3/3拓展03圓錐曲線二級(jí)結(jié)論秒殺選填題（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律通徑公式掌握橢圓、雙曲線、拋物線的通徑公式.基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題或者大題第一問(wèn)雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為b理解雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，會(huì)自己推導(dǎo).基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題或者大題第一問(wèn)橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式理解橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式，會(huì)自己推導(dǎo).高頻易錯(cuò)點(diǎn)，注意識(shí)記公式中點(diǎn)弦公式（點(diǎn)差法）掌握利用點(diǎn)差法推導(dǎo)橢圓、雙曲線、拋物線的中點(diǎn)弦公式.基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題或者大題第一問(wèn)離心率秒殺公式掌握橢圓、雙曲線的離心率秒殺公式.重難必考點(diǎn)，記住公式使用的條件橢圓的焦半徑秒殺公式理解橢圓的焦半徑公式.重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題壓軸雙曲線的焦半徑秒殺公式理解雙曲線的焦半徑公式.重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題壓軸拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦秒殺公式理解拋物線的焦半徑公式，會(huì)自己推導(dǎo).高頻易錯(cuò)點(diǎn)，常出現(xiàn)在多選題壓軸知識(shí)點(diǎn)01通徑1、通徑的定義（1）焦點(diǎn)弦過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的直線交圓錐曲線于兩點(diǎn)，則稱線段為圓錐曲線的焦點(diǎn)弦.（2）通徑與圓錐曲線的對(duì)稱軸垂直的焦點(diǎn)弦叫做該圓錐曲線的通徑.2、通徑的性質(zhì)【性質(zhì)1】橢圓和雙曲線通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)為.【性質(zhì)2】橢圓和雙曲線的通徑長(zhǎng)為，拋物線的通徑長(zhǎng)為.性質(zhì)1、性質(zhì)2的證明：①如圖1，不妨設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)，且在第一象限，把，代入橢圓方程，得到，，，進(jìn)一步可得通徑長(zhǎng).若過(guò)左焦點(diǎn)，同理可得通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)為.②對(duì)于雙曲線，證明過(guò)程同橢圓.③對(duì)于拋物線，如圖2，把，帶入拋物線方程得到，，通徑.知識(shí)點(diǎn)02焦點(diǎn)三角形1、橢圓焦點(diǎn)三角形的面積為（為焦距對(duì)應(yīng)的張角）證明：設(shè)．2、雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面積為（為焦距對(duì)應(yīng)的張角）知識(shí)點(diǎn)03中點(diǎn)弦問(wèn)題（點(diǎn)差法）秒殺公式1、若橢圓與直線交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且與斜率存在時(shí)，則；（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，若過(guò)橢圓的中心，為橢圓上異于任意一點(diǎn)，（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，下述證明均選擇焦點(diǎn)在軸上的橢圓來(lái)證明，其他情況形式類似．直徑問(wèn)題證明：設(shè)，，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以有．兩式相減得，所以．中點(diǎn)弦問(wèn)題證明：設(shè)，，則橢圓兩式相減得．2、雙曲線中焦點(diǎn)在軸上為，焦點(diǎn)在軸上為，3、設(shè)直線與拋物線相交所得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則知識(shí)點(diǎn)04離心率秒殺公式1、橢圓（1）已知橢圓方程為,兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,,則橢圓的離心率（2）以橢圓兩焦點(diǎn)及橢圓上任一點(diǎn)(除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)外)為頂點(diǎn),則（3）點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),過(guò)的弦與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),注:或者而不是或2、雙曲線（1）已知雙曲線方程為兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,則（2）以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)及雙曲線上任意一點(diǎn)除實(shí)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外)為頂點(diǎn)的,則離心率（3）點(diǎn)是雙曲線焦點(diǎn),過(guò)弦與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為為直線斜率,,則,當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),注:或者而不是或（4）已知雙曲線方程為的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與漸近線垂直的直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn).情形1.如圖1.若,則圖1圖2如圖2.若，則知識(shí)點(diǎn)05橢圓、雙曲線中的焦點(diǎn)弦、焦半徑公式1、橢圓的焦半徑和焦點(diǎn)弦公式【焦半徑形式1】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上任意點(diǎn)，則橢圓的焦半徑和可按下面的公式計(jì)算：（1）；（2）（記憶：左加右減）【焦半徑形式2】橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F，P為橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則橢圓的焦半徑，若延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)Q，則橢圓的焦點(diǎn)弦.【焦半徑形式3（過(guò)右焦點(diǎn)）】：過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于,(其中在軸上方),記直線的傾斜角為(即為直線與軸正方向所成的角),有以下性質(zhì):①焦半徑的表示坐標(biāo)形態(tài):,角參形態(tài):,；②過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,此時(shí)稱為“通徑”③焦半徑之比.2、雙曲線的焦半徑和焦點(diǎn)弦公式【焦半徑形式1】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為雙曲線任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦半徑和可按下面的公式計(jì)算：（1）；（2）（記憶：左加右減）【焦半徑形式2】雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)，則雙曲線的焦半徑，若直線交雙曲線于另一點(diǎn)Q，則雙曲線的焦點(diǎn)弦.（焦半徑公式中取“+”還是取“－”由P和F是否位于y軸同側(cè)決定，同正異負(fù)）【焦半徑形式3（過(guò)右焦點(diǎn)）】雙曲線焦半徑：過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于,(其中在軸上方),記直線的傾斜角為(即為直線與軸正方向所成的角),有以下性質(zhì):①焦半徑的表示坐標(biāo)形態(tài):,；角參形態(tài):,②焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的表示角參形態(tài):；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,此時(shí)稱“通徑”③焦半徑之比知識(shí)點(diǎn)06拋物線中的焦點(diǎn)弦、焦半徑公式1、拋物線中焦半徑焦點(diǎn)弦三角形面積秒殺公式已知傾斜角為直線的經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，則①.②.③,.2、過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式①拋物線的焦點(diǎn)為F，是過(guò)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：.②一般地，如果直線恒過(guò)定點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，那么.③若恒過(guò)定點(diǎn).3、拋物線中以焦半徑焦點(diǎn)弦為直徑的圓相切問(wèn)題設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．②以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.題型一通徑公式解｜題｜技｜巧橢圓和雙曲線的通徑長(zhǎng)為，拋物線的通徑長(zhǎng)為.1．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線上，滿足，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·全國(guó)·期中）已知點(diǎn)A，B分別是橢圓的右、上頂點(diǎn)，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰好為左焦點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·湖北武漢·期中）已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為.4．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則以F為圓心，AB為直徑的圓的方程是．5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是．題型二雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為b1．等軸雙曲線C過(guò)點(diǎn)，則雙曲線C的右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為（

