3/3專題05雙曲線（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律雙曲線的定義掌握雙曲線的定義,會用雙曲線的定義解決問題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,了解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程,提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在小題或者大題第（1）問，計算能力是關(guān)鍵雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1、了解雙曲線的范圍、對稱性、頂點等簡單幾何性質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).2、理解雙曲線的漸近線、離心率的意義及離心率和雙曲線形狀間的變化關(guān)系,提升直觀想象的核心素養(yǎng).高頻易錯點，常出現(xiàn)在小題，特別是漸近線、離心率的求法是高頻考點直線與雙曲線的位置關(guān)系掌握利用根的判別式判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的方法,會判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系,培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在大題雙曲線的弦長公式、中點弦問題初步探尋弦長公式有關(guān)知識,能運用直線與雙曲線的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點弦問題,提升數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).重難必考點，利用韋達(dá)定理、點差法突破弦長公式以及面積問題、中點弦問題知識點01雙曲線的定義1、定義：在平面內(nèi)與兩個定點、的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線．兩個定點、稱為焦點；兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距，表示為．2、雙曲線的集合表示：．注意：（1）若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；（2）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；（3）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；（4）若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識點02雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系2、待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程知識點03雙曲線的焦點三角形求雙曲線中的焦點三角形面積的方法（1）=1\*GB3①根據(jù)雙曲線的定義求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關(guān)系式；=3\*GB3③通過配方，利用整體的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面積。（2）利用公式求得面積；知識點04雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點坐標(biāo)，,漸近線離心率，，a，b，c間的關(guān)系2、等軸雙曲線（，）當(dāng)時稱雙曲線為等軸雙曲線性質(zhì)：①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；3、對雙曲線離心率的理解在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度．在雙曲線中，雙曲線的“張口”大小是圖象的一個重要特征．因為，所以當(dāng)?shù)闹翟酱?，漸進(jìn)線的斜率越大，雙曲線的“張口”越大，也就越大，故反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率越大，它的“張口”越大．【常用結(jié)論】①若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，②若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）知識點05直線與雙曲線的位置關(guān)系設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；（2）時，存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若，時，，直線與雙曲線相交于兩點；時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；相切當(dāng)不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；直線與雙曲線相交于兩點；注：直線與雙曲線有一個公共點時，直線不一定與雙曲線相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，只有一個交點．知識點06弦長公式1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點，為直線斜率知識點07雙曲線中點弦與點差法設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因為是弦的中點，所以：所以題型一雙曲線的定義及其辨析解｜題｜技｜巧1、若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；2、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；3、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；4、若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，動點P滿足，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．雙曲線 D．射線【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，，所以，則，由雙曲線的定義可知，點P的軌跡為雙曲線的一支.故選：B.2．（23-24高二上·廣西玉林·期末）已知點，則滿足下列關(guān)系式的動點的軌跡是雙曲線的下支的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡是完整的雙曲線，所以A不正確；對于B中，由，根據(jù)雙曲線的定義，可得的點的軌跡是雙曲線的下支，所以B正確；對于C中，由，根據(jù)雙曲線的定義，可得的點的軌跡是雙曲線的上支，所以C不正確；對于D中，由，不存在滿足的點，所以D不正確.故選：B.3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）相距千米的，兩地，聽到炮彈爆炸的時間相差2秒，若聲速每秒千米，則炮彈爆炸點的軌跡可能是（）A．雙曲線的一支 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓【答案】B【分析】由已知可得:,根據(jù)雙曲線的定義可判斷出答案.【詳解】由已知可得:，根據(jù)雙曲線的定義可知，點在以，為焦點的雙曲線上，則炮彈爆炸點的軌跡可能是雙曲線.故選：B4．（24-25高二上·新疆·階段練習(xí)）雙曲線上一點到其中一個焦點的距離為，則這個點到另外一個焦點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，已知點為點，不妨設(shè)，由雙曲線得，因為，所以點在雙曲線的左支上，由雙曲線的定義可得，解得或（舍去），所以這個點到另外一個焦點的距離為.故選：B.5．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線定義得到點P的軌跡方程是以與為焦點的雙曲線，得到答案.【詳解】由題意得點到點與點的距離之差的絕對值為3，且，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的雙曲線，故，所以，所以雙曲線的方程為.故選：A.題型二判斷方程是否表示雙曲線解｜題｜技｜巧將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,假如方程為x2m+y2n=1,則當(dāng)mn<0時,方程表示雙曲線.若1．（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）當(dāng)取下列選項中哪組值時，方程表示雙曲線（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點得到，再一一分析選項即可.【詳解】由題意得，則ABD錯誤，C正確.故選：C.2．（24-25高二下·甘肅慶陽·開學(xué)考試）已知方程表示焦點在x軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線方程的特征列式求解即得.【詳解】方程表示焦點在x軸上的雙曲線，則，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是故選：C3．（24-25高二上·湖北孝感·階段練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程表示焦點在軸上的雙曲線列式計算求解.【詳解】方程表示焦點在軸上的雙曲線，由題意可得解得，故選：B．4．（25-26高二上·全國·單元測試）已知方程表示雙曲線，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到結(jié)果.【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，解得或，故的取值范圍為．故選：B.【點睛】對于方程，我們并不能確定它所表示的曲線是否為雙曲線，需要對參數(shù)m，n進(jìn)行討論．只有時，方程才表示雙曲線，且當(dāng)時，焦點在軸上；當(dāng)時，焦點在軸上．5．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“曲線是焦點在軸的雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的方程特征求，再判斷充分，必要條件.【詳解】若曲線表示焦點在軸的雙曲線，則，得，，但，所以“”是“曲線是焦點在軸的雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.題型三雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解｜題｜技｜巧1、定義法（1）用定義法求雙曲線方程,應(yīng)依據(jù)條件辨清是雙曲線的一支,還是全部曲線.（2）與雙曲線兩焦點有關(guān)的問題常利用定義求解.（3）如果題設(shè)條件涉及動點到兩定點的距離,求軌跡方程時可考慮能否應(yīng)用定義求解.2、利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟（1）定位置.根據(jù)條件判定雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上,不能確定時應(yīng)分類討論.（2）設(shè)方程.根據(jù)焦點位置,設(shè)方程為x2a2-y2b2=1或y2（3）尋關(guān)系.根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b(或m,n)的方程組.（4）得方程.解方程組,將a,b(或m,n)的值代入所設(shè)方程即為所求.3、由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)雙曲線的漸近線方程可設(shè)出雙曲線方程.漸近線方程為y=nmx的雙曲線方程可設(shè)為x2m2-y2n2=λ(λ≠0);如果兩條漸近線的方程為Ax±By=0,那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2-B2y2=λ(λ≠0);與雙曲線x1．（24-25高二上·遼寧葫蘆島·期末）已知雙曲線的實軸長等于虛軸長的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)實軸和虛軸的長度列方程即可求解得解.【詳解】由題意可知：實軸長為，虛軸長為，故，解得，故雙曲線方程為，故選：C2．（24-25高二下·安徽·階段練習(xí)）若橢圓：的焦點和與焦點共線的頂點分別是雙曲線E的頂點和焦點，則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得出雙曲線E的頂點和焦點坐標(biāo)即可.【詳解】已知橢圓的焦點坐標(biāo)為，上下頂點坐標(biāo)為，則雙曲線E的頂點為，焦點為，則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：D3．（24-25高二上·天津和平·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，實軸長為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的焦點的不同位置和漸近線方程，列出的關(guān)系式，求解即得.【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，其方程可設(shè)為：，依題意，，因，故得，雙曲線方程為：；當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，其方程可設(shè)為：，依題意，，因，故得，雙曲線方程為：，即.故選：D.4．已知雙曲線過點，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)雙曲線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線的方程為，又因為過點，所以，解得，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：A．5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點M在雙曲線C的右支上，，若與C的一條漸近線l垂直，垂足為N，且，其中O為坐標(biāo)原點，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】利用中位線的性質(zhì)得到，且，根據(jù)得到，然后利用點到直線的距離公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到雙曲線方程.【詳解】因為，，且為中點，所以，且，，因為，所以，解得，直線的方程為，所以，則，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.

