5/5專(zhuān)題02直線(xiàn)與圓的方程（4知識(shí)&17題型&4易錯(cuò)）【清單01】直線(xiàn)的方程1、直線(xiàn)的傾斜角（1）傾斜角的定義：當(dāng)直線(xiàn)與軸相交時(shí)，我們把軸稱(chēng)為基準(zhǔn)，軸的正向與向上的方向之間所產(chǎn)生的角叫做直線(xiàn)的傾斜角．（2）傾斜角的范圍：當(dāng)直線(xiàn)與軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°．因此，直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為，具體如下：2、直線(xiàn)的斜率（1）斜率的定義：我們把一條直線(xiàn)的傾斜角（）的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，常用小寫(xiě)字母表示，即．（2）斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線(xiàn)的斜率公式為．3、直線(xiàn)方程的五種形式形式幾何條件方程適用范圍點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)與x軸不垂直的直線(xiàn)斜截式縱截距b，斜率ky＝kx＋b與x軸不垂直的直線(xiàn)兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與x軸、y軸均不垂直的直線(xiàn)截距式橫截距a，縱截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直線(xiàn)【注意】“截距”是直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正、可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．【清單02】?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系1、兩條直線(xiàn)平行與垂直的判定（1）兩條直線(xiàn)平行①對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2．②當(dāng)直線(xiàn)l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2．（2）兩條直線(xiàn)垂直①如果兩條直線(xiàn)l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1．②當(dāng)其中一條直線(xiàn)的斜率不存在，而另一條直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，l1⊥l2．2、兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)的求法直線(xiàn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3、三種距離公式（1）平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)．特別地，原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2)．（2）點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．（3）兩條平行線(xiàn)Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．【清單03】圓的方程1、圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．理論依據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(＝)r2?點(diǎn)在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(>)r2?點(diǎn)在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(<)r2?點(diǎn)在圓內(nèi)3、二元二次方程與圓的關(guān)系不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷D2＋E2－4F的符號(hào)，只有大于0時(shí)才表示圓．若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：（1）當(dāng)F＝0時(shí)，圓過(guò)原點(diǎn)．（2）當(dāng)D＝0，E≠0時(shí)，圓心在y軸上；當(dāng)D≠0，E＝0時(shí)，圓心在x軸上．（3）當(dāng)D＝F＝0，E≠0時(shí)，圓與x軸相切于原點(diǎn)；E＝F＝0，D≠0時(shí)，圓與y軸相切于原點(diǎn)．（4）當(dāng)D2＝E2＝4F時(shí)，圓與兩坐標(biāo)軸相切．【清單04】直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系1、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（1）直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的判斷方法①eq\x(代數(shù)法)eq\o(→,\s\up9(聯(lián)立方程得方程組消去x或y),\s\do7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交,Δ＝0?相切,Δ＜0?相離))②eq\x(幾何法)eq\o(→,\s\up9(圓心到直線(xiàn)的距離為d),\s\do7(半徑為r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r?相交,d＝r?相切,d＞r?相離))（2）圓的切線(xiàn)與切線(xiàn)長(zhǎng)=1\*GB3①過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線(xiàn)方程是x0x＋y0y＝r2．過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線(xiàn)方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．=2\*GB3②過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)過(guò)圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線(xiàn)求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線(xiàn)方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說(shuō)明另一條直線(xiàn)的斜率不存在，其方程為x＝x0．=3\*GB3③切線(xiàn)長(zhǎng)從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F)．兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)：利用等面積法，切線(xiàn)長(zhǎng)a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)b的積，即b＝eq\f(2ar,d)．【注意】過(guò)一點(diǎn)求圓的切線(xiàn)方程時(shí)，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以便確定切線(xiàn)的條數(shù)．（3）圓的弦長(zhǎng)：直線(xiàn)和圓相交，求被圓截得的弦長(zhǎng)通常有兩種方法=1\*GB3①幾何法：因?yàn)榘胂议L(zhǎng)eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).=2\*GB3②代數(shù)法：若直線(xiàn)y＝kx＋b與圓有兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|．2、圓與圓的位置關(guān)系（1）圓與圓位置關(guān)系的判斷方法(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示交點(diǎn)個(gè)數(shù)01210d與，的關(guān)系【注意】涉及兩圓相切時(shí)，沒(méi)特別說(shuō)明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種情況進(jìn)行討論．（2）兩圓公切線(xiàn)的條數(shù)位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示公切線(xiàn)條數(shù)4條3條2條1條無(wú)公切線(xiàn)【題型一】直線(xiàn)的傾斜角與斜率1、求直線(xiàn)傾斜角的方法及關(guān)注點(diǎn)（1）定義法：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合傾斜角的定義找傾斜角．（2）關(guān)注點(diǎn)：結(jié)合圖形求角時(shí)，應(yīng)注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如三角形內(nèi)角和定理及其有關(guān)推論．2、求直線(xiàn)斜率的方法（1）定義法：由傾斜角的值（或范圍）求斜率的值（或范圍）時(shí)，用定義式求解．（2）公式法：由兩點(diǎn)坐標(biāo)，求斜率，利用兩點(diǎn)斜率公式求解．（3）待定系數(shù)法：如果直線(xiàn)沿軸負(fù)方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，又回到原來(lái)的位置，求直線(xiàn)的斜率．此類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)平移前和平移后的兩個(gè)方程的同一性，進(jìn)行相應(yīng)系數(shù)的比較求得結(jié)果．【例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線(xiàn)傾斜角為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（24-25高二上·河南開(kāi)封·期中）若經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率為1，則實(shí)數(shù)（

