3/3專題04橢圓（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律橢圓的定義理解并掌握橢圓的定義,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題或者大題第（1）問，計算能力是關(guān)鍵橢圓的簡單幾何性質(zhì)1、掌握橢圓的幾何性質(zhì),掌握a,b,c,e的幾何意義及a,b,c,e之間的相互關(guān)系,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2、嘗試?yán)脵E圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì),提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).高頻易錯點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題，特別是離心率的求法是高頻考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系掌握利用根的判別式判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法,會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在大題橢圓的弦長公式、中點(diǎn)弦問題初步探尋弦長公式有關(guān)知識,能運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點(diǎn)弦問題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).重難必考點(diǎn)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法突破弦長公式以及面積問題、中點(diǎn)弦問題知識點(diǎn)01橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)，這個動點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個定點(diǎn)（,）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.知識點(diǎn)02橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)圖1圖1（1）怎樣建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？以經(jīng)過點(diǎn)、的直線為軸，線段的垂直平分為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1．（2）橢圓可以看作是哪些點(diǎn)的集合？用坐標(biāo)如何表示？設(shè)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為（＞0）.焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，又設(shè)M與的距離的和等于常數(shù)．由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M|}因?yàn)?，，所以?）遇到根式怎么辦？兩個根式在同一側(cè)能不能直接平方？即兩邊平方得，整理得再平方并整理得，兩邊同除以得考慮,應(yīng)有，故設(shè)，就有．2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對比焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點(diǎn)坐標(biāo)，，的關(guān)系3、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解（1）利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟=1\*GB3①定位：確定焦點(diǎn)在那個坐標(biāo)軸上；=2\*GB3②定量：依據(jù)條件及確定的值；=3\*GB3③寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．【常用結(jié)論】①求橢圓方程時，若沒有指明焦點(diǎn)位置，一般可設(shè)所求方程為；②當(dāng)橢圓過兩定點(diǎn)時，常設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組求得系數(shù)．知識點(diǎn)03點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系1、根據(jù)橢圓的定義判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，有如下結(jié)論：點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部；點(diǎn)P在橢圓上；點(diǎn)P在橢圓外部．2、對于點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，有如下結(jié)論：點(diǎn)在橢圓外；點(diǎn)在橢圓內(nèi)；點(diǎn)在橢圓上；知識點(diǎn)04橢圓的焦點(diǎn)三角形1、定義：橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”．2、兩個性質(zhì)知識點(diǎn)05橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）范圍，，頂點(diǎn)，，，軸長短軸長＝，長軸長＝焦點(diǎn)焦距對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點(diǎn)離心率，注：離心率：橢圓焦距與長軸長之比：.（）當(dāng)越接近1時，越接近，橢圓越扁；當(dāng)越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；當(dāng)且僅當(dāng)時，圖形為圓，方程為【常用結(jié)論】①與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：②橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2），，；（3）,，；知識點(diǎn)06直線與橢圓的位置關(guān)系1、位置關(guān)系的判斷直線與橢圓的位置關(guān)系聯(lián)立消去y得一個關(guān)于x的一元二次方程．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(diǎn)(或兩個公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(diǎn)(或一個公共點(diǎn))；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．2、直線與橢圓相交的弦長公式（1）定義：連接橢圓上兩個點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長的方法=1\*GB3①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．=2\*GB3②根與系數(shù)的關(guān)系法：若直線與圓錐曲線相交與、兩點(diǎn)，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：；3、解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；（3）寫出根與系數(shù)的關(guān)系；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的形式；（5）代入求解．知識點(diǎn)07中點(diǎn)弦問題與點(diǎn)差法1、若橢圓與直線交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且與斜率存在時，則；（焦點(diǎn)在x軸上時），當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，證明：設(shè)，，則橢圓兩式相減得．題型一橢圓的定義及其辨析解｜題｜技｜巧（1）對橢圓定義的三點(diǎn)說明①橢圓是在平面內(nèi)定義的,所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視.②定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù),而不能是變量.③常數(shù)2a必須大于兩定點(diǎn)間的距離,否則軌跡不是橢圓,這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件.（2）橢圓定義的兩個應(yīng)用①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),則動點(diǎn)M的軌跡是橢圓.②若點(diǎn)M在橢圓上,則|MF1|+|MF2|=2a.1．（24-25高二下·陜西咸陽·期末）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義，即可求得答案.【詳解】由于橢圓，故橢圓長半軸長為，故，故選：D2．（24-25高二下·遼寧撫順·開學(xué)考試）已知平面內(nèi)兩個定點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡為（

）.A．橢圓 B．線段C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槠矫鎯?nèi)兩個不同定點(diǎn)，且，，則動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.故選：A3．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）方程表示的曲線為（

）A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不表示任何圖形【答案】D【分析】結(jié)合橢圓的定義求解即可.【詳解】由題可得：方程左邊的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的距離之和，即，因?yàn)椋?，所以滿足點(diǎn)的軌跡不存在，即方程不表示任何圖形．故選：D.4．（24-25高二上·山東煙臺·期末）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則平行四邊形的周長為（

）A． B．8 C． D．16【答案】C【分析】由題意，根據(jù)橢圓的定義計算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，由橢圓的定義知，四邊形的周長為.故選：C5．（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別，，點(diǎn)在上，，則內(nèi)切圓半徑為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求出的面積，進(jìn)而求出其內(nèi)切圓半徑.【詳解】橢圓：的長軸長，焦距，則，由，得，則，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由，得，所以.故選：B題型二判斷方程是否表示橢圓解｜題｜技｜巧1、根據(jù)橢圓焦點(diǎn)位置求橢圓方程中的參數(shù)取值范圍時,考慮含x2,y2項(xiàng)對應(yīng)的分母都大于0,然后根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸確定對應(yīng)分母的大小.2、由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以確定焦點(diǎn)坐標(biāo)或求參數(shù)的值(或取值范圍).（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)時,若方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程,則應(yīng)先將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程,確定a2,b2的值和焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,再利用關(guān)系式a2=b2+c2求出c,即可寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）已知方程求參數(shù)的值(或取值范圍)時,需注意:對于方程x2m+1．（23-24高二上·云南昆明·月考）方程表示橢圓的充要條件是（