6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線C的漸近線上，且，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】根據(jù)可得，根據(jù)點在漸近線上可得，求出后可得標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)半焦距為，因為，故，故，而漸近線方程為，故，而，故，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：題型四雙曲線中的焦點三角形問題解｜題｜技｜巧雙曲線的焦點三角形求雙曲線中的焦點三角形面積的方法（1）=1\*GB3①根據(jù)雙曲線的定義求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關(guān)系式；=3\*GB3③通過配方，利用整體的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面積．（2）利用公式求得面積；（3）若雙曲線中焦點三角形的頂角，則面積，結(jié)論適用于選擇或填空題．1．（24-25高二下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)P是雙曲線右支上一點，，分別是雙曲線C的左、右焦點，O為坐標(biāo)原點，Q為線段的中點，若，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線的定義，可得問題答案.【詳解】由雙曲線，則，由于為的中點，Q為線段的中點，且，所以，則.故選：C.2．（25-26高二上·全國·單元測試）已知雙曲線的上、下焦點分別為，過的直線與雙曲線的上支交于A，B兩點，若，則的周長為（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】利用雙曲線的定義可求得的周長.【詳解】如圖，由題意可得，的周長為，由雙曲線的定義可得，又，所以，所以的周長為12．故選：B.

3．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）已知為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上一點，，則的面積為（

）A．8 B．6 C． D．【答案】B【分析】由雙曲線的定義及計算出，，可知為直角三角形，然后計算面積即可.【詳解】因為雙曲線，所以，，所以，為雙曲線上一點，，所以為雙曲線上右支上一點，由雙曲線的定義得：，，所以，所以，，，所以，所以，故，故選：B4．（24-25高二上·江蘇南京·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線上，，則面積為（

）A．9 B．18 C．36 D．72【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義，以及焦點三角形的性質(zhì)，即可列式求解.【詳解】由條件可知，，，，則，則,所以面積為.故選：C5．過雙曲線的中心作直線與雙曲線交于、兩點，設(shè)雙曲線的右焦點為，已知，則的面積為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、，根據(jù)雙曲線的對稱性得到，設(shè)，，結(jié)合雙曲線的定義及余弦定理求出，再由面積公式計算可得.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、，由雙曲線的對稱性可知四邊形為平行四邊形，由，則，不妨設(shè)在雙曲線的右支上，設(shè)，，又，由雙曲線的定義可得，在中由余弦定理可得，，即，解得，所以.故選：D6．已知，為雙曲線的左，右焦點，為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，圓心為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及雙曲線的定義，確定M的橫坐標(biāo)，即得出圓心的橫坐標(biāo)，再由勾股定理代入計算，即可求解.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓分別與，切于N，B，與切于H，如圖，則,又點在雙曲線右支上，所以，故，而，設(shè)H的坐標(biāo)為，可得:，解得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則內(nèi)切圓圓心為，又，即，解得.故選：C題型五雙曲線的軌跡方程求法1．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知點，動點滿足，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的定義可知，動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，利用待定系數(shù)法求軌跡方程.【詳解】，，又動點滿足，動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線方程為，則有，動點的軌跡方程為．故選：A．2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）相距1600m的兩個哨所，聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲，已知當(dāng)時的聲音速度是，在哨所聽到的爆炸聲的時間比在哨所聽到時遲．若以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸，則爆炸點所在曲線的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)速度、時間、位移之間的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為曲線上任一點，則，所以點的軌跡為雙曲線的右支，且，，，點的軌跡方程為．故選：B3．設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，，直線與相交于點，且它們的斜率之積為，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用給定條件直接求解動點的軌跡方程即可.【詳解】設(shè)點，則的斜率為，的斜率為，故，所以，故D正確.故選：D4．（24-25高二上·福建福州·期末）與圓和圓都外切的圓的圓心的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線【答案】C【分析】由題意可以得到，結(jié)合雙曲線的定義即可得解.【詳解】由題意設(shè)圓：的圓心、半徑分別為，設(shè)圓：的圓心、半徑分別為，不妨設(shè)滿足題意的動圓圓心、半徑分別為，則由題意有，故滿足題意的動圓圓心軌跡是以為焦點，長軸長為的雙曲線的一支（左支）.故選：C.5．（23-24高二上·四川綿陽·期末）如圖，定圓的半徑為定長，是圓外一個定點，是圓上任意一點.線段的垂直平分線與直線相交于點，當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡是（

）

A．射線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓【答案】C【分析】連接、，由題意可得，所以，根據(jù)雙曲線的定義，即可得答案.【詳解】連接、，如圖所示：

因為為的垂直平分線，所以，所以為定值，又因為點在圓外，所以，根據(jù)雙曲線定義，點的軌跡是以、為焦點，為實軸長的雙曲線.故選：C.題型六雙曲線中的距離最值問題1．（23-24高二上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知雙曲線：的左焦點為，且是雙曲線上的一點，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，且，通過可求得最小值.【詳解】設(shè)，且，，又，又或，所以即的最小值為，當(dāng)點為雙曲線左頂點時取最小值.故答案為：.2．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知，雙曲線的左焦點為是雙曲線的右支上的動點，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．1【答案】D【分析】由雙曲線的定義得，由三角不等式得出，即可求解．【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，則，因為，而，所以，當(dāng)三點共線且在之間時等號成立，故的最大值是1．故選：D．3．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知點是雙曲線的上焦點，是下支上的一點，點是圓上一點，則的最小值是（

