共面的四點，且向量，向量，則不能與構(gòu)成空間的一個基底的是（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】判斷各選項中的向量與是否共面可得結(jié)果.【詳解】因為，，兩式相減得所以與共面，所以,不能構(gòu)成空間的一個基底；假設(shè),不能構(gòu)成空間的一個基底，則，即，整理得，所以，該不等式無解，所以不存在使得，故,能構(gòu)成空間的一個基底；同理，假設(shè)假設(shè),不能構(gòu)成空間的一個基底，則，即，整理得，所以，該不等式無解，所以不存在使得，故,能構(gòu)成空間的一個基底；故選：C.題型二、雙體系基底互換（共3小題）4．（24-25高二上·湖北孝感·階段練習）若是空間的一個基底，且向量，則叫向量在基底下的坐標，已知是空間的一個基底，是空間的另一個基底，一個向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)在基底下的坐標為，則，即得，解出即可.【詳解】設(shè)在基底下的坐標為，則，在下的坐標為，，由得，，即在下的坐標為．故選：B．5．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）對于三元點集，若對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱為“空間基本點集”.下列集合是“空間基本點集”的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】對于ABC，由空間向量基底概念可判斷各選項正誤.對于D，由題目中所提供信息可得答案.【詳解】根據(jù)空間向量基本定理及題意知這三個向量，，不共面，即這三個向量能構(gòu)成空間的一個基底.對于A，三個向量，，對應坐標的豎坐標相同且為0，則三個向量都在平面上，即三個向量共面，故A錯誤；對于B，三個向量，，對應坐標的縱坐標相同且為0，則三個向量都在平面上，即三個向量共面，故B錯誤；對于C，三個向量，，對應坐標的橫坐標相同且為0，則三個向量都在平面上，即三個向量共面，故C錯誤；對于D，設(shè)空間中任意向量為，，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，則為“空間基本點集”，故D正確故選：D6．（24-25高二上·河南·階段練習）若是空間的一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標.設(shè)向量在基底下的斜坐標為，則向量在基底下的斜坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意利用待定系數(shù)法列出關(guān)于的方程組即可求解.【詳解】設(shè)，又，，解得，即.所以向量在基底下的斜坐標為.故選：D.題型三、空間“繞三角形”（共3小題）7．（24-25高二下·甘肅金昌·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點，是的中點，若，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)空間向量法線性運算法則計算可得.【詳解】連接，因為是的中點，所以，因為三棱柱是底面為直角三角形的直棱柱，所以四邊形為長方形，又因為是的中點，所以，則，又，又，，不共面，所以，所以．故選：D．8．（24-25高二下·貴州黔南·期中）如圖所示，空間四邊形中，，，，點在上，點在上，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，，又，從而可求解.【詳解】因為，，，所以，因為，，所以，所以.故選：D．9．（24-25高二下·江蘇連云港·階段練習）在三棱錐O-ABC中，G是的重心，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】線段的中點，再結(jié)合重心得出，再根據(jù)得出，最后再用向量的加減運算將所有向量化為的線性關(guān)系即可.【詳解】取線段的中點，因點是的重心，則，因，則則.故選：A.

題型四、基底求參（共3小題）10．（24-25高二上·福建福州·期中）若是空間的一個基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個基底，則（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】由基底概念可知不共線，再由不能構(gòu)成基底可得共面，由共面向量基本定理待定系數(shù)求解.【詳解】由題意，是空間的一個基底，，所以不共線，因為不能構(gòu)成空間的一個基底，則共面，所以存在使得，即所以，解得．故選：A．11．（24-25高二上·遼寧·階段練習）若是空間的一個基底，且向量，，，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，由向量共面列式求解即得.【詳解】依題意，共面，則存在實數(shù)，使得，于是，因此，解得.故選：D12．（22-23高二上·云南大理·期末）若是空間的一個基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個基底，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，向量、、共面，則存在實數(shù)、使得，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得的值.【詳解】因為向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，所以、、共面，故存在實數(shù)、使得，即，因為是空間的一個基底，則，解得.故選：D.題型五、三點共線求參（共3小題）13．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)向量不共面，已知，若三點共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用三點共線得到，再使用共線向量定理即可.【詳解】因為三點共線，所以，則存在實數(shù)，使得，由已知得故由于不共面，故解得另解:因為向量不共面，所以，由已知得故向量表達式中的系數(shù)對應成比例，即，解得．故選：C.14．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若與共線，則實數(shù)的值為（

）A． B．1 C．3 D．或3【答案】C【分析】利用空間向量平行充要條件即可求得實數(shù)的值.【詳解】，，若與共線，則有，即，解之得，則的值為3.故選：C15．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知是不共面的空間向量，若與（是實數(shù)）是平行向量，則的值為（