）.A． B．或C． D．【答案】B【分析】借助橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與充要條件的定義計算即可.【詳解】若表示橢圓，則，解得或.故選：.2．（25-26高二上·江蘇南通·月考）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將題目所給方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，結(jié)合題設(shè)條件，列出方程組，即可求解.【詳解】橢圓方程，上式表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，解得，故選：D.3．（2025高二上·全國·專題練習(xí)）“”是“曲線表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用充分條件和必要條件的判斷以及橢圓方程的特征求解即可.【詳解】曲線表示橢圓等價于，解得且，所以“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B．4．（24-25高二上·河南漯河·期末）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求解.【詳解】由，即，由題有，所以，故選：A.5．（24-25高二上·浙江紹興·期中）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，的一組可能取值是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的方程類型列不等式求解的關(guān)系即可得結(jié)論.【詳解】方程轉(zhuǎn)化為，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，所以，則，的一組可能取值是，.故選：B.題型三點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系解｜題｜技｜巧根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓[以x2a2+y2b（1）直接利用下面的結(jié)論:①點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓外?x02a②點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上?x02a③點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)?x02a（2）先由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a,c,再利用下面的結(jié)論:①|(zhì)PF1|+|PF2|<2a?點(diǎn)P在橢圓內(nèi);②|PF1|+|PF2|=2a?點(diǎn)P在橢圓上;③|PF1|+|PF2|>2a?點(diǎn)P在橢圓外.1．（23-24高二上·河南南陽·月考）點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)在橢圓上 B．點(diǎn)在橢圓內(nèi)C．點(diǎn)在橢圓外 D．不確定【答案】B【分析】將點(diǎn)代入橢圓即可求解.【詳解】由于，所以在內(nèi)，故選：B2．若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，列出不等式求解即可.【詳解】由點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，可得：，且，解得：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B3．（24-25高二上·全國·課堂例題）已知直線與圓沒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．在橢圓內(nèi) B．在橢圓外C．在橢圓上 D．不確定【答案】A【分析】由直線與圓沒有公共點(diǎn)得，再利用放縮法得，可判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系.【詳解】直線與圓沒有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離，即，，又，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部.故選：A.4．（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）若點(diǎn)在焦點(diǎn)在軸上的橢圓內(nèi)部，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在軸上可得，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部列式求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則，解得，所以的取值范圍是．故答案為：.5．（24-25高二上·四川南充·月考）直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可知，定點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，結(jié)合橢圓方程可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】直線方程可化為，故該直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，所以，，解得且，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型四橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解｜題｜技｜巧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解1、利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟=1\*GB3①定位：確定焦點(diǎn)在那個坐標(biāo)軸上；=2\*GB3②定量：依據(jù)條件及確定的值；=3\*GB3③寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．2、求橢圓方程時，若沒有指明焦點(diǎn)位置，一般可設(shè)所求方程為；3、當(dāng)橢圓過兩定點(diǎn)時，常設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組求得系數(shù)．1．（23-24高二上·河南開封·期中）已知橢圓C的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓上的點(diǎn)及橢圓的長短軸關(guān)系即可求得橢圓方程.【詳解】由題可知，所以，且橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點(diǎn)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再代點(diǎn)列方程組求系數(shù)即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.3．（24-25高二上·江西·月考）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓與橢圓：的離心率相同，且的長軸長比其短軸長大4，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出橢圓的離心率，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知列方程即可.【詳解】設(shè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，由已知得，即①，又橢圓：的離心率為，所以②，①②聯(lián)立解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.4．（23-24高二上·廣東江門·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，面積為，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．，或C． D．，或【答案】B【分析】由題意，焦點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論設(shè)出橢圓的方程，由題意列出方程求出，然后得到橢圓的方程即可.【詳解】由題意，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，可設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，所以.又，所以①.由橢圓的面積為，可得，即②，聯(lián)立①②，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，同理，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：B5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，過的直線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），的周長為，且直線與的斜率之積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求得，設(shè)，由求得，進(jìn)而求解.【詳解】由的周長為，由橢圓的定義得，解得，所以，，設(shè)，則，可得，則，解得，所以橢圓C的方程，故選：A.6．已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)差法可求得的值，結(jié)合可得出的值，進(jìn)而得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則的中點(diǎn)為，則，可得.若直線軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合題意；故直線的斜率存在，且，由于A、兩點(diǎn)都在橢圓上，則，兩式相減得，即，因?yàn)樵谥本€AB上，故，故，即，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.題型五橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題解｜題｜技｜巧焦點(diǎn)三角形的求解思路1、關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形問題，可結(jié)合橢圓的定義，利用這個關(guān)系式便可求出結(jié)果，因此回歸定義式求解橢圓的焦點(diǎn)三角形的常用方法；2、在橢圓中，焦點(diǎn)三角形引出的問題很多，在處理這些問題時，經(jīng)常利用定義結(jié)合正弦定理、余弦定理及勾股定理來解決，還經(jīng)常用到配方法、解方程及把看成一個整體等．1．（24-25高二上·山東煙臺·期末）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則平行四邊形的周長為（

）A． B．8 C． D．16【答案】C【分析】由題意，根據(jù)橢圓的定義計算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，由橢圓的定義知，四邊形的周長為.故選：C2．（25-26高二上·四川·期中）已知橢圓方程，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，連接，則三角形的周長為（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.【詳解】橢圓方程，得：，則.由橢圓的定義得，，所以的周長為.故選：A.3．（24-25高二上·四川成都·期末）已知為橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的面積為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】有題意點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程即可計算點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以.故選：C.4．（24-25高二下·安徽滁州·期末）設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，可得，然后可求.【詳解】，，又橢圓，則，.故選：D.5．若點(diǎn)在橢圓上，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，且，則的面積為（

）A． B．3 C．4 D．1【答案】A【分析】利用橢圓定義得到，再利用余弦定理得到，兩者聯(lián)立解出，再利用三角形面積公式求出面積即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，根?jù)余弦定理可得，即，又因?yàn)椋?，所以，故選：A6．（25-26高二上·全國·單元測試）已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑為，若在第一象限，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義得，進(jìn)而得的周長，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，利用等面積法即可求解.【詳解】如圖，不妨令分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，由，得，所以，所以．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)椋?，得．故選：C.7．（24-25高二上·甘肅·期末）設(shè)分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，的周長為，且，則的面積為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，結(jié)合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面積.【詳解】由橢圓的性質(zhì)可得，又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即，∴，C選項(xiàng)正確；故選：C題型六橢圓的軌跡方程求法解｜題｜技｜巧如果動點(diǎn)的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn)的軌跡方程．“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟（1）設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)；（2）求關(guān)系式：求出兩個動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式x（3）代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動點(diǎn)的軌跡方程．1．（24-25高二上·重慶·月考）平面內(nèi)，動點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得已知方程的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義可求得軌跡方程.【詳解】由兩點(diǎn)間距離公式知：的幾何意義是點(diǎn)到與的距離之和為，，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其長軸長、短軸長、焦距分別為，則，，，，，點(diǎn)軌跡方程為：.故選：B.2．（24-25高二上·江蘇泰州·月考）已知曲線，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足（若在軸上，即為），則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用動點(diǎn)轉(zhuǎn)移可求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，則，因在曲線上，故即，故選：A.3．點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，則點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軌跡方程的求解方法列方程求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，所以，即，整理得，故選:C.4．（24-25高二上·福建莆田·期末）在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段，D為垂足，M是線段上的點(diǎn)，且，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，則點(diǎn)M的軌跡方程是（）A．+=1(y) B．+=1(y)C．+=1(y) D．+=1(y)【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，，則，因點(diǎn)在圓上，利用相關(guān)點(diǎn)法即可求得點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】