）A．7 B．6 C．5 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓的性質(zhì)和雙曲線的定義，即可求解.【詳解】由圓可化為，則，半徑為1，因為是的下焦點，則，由雙曲線定義可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時，取得最小值，即的最小值是.故選：B.4．（24-25高二上·河南南陽·期中）已知為曲線上任意一點，，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】運用雙曲線定義轉(zhuǎn)化，再結(jié)合三點位置關(guān)系分析即可.【詳解】由，得，所以為雙曲線的右支，為該雙曲線的左焦點．設(shè)右焦點為，則，所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)點在線段上時，等號成立，所以的最小值為．故選：D.5．若點在曲線上，點在曲線上，點在曲線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知兩圓圓心為雙曲線的兩個焦點，利用圓的幾何性質(zhì)以及雙曲線的定義可求得的最大值.【詳解】在雙曲線中，，，，易知兩圓圓心分別為雙曲線的兩個焦點，記點、，當(dāng)取最大值時，在雙曲線的左支上，所以，.故選：B.題型七雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解｜題｜技｜巧由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟（1）把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決問題的關(guān)鍵;（2）由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點位置,確定a,b的值;（3）由c2=a2+b2求出c的值,從而得到雙曲線的幾何性質(zhì).1．（24-25高二上·山西太原·期末）雙曲線的頂點坐標(biāo)為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可求解.【詳解】由雙曲線方程可知雙曲線焦點在軸上，，所以雙曲線的頂點坐標(biāo)為，.故選：B.2．（24-25高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）雙曲線的焦點到它的一條漸近線的距離為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出焦點坐標(biāo)與漸近線方程，代入點到直線的距離公式即可求解.【詳解】，，焦點坐標(biāo)為，，漸近線方程為，，所以焦點到漸近線的距離.故選：B.3．（25-26高二上·全國·單元測試）已知雙曲線經(jīng)過點，則的虛軸長為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】由題干得到雙曲線方程可求出虛軸【詳解】由點在雙曲線上，得，解得，即雙曲線方程為，所以，則的虛軸長為．故選：A4．若雙曲線C的實軸長與虛軸長之和為12，且虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線C的半焦距為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，半焦距為，由條件列方程可求，再根據(jù)關(guān)系求結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，半焦距為，由已知，，所以，，所以，故選：B5．已知點A為雙曲線的左頂點，點B和點C在雙曲線的左支上，若是等腰直角三角形，則的面積是（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】雙曲線的左頂點，設(shè)，根據(jù)圖形特征求出點坐標(biāo)，從而可求的面積.【詳解】由題意得，點B和點C在雙曲線的左支上，若是等腰直角三角形，由雙曲線的對稱性可得A為直角頂點，設(shè)，由對稱性有，則有，代入雙曲線方程，解得，，則有等腰直角三角形的斜邊，三角形的高，所以.故選：C.6．（多選題）已知雙曲線，為上四個動點，則四邊形的形狀可能為（

）A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形【答案】BD【分析】根據(jù)特例可判斷BD正誤，根據(jù)漸近線夾角可判斷AC正誤.【詳解】不妨令，軸；當(dāng)時，四邊形為等腰梯形，當(dāng)時，四邊形為矩形，故B，D正確；因為為等軸雙曲線，所以兩條漸近線之間的夾角為，故四邊形的對角線必不可能相互垂直，故A，C錯誤.故選：BD.7．（23-24高二下·上?！て谥校┰陔p曲線中，的取值范圍是．【答案】【分析】化簡雙曲線方程，求出值，即可得到答案.【詳解】由雙曲線，可得：，所以，則，故的取值范圍是，故答案為：8．直線過點與雙曲線有且只有一個交點，則這樣的直線有條．【答案】2【分析】結(jié)合雙曲線的頂點和漸近線及點位置，畫出對應(yīng)圖形即可得.【詳解】由雙曲線方程知：右頂點為，漸近線為，點在雙曲線的外部，如下圖所示，

所以，過點的直線與漸近線平行與雙曲線有且只有一個交點.故共有兩條直線滿足要求.故答案為：2題型八雙曲線的離心率問題解｜題｜技｜巧1、求雙曲線的離心率的方法（1）若可求得a,c,則直接利用e=ca（2）若已知a,b,可直接利用e=1+(b（3）若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r為常數(shù),且p≠0),則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2+q·e+r=0求解.2、構(gòu)造齊次方程(或不等式)求雙曲線的離心率(取值范圍)的一般方法根據(jù)條件及幾何圖形建立a,b,c滿足的關(guān)系式,化為a,c的齊次方程(或不等式),列式時常用b=c2-a2代替式子中的b,然后將方程(或不等式)兩邊同時除以a的n次方(一般除以a或a1．（24-25高二下·安徽安慶·期末）已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)漸近線方程可得，結(jié)合雙曲線可求離心率.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，，所以雙曲線的離心率為2.故選：D.2．（24-25高二下·浙江·階段練習(xí)）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理求出后可求離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，，，，其中為半焦距，由余弦定理得，故即，故離心率，故選：D.3．（25-26高二上·云南玉溪·階段練習(xí)）已知，是雙曲線：的兩個焦點，過點與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)通徑的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于是等邊三角形，故,由于通徑長，所以，故，進(jìn)而，故，即，故，故選：D

4．（24-25高二下·重慶·階段練習(xí)）過點作斜率為的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則雙曲線的離心率等于（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用點差法可得，從而可得答案.【詳解】設(shè)，則，兩式作差可得，即，所以，所以，所以離心率.故選：C5．（23-24高二上·貴州黔東南·期末）若直線與雙曲線有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合雙曲線的漸近線求離心率的取值范圍.【詳解】由題意：的斜率要小于雙曲線漸近線的斜率，所以.故選:：D6．（24-25高二上·江西上饒·階段練習(xí)）已知雙曲線，兩焦點分別為，過右焦點作直線交右支于點，且，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理求出的關(guān)系等式即可求得離心率.【詳解】因為，設(shè)，則，，因為，所以，因為，所以所以離心率為：故答案為：B.7．（24-25高二下·廣西貴港·期中）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，是上一點，且，，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】結(jié)合雙曲線的定義求得，再由余弦定理即可求解.【詳解】由題意得得，在中，由余弦定理得，得，則，得（負(fù)值舍去）．故選：C8．（24-25高二下·河南·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為上一點，滿足軸，且，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由題意可得，結(jié)合雙曲線定義可得，結(jié)合即可求得答案.【詳解】如圖P為上一點，滿足軸，則P在雙曲線左支上，將代入，可得，故，則，又，故，即，即，，則，故選：C9．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，線段的垂直平分線經(jīng)過點．記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，結(jié)合橢圓和雙曲線的定義得到，的關(guān)系式，根據(jù)的取值范圍，通過分析函數(shù)單調(diào)性可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，它們的公共焦距為，不妨設(shè)焦點在軸上，點在第一象限．點在線段的垂直平分線上，．由橢圓、雙曲線的定義得：，，，整理得，，即，，,其中.令則.∵當(dāng)時，，∴在單調(diào)遞增，，∴，即.故選：B.10．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線l與C交于A，B兩點，其中點A在第一象限，點B在第二象限，若是以為直角的等腰直角三角形，則C的離心率為（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再利用余弦定理可得，即可得離心率.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線定義可知，，則，又為等腰直角三角形，則，即，得，則，，在中，由余弦定理知，即，整理可得，所以，，故選：C.題型九雙曲線的漸近線問題解｜題｜技｜巧雙曲線漸近線求法（1）根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線的方法中，最簡單實用的就是把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中等號右邊的“1”改成“0”，就得到了雙曲線的漸近線方程．（2）依據(jù)條件求出，再結(jié)合焦點的位置求出漸近線方程的斜率，從而確定漸近線方程．（3）由于漸近線的斜率和離心率一樣都是一個比值，所以可依據(jù)條件提供的信息建立關(guān)于的等式，進(jìn)而求出漸近線的斜率，從而得解．1．（25-26高二上·全國·單元測試）直線是雙曲線的一條漸近線，則（