）A．3 B． C．2 D．1【變式1-2】（24-25高二上·貴州貴陽(yáng)·月考）已知直線(xiàn)的斜率，則該直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（24-25高二上·福建泉州·期中）平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的方向向量為，則的傾斜角為.【題型二】直線(xiàn)與線(xiàn)段相交求范圍問(wèn)題利用直線(xiàn)的斜率的幾何意義求最值（或取值范圍）兩點(diǎn)注意（1）直線(xiàn)的斜率反映了直線(xiàn)的傾斜程度，且（，是直線(xiàn)上橫坐標(biāo)不等的兩點(diǎn)）；（2）在求形如的式子的最值時(shí)，可以將看作動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所確定的直線(xiàn)的斜率，數(shù)形結(jié)合求出最值（或取值范圍），即將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)處理．【例2】（24-25高二上·廣東中山·月考）設(shè)點(diǎn)?，若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)段AB相交，則直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【變式2-1】（24-25高二上·福建三明·月考）已知直線(xiàn)，若直線(xiàn)與連接，兩點(diǎn)的線(xiàn)段總有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角范圍為（

）A． B．C． D．【變式2-2】（25-26高二上·重慶·月考）已知點(diǎn)，，若直線(xiàn)與線(xiàn)段AB相交，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2-3】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與以點(diǎn)和為端點(diǎn)的線(xiàn)段AB相交，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.【題型三】五種直線(xiàn)方程的求解（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)方程形式，直接寫(xiě)出直線(xiàn)方程；（2）待定系數(shù)法：①設(shè)所求直線(xiàn)方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線(xiàn)方程．【例3】（24-25高二下·北京·期中）以為端點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．【變式3-1】（24-25高二上·北京·期中）動(dòng)直線(xiàn)與一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，直線(xiàn)的方程為．【變式3-2】（23-24高二上·海南三亞·期中）已知的頂點(diǎn)為，，，求：(1)邊AC上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；(2)邊AC上的高所在直線(xiàn)的方程；【變式3-3】（24-25高二上·寧夏吳忠·期中）已知直線(xiàn)．(1)求直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程．【題型四】?jī)蓷l直線(xiàn)平行與垂直關(guān)系由一般式方程確定兩直線(xiàn)位置關(guān)系的方法直線(xiàn)方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)【例4】（24-25高二下·山西·期中）若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則（

）A． B． C．1 D．2【變式4-1】（24-25高二上·甘肅蘭州·期中）已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．或1 D．或1【變式4-2】（24-25高二下·江西上饒·期中）（多選）若直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．1 C． D．5【變式4-3】（24-25高二上·山東濟(jì)寧·月考）已知直線(xiàn)，若，則（

）A． B．C． D．【題型五】?jī)蓷l直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題求過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)方程的方法求過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)方程，先解方程組求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線(xiàn)方程，也可借助直線(xiàn)系方程，利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)方程，這樣能簡(jiǎn)化解題過(guò)程．【例5】（24-25高二上·黑龍江綏化·月考）直線(xiàn)和的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（24-25高二上·黑龍江·月考）若直線(xiàn)與的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式5-2】（25-26高二上·江蘇南京·月考）（多選）設(shè)為實(shí)數(shù)，若三條直線(xiàn)，和不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值可能為（