如圖，設(shè)點(diǎn)，，則，因點(diǎn)在圓上，則（*），又因軸，且M是線段上的點(diǎn)，，則，則得，即，將其代入（*），即得是點(diǎn)M的軌跡方程.故選：A.5．（24-25高二上·北京豐臺·期末）已知圓及點(diǎn)，在圓上任取一點(diǎn)，連接，將點(diǎn)折疊到點(diǎn)A，記與折痕的交點(diǎn)為（如圖）.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接由題意可得：，符合橢圓定義，且得到長半軸和半焦距，再由求得，可求點(diǎn)的軌跡方程可求．【詳解】連接，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為4．因?yàn)閷Ⅻc(diǎn)折疊到點(diǎn)A，記與折痕的交點(diǎn)為，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A．6．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，為圓上的一個動點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段交于點(diǎn)，則動點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【分析】本題根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得點(diǎn)的軌跡是橢圓【詳解】連接，因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑，由垂直平分線的性質(zhì)可知，則，而，故點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為，的橢圓，且，即，則，因此，點(diǎn)的軌跡方程為．7．（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知動圓P與圓：相切，且與圓：內(nèi)切，記圓心P的軌跡為曲線C，則曲線C的方程為．【答案】【分析】依題意可得，所以圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的橢圓，進(jìn)而可求其方程；【詳解】由已知得，圓半徑為9，圓半徑為1，設(shè)動圓圓心，半徑為，易知圓在圓內(nèi)，由于動圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，所以動圓與圓只能內(nèi)切，且動圓在圓內(nèi)，故，所以，所以圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的橢圓，則，所以，所以曲線的方程為.故答案為：題型七橢圓中的距離最值問題解｜題｜技｜巧解決橢圓最值問題的最常見思路1、與焦半徑（橢圓上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑）乘積有關(guān)的最值問題，一般利用橢圓的定義，根據(jù)基本不等式求解，注意等號成立的條件；2、與，（為橢圓上一點(diǎn)，，為橢圓的焦點(diǎn)）的和、差有關(guān)的最值問題，一般利用平面幾何知識，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問題求解．1．（24-25高二上·重慶北碚·期末）已知橢圓的方程為，則橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最小值為（

）.A．8 B．5 C．3 D．2【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程及其性質(zhì)，即可得點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最小值.【詳解】由橢圓方程知，橢圓上點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最小值為.故選：D2．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，，為其上、下焦點(diǎn)，則的最大值是（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】利用橢圓的定義和基本不等式求解即可.【詳解】橢圓，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：C3．（23-24高二上·安徽·期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，若點(diǎn)P在橢圓C上，則的最大值為（

）A．1 B．5 C．7 D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求解最大值.【詳解】依題意，，，則，，設(shè)，所以：，又因?yàn)椋?，所以：，因?yàn)椋?，所以?dāng)時，有最大值：，故C項(xiàng)正確.故選：C．4．（23-24高二上·湖南常德·期中）已知P是橢圓C：上一點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l：上的射影為Q，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】求出橢圓左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義轉(zhuǎn)化為求的最小值，再求出點(diǎn)到直線的距離得解.【詳解】橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，三點(diǎn)共線，且P在線段上時，取得最小值，最小值為點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為1.故選：A5．（23-24高二上·天津?yàn)I海新·期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最大值為.【答案】11【分析】通過解析式求出橢圓的的值，做出圖像后知道圓與橢圓的位置關(guān)系，由橢圓的定義可知為定值，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時最大，求出最大值.【詳解】如圖：

由橢圓可知，，在橢圓中，又因?yàn)閳A心為，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時（如圖），最大，此時，故答案為：11.題型八橢圓的簡單幾何性質(zhì)解｜題｜技｜巧（1）由橢圓方程討論其幾何性質(zhì)的步驟:①化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)形式,確定焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上;②由標(biāo)準(zhǔn)形式求出a,b,c,寫出其幾何性質(zhì).（2）橢圓的幾何性質(zhì)與橢圓的形狀、大小和位置的關(guān)系:①橢圓的焦點(diǎn)決定橢圓的位置;②橢圓的范圍決定橢圓的大小;③橢圓的離心率刻畫橢圓的扁平程度;④對稱性是圓錐曲線的重要性質(zhì),橢圓的頂點(diǎn)是橢圓與對稱軸的交點(diǎn),是橢圓上的重要的特殊點(diǎn),在畫圖時應(yīng)先確定這些點(diǎn).1．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程求得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，，則，故橢圓焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，．故選：D2．（25-26高二上·全國·單元測試）已知橢圓的短軸長為4，則（

）A．2 B．4 C．8 D．2或4【答案】B【分析】根據(jù)題意，分焦點(diǎn)在軸與軸兩種情況進(jìn)行求解.【詳解】由的短軸長為4，得，即，則．若，則，顯然矛盾；若，則．故選：B.3．（25-26高二上·全國·單元測試）已知橢圓的離心率為，則的值為（

）A． B． C．4或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，按焦點(diǎn)位置及橢圓離心率的意義分類求解.【詳解】當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在軸上時，，易知，則，解得；當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在軸上時，，易知，則，解得，所以的值為或.故選：D4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的范圍分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)橢圓的性質(zhì)分析判斷【詳解】由，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．故選：C5．（25-26高二上·全國·單元測試）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)作直線軸交橢圓于點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】解法1：設(shè)，利用橢圓的定義得，結(jié)合軸，利用勾股定理求解即得；解法2：利用橢圓的通徑公式和橢圓的定義即可求得.【詳解】解法1：由題意知，設(shè)，則由可得，在中，，即，解得．解法2：由題意知橢圓的長軸長，短軸長是橢圓通徑長的一半，所以，則．故選：C.6．（24-25高二上·湖南·月考）已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為為橢圓上除左?右頂點(diǎn)外的一動點(diǎn)，則的面積最大為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率求出，進(jìn)而可求，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時，的面積最大.【詳解】由題可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A與橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)重合時，的面積最大，此時的最大面積為，故選：B.7．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知橢圓的方程為，其中依次將橢圓的下半部分分成10等份，若是橢圓的右焦點(diǎn)，則（