）A．1 B．4 C．16 D．18【答案】D【分析】根據(jù)漸近線的求法可直接求解.【詳解】令雙曲線方程等號右側(cè)的1變?yōu)?，可得雙曲線的漸近線方程為，又直線是雙曲線的一條漸近線，所以，解得．故選：D.2．（23-24高二上·重慶·期末）已知橢圓的左焦點是雙曲線的左頂點，則雙曲線的漸近線為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得其焦點坐標(biāo)，從而得到雙曲線的左頂點坐標(biāo)，再由其漸近線方程，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓焦距為，則，則，所以橢圓的左焦點為，所以雙曲線的左頂點為，所以，所以，所以雙曲線的漸近線為.故選：D3．點為等軸雙曲線的焦點，過作軸的垂線與的兩漸近線分別交于兩點，則的面積為（

）A． B．4 C． D．8【答案】B【分析】先求出雙曲線的方程，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程，即可求出兩點的坐標(biāo)，即可求出的面積.【詳解】設(shè)雙曲線為：，因為，解得：，所以雙曲線為：，則雙曲線的漸近線為：，所以，解得：，則，所以為等腰直角三角形，所以的面積為.故選：B.4．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知為雙曲線的左、右焦點，過的直線l與雙曲線的漸近線交于A、B兩點，滿足A，B均在y軸右側(cè)，且為正三角形，則雙曲線E的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由幾何關(guān)系得到，求出，從而得到方程，求出答案.【詳解】依題意，，根據(jù)對稱性可知，從而，不妨設(shè)A在第一象限，其中一條漸近線方程為，令得，則，故，故，可得漸近線方程為．故選：B5．（24-25高二上·浙江寧波·期末）已知雙曲線的左焦點為，一條漸近線方程為，過作這條漸近線的垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂直關(guān)系求得直線的方程，解得兩點坐標(biāo)即可求得比值.【詳解】設(shè)左焦點為根據(jù)題意可知，所以直線的方程為，如下圖所示：聯(lián)立，可得，同理聯(lián)立，可得，因此.故選：B6．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知雙曲線的左焦點為F，過點F的直線l垂直于雙曲線C的一條漸近線，并分別交兩條漸近線于A，B兩點（其中點A為垂足），且點A，B分別在第二、第三象限內(nèi).若，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先得到OA和OB的方程，設(shè)，根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到方程組，求出，由垂直關(guān)系可得斜率之積等于，求出，得到漸近線方程.【詳解】由題意可得，OA的方程為，OB的方程為，設(shè)，點A，B分別在第二、三象限內(nèi)，若，則，，，，，由可得，斜率之積等于，故，即，解得所以雙曲線C的漸近線方程為故選：A題型十直線與雙曲線的位置關(guān)系（含弦長和相切）解｜題｜技｜巧1、直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法直線與雙曲線的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種情況,其判定方法通常也是用Δ來解決.設(shè)直線方程為Ax+By+C=0(A,B不同時為0),雙曲線方程為x2a2-y①若m≠0,方程(*)為關(guān)于x的一元二次方程.當(dāng)Δ>0時,方程有兩解,則直線與雙曲線相交于兩點;當(dāng)Δ=0時,方程有一解,則直線與雙曲線相切;當(dāng)Δ<0時,方程無解,則直線與雙曲線相離.②若m=0,方程(*)為關(guān)于x的一次方程x=-qn2、雙曲線的弦長公式與直線和橢圓相交所得的弦的長度求法一樣,設(shè)直線y=kx+l與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則|AB|=1+k2|x1-x=1+k2·或|AB|=1+1k2|y1=1+1k21．（24-25高二上·浙江杭州·階段練習(xí)）若雙曲線與直線不相交，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合雙曲線的漸近線即可得解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因為雙曲線與直線不相交，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：B.2．（24-25高二上·上海·期中）直線與雙曲線只有一個交點，則實數(shù)的值為．【答案】或【分析】對直線是否與雙曲線漸近線平行分類討論，利用方程根的個數(shù)即可得出實數(shù)的值.【詳解】易知雙曲線的左、右頂點為，漸近線方程為；顯然直線過定點，當(dāng)直線與漸近線平行時，滿足題意，此時；當(dāng)直線與漸近線不平行時，此時，聯(lián)立，整理可得，因此，解得.綜上可得，實數(shù)的值為或.故答案為：或3．（2025高二上·全國·專題練習(xí)）若直線與雙曲線的右支有兩個交點，求k的取值范圍．【答案】【分析】本題是含參直線與雙曲線的右支有兩個交點，聯(lián)立方程列出不等式，求解參數(shù)的取值范圍.【詳解】聯(lián)立方程組消去y所得的方程為，由題意，設(shè)方程的兩根為，則解得或．所以k的取值范圍為．4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線，討論直線與這條雙曲線的交點的個數(shù)．【答案】答案見解析【分析】聯(lián)立直線和雙曲線方程，可得，討論等于0和不等于0，以及結(jié)合判別式判斷，即可得出結(jié)論.【詳解】由方程組，消去，可得（*），（i）當(dāng)，即時，方程（*）為，此時直線與雙曲線僅有一個交點．（ii）當(dāng)，即時，，①若，即且時，直線與雙曲線有兩個交點．②若，即時，直線與雙曲線只有一個交點．③若，即或時，直線與雙曲線沒有交點．由以上討論可知，當(dāng)且時，直線與雙曲線有兩個交點；當(dāng)或時，直線與雙曲線只有一個交點；當(dāng)或時，直線與雙曲線沒有交點．5．（24-25高二上·四川達(dá)州·期末）已知中心在坐標(biāo)原點的雙曲線的右焦點坐標(biāo)，且離心率.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程；(2)過雙曲線右焦點且傾斜角為的直線與雙曲線交于、兩點，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意可得的值，再由離心率，可得的值，進(jìn)而求出的值，由此可求出雙曲線的方程以及漸近線方程；（2）由題意得到直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式計算即可.【詳解】（1）由題意可得，可得，且焦點在軸上，所以，所以雙曲線的方程為：；漸近線的方程為：；（2）過雙曲線右焦點且傾斜角為的直線方程為：，聯(lián)立雙曲線方程可得：，所以，則.6．已知雙曲線的離心率為，且過點.(1)求的方程；(2)直線過且交于兩點，若弦的長度為的實軸長的兩倍，求的方程.【答案】(1)(2)或或【分析】（1）由離心率和所過點求出，寫出方程；（2）若直線斜率不存在，驗證；若直線斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立-消元-韋達(dá)定理，利用弦長公式求.【詳解】（1）因為雙曲線過，離心率為，所以，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知雙曲線的實軸長為2，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，設(shè)，則，所以，解得，由直線與雙曲線漸近線的位置關(guān)系可得此時直線與雙曲線有兩個交點；當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，符合題意.綜上所述，直線的方程為或或.7．雙曲線的左、右焦點分別是，，在雙曲線上．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過作直線與雙曲線交于點，若弦的長為42，求直線的方程．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）根據(jù)點在雙曲線上，結(jié)合雙曲線定義得出，結(jié)合焦點坐標(biāo)得出雙曲線方程；（2）先設(shè)直線方程，再聯(lián)立方程組應(yīng)用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理計算求參即可得出直線方程.【詳解】（1）因為雙曲線的左、右焦點分別是，，在雙曲線上，所以．所以，，．所以雙曲線的方程為．（2）若直線的斜率為0，則長度為6，不符合題意．當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)直線，與雙曲線聯(lián)立，得．當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，因為的長為42，，所以，解得或．所以直線的方程為或．

