2/24專題08橢圓型綜合大題歸類題型1基礎(chǔ)：求橢圓方程題型9直線橢圓：直線定點(diǎn)題型2軌跡題型10直線橢圓：面積最值范圍型（重點(diǎn)）題型3大題基礎(chǔ)：韋達(dá)定理型（重點(diǎn)）題型11直線橢圓：定值題型4中點(diǎn)與中點(diǎn)弦題型12直線橢圓：斜率定值型題型5弦長(zhǎng)應(yīng)用題型13直線橢圓：a=tb型題型6直線橫截式應(yīng)用題型14直線橢圓：韋達(dá)定理不能直接用（難點(diǎn)）題型7直線雙變量型（常考點(diǎn)）題型15直線橢圓：坐標(biāo)運(yùn)算型題型8直線橢圓：面積基礎(chǔ)（重點(diǎn)）2/24題型一、基礎(chǔ)：求橢圓方程（共2小題）1．（24-25高二上·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知點(diǎn)在橢圓上，與橢圓的上，下頂點(diǎn)的連線的斜率之積為．(1)求橢圓的離心率；(2)若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．（23-24高二上·福建三明·期中）如圖，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的頂點(diǎn)，是直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)，.(1)求橢圓的離心率；(2)已知的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.題型二、軌跡（共2小題）3．（2021高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知①如圖，長(zhǎng)為，寬為的矩形，以?為焦點(diǎn)的橢圓恰好過兩點(diǎn)②設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)，且與軸不重合，直線交圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于，判斷點(diǎn)的軌跡是否橢圓（1）在①②兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)（1）所得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，若為橢圓上的點(diǎn)，，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，若，求的周長(zhǎng)與面積.4．（23-24·湖南長(zhǎng)沙階段練習(xí)）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，分別是“果圓”與，軸的交點(diǎn).（1）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（3）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型三、大題基礎(chǔ)：韋達(dá)定理型（共2小題）5．（25-26高三上·重慶·開學(xué)考試）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于，的點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)．6．（25-26高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，焦距為，以為三邊的三角形面積為(1)求C的方程；(2)過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，求四邊形面積的最小值題型四、中點(diǎn)與中點(diǎn)弦（共2小題）7．（24-25高二上·四川南充·期末）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；(3)如圖所示，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)．判斷點(diǎn)是否為線段的中點(diǎn)，說明理由．8．（2024·上海寶山·一模）已知橢圓:，直線經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)且與橢圓交于另一點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為.

(1)求橢圓的焦距和離心率；(2)若，求直線的方程；(3)過點(diǎn)再作一條直線與橢圓交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若，則直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.題型五、弦長(zhǎng)應(yīng)用（共2小題）9．（21-22高二上·貴州黔東南·期末）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最大值．10．（21-22高二上·四川達(dá)州·期末）如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)是圓與x軸的交點(diǎn)，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于圓O的直徑．(1)求橢圓C的方程；(2)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，直線BD與圓O相切，設(shè)直線BD的斜率為．當(dāng)時(shí)，求k．題型六、直線橫截式應(yīng)用（共2小題）11．（2025·江蘇宿遷·三模）已知橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6.(1)求的方程；(2)已知是上一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)為的右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值，求的取值范圍；(3)若動(dòng)直線與交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上異于點(diǎn)的一定點(diǎn)，若直線的傾斜角分別為，且存在實(shí)數(shù)使得恒成立，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的值.12．（25-26高二上·湖南邵陽·階段練習(xí)）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，離心率.定義：點(diǎn)關(guān)于E所對(duì)應(yīng)的極線方程為，右焦點(diǎn)關(guān)于E所對(duì)應(yīng)的極線方程為.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于E所對(duì)應(yīng)的極線為直線l，l與x軸交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作直線（不與x軸重合）交E于B，C兩點(diǎn)，直線AB，AC與l分別交于點(diǎn)M，N，如圖.（i）連接PM，PN，證明：當(dāng)時(shí)，；（ii）連接OM，試問：當(dāng)t取何值時(shí)，.題型七、直線雙變量型（共2小題）13．（25-26高三上·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓的方程；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).（i）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的周長(zhǎng)；（ii）若直線分別與橢圓交于點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).14．（25-26高三上·北京·開學(xué)考試）已知直線過橢圓C的中心坐標(biāo)原點(diǎn)O，與平行的直線與C交于兩點(diǎn)，且.當(dāng)軸時(shí)，直線AB過C的一個(gè)焦點(diǎn).(1)求C的方程；(2)點(diǎn)D、E滿足，交于點(diǎn)G，直線交于點(diǎn)H，求面積的最大值.題型八、直線與橢圓：面積基礎(chǔ)（共2小題）15．（24-25高二下·甘肅甘南·期末）已知和為橢圓上兩點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)P在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交y軸于點(diǎn)Q，，為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若的面積是面積的3倍，求直線的方程．16．（2025·河南鶴壁·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：上一點(diǎn)處的切線為，兩焦點(diǎn)，在上的射影分別為，我們常常把過切點(diǎn)且與切線垂直的直線叫做法線，它平分，因此從一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過切點(diǎn)反射后會(huì)經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)如圖記，，當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，記的面積為若.