）A．10 B．16 C．20 D．12【答案】C【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，得到，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)槿羰菣E圓的右焦點(diǎn)，且，可得，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，由橢圓的對稱性，可得，所以.故選：C.8．（24-25高二上·浙江紹興·期中）已知M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80]【答案】C【分析】由是左焦點(diǎn)，連接，利用橢圓對稱性及定義，將目標(biāo)式化為，結(jié)合及二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.【詳解】若是左焦點(diǎn)，連接，又關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以為平行四邊形或?yàn)樽笥翼旤c(diǎn)，則，由，則，故，則，開口向上且對稱軸為，又，所以.故選：C題型九橢圓的離心率問題解｜題｜技｜巧1、求e的值或范圍問題就是尋求它們的方程或不等式,具體如下:（1）若已知a,c,可直接代入e=ca（2）若已知a,b,則使用e=1-b（3）若已知b,c,則求a,再利用（1）或（2）求解.（4）若已知a,b,c的關(guān)系,可轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程(不等式)求值(范圍).2、求橢圓離心率的取值范圍的方法（1）解析幾何中求參數(shù)取值范圍是一類常見而又較難的題型，其基本的解題思路有:①建立目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用求函數(shù)值域的方法求解；②建立目標(biāo)變量的不等式，解不等式求解．（2）求解時，在用基本量表示出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)后，借助橢圓的范圍建立一個關(guān)于基本量的不等式組，進(jìn)而求解．1．（24-25高二上·湖南衡陽·月考）若橢圓滿足，則該橢圓的離心率（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓離心率的公式計算.【詳解】橢圓滿足，則該橢圓的離心率.故選：B.2．若橢圓的焦距為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由焦距得，可判斷，由離心率公式計算可得.【詳解】由得，又，所以，，得，所以．故選：A．3．（24-25高二下·山西·期中）已知橢圓E：的上、下頂點(diǎn)與左、右焦點(diǎn)分別為A，B，，，且四邊形是正方形，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合得到，結(jié)合，求出離心率即可.【詳解】由題意得，故，又，則E的離心率為.故選：B4．（25-26高二上·湖南邵陽·月考）已知橢圓，過的右焦點(diǎn)作軸的垂線交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】代入焦點(diǎn)橫坐標(biāo)，可得到點(diǎn)坐標(biāo)，代入條件即得答案.【詳解】將代入橢圓方程得，整理得，由，得，代入上式，，因此，點(diǎn)和的坐標(biāo)分別為和，弦長為，由已知，有，，離心率，其中，代入，因此：.故選：B

5．（23-24高二上·天津·期末）已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，則C的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓與橢圓有交點(diǎn)得，即，可得，即可求解.【詳解】由題意知，以為直徑的圓的方程為，要使得圓與橢圓有交點(diǎn)，需，即，得，即，由，解得，所以橢圓的離心率的最小值為.故選：C6．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓的右焦點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，在橢圓上存在點(diǎn)滿足線段的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一：先根據(jù)列出等式，然后得到不等式組，進(jìn)而求得離心率的范圍；解法二：先根據(jù)列出等式，然后根據(jù)范圍得到不等式，進(jìn)而求得離心率的范圍.【詳解】解法一：由點(diǎn)在線段的垂直平分線上，得點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，而，于是，即，結(jié)合得又，故．解法二：設(shè)點(diǎn)，則有，即，解得，又因?yàn)椋杂?，兩邊同時除以，可以解得．故選：D.7．（24-25高二下·重慶渝中·月考）橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，．則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，得到，在直角中，利用勾股定理，列出方程，求得，且，得到，結(jié)合橢圓的離心率的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以是直角三角形，可得，解得，則，所以，解得，可得，即橢圓的離心率為.故選：B.8．（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·期中）已知，是橢圓上兩點(diǎn)，，分別在的左、右焦點(diǎn)，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由橢圓的定義求出，再由勾股定理求出，又由，即可求出答案.【詳解】設(shè)，由橢圓的定義可得：，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，化簡可得：，解得：，所以，又因?yàn)?，所以，所?故選：D.題型十直線與橢圓的位置關(guān)系（含弦長和相切）解｜題｜技｜巧1、判斷直線與橢圓的位置關(guān)系時,通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程組成方程組,消去方程組中的一個變量,得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程,則Δ>0?直線與橢圓相交;Δ=0?直線與橢圓相切;Δ<0?直線與橢圓相離.2、求弦長的兩種方法（1）求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)距離公式求弦長.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程,消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用弦長公式:|ab|=1+=1+1k2(y1+y21．（23-24高二上·浙江溫州·期中）已知直線與橢圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直線l和橢圓C有公共點(diǎn)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去y便可得到關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，從而有判別式，即可解出m的取值范圍．【詳解】直線代入橢圓方程消去y得：；∵直線與橢圓有公共點(diǎn)，方程有解，∴；解得，即m的取值范圍為.故選：A2．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式將表示成的函數(shù)即可求解.【詳解】設(shè)直線的方程為，由，得，由，得，則，所以，當(dāng)時取到最大值，此時直線的方程為．故選：B．3．（24-25高二下·上海楊浦·期中）若對任意實(shí)數(shù)，直線與焦點(diǎn)在軸上的橢圓至少有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】先求得直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線與橢圓總有公共點(diǎn)，由點(diǎn)P在橢圓上或在橢圓的內(nèi)部求解.【詳解】直線，即，直線恒過定點(diǎn)，直線與橢圓至少有1個公共點(diǎn)等價于點(diǎn)在橢圓內(nèi)或在橢圓上．所以，即，又，故．故答案為：.4．已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若過點(diǎn)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【答案】/【分析】設(shè)切線的方程，與橢圓聯(lián)立由判別式等于0可得參數(shù)的關(guān)系，再由切線過點(diǎn)的坐標(biāo)可得參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而求出參數(shù)的值，即求出切線的方程，及切點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：當(dāng)切點(diǎn)在第一象限時，斜率存在且不為0，設(shè)切線的方程為：，，由于過點(diǎn)可得：，①聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得：，則，可得②，由①②可得：，，所以切線方程為：；可得整理的方程為：，解得，代入切線的方程可得，即切點(diǎn)，所以直線的方程為：，切點(diǎn)的坐標(biāo)．故答案為：5．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）對不同的實(shí)數(shù)，討論直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù).【答案】答案見解析【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，求出，再分、、三種情況討論，即可得解.【詳解】由，消去并整理得③，此方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)由它的判別式?jīng)Q定，，當(dāng)時，，方程③有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，代入方程①可得到兩個不同的公共點(diǎn)坐標(biāo)，此時直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)，即它們相交.當(dāng)或時，，方程③有兩個相等的實(shí)數(shù)根，代入方程①得到一個公共點(diǎn)坐標(biāo)，此時直線與橢圓有一個公共點(diǎn)，它們在這一點(diǎn)相切.當(dāng)或時，，方程③沒有實(shí)數(shù)根，此時直線與橢圓沒有公共點(diǎn)，即它們相離.綜上，可得：當(dāng)時，直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)或時，直線與橢圓有一個公共點(diǎn)；當(dāng)或時，直線與橢圓沒有公共點(diǎn).6．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知橢圓的短軸頂點(diǎn)為，短軸長是4，離心率是，直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)求弦的長度.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由短軸長和離心率列式求出即可得解.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式即可計算求解.【詳解】（1）短軸長，離心率是，∴橢圓C的方程為.（2）聯(lián)立，故，設(shè)，則，所以.所以弦的長度為.7．已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的離心率及左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)求證：直線與橢圓C相切；【答案】(1)，左焦點(diǎn)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求得的值，進(jìn)而求得離心率和橢圓的左焦點(diǎn)；（2）由橢圓的方程，得到，結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.【詳解】（1）由橢圓，可得，則，所以橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)為.（2）由橢圓，可得，即當(dāng)時，直線的方程為或，此時直線與橢圓相切；當(dāng)時，聯(lián)立方程組，可得，即，則，所以直線與橢圓相切，綜上可得，直線與橢圓相切.8．（2025高二上·全國·專題練習(xí)）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的長為，求直線AB的方程．【答案】【分析】分別討論直線斜率不存在于存在兩種情況，當(dāng)存在時設(shè)出點(diǎn)斜式，再與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)弦長公式求斜率.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為，顯然被橢圓截得的弦長為，不是，不合題意．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為．設(shè)，則A，B的坐標(biāo)為方程組的解，消去y得，，所以，代入弦長公式得，解得，所以直線AB的方程為．題型十一橢圓中的面積問題解｜題｜技｜巧1、三角形面積問題直線方程：2、焦點(diǎn)三角形的面積直線過焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)3、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).1．（24-25高二上·湖北·期末）已知橢圓的短軸長為2，且過點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線l，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知易求得，將代入橢圓方程可求得，可求橢圓C的方程；（2）求得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得，，進(jìn)而利用弦長公式求得弦長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得三角形邊上的高，可求面積.【詳解】（1）由橢圓的簡單幾何性質(zhì)，可知，得，將點(diǎn)代入，得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知可得橢圓的右焦點(diǎn)為，直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得，，設(shè)，，所以，，則，點(diǎn)到直線的距離，故.2．（25-26高二上·全國·期末）如圖所示，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，一條直線經(jīng)過與橢圓交于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓的焦距、短軸長和離心率；(2)若直線的傾斜角為，求的面積.【答案】(1)焦距為，短軸長為6，離心率為(2)【分析】（1）求出，，根據(jù)焦距，短軸長和離心率的定義求出答案；（2）求出直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由求出面積.【詳解】（1）由已知方程得到，所以，，由得，故焦距為，短軸長為，離心率.（2）由（1）知焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，由已知得直線的方程為，即，與聯(lián)立消去得，則，故，所以的面積為.3．（24-25高二上·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知點(diǎn)在橢圓上，與橢圓的上，下頂點(diǎn)的連線的斜率之積為．(1)求橢圓的離心率；(2)若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由題意推理可得，利用點(diǎn)在橢圓上，代入消元后可得，結(jié)合即可求得離心率；（2）設(shè)、，由直線與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，求出弦長和點(diǎn)到直線的距離，由三角形面積列出方程，求出參數(shù)值即得橢圓方程.【詳解】（1）因橢圓上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，依題意，整理得（*），因點(diǎn)在橢圓上，則，即，代入（*），化簡得：，又，所以，則橢圓的離心率；（2）