題型十一雙曲線中的面積問題1．（23-24高二上·黑龍江·期中）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線方程為，焦距為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點，直線l：交雙曲線C于A，B兩點，求的面積．【答案】(1)(2)12【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程和焦距，列方程組求出，得到雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與雙曲線聯(lián)立方程組，求出弦長，點到直線距離公式求出的高，可求面積．【詳解】（1）由題意得：，解得，，，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，聯(lián)立方程組消去y整理得，則，，，，原點到直線AB的距離，所以．2．（24-25高二上·陜西西安·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線右支（且不在坐標(biāo)軸上），(1)若雙曲線與橢圓有共同的焦點，且雙曲線過點，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件列方程，求出即可得出答案；（2）設(shè)，利用雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理，求得，再由求解【詳解】（1）橢圓的焦點為和，所以雙曲線的，所以，又雙曲線過點，所以，由，解得，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，由雙曲線的定義可得，在中，由余弦定理，得，所以，則的面積，

3．（24-25高二下·河南鶴壁·期末）已知雙曲線的左頂點為，右焦點為.過點且垂直于軸的直線與交于，兩點，其中位于第一象限，且.(1)求的方程；(2)過點且斜率為的直線與交于，兩點，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）直線的方程為，由已知可得，進(jìn)而求解即可得的方程；（2）求得，設(shè)，，與雙曲線聯(lián)立方程組可得，，根據(jù)，可求面積.【詳解】（1）由題可知，設(shè).因為直線與軸垂直，所以直線的方程為，與的方程聯(lián)立得，由，可知是等腰直角三角形，所以，即，解得（負(fù)值舍去），所以，所以的方程為.（2）由（1）可得，，由得，設(shè)，，且，則，.所以.由（1）可得，，又，所以.4．已知雙曲線的離心率為，點在雙曲線上，過的左焦點的直線與的左支相交于兩點，且分別交的兩條漸近線于兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)若是坐標(biāo)原點，，求的面積．【答案】(1)(2)32【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而可得；（2）當(dāng)時，易知，不合題意，當(dāng)時，聯(lián)立直線方程和漸近線方程可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而由可得，進(jìn)而可得.【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，且點在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為（2）設(shè)，由（1）可知雙曲線C的左焦點為，漸近線方程為，所以可設(shè)直線的方程為，當(dāng)時，易知，不合題意，故．由，得，其中，所以，，解得（舍去）或，所以，故．5．（24-25高二上·河北滄州·期末）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，漸近線方程為，點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線經(jīng)過點，且與雙曲線相交于兩點，若的面積為3，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）依據(jù)給定條件和雙曲線中基本量的關(guān)系求解基本量，得到標(biāo)準(zhǔn)方程即可.（2）依據(jù)題意設(shè)出直線方程，再結(jié)合題意用單一變量表示出三角形面積，建立方程，求解參數(shù)，得到直線方程即可.【詳解】（1）由題意可得，，點到漸近線的距離，且，解得，，，所以雙曲線的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率不為0，如圖，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立消去，得，由解得，則所以，所以的面積，，由的面積為3，得，整理得，解得，所以，所以直線的方程為或.題型十二雙曲線中的中點弦問題解｜題｜技｜巧設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因為是弦的中點，所以：所以1．（24-25高二上·黑龍江雞西·期中）若雙曲線的弦被點平分，則此弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點差法可得直線斜率，進(jìn)而可得直線方程.【詳解】設(shè)弦端點，，由，在雙曲線上，則，兩式做差可得，即，又弦被點平分，則，代入上式可得，則，即直線方程為，化簡可得，故選：D.2．（24-25高二上·江蘇常州·期中）已知雙曲線，過點的直線與雙曲線交于兩點，若線段的中點是，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用“點差法”得到，結(jié)合條件得到，即可求解.【詳解】設(shè)，因為點在雙曲線上，則，兩式相減可得，整理可得，又線段的中點是，則，所以，又直線過點，得到，所以，得到，故選：C.3．（25-26高二上·全國·單元測試）已知A，B為雙曲線上的兩點，且A，B關(guān)于直線對稱，則線段AB中點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)線段AB的中點為，利用點差法即可得到直線OM的方程，再與直線聯(lián)立即可得到中點坐標(biāo).【詳解】由題意可知直線的斜率，可知直線AB的斜率．設(shè)，線段AB的中點為，則，可得，．因為A，B為雙曲線上的兩點，所以，兩式相減整理得，，即，解得，所以直線，因為線段AB的中點在直線上，又在直線OM上，故兩直線交點即為中點，聯(lián)立，解得，可知線段AB中點的坐標(biāo)為．故答案為：.4．（24-25高二上·甘肅蘭州·期末）設(shè)為雙曲線上兩點，如下三個點：中，可作為線段中點的是.（請將所有滿足條件的點填入）【答案】（寫也可以）【分析】根據(jù)給定條件，利用點差法列式，再將的坐標(biāo)代入并求出對應(yīng)的直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立驗證得解.【詳解】設(shè)，則線段的中點坐標(biāo)為，直線的斜率，由在雙曲線上，得，兩式相減可得，因此，對于，得，此時，此時直線的方程為，即，由，消去得，此時，即直線與雙曲線沒有交點，不符合題意；對于，得，此時，此時直線的方程為，即，由，消去得，此時，直線與雙曲線沒有交點，不符合題意；對于，得，此時，此時直線的方程為，即，聯(lián)立，消去可得，此時，所以直線與雙曲線有兩個交點，符合題意，所以可作為線段中點的是.故答案為：5．（23-24高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知點是離心率為的雙曲線上的三點,直線的斜率分別是點分別是線段的中點,為坐標(biāo)原點，直線的斜率分別是.若則【答案】3【分析】設(shè)點，作差，計算得出結(jié)合離心率為，求得同理求得代入問題計算即可.【詳解】因為雙曲線的離心率為所以不妨設(shè)因為點在上，所以兩式相減,得,因為點是的中點，所以,,所以即所以同理因為所以故答案為：3.題型十三雙曲線中的定值、定點問題1．（24-25高二下·廣西南寧·期末）已知雙曲線的離心率為，點在雙曲線上．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與雙曲線交于點，其中點在第二象限．①求；②已知雙曲線的左、右頂點分別為，設(shè)直線的斜率分別為，求的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)點在雙曲線上結(jié)合離心率計算得出，即可得出雙曲線方程；（2）①聯(lián)立直線和雙曲線方程得出韋達(dá)定理即可得出弦長；②應(yīng)用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理計算求出定值.【詳解】（1）因為點在雙曲線上，所以．離心率為，解得．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①設(shè)．聯(lián)立得，則．故．②．由題意得點都在雙曲線的左支上，且點在第二象限，所以，則．故．2．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線方程為，點P（2，1）是C上一點，過點P作斜率分別為，的兩條直線，，且直線與C交于另一點A，直線與C交于另一點B．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，證明：直線AB與y軸的交點為定點，并求出定點坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)點以及漸近線方程列出關(guān)于的方程組即可；（2）先討論直線斜率不存在時，根據(jù)得出矛盾，再設(shè)直線AB：，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)得出，即可求出定點.【詳解】（1）由題知，，且，，得，，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，點A，B關(guān)于x軸對稱，設(shè)，，則由，得，即，解得，不符合題意，所以直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB：，代入雙曲線方程，化簡得，設(shè)，則，，，，則，整理得，所以，整理得，即，所以或．當(dāng)時，直線AB的方程為，經(jīng)過y軸上的定點；當(dāng)時，直線AB的方程為，經(jīng)過定點，不符合題意．綜上，直線AB與y軸的交點為定點，且定點坐標(biāo)為．3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知雙曲線的左頂點為，離心率為3，是上的兩點.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段的中點為，求直線的方程；(3)若（不在直線上），證明：直線過定點.【答案】(1)(2).(3)證明見解析【分析】（1）利用離心率公式和雙曲線的關(guān)系得到雙曲線方程；（2）根據(jù)點差法結(jié)合線段中點坐標(biāo)解得直線的斜率，從而解得答案；（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消元得到通過韋達(dá)定理有，，結(jié)合，化簡得，解得或，當(dāng)和時，分別分析直線的方程，進(jìn)而求得定點；【詳解】（1）因為，，所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為·（2）設(shè)，，根據(jù)題意易得.因為是上的兩點，所以兩式相減得，即因為，所以所以直線的方程為經(jīng)檢驗，此時直線與雙曲線C有兩個交點，滿足題意，則直線的方程為.（3）證明：依題意可設(shè)直線的方程為.由，得則，，，由（2）知，因為，所以即即即，得，解得或.當(dāng)時，直線，直線過點，不符合題意，舍去；當(dāng)時，直線，滿足，則直線過定點故直線過定點4．（24-25高二上·安徽黃山·期末）已知雙曲線的離心率為，分別為其左、右頂點，點在上.為直線上的動點，與雙曲線的另一交點為，與雙曲線的另一交點為．(1)求雙曲線的方程；(2)證明：直線過定點.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組求解即可；（2）設(shè)，由已知條件分別求出點的坐標(biāo)，設(shè)定點為，再由共線向量的坐標(biāo)表示列式計算即得.【詳解】（1）由題意得，，，，解得，故雙曲線的方程為.（2）由（1）知，雙曲線的左頂點，右頂點，設(shè)直線上的動點，于是直線的斜率，直線的方程為，由得，，，設(shè)，則，則，，故，直線的斜率，直線的方程為，由，得，，設(shè)，則，，，則，由雙曲線的對稱性知，若直線過定點，則定點必在軸上，不妨設(shè)這個定點為，則，，因，則，當(dāng)時，整理得，解得，則直線過點，當(dāng)時，直線與軸重合，直線也過點，所以直線經(jīng)過定點.5．（24-25高二上·河北滄州·期末）已知，分別是雙曲線的左，右頂點，，點是上一點．過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點．(1)求的方程；(2)若的斜率為1，求；(3)若直線，的斜率分別為，，證明：是定值．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)左右頂點的距離得到，然后根據(jù)點在曲線上列方程得到，即可得到雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式計算；（3）聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用斜率公式和韋達(dá)定理計算即可證明.【詳解】（1）