）A． B．2 C． D．2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知F是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)F到的兩條漸近線的距離之積等于，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．33．（24-25高二上·河北石家莊·期末）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線E的一條漸近線的垂線，垂足為P，若為焦距，設(shè)雙曲線E的離心率為e，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C的漸近線上，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為，，則C的方程為（

）A． B．C． D．題型三橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式解｜題｜技｜巧1、橢圓焦點(diǎn)三角形的面積為（為焦距對(duì)應(yīng)的張角）2、雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面積為（為焦距對(duì)應(yīng)的張角）1．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分別是雙曲線C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且滿足，則的面積是（

）A．1 B． C．3 D．2．（24-25高二上·河南駐馬店·期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，且的面積等于8，則（

）A． B．2 C． D．43．（25-26高二上·山西呂梁·月考）已知是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的面積是.4．（25-26高二上·云南玉溪·月考）設(shè)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上點(diǎn)滿足，記的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別是、，則的值為．題型四中點(diǎn)弦公式（點(diǎn)差法）1．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率為1的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖北·期末）已知雙曲線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3．（25-26高二上·江蘇連云港·月考）若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·廣東深圳·月考）已知中心在原點(diǎn)，半焦距為4的橢圓被直線方程截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·甘肅·期末）已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，則．6．橢圓的動(dòng)弦所在直線的斜率為2，則中點(diǎn)的軌跡方程是．題型五離心率秒殺公式1．已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與x軸垂直，，則E的離心率為（）A. B. C. D.22．（24-25高二上·重慶銅梁·月考）若是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線交于兩點(diǎn)（為垂足，在線段上），且滿足，則該雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．3．設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為_______.題型六橢圓的焦半徑秒殺公式1．（24-25高二上·江蘇南通·月考）如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與過(guò)的直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線與的交點(diǎn)（第一象限）在橢圓上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．（0，1）2．（多選題）已知橢圓：（）的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，斜率為正的直線過(guò)點(diǎn)，交橢圓的上半部分于點(diǎn)．若橢圓上存在點(diǎn)，使得且，則橢圓的離心率可能為（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，若點(diǎn)在橢圓上，則滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．4．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則．5．若直線：（其中）與圓相切，與橢圓：交于點(diǎn)，，為其右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為.6．已知橢圓方程為：，為橢圓過(guò)右焦點(diǎn)的弦，則的最小值為．題型七雙曲線的焦半徑秒殺公式1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作一條傾斜角為30°的直線與雙曲線C在第一象限交于點(diǎn)M，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．2．已知雙曲線的右支上的點(diǎn)，滿足，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線的同一支于兩點(diǎn)，若，則.4．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)．題型八拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦秒殺公式1．已知斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且從上到下與依次交于兩點(diǎn)，，則（

）A． B．2 C． D．32．（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，在上的射影分別為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切B．C．D．若，則直線的斜率為3．（23-24高二下·湖北·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是：（

）A．以為直徑的圓與軸相切 B．C． D．的最小值為4．（24-25高二上·江蘇連云港·期中）已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且A、B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，則.5．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）過(guò)點(diǎn)作直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線的傾斜角為.期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：120分鐘）1．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（

）A． B．2 C． D．12．（24-25高二上·安徽阜陽(yáng)·期末）若雙曲線（，）的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．53．（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作斜率為1的弦，點(diǎn)在第一象限，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·北京·月考）若直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C．2 D．-25．（24-25高二上·廣東肇慶·期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方），若，則直線的方程為（

）A． B． C． D．6．已知為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知拋物線，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（

）A． B． C． D．8．（24-25高二下·湖南·開學(xué)考試）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作斜率為正且與雙曲線的某條漸近線垂直的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．9．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在雙曲線C：上，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論：①C的離心率為2；

②C的焦點(diǎn)弦最短為6；③動(dòng)點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值；④當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時(shí)，的最大值為．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，的平分線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．11．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選題）以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦）長(zhǎng)為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程可以為（）A． B．C． D．12．（24-25高二上·江蘇南京·月考）（多選題）已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的方程為 B．線段的中點(diǎn)到軸的距離為C． D．13．（24-25高二上·福建南平·期末）（多選題）已知直線經(jīng)過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn).記點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為的準(zhǔn)線，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．以為直徑的圓與相切C． D．的面積為14．（23-24高二上·陜西西安·期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，那么．15．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知橢圓的焦距為，過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，作垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則．16．過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率是．17．（23-24高二下·廣西南寧·期中）拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，則.18．雙曲線的動(dòng)弦所在直線的斜率為，則中點(diǎn)的軌跡方程是．19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若，且的面積為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20．（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·月考）已知雙曲線，，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且，則的面積是.21．設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，，分別是該橢圓的左、右焦點(diǎn).若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.22．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則.23．如圖所示，過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作平行于漸近線的兩直線，兩直線與雙曲線分別交于兩點(diǎn)，若