如圖，設(shè)、，由（1）已得，則由，消去并整理得，此時，解得，由韋達(dá)定理得，，所以，又原點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，解得，故橢圓的方程為．4．（24-25高二下·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知橢圓的長軸長為且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)不經(jīng)過原點(diǎn)O的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積最大時直線l的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出面積的表達(dá)式，利用基本不等式求出最大值，進(jìn)而得出答案.【詳解】（1）由已知，即．又由可得，所以，則橢圓C的方程為．（2）由題直線l與橢圓C有兩個交點(diǎn)A和B，設(shè)，．聯(lián)立，得，即，∴且，．由直線l不過原點(diǎn)可得且．利用弦長公式，且點(diǎn)O到直線l的距離．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時直線．5．（24-25高二下·安徽·開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，過作直線交于，兩點(diǎn)，的最小值為4.(1)求的方程；(2)若，過作與關(guān)于軸對稱的直線交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦距得的值，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)知當(dāng)軸時，的值最小，從而解得的值，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，可得，再由得，從而解得的值，進(jìn)而根據(jù)幾何性質(zhì)求面積即可.【詳解】（1）設(shè)半焦距為，由，得，當(dāng)軸時，的值最小，將代入，得，所以，解得，，故的方程為：.（2）由題意得，直線的斜率存在且不為0，且不與橢圓上下頂點(diǎn)重合，設(shè)，聯(lián)立，整理得.易知，設(shè)，，則，由得，代入（*），得，，解得.由對稱性可知，四邊形為等腰梯形，其面積為：，所以四邊形的面積為.6．（24-25高二上·山東濟(jì)南·期中）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由離心率和橢圓過點(diǎn)解得的值，寫出橢圓方程；（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組消元得到二次方程，用韋達(dá)定理表示出線段的長，再求出點(diǎn)到直線的距離，由三角形面積公式求得四邊形面積代數(shù)式，然后求最大值.【詳解】（1）由題意可得：，解得，由橢圓過點(diǎn)，得，聯(lián)立解得，，所以橢圓的方程為.（2）由題意可設(shè)，因點(diǎn)在第一象限，則，設(shè)，，點(diǎn)，到直線的距離分別為，，由，消可得，，當(dāng)時，，所以，，所以，，，直線的一般式方程：，所以，，所以，所以，當(dāng)時，有最大值為.題型十二橢圓中的中點(diǎn)弦問題解｜題｜技｜巧解決橢圓中點(diǎn)弦問題的三種方法（1）根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.（2）點(diǎn)差法:利用端點(diǎn)在橢圓上,坐標(biāo)滿足方程,將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程,然后作差,構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.（3）共線法:利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,如果弦的中點(diǎn)為P(x0,y0),設(shè)直線與橢圓的一個交點(diǎn)為a(x,y),則另一個交點(diǎn)為b(2x0-x,2y0-y),則x兩式作差即得所求直線方程.1．已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出的關(guān)系式，把，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法化簡即可求解．【詳解】設(shè)，，，則，，，所以，所以，將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得：，兩式作差可得：，所以，則，故選：D2．（24-25高二上·浙江紹興·期中）已知橢圓，一組斜率為1的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)差法求解即可.【詳解】設(shè)斜率為1的平行直線為與橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)，線段中點(diǎn)為,∴，∵兩點(diǎn)在橢圓上，∴且，兩式相減得，即，∴，∴，即，故這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)所在的直線方程為.故選：C.3．（23-24高二上·湖北·月考）已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則該橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可求出直線的斜率為，設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)差法和題設(shè)條件可推得，結(jié)合，求出的值，即得橢圓方程.【詳解】如圖，由題意，點(diǎn)，，直線的斜率為，因，故，設(shè)點(diǎn)，則，兩式相減，可得：（*），因的中點(diǎn)為，則，且，代入（*），化簡可得：①又②，聯(lián)立①②，解得：，故該橢圓的方程為.故選：B.4．已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)且AB的中點(diǎn)為P，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】代入點(diǎn)差法公式，求直線的斜率，再代入點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】設(shè)，，則，兩式相減得，由條件可知，，，即，并且由對稱性可知，，所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，所以原點(diǎn)到直線的距離.故選：B5．（24-25高二上·內(nèi)蒙古興安盟·期中）已知離心率為的橢圓的短軸長為，直線過點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可得出直線的斜率，進(jìn)而可求得該直線的方程.【詳解】由題意可得，解得，所以，橢圓方程為，因?yàn)?，則點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，則為的中點(diǎn)，所以，，，若直線軸時，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，因?yàn)椋@兩個等式作差可得，即，可得，因此，直線的方程為，即.故選：B.6．（24-25高二上·山東德州·期中）已知橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱.若橢圓離心率為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)、，線段的中點(diǎn)為，由已知條件可得出，利用點(diǎn)差法以及點(diǎn)在直線上，可得出關(guān)于、的值，解出這兩個量的值，即可得出線段的中點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)、，線段的中點(diǎn)為，則，由題意，橢圓的離心率為，可得，因?yàn)?、關(guān)于直線對稱，且直線的斜率為，則，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，上述兩個等式作差可得，可得，即，即，即，①又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，②聯(lián)立①②可得，故線段的中點(diǎn)為.故選：C.題型十三橢圓中的定值、定點(diǎn)問題解｜題｜技｜巧解決與橢圓有關(guān)的定點(diǎn)、定值問題常利用設(shè)而不求的思想,將相關(guān)各量設(shè)出,然后利用橢圓的幾何性質(zhì)將所求值或點(diǎn)表示出來,最后說明要求解的量與變量的取值無關(guān)即可.解決此類問題時,偶爾需要先根據(jù)題意觀察定點(diǎn),這類特殊位置一般在特殊點(diǎn)處取得.1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知橢圓過點(diǎn)和．過作直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記直線的斜率分別為，證明是定值；【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）代入點(diǎn)坐標(biāo)計算可得，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程并利用韋達(dá)定理求得的表達(dá)式并化簡可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)和，代入橢圓表達(dá)式可得；所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)，直線的斜率一定存在，設(shè)為，如下圖所示：