）A． B． C．1 D．【變式5-3】（25-26高二上·安徽亳州·月考）（多選）已知與是直線(xiàn)（k為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的交點(diǎn)情況說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．無(wú)論k、M、N如何，總是無(wú)交點(diǎn)B．存在k、M、N使之無(wú)交點(diǎn)C．無(wú)論k、M、N如何，總是唯一交點(diǎn)D．存在k、M、N使之有無(wú)窮多交點(diǎn)【題型六】直線(xiàn)的距離公式及應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)、兩平行線(xiàn)間的距離公式的使用條件（1）求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離時(shí)，應(yīng)先化直線(xiàn)方程為一般式．（2）求兩平行線(xiàn)之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．【例6】（24-25高二下·浙江·期中）若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)之間的距離為（

）A． B． C． D．【變式6-1】（24-25高二上·湖南邵陽(yáng)·期中）已知兩點(diǎn)和到直線(xiàn)的距離相等，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【變式6-2】（23-24高二上·山西運(yùn)城·期中）若，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是，則這條直線(xiàn)的斜率是.【變式6-3】（24-25高二上·山東濟(jì)南·月考），函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C． D．【題型七】直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系及應(yīng)用1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)Q(a，b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′(x′，y′)滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))2、線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)：直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決．3、點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)：點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))4、線(xiàn)關(guān)于線(xiàn)：直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決．【例7】（24-25高二下·湖北·期中）已知點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．【變式7-1】（24-25高二上·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知直線(xiàn)，若關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為，則直線(xiàn)的方程是（

）A． B．C． D．【變式7-2】（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)傾斜角為的且過(guò)的直線(xiàn)反射后過(guò)點(diǎn)，則反射后的光線(xiàn)不會(huì)經(jīng)過(guò)下列哪個(gè)點(diǎn)（

）A． B． C． D．【變式7-3】（24-25高二上·貴州黔東南·期中）已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【題型八】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程1、幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程．2、待定系數(shù)法：（1）若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；（2）若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．【例8】（24-25高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）以點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式8-1】（24-25高二上·寧夏吳忠·期中）已知，，則以為直徑的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【變式8-2】（24-25高二上·河南南陽(yáng)·月考）已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【變式8-3】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知點(diǎn)，，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【題型九】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法（1）幾何法：由圓心到直線(xiàn)的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．（2）代數(shù)法：根據(jù)直線(xiàn)與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷．（3）直線(xiàn)系法：若直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，可通過(guò)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系．【例9】（24-25高二上·天津·期中）直線(xiàn)l：與圓C：的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．都有可能【變式9-1】（24-25高二上·福建莆田·期中）若點(diǎn)在圓外，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相離【變式9-2】（24-25高二上·山東菏澤·月考）（多選）直線(xiàn)：與圓：的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式9-3】（24-25高二上·安徽阜陽(yáng)·期中）已知直線(xiàn)與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)在圓上，直線(xiàn)與圓相切 B．點(diǎn)在圓內(nèi)，直線(xiàn)與圓相離C．點(diǎn)在圓外，直線(xiàn)與圓相切 D．點(diǎn)在圓上，直線(xiàn)與圓相交【題型十】由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)根據(jù)直線(xiàn)與圓位置關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題步驟第一步：明確直線(xiàn)與圓的方程形式，圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)的斜截式化為一般式．第二步：選擇合適的代數(shù)條件，優(yōu)先用距離法，次用判別式法．第三步：建立不等式（或方程）并求解參數(shù)范圍．（1）求根據(jù)題目要求的位置關(guān)系（相離/相切/相交），代入對(duì)應(yīng)的代數(shù)條件，建立關(guān)于參數(shù)的不等式；（2）求解不等式時(shí)，注意參數(shù)的隱含限制（如圓的半徑為正、直線(xiàn)斜率存在的條件等），最終取“不等式解”與“隱含限制”的交集．【例10】（24-25高二上·遼寧·期中）“”是“直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有1個(gè)公共點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式10-1】（24-25高二下·上?！て谥校┤糁本€(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.【變式10-2】（24-25高二下·黑龍江佳木斯·月考）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．【變式10-3】（24-25高二上·四川成都·期末）已知圓，直線(xiàn)，若圓上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，則的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．或【題型十一】直線(xiàn)與圓的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題1、幾何法：如圖所示，設(shè)直線(xiàn)l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線(xiàn)的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)2、代數(shù)法：若斜率為k的直線(xiàn)與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝|xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時(shí)，|AB|＝|yA－yB|．【例11】（24-25高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）直線(xiàn)與圓相交于M、N兩點(diǎn)，則（