解：由，可得，解得，點是上一點，所以，解得，所以的方程為．（2）解：的方程為，聯(lián)立即，設(shè)，，則，，所以弦長．（3）證明：設(shè)，，，易知，，直線與雙曲線聯(lián)立得，所以所以，故是定值．【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題，往往需聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元并結(jié)合韋達(dá)定理，運用弦長公式、點到直線距離公式、斜率公式、向量數(shù)量積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，結(jié)合已知條件得出結(jié)果.6．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知雙曲線的焦距與圓M:：的直徑相等，且圓的圓心在C的一條漸近線上.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是軸上不與原點重合的不同的兩點，且兩點的橫坐標(biāo)互為倒數(shù)，點為的下頂點，若直線與的另一個交點的橫坐標(biāo)為，直線與的另一個交點的橫坐標(biāo)為，是否為定值?若為定值，求出此定值；若不為定值，請說明理由.【答案】(1)；(2)是定值，該定值為.【分析】（1）求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑大小，由條件列方程求，由此可得雙曲線方程；（2）先確定直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求直線與雙曲線的方程求，同理可求，再求的坐標(biāo)，由此可求.【詳解】（1）方程可化為所以圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，設(shè)雙曲線的焦距為，由已知可得，故，雙曲線的漸近線方程為，，因為在漸近線上，所以，所以，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）設(shè)直線與雙曲線的另一個交點為，直線與雙曲線的另一個交點為，若的斜率不存在，則為原點，與條件矛盾，故直線的斜率存在，由（1）曲線的方程為，又點為的下頂點，故，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得，由已知，，故或，所以，若的斜率不存在，則為原點，與條件矛盾，故直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得，由已知，，故或，所以，直線與軸的交點坐標(biāo)為，即的坐標(biāo)為，直線與軸的交點坐標(biāo)為，即的坐標(biāo)為，由已知，所以，所以，所以的值為定值，且.期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：120分鐘）1．（24-25高二下·湖北武漢·期末）已知雙曲線，焦距為10，則實軸長為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線中的關(guān)系式，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意得：，，，聯(lián)立可解得：，即實軸長為故選：C.2．（24-25高二上·廣東深圳·期末）若直線為雙曲線的一條漸近線，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程的概念直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，所以.故選：B3．（24-25高二上·浙江·階段練習(xí)）已知雙曲線的方程是，它的兩個焦點分別是與是雙曲線上的一點，且，則的值為（

）A．1 B．13 C．1或13 D．4或10【答案】B【分析】根據(jù)題意，由條件可得是雙曲線左支上的點，再由雙曲線的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，則，則，所以點是雙曲線左支上的點，由雙曲線的定義可得，所以.故選：B4．（24-25高二上·山東濰坊·期末）已知雙曲線的漸近線方程為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)漸近線方程可得，即可根據(jù)離心率公式求解.【詳解】由題知，雙曲線的焦點在軸上，由于漸近線方程為，故，故離心率為，故選：B5．已知雙曲線的右焦點為F，過點F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】先設(shè)出漸近線方程，再利用基本量的關(guān)系得到，最后結(jié)合點到直線的距離公式求解即可.【詳解】不妨取的一條漸近線的方程為，又，且由雙曲線中基本量的關(guān)系得，則由點到直線的距離公式得．故選：A．6．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知點，動點滿足，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的定義可知，動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，利用待定系數(shù)法求軌跡方程.【詳解】，，又動點滿足，動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線方程為，則有，動點的軌跡方程為．故選：A．7．若橢圓C：的焦點和頂點分別是雙曲線E的頂點和焦點，則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由橢圓的方程先求出雙曲線的焦點和頂點坐標(biāo)，再結(jié)合即可求解.【詳解】由橢圓可得，，，且焦點在y軸上，可知橢圓的長軸頂點為，焦點為，所以雙曲線的焦點為，頂點為，設(shè)雙曲線方程為，可得，，則，所以雙曲線的方程為.故選：A.8．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，炮彈爆炸點一定在曲線（