聯(lián)立，消去得到，易知，可得；且，，故是定值.2．（24-25高二上·福建廈門·期末）已知點(diǎn)，點(diǎn)M與N關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線AM，AN的斜率之積是，記動點(diǎn)M的軌跡為．(1)求的方程；(2)若直線l與交于P，Q兩點(diǎn)，且．（ⅰ）當(dāng)l與y軸垂直時，求的面積；（ⅱ）證明：l過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)（?。唬áⅲ┳C明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出斜率的等式化簡為橢圓的一般方程，（2）（ⅰ）先求出直線AP方程，再聯(lián)立直線和橢圓的方程解出點(diǎn)坐標(biāo),求出弦長結(jié)合三角形面積公式求解即可，（ⅱ）結(jié)合對稱性，若直線l過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在y軸上，猜測出定點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后證明即可.【詳解】（1）（1）設(shè)，，則直線AM，AN的斜率分別為，，且，依題意有，所以，所以的方程為．（2）（2）（?。┮?yàn)閘與y軸垂直，所以P，Q關(guān)于y軸對稱，因?yàn)?，所以，又，不妨設(shè)P在Q的左側(cè)，則直線AP的傾斜角為，所以直線AP方程為，聯(lián)立的方程，消去y化簡得，，解得（舍去），所以，所以，所以，所以的面積為．（ⅱ）設(shè)，，由題意，l斜率存在，設(shè)l：，聯(lián)立的方程，消去y化簡得，，，，，由題意得，所以所以，即，解得或，時，l：點(diǎn)A，不符合題意，所以，此時，所以l過定點(diǎn)．3．（24-25高二下·貴州畢節(jié)·期末）已知點(diǎn)，動點(diǎn)到直線的距離等于，記動點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)【分析】（1）設(shè)出，根據(jù)題意列出等量關(guān)系，化簡后得到軌跡方程；（2）先假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)，設(shè)直線方程，和曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理化簡，對表達(dá)式是否可以為定值進(jìn)行分析即可判斷.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，故，而點(diǎn)到直線的距離為，由已知得，化簡得，所以動點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）若存在定點(diǎn)滿足題意，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立方程，消去化簡得，則，則，又，所以，將代入化簡得：，若為定值，不妨設(shè)為，則，即，亦即有，，解得，所以存在定點(diǎn)，使得．當(dāng)過的直線垂直軸時，此時，則，滿足條件．所以在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值．4．（24-25高二下·云南曲靖·月考）已知橢圓：（）的長軸長為4，焦距為.(1)求的方程.(2)若，分別為的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于與，不重合的，兩點(diǎn).①求四邊形面積的最大值.②設(shè)直線，，的斜率分別為，，，判斷是否為定值.若是，求出該定值，若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)①；②是，【分析】（1）根據(jù)長軸長及焦距求出即可得解；（2）①由題意設(shè)：，聯(lián)立橢圓方程，消元后的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用分割法求出面積，化簡后由均值不等式求最值；②由斜率公式寫出直線的斜率，計算，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子后，化簡得解.【詳解】（1）由題意得得則，所以的方程為.（2）由（1）可知，，易得直線的斜率不為零，設(shè)：，，.