(1)求證：；(2)試探究是否為定值，如果為定值，求此定值；如果不為定值，請(qǐng)說明理由；(3)若橢圓的離心率為，且當(dāng)時(shí)，四邊形的面積，求橢圓的方程.題型九、直線與橢圓：直線定點(diǎn)（共2小題）17．（22-23高三上·山西太原·階段練習(xí)）如圖，橢圓：（，，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且，點(diǎn)是長(zhǎng)軸上的任一定點(diǎn)，過點(diǎn)的任一直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，試求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．（2022·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）圓的離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)分別為橢圓的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在定點(diǎn)，對(duì)任意過點(diǎn)的直線（在橢圓上且異于兩點(diǎn)），都有.若存在，則求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型十、直線與橢圓：面積最值范圍型（共2小題）19．（23-24高二上·河南南陽·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)且垂直于軸的弦長(zhǎng)為，且．（從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，將其序號(hào)寫在答題卡的橫線上并作答．）①橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；②橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)；③，與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)組成的三角形為等邊三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線經(jīng)過，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．20．（23-24高一下·重慶·期末）橢圓的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且與橢圓：的離心率相等，焦點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、，其中直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求四邊形的面積的取值范圍.題型十一、直線與橢圓：定值（共2小題）21．（23-24高二上·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知橢圓過，兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，．記的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)證明：為定值．(3)求的取值范圍．22．（23-24高三上·山東德州·階段練習(xí)）如圖所示，已知橢圓：與直線：.點(diǎn)在直線上，由點(diǎn)引橢圓的兩條切線、，A、B為切點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，求的面積；(2)若，為垂足，求證：存在定點(diǎn)，使得為定值.（注：橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為）題型十二、直線與橢圓：斜率定值型（共2小題）23．（25-26高三上·廣西桂林·開學(xué)考試）已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).(1)求的方程；(2)直線：與交于A，B兩點(diǎn)，過上的點(diǎn)（與A，B不重合且不在坐標(biāo)軸上）作軸的平行線交線段于點(diǎn)（與A，B不重合），直線的斜率為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），的面積為，的面積為，若，直線，的斜率都存在，分別記為，.（i）求證：；（ii）判斷是否為定值？并說明理由.24．（2025·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)直線（存在且不等于0）與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，判斷是否為定值并證明．題型十三、直線與橢圓：a=tb型（共2小題）25．（10-11高三·浙江·階段練習(xí)）已知直線的方程為：，直線與軸的交點(diǎn)為，圓的方程為：，、在圓上，，設(shè)線段的中點(diǎn)為．（1）如果為平行四邊形，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，直線交橢圓于、兩點(diǎn)，又，求橢圓的方程．26．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別A，B，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，且，.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C存在一動(dòng)點(diǎn)M，連接OM，過點(diǎn)F作直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求證：為定值.題型十四、直線與橢圓：韋達(dá)定理不能直接用（共2小題）27．（21-22高二上·廣東深圳·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)是，過點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知是橢圓C的下頂點(diǎn)，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；(3)過點(diǎn)作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點(diǎn)，若A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．28．（2023·安徽·一模）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；（ii）求的取值范圍.題型十五、直線與