）A．1 B． C． D．【變式11-1】（24-25高二下·湖南·期中）已知直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式11-2】（24-25高二下·云南·期中）已知直線(xiàn)與圓交于A、B兩點(diǎn)，若，則a的值是（

）A． B． C． D．【變式11-3】（24-25高二下·福建福州·期中）已知直線(xiàn)l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的取值范圍是.【題型十二】圓的切線(xiàn)與切線(xiàn)長(zhǎng)問(wèn)題1、幾何法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線(xiàn)方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫(xiě)出切線(xiàn)方程，當(dāng)斜率不存在時(shí)，要進(jìn)行驗(yàn)證；2、代數(shù)法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線(xiàn)方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線(xiàn)方程即可求出，當(dāng)斜率不存在時(shí)，要進(jìn)行驗(yàn)證．【例12】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為（

）A． B． C． D．【變式12-1】（24-25高二下·湖南常德·開(kāi)學(xué)考試）已知圓C:,過(guò)點(diǎn)P（3,1）作圓C的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為．【變式12-2】（2025·湖北黃岡·二模）已知方向向量為的直線(xiàn)與圓相切，則的方程為．【變式12-3】（24-25高二上·吉林·月考）若過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則．【題型十三】圓與圓的位置關(guān)系可用代數(shù)法與幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系：（1）幾何法：通過(guò)比較兩圓半徑為r1，r2與圓心距d＝|O1O2|之間的關(guān)系判斷；（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓的方程，通過(guò)確定方程解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷圓與圓的位置關(guān)系．【例13】（24-25高二下·上?！て谥校﹫A與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【變式13-1】（24-25高二下·上海浦東新·期中）圓和與圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．外離【變式13-2】（24-25高二上·青海西寧·期中）已知圓，圓，則圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．外切 C．內(nèi)切 D．相交【變式13-3】（24-25高二上·山東·期中）已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)含【題型十四】?jī)蓤A的公共弦問(wèn)題公共弦長(zhǎng)的求法（1）代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．（2）幾何法：將兩圓作差可得到公共弦所在直線(xiàn)方程，利用其中一個(gè)圓的圓心和半徑，求得該圓心和公共弦所在直線(xiàn)的距離即弦心距，在弦心距、弦的一半和半徑構(gòu)成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，進(jìn)而得到公共弦長(zhǎng)．【例14】（24-25高二上·河北邢臺(tái)·期末）圓與圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【變式14-1】（24-25高二上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）已知圓：與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．【變式14-2】（24-25高二上·廣東深圳·期中）圓與的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式14-3】（24-25高二下·湖北·期中）已知圓和圓，則兩圓的公共弦長(zhǎng)為.【題型十五】?jī)蓤A的公切線(xiàn)問(wèn)題兩圓公切線(xiàn)方程的確定（1）當(dāng)公切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，可設(shè)公切線(xiàn)方程為，由公切線(xiàn)的意義（兩圓公公的切線(xiàn)）可知，兩圓心到直線(xiàn)的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關(guān)于和的方程，解這個(gè)方程組得到，的值，即可寫(xiě)出公切線(xiàn)的方程；（2）當(dāng)公切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，觀察并寫(xiě)出公切線(xiàn)的方程．【例15】（24-25高二下·湖南婁底·期中）圓與圓的公切線(xiàn)有且僅有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條【變式15-1】（24-25高二上·湖南·月考）圓：與圓：的內(nèi)公切線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A．3 B．5 C． D．4【變式15-2】（24-25高二下·河北秦皇島·期中）（多選）與圓和圓都相切的直線(xiàn)方程可能為（

）A． B．C． D．【變式15-3】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）圓與圓C關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，寫(xiě)出兩圓的一條公切線(xiàn)：.【題型十六】圓的軌跡問(wèn)題1、直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；2、定義法：根據(jù)圓、直線(xiàn)等定義列方程；3、幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；4、代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式．【例16】（24-25高二上·重慶渝中·期中）已知點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式16-1】（24-25高二上·新疆烏魯木齊·開(kāi)學(xué)考試）已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式16-2】（25-26高二上·河北保定·月考）已知圓的圓心在軸上，并且過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡．【變式16-3】（24-25高二上·江蘇常州·期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱(chēng)為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡為圓，設(shè)其圓心為，已知直線(xiàn)：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則的面積的最大值為