）的方程上.A． B．C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)炮彈爆炸點為，由題意可知：，顯然點的軌跡是以A，B的焦點的雙曲線，因此有，可得：，于是有，根據(jù)四個選項可知，只有選項D符合，故選：9．（23-24高二上·湖南邵陽·期末）若方程表示曲線C，則下列說法正確的是（

）A．若，則曲線C為橢圓B．若曲線C為雙曲線，則C．曲線C不可能是圓D．若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則【答案】D【分析】根據(jù)橢圓，雙曲線，圓以及焦點在x軸上的橢圓對方程結(jié)構(gòu)的要求，建立不等式組求之即得.【詳解】對于A項，方程表示橢圓等價于，解得：，故A項錯誤；對于B項，方程表示雙曲線等價于，解得：或，故B項錯誤；對于C項，方程表示圓，等價于解得：,故C項錯誤；對于D項，方程表示焦點在x軸上的橢圓等價于，解得：，故D項正確.故選：D.10．（24-25高二上·四川綿陽·期中）已知，，直線相交于點，且直線與直線的斜率之積為1，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)點,根據(jù)題意建立方程，化簡即得點的軌跡方程，同時要注意條件的滿足即得.【詳解】設(shè)點，則，化簡即得：.即點的軌跡方程為：.故選：B.11．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知直線的方程為，雙曲線的方程為若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，利用判別式結(jié)合韋達(dá)定理可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，有，得，因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，故，解得，故選：D.12．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，則直線的斜率為(

)A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】利用點差法計算即可.【詳解】設(shè)，則有，化簡得，即.故選：B13．若直線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直線與雙曲線無公共點可得，然后即可求出的范圍【詳解】雙曲線的一條漸近線為，因為直線與雙曲線無公共點，故有，即，，所以，所以.所以的范圍為故選：A14．（24-25高二上·陜西安康·期末）已知雙曲線的左，右焦點分別為，第一象限內(nèi)的點在上，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】求出，，根據(jù)雙曲線定義得到關(guān)于a，c的方程，求出.【詳解】由題意得，故，，由題意結(jié)合雙曲線定義知，故.故選：B15．（24-25高二下·湖南·期中）已知分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理可得，由雙曲線的定義可求得，，在中應(yīng)用余弦定理可得，由即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，，又，，所以，所以，所以，所以.故選：.16．（24-25高二上·云南昆明·期末）與圓及圓都外切的圓的圓心軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．雙曲線的一支【答案】D【分析】先判斷兩圓外離，根據(jù)圓M與圓及圓都外切，可得，再根據(jù)雙曲線的定義可得答案.【詳解】設(shè)所求圓的半徑為，圓心為，圓的圓心，半徑，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則圓心，半徑，因為，所以兩圓相離，因為圓M與圓及圓都外切所以，兩式相減得，所以圓心在雙曲線的一支上.故選：D.17．（24-25高二上·廣東廣州·期末）過雙曲線的一個焦點作一條漸近線的垂線，垂足為點，直線與另一條漸近線相交于點，若是線段的中點，則雙曲線的漸近線為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合雙曲線和漸近線的對稱性、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由對稱性，不妨設(shè)，另一個焦點為，連接，也不妨設(shè)l與漸近線垂直，垂足為點A，與交于點B，因為A是線段FB的中點，且l與垂直，所以，因此三角形是等腰三角形，因此，則由對稱性可知，，又，所以有，因此由對稱性可知漸近線的斜率，則雙曲線的漸近線方程為.故選：C.18．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）已知雙曲線:的右焦點為，點P在C的右支上，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值即可.【詳解】由題知，，，所以，設(shè)雙曲線的左焦點為，則，，因為點P在C的右支上，由雙曲線的定義知，所以,當(dāng)三點共線時取等號，所以的最小值為.故選：D.19．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知定點，是圓上任意一點，點關(guān)于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡方程是（

）A．7 B．C．. D．【答案】B【分析】按點在軸左右分類探討可得，再利用雙曲線定義求出方程.【詳解】如圖，當(dāng)點在軸左側(cè)時，連接，由點關(guān)于點的對稱點為，得是線段中點，而點是線段的中點，則，由為線段的垂直平分線，得，