）A．16 B．-13 C．3 D．-3【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合，列出方程組，求解即可.【詳解】因為是不共面的空間向量且，故，則，解得，所以.故選：C.題型六、空間點共面求參（共3小題）16．（24-25高一下·貴州貴陽·階段練習）如圖，在正四面體中，E為的中點，，，當時，四點共面，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四點共面可得，，運用空間向量的線性運算得到，代入，根據(jù)系數(shù)對應相等列方程組即可得到答案.【詳解】因為四點共面，所以存在唯一的，使得.因為，所以，因為E為的中點，，所以，，所以，，，代入，得，所以，解得.故選：B．17．（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）已知空間中有5個點、、、、，若滿足，且、、、四點共面，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間共面向量定理的推論可求的值.【詳解】由得，即，由空間向量共面定理的推論可知，，解得.故選：B.18．（24-25高二上·湖南婁底·期末）已知為空間任意一點，四點共面，且任意三點不共線，若，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】借助空間向量的線性運算及四點共面的充要條件即可判斷選項.【詳解】因為為空間任意一點，，又因為A，B，C，P滿足任意三點不共線，但四點共面，所以，解得．故選：C．題型七、空間向量共面定理應用（共3小題）19．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習）已知點D在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四點共面可知，結(jié)合基本不等式的乘“1”法即可求解.【詳解】,因為四點共面，所以，注意到，從而.當且僅當時等號成立，所以的最小值為.故選：B.20．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知點在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，若正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】由四點共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解.【詳解】由四點共面，可知，即，由，，當且僅當，即時等號成立，故選：B21．（24-25高二上·廣東汕頭·期中）已知空間5個點A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，則的最小值為．【答案】12【分析】首先根據(jù)空間共面向量定理的推論得到與的關(guān)系式，然后根據(jù)均值不等式“1”的代換求解的最小值即可.【詳解】已知，，，四點共面，若滿足，且，，則根據(jù)空間共面向量定理推論可知：，即：.由于，，則，當且僅當，即，時等號成立.因此的最小值為.故答案為：題型八、基底轉(zhuǎn)化求數(shù)量積（共3小題）22．（25-26高二上·全國·單元測試）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，數(shù)學家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算可得，結(jié)合八面體的特性計算數(shù)量積即可.【詳解】由正八面體的性質(zhì)可得，，則，．故選：D.23．（24-25高三下·江蘇南京·階段練習）《九章算術(shù)》第五卷中涉及到一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈.深三尺，末廣八尺，袤七尺.該羨除是一個多面體，如圖，四邊形，均為等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分別為3，7，且，，，則A． B． C． D．【答案】C【分析】過分別作，的高，垂足分別為，，進而結(jié)合線面垂直和面面垂直的性質(zhì)證明，，兩兩垂直，然后建立空間直角坐標系，求出關(guān)鍵點的坐標，最后求出的值即可．【詳解】過分別作，的高，垂足分別為，，因為平面平面，，且平面平面，所以平面，因為平面，平面，所以，，又，故，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則由題意可知，，，，故，，故，故選：C24．（2025高三·全國·專題練習）已知空間四點滿足，，，，則的值（

）．A．只有一個 B．有兩個 C．有四個 D．有無窮多個【答案】A【分析】觀察得知，由平方可得，再結(jié)合，計算即可得解.【詳解】通過觀察有，又，則，兩邊平方得，則，故，所以只有一個值0．故選：A．題型九、基底轉(zhuǎn)化求長度求模（共3小題）25．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）在平行六面體中，底面是正方形，，，，M是棱的中點，與平面交于點H，則線段的長度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合模長公式可得，利用共面定理，即可求解得解.【詳解】在平行六面體中，取，，，，，，，，而，則，即，設(shè)，則，由于與共面，故存在實數(shù)，使得，故，解得，故，故選：A.26．（24-25高二下·重慶·期中）如圖，已知平行四邊形且，沿對角線將折起，當二面角為時，則與之間距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的線性運算及數(shù)量積公式計算模長即可.【詳解】已知平行四邊形，，且，，，二面角為，，，，，則，即與之間距離為.故選：D．27．（24-25高二上·安徽安慶·階段練習）如圖，二面角的棱上有兩個點，線段與分別在這個二面角兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，，則的長度為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)式子，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律即可求出的長.【詳解】由條件知，，，又二面角的平面角為，則，所以，所以.故選：C題型十、空間軌跡與動點（共3小題）28．（2025·江西·二模）已知正方體的棱長為1，點在正方體內(nèi)（包含表面）運動，若，則動點的軌跡所形成區(qū)域的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)量積的運算律得，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義確定點的軌跡，進而求出面積.【詳解】在棱長為1的正方體中，，則，而，由數(shù)量積的幾何意義知，在上投影的數(shù)量為，因此點在與垂直的平面內(nèi)，且點到該平面的距離為，在正方體中易證平面，點到平面的距離為，取的中點，易得平面平面，則平面，且點到平面的距離為，所以點的軌跡所形成區(qū)域為等邊，面積為.故選：B29．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）如圖，已知點在棱長為4的正方體的表面上運動，以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.若點滿足，則點的軌跡長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間直角坐標系可得點在以為球心，3為半徑的球上，再根據(jù)點在正方體的表面上運動，從而可得點的軌跡，即可得軌跡長度.【詳解】由可知，點在以為球心，3為半徑的球上，因為點在正方體的表面上，所以點的軌跡長為3個半徑為3的四分之一的圓，所以軌跡長為.故選：C.30．（2024·湖南長沙·三模）已知正方體的棱長為是棱的中點，空間中的動點滿足，且，則動點的軌跡長度為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】分別取的中點，連接，證明平面，從而可得點在平面內(nèi)，再根據(jù)，得點在以為球心，半徑為1的球面上，可得動點的軌跡為平面與球的球面的交線，求出平面截球所得截面圓的半徑，即可得解.【詳解】如圖，分別取的中點，連接，因為平面，平面，所以，在中，，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，由，得點在平面內(nèi)，由，得點在以為球心，半徑為1的球面上，因此動點的軌跡為平面與球的球面的交線，即在平面內(nèi)的圓，連接，設(shè)點到平面的距離為，平面截球所得截面圓的半徑為，則由得，且，所以，則，因此動點的軌跡長度為.故選：D.【點睛】思路點睛：涉及立體圖形中的軌跡問題，若動點在某個平面內(nèi)，利用給定條件，借助線面、面面平行、垂直等性質(zhì)，確定動點與所在平面內(nèi)的定點或定直線關(guān)系，結(jié)合有關(guān)平面軌跡定義判斷求解.題型十一、動點數(shù)量積最值范圍（共3小題）31．（2025高三·全國·專題練習）如圖，在正方體中，，點在線段上，且是正方體表面上的一個動點，是空間內(nèi)的兩個動點，若且，則的最小值為；最大值為．