由得，得①四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故四邊形面積的最大值為.②是定值，該定值為.，，.，，所以.5．（24-25高二上·福建廈門·期中）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)的左，右頂點(diǎn)分別為A，，過點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連結(jié)得到直線，試探究：直線是否恒過軸上的一個定點(diǎn).【答案】(1)(2)直線恒過軸上的一個定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓上的點(diǎn)列式解出的值，即可得方程；（2）設(shè)直線方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出的關(guān)系.設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，有，代入求解得出的值，即可得出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由雙曲線可得，可知所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可知，，且點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓必有兩交點(diǎn).設(shè)直線方程為，，則，聯(lián)立方程化簡整理得，則.設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線，于是，即，則，可得，即，解得，所以，直線恒過軸上的定點(diǎn).6．（24-25高二上·河南鄭州·期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，短軸長為，點(diǎn)在橢圓上且的最大值是最小值的倍.(1)求橢圓C的方程；(2)若不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)短軸長求出，再結(jié)合的最值關(guān)系求出和，從而得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程和交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和斜率公式求出直線所過定點(diǎn).【詳解】（1）已知短軸長為，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，.設(shè)橢圓的半焦距為，已知的最大值是最小值的倍，即.展開可得，即.又因?yàn)?，把代入可?即，解得，那么.所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，,.因?yàn)椋跈E圓上，代入可得，.已知，則，，.把代入得，其值不為，所以直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立直線與橢圓方程，得.展開可得，整理得.根據(jù)韋達(dá)定理，，.因?yàn)?，所以，?即，.展開得.將，代入上式并化簡可得.即，解得或.當(dāng)時，直線的方程為，經(jīng)過原點(diǎn).當(dāng)時，直線的方程為，所以直線恒過定點(diǎn)，不合題意.綜上所得，直線恒過定點(diǎn)原點(diǎn).7．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為、，過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于點(diǎn)M、N，且的周長為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)（i）求的最小值；（ii）記直線AM、BN的斜率分別為、，證明：為定值.【答案】(1)；(2)；證明見解析．【分析】（1）依題意由橢圓定義及性質(zhì)求出a，b，c的值，即可求解橢圓方程；（2）（i）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，表示出，由二次函數(shù)性質(zhì)即可求解；（ii）設(shè)出直線l的方程及點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及斜率公式即可證明．【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)榈闹荛L為8，由橢圓的定義可得：，即，又橢圓離心率為，所以，則，所以橢圓C的方程為：（2）（i）由橢圓方程得，，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以，即，所以，所以，當(dāng)，即M為橢圓上下頂點(diǎn)時，，所以求的最小值為；（ii）證明：依題意，直線l與x軸不重合，設(shè)l的方程為：，聯(lián)立，消去x得，方程的判別式，設(shè)，，則由韋達(dá)定理得，則，注意到，即，所以，所以期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：120分鐘）1．（24-25高二上·陜西漢中·月考）已知是橢圓上的一點(diǎn)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義計算可得.【詳解】橢圓，則，又是橢圓上的一點(diǎn)，所以.故選：A2．如果點(diǎn)在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系式，那么點(diǎn)的軌跡是（

）A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.【詳解】表示平面內(nèi)到點(diǎn)，的距離之和為的動點(diǎn)的軌跡，由于，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓.故選：B.3．（24-25高二上·山東青島·期末）已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程中表示橢圓的特征列式求解.【詳解】由方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得，解得，所以m的取值范圍是.故選：B4．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意求得，然后由公式可得.【詳解】由題意得，，所以，．故選：D．5．（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）設(shè)定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．射線 D．橢圓或線段【答案】D【分析】由基本不等式可得，再由橢圓的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，當(dāng)時，，而，此時點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時，，此時點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓.綜上所述，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓或線段.故選：D6．（24-25高二上·四川眉山·月考）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程及焦點(diǎn)位置有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，可得.故選：A7．（24-25高二上·廣西北?！て谥校┮阎獧E圓的長軸長為8，且離心率為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)概念得到，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意易得，則，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，則，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A．8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直線與橢圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程的特點(diǎn)，可得且，可排除BC，再用特例進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)橢圓方程的特點(diǎn)，可得且，可排除BC，當(dāng)時，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓必有公共點(diǎn).故選：D9．（23-24高二上·河北承德·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一點(diǎn)，的最小值為1，且的周長為34，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用焦點(diǎn)三角形的周長為，及，結(jié)合橢圓的知識求解出橢圓方程即可.【詳解】因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以．因?yàn)榈闹荛L為34，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C.10．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知是橢圓在第一象限上的點(diǎn)，且以點(diǎn)及焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積等于1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再應(yīng)用面積公式計算參數(shù)即可.【詳解】設(shè)，由題知，，所以，又，所以，將其代入1，解得，所以，故選:B.11．（24-25高二上·重慶秀山·月考）已知是橢圓上的動點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，若動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，則，根據(jù)求出代入橢圓方程可得答案.【詳解】設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，可得，所以?故選：B.12．（23-24高二下·云南保山·月考）設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在此橢圓上，且，則的面積為（

）A．4 B． C． D．8【答案】C【分析】設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入三角形面積公式即可求解.【詳解】設(shè)，則滿足，取，因?yàn)?，所以，即，?lián)立，解得，則的面積，故選：C13．（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若為直角三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入橢圓方程，再結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解．【詳解】由橢圓的對稱性可得，因?yàn)闉橹苯侨切蝿t，則不妨設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，所以，所以的離心率．故選：B.14．（24-25高二上·重慶·期末）已知橢圓的一個焦點(diǎn)是，過原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，的面積是，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)的面積求出，利用弦長公式求出弦長.【詳解】如圖：由題，不妨設(shè)，直線斜率存在，設(shè)直線方程，聯(lián)立，，，解得，故，故選：D.15．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，滿足，的面積為，橢圓的焦距為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件求得，結(jié)合勾股定理得，即可得，可得答案.【詳解】橢圓的焦距為，則，由，的面積為，得，即，又，所以，即，，又，則，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D．16．（25-26高二上·山西呂梁·月考）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，過作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的周長為（

）A． B． C．6 D．8【答案】B【分析】結(jié)合橢圓的圖象，由橢圓的定義可得的周長為【詳解】由題可知：，所以.如圖：.所以的周長為.故選：B.17．（24-25高二上·山東煙臺·月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若的周長為，則橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由中位線性質(zhì)得出焦點(diǎn)的周長，從而求得半焦距．【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，而是中點(diǎn)，所以，所以的周長是周長的一半，又的周長為，所以周長是，即，得，又，所以，．故選：B．18．（25-26高二上·河南南陽·月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且為直角.若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，則，則，在中，是直角，可得，再根據(jù)離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，由橢圓的定義，得，因?yàn)槭侵苯?，所以在中，由勾股定理，得，即，所以橢圓的離心率.故選：B19．（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得線段的中垂線恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】通過焦半徑的取值范圍得到關(guān)于，的不等關(guān)系，進(jìn)而可求離心率范圍．【詳解】因?yàn)榫€段的中垂線恰好過焦點(diǎn)，所以，由焦半徑的范圍可知，即，則且，解得.故選：B．20．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，直線與交于另一點(diǎn)，且，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，利用勾股定理求出，求出，然后在中應(yīng)用余弦定理可求出該橢圓離心率的值.【詳解】如下圖所示：由題意可知，設(shè)，則，因?yàn)?，由勾股定理可得，即，解得，故，所以，由余弦定理可得，即，因?yàn)?，故，故選：A.21．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）（多選題）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則的值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【分析】由點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系得出的值.【詳解】由題意知，解得．故選：BC22．（25-26高二上·全國·單元測試）（多選題）已知兩橢圓和，則（