于是，當(dāng)點在軸右側(cè)時，同理，則，所以點的軌跡是以為焦點，實軸長為2的雙曲線，對應(yīng)的方程為.故選：B20．（24-25高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，過雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)，得到，再由雙曲線的定義，以及圓的切線性質(zhì)，即可得到結(jié)論．【詳解】由雙曲線，可得，則且，設(shè)是雙曲線的右焦點，連接，因為分別為的中點，，在直角中，可得，又由雙曲線的定義，可得，所以.故選：A.21．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）設(shè)是橢圓與x軸的兩個交點，是橢圓上垂直于的弦的端點，則直線與交點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先設(shè)出和根據(jù)三點共線得到兩組等式，左右兩邊相乘后利用點在橢圓上，代入消元即得點的軌跡方程.【詳解】如圖，設(shè)直線與的交點為，則∵共線，故①，又∵共線，故②.由①，②兩式相乘得（*）,因在橢圓上，則，可得：將其代入（*）式，即得：，化簡得：，即P的軌跡方程為.故選：C.22．（24-25高二下·重慶·期中）設(shè)，是雙曲線C：（，）的左，右焦點，O是坐標(biāo)原點.過作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點到線的距離公式可得焦點到漸近線的距離為，由勾股定理可得，根據(jù)，利用余弦定理可得，再結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線為，即，點到漸近線的距離為，所以，在中，，因為，所以，所以，因為，所以，整理可得，所以.故選：.23．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與的右支交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】連接，根據(jù)直線的斜率有，從而得到，.設(shè)，則，根據(jù)雙曲線定義，在和中，由余弦定理得①.②.兩式結(jié)合得，計算離心率即可.【詳解】如圖，連接，因為直線的斜率為，所以，結(jié)合，所以，.設(shè)，則，因為，，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得①.在中，由余弦定理得，即，整理得②.由①②可得，即，所以的離心率為.故選：B.24．（24-25高二上·河南鄭州·期中）已知雙曲線的左?右焦點分別為，若在上存在點（不是頂點），使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)與軸交點為，連接，由雙曲線的定義和對稱性，結(jié)合已知條件得，有且，可求離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)與軸交點為，連接，由對稱性可知，又因為，所以，所以，又因為，所以，在中，，所以，所以，由，且三角形內(nèi)角和為，所以，所以，即，則，綜上：.故選：.25．（24-25高二下·河北張家口·開學(xué)考試）已知等軸雙曲線過點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】設(shè)出雙曲線的方程，代入雙曲線的方程，求得參數(shù)的值，即可得到雙曲線的方程【詳解】因為雙曲線是等軸雙曲線，所以可設(shè)雙曲線的方程為，將點代入，可求得，所以所求雙曲線的方程為，即為，故答案為：.26．（24-25高二上·云南昭通·期中）若是雙曲線的兩個焦點，為坐標(biāo)原點，點在雙曲線上，且，離心率為，則的面積為.【答案】4【分析】由題意，易知為直角三角形，根據(jù)勾股定理和雙曲線的定義計算可得，結(jié)合三角形的面積公式計算即可求解.【詳解】雙曲線中，解得，所以，得，所以，故為直角三角形，得，由雙曲線的定義知，所以，得，所以.故答案為：427．（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）已知直線與雙曲線交于，兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】設(shè)，，利用點差法結(jié)合中點坐標(biāo)公式和離心率的定義求解即可.【詳解】設(shè)，，可得，，兩式相減可得，點是弦的中點，且直線，可得，，，即有，即，，，故雙曲線的離心率為.故答案為：2.28．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知直線與雙曲線有且僅有一個公共點，則實數(shù)的取值為．【答案】或【分析】聯(lián)立直線與雙曲線的方程組，通過消元，利用方程解的個數(shù)，求出的值即可【詳解】因為雙曲線的方程為，所以漸近線方程為；由，消去整理得．當(dāng)即時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，此時直線與雙曲線相交于一點，符合題意；當(dāng)即時，由，解得，此時直線雙曲線相切于一個公共點，符合題意，綜上所述：符合題意的所有取值為或，故答案為：或.29．設(shè)是雙曲線上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為，最小值為．【答案】9【分析】先求得雙曲線的兩個焦點坐標(biāo)，可知為已知圓的圓心，判斷出取最大時，點在雙曲線的左支或右支上，結(jié)合雙曲線的定義和圓外一點與圓上一點距離的最值性質(zhì)，即可求得所求最值.【詳解】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，則點為圓的圓心，點為圓的圓心，連接，．當(dāng)點在雙曲線的左支上時（如圖），由雙曲線的定義，可得，由圓的幾何性質(zhì)，得，，所以，即，此時的最大值為9，最小值為3．同理可得，當(dāng)點在雙曲線的右支上時，的最大值為，最小值為．綜上，的最大值為9，最小值為．故答案為：，30．（24-25高二上·江蘇南通·期末）雙曲線的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與C在第一象限相交于點若直線的斜率為，的面積為8，則雙曲線C的方程為.【答案】【分析】由、直線的斜率為得，再由的面積為8，解得、，由雙曲線的定義求出、勾股定理求出可得答案.【詳解】因為以為直徑的圓與C在第一象限相交于點P，所以在中，由直線的斜率為，得，即由的面積為8，根據(jù)三角形面積公式，將代入上式，可得，即，解得，由雙曲線的定義知，故在中，，即，故，即所以，所以雙曲線C的方程為故答案為：31．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知雙曲線的離心率為，且過點，過雙曲線的右焦點，作傾斜角為的直線交雙曲線于A，B兩點，為坐標(biāo)原點.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)求的面積.【答案】(1)；(2)36【分析】（1）由離心率的定義，點在雙曲線上，雙曲線的性質(zhì)列方程組解得雙曲線方程，再求出漸近線方程即可；（2）由點斜式得到直線方程，再聯(lián)立曲線方程得到韋達(dá)定理，然后結(jié)合三角形的面積公式和弦長公式求出即可；【詳解】（1）由題意可得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為.（2）由（1）可得，所以直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去可得，則，，，所以，所以的面積為36.32．（24-25高二上·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，點滿足，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點的直線與交于，兩點，且的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求解；（2）設(shè)直線的方程為，，，直線方程代入雙曲線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后由可求得值得直線方程．【詳解】（1）因為，由雙曲線定義可知的軌跡為雙曲線的右支，設(shè)實軸長為，焦距為，虛軸長為，，，所以的軌跡方程為；（2）設(shè)直線的方程為，，，由化簡得，則，，，，，，，或.，，，，所以的方程為．33．（25-26高二上·全國·單元測試）已知雙曲線的實軸長為，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點作斜率為1的直線l，l與雙曲線交于A，B兩點，求｜AB｜；(3)若是坐標(biāo)原點，M，N是雙曲線上不同的兩點，且直線MN的斜率為2，線段MN的中點為，求直線OP的斜率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可得，則．將點的坐標(biāo)代入，求出即可；（2）由（1）求出焦點坐標(biāo)，從而求出直線的方程為，將其與雙曲線方程聯(lián)立，通過韋達(dá)定理，弦長公式求解即可；（3）用點差法，設(shè)，，則兩式相減后整理得即，即，即可求出直線OP的斜率.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，則．將點的坐標(biāo)代入，得，解得，故雙曲線的方程為．（2）由（1）得，即，則，則直線的方程為．設(shè)，由得，，所以．（3）設(shè)，則兩式相減得．設(shè)，則所以，即，所以，即，所以直線OP的斜率．

34．（23-24高二上·全國·期末）已知雙曲線C：的右頂點為，焦點到漸近線的距離為.(1)求C的方程；(2)點M，N在C的右支上，若直線AM與AN的斜率的乘積為-9，求證：直線MN過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由右頂點求出，由焦點到漸近線的距離求出，可求C的方程；（2）直線MN方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，由直線AM與AN的斜率的乘積為-9，利用韋達(dá)定理，求出的值，可得直線MN過定點.【詳解】（1）雙曲線C：的右頂點為，得，設(shè)其中一個焦點，雙曲線一條漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離，所以雙曲線C的方程為.（2）設(shè)直線MN方程為，.由得，，且，.因為，即，整理得，所以·，因為直線MN不過，所以，所以，，解得，所以直線MN恒過定點.35．（24-25高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知為雙曲線：的左頂點，為雙曲線的右焦點，.斜率不為零的直線過點，且與雙曲線交于，兩點.設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，定值為.【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計算，即可證明.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）是定值.證明如下：設(shè)，.因為直線過點，所以直線的斜率存在.設(shè)直線：，由得，由題意得且，得，，，.因為為雙曲線的左頂點，所以，，，所以，故是定值，該定值為.36．（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線過點，漸近線方程為.(1)求雙曲線的方程；(2)直線過點，與雙曲線交于兩點.①若直線，求的面積；②在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)①；②存在，【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求解即可；（2）①寫出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出弦長和點到的距離即可；②設(shè)，，當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，表示并化簡得，根據(jù)為常數(shù)得出時；再驗證當(dāng)直線斜率時也滿足即可.【詳解】（1）因為點在雙曲線上，得又因為漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線的方程為.（2）①直線斜率為，故直線的方程為，代入雙曲線得，，所以，又點到的距離為，故的面積為.②設(shè)，，當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)，代入雙曲線得，，，所以，若為常數(shù)，則為常數(shù)，設(shè)為常數(shù)，則對任意的實數(shù)恒成立，，所以，所以，此時.當(dāng)直線斜率時為，對于所以，解得或（舍），所以在軸上存在定點，使得為定值.期中重難突破練（測試時間：60分鐘）1．（24