【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，第一種問題轉(zhuǎn)化為是對角線長為4的立方體表面上的一點，為立方體對角線的端點，取過三點的截面，可解；第二種由極化恒等式可解.【詳解】由于，所以點位于球心在直線上、半徑為2、過點的球面上，因為，所以為直徑的端點．問題轉(zhuǎn)化為是對角線長為4的立方體表面上的一點，為立方體對角線的端點，取過三點的截面，如圖1，

則．另解：如圖2，球心為，由極化恒等式得：．當點與點重合時，取到最大值，．

故答案為：.32．（2025·上海楊浦·模擬預測）已知在底面半徑為1且高為10的圓柱體的表面上有三個動點、、，則的最小值為.【答案】【分析】利用空間向量的線性運算與數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為平面向量，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【詳解】如圖，過點、、分別作與圓柱底面平行的平面截圓柱得圓，設(shè)點在圓上的射影點為，點在圓上的射影點為，點在圓上的射影點為，則由可得到，當且僅當時，等號成立，如圖，在圓所在平面建立平面直角坐標系，則，所以則，當，時，等號成立；故，所以的最小值為.故答案為：.33．（24-25高二上·遼寧葫蘆島·期末）已知正三棱柱的底面邊長為，線段是該三棱柱內(nèi)切球的一條直徑，點是該正三棱柱表面上的動點，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)三棱柱性質(zhì)確定出內(nèi)切球的半徑和球心位置，再利用極化恒等式結(jié)合向量數(shù)量積的運算律計算可求出結(jié)果.【詳解】由正三棱柱的底面邊長為，設(shè)底面三角形內(nèi)切圓半徑為則若該三棱柱有內(nèi)切球，則三棱柱的高剛好為底面內(nèi)切圓的直徑，即為，設(shè)內(nèi)切球球心為，如下圖所示：易知球心在正三棱柱的中心處，且半徑為，即所以，又點是該正三棱柱表面上的動點，最小值為內(nèi)切球半徑，最大值為，所以，所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用極化恒等式將數(shù)量積表達式化簡可得，再由可得結(jié)果.題型十二、動點長度最值范圍（共3小題）34．（25-26高三上·江蘇南京·開學考試）已知正方體的棱長為2，點在正方體的內(nèi)切球表面上運動，且滿足平面，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)可得點的軌跡是平面與正方體內(nèi)切球的交線，此交線為圓，記圓心，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求出球心到平面的距離，從而可求出，進而可求出的最小值.【詳解】在正方體中，，且平面，平面，所以平面，平面.因為，且平面，所以平面平面，因為平面，平面ACD1，所以平面，所以點的軌跡是平面與正方體內(nèi)切球的交線，此交線為圓，記圓心為.如圖，以為原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以球心到平面的距離.如圖，因為正方體的內(nèi)切球半徑，所以圓的半徑.因為，所以，即，所以，所以的最小值為.故答案為：.35．（2025高二·全國·專題練習）已知正方體的棱長為1，點和分別在和上，則長度的最小值為．【答案】【分析】解法1：通過建立空間直角坐標系，將點、的坐標用參數(shù)表示，進而得到長度的平方的表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值.解法2：通過求異面直線與的法向量，再利用向量投影公式求出兩異面直線間的距離，此距離即為長度