）A．兩橢圓有相同的焦點(diǎn) B．兩橢圓的離心率相等C．兩橢圓有4個公共點(diǎn) D．兩橢圓有相同的對稱軸和對稱中心【答案】BD【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)，離心率，公共點(diǎn)依次分析選項(xiàng)即可【詳解】設(shè)橢圓，則；設(shè)橢圓，則．對于A，橢圓的焦點(diǎn)分別在x，y軸上．故A不正確；對于B，的離心率的離心率．故B正確；對于C，聯(lián)立，解得，所以與有2個公共點(diǎn)．故C不正確；對于D，兩橢圓都關(guān)于x，y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，即它們有相同的對稱軸和對稱中心，故D正確.故選：BD23．（24-25高二上·浙江·期中）（多選題）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓的定義，，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即可求解范圍，判斷A，利用坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解B，利用向量的運(yùn)算可知，，根據(jù)的范圍，即可求解，判斷C，利用焦半徑的最值，即可判斷D.【詳解】，，，，，設(shè)，，則，，A．，范圍是，故A正確；B．設(shè)，則，故B錯誤；C．設(shè)為原點(diǎn)，則；故C正確；D．和的最大值為，最小值為，所以的最大值為，最小值為，，故D正確.故選：ACD24．（24-25高二下·上海·期末）橢圓的短軸的長是.【答案】6【分析】方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出，求解即可.【詳解】由可得，所以，即，，所以橢圓的短軸的長為，故答案為：625．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】（其中）（答也對）【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接利用條件建立關(guān)系式，進(jìn)而求解即可.【詳解】設(shè)動點(diǎn)，由題意得，即，整理得，由，可令，所以點(diǎn)的軌跡方程為（其中）．故答案為：（其中）.26．已知點(diǎn)，P是橢圓上的動點(diǎn)，則的最大值是．【答案】【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.【詳解】解：設(shè)，，，，當(dāng)時，取得最大值，故答案為：27．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．若是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率．【答案】/【分析】根據(jù)點(diǎn)差法，結(jié)合斜率公式即可求解.【詳解】設(shè),則，相減可得，故答案為：28．（24-25高二上·河北石家莊·期中）已知P為橢圓上一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)．則的最小值為，最大值為．【答案】713【分析】首先根據(jù)橢圓方程求出，由此可知兩圓的圓心分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】由橢圓方程知，兩圓的圓心分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，設(shè)兩圓半徑分別為，，則，.∴，|，，|，故的最小值為；的最大值為.

故答案為：7；1329．已知直線，橢圓的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)討論直線l與橢圓C的公共點(diǎn)個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由橢圓短軸長、離心率、可得答案；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理判斷可得答案.【詳解】（1）由題意橢圓的短軸長為，離心率為，可知，，解得，所求橢圓的方程為；（2）由可得，，當(dāng)即時，直線與橢圓相切，只有一個公共點(diǎn)；當(dāng)即時，直線與橢圓相交，有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)即或時，直線與橢圓相離，無公共點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)時，直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)；當(dāng)時，直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)或時，直線與橢圓無公共點(diǎn).30．（24-25高二上·山西太原·月考）已知橢圓的長軸長為，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得關(guān)于，的方程，求解即可；（2）聯(lián)立方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長公式計算可得.【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為：．（2）聯(lián)立，消去后，得關(guān)于的一元二次方程，化簡得，則，，，所以.31．（24-25高二上·新疆烏魯木齊·期末）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的長軸長是短軸長的3倍，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；(2)當(dāng)直線l的傾斜角是時，求的面積．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由給定條件列出方程求解，進(jìn)而求出離心率.（2）求出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出三角形面積.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，依題意，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，離心率.（2）依題意，直線的方程為，設(shè)，由消去得，，，所以的面積.32．已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點(diǎn)分別為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，分別求的周長和面積．【答案】(1)(2)周長為8，面積為【分析】（1）根據(jù)長軸長和離心率求出，，從而得到，得到橢圓方程；（2）根據(jù)橢圓的定義求出三角形的周長，得到，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，求出，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式得到三角形面積.【詳解】（1）由題意可知：，則，，，橢圓（2）根據(jù)橢圓的定義，的周長為；其中，直線的斜率為，直線，聯(lián)立方程組得，顯然，設(shè)，則，，點(diǎn)到直線的距離，.33．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記的面積為S．(1)當(dāng)，時，求S；(2)當(dāng)，時，求直線AB的方程；(3)求S的最大值．【答案】(1)(2)(3)最大值是1【分析】（1）設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式，可得答案；（2）聯(lián)立方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)三角形面積公式與弦長公式，化簡方程，可得答案；（3）由（2）可知弦長表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，可得答案.【詳解】（1）設(shè)，．由得，解得，，可得下圖：則．因此．（2）由得．由，可得，，由，得．又，代入，得，解得，．直線AB的方程是．（3）．由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立．由第（2）小題的結(jié)論知，S可以取到1，因此S的最大值是1．34．（24-25高二下·甘肅慶陽·開學(xué)考試）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且橢圓過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn)，且直線的斜率為．求四邊形的面積的最大值；【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合離心率計算公式求出，即可求橢圓方程；（2）求出，聯(lián)立直線與橢圓方程，再結(jié)合韋達(dá)定理表示出四邊形的面積，進(jìn)而求出面積的最大值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，由橢圓過點(diǎn)，得，由橢圓的離心率為，得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，，則，設(shè)直線的方程為，，由消去并整理得，，，，四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以四邊形的面積的最大值為.35．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)設(shè)與軸交于兩點(diǎn)（A在點(diǎn)左側(cè)），直線交于兩點(diǎn)（均不在軸上），設(shè)直線的斜率分別為，若，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用垂直平分線的性質(zhì)及橢圓的定義計算即可；（2）設(shè)方程及坐標(biāo)，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)斜率公式化簡計算即可.【詳解】（1）易知圓的圓心為，半徑為4