第五章統(tǒng)計實驗練習：從1-10中隨機有放回選7個數(shù)，用統(tǒng)計模擬的方法求10至少出現(xiàn)2次的概率.解：估計概率的R代碼exercise5.1<-function(n){exercise5.1<-function(n){m<-0for(jin1:n){x=sample(1:10,7,replace=T)if(sort(x)[6]==10)m<-m+1}rt<-c('10至少出現(xiàn)2次的頻數(shù)'=m,'頻率'=m/n);rt}exercise5.1(10000)1010至少出現(xiàn)2次的頻數(shù)頻率1491.00000.1491本次運行結(jié)果為0.1491.從5雙鞋子中隨機抽取4只，求至少組成1雙的概率.解：估計概率的R代碼x=x=rep(1:5,2);y=0;k=0;n=10000for(iin1:n){y[i]=sample(x,4,replace=FALSE)if(unique(y[i])<=3)k=k+1}k/n[1]0.6008[1]0.6008本次估計結(jié)果為0.6008.3.(信與信封匹配問題)某人先寫了n封投向不同地址的信,再寫n個標有這n個地址的信封,然后在每個信封內(nèi)裝入一封信.設,試用統(tǒng)計模擬的方法求:(1)至少有一封信放對的概率;(2)放對信封數(shù)的數(shù)學期望.解：R代碼letter<-function(nletter<-function(n){m=0;z=0for(iin1:n){x=sample(1:10,10,replace=F)y=x-1:10if(sum(y==0)>=1)m=m+1z[i]=sum(y==0)}rt<-c('至少有一封放對次數(shù)'=m,'頻率'=m/n,'放對次數(shù)期望'=mean(z))rt}letter(10000)至少有一封放對次數(shù)至少有一封放對次數(shù)頻率放對次數(shù)期望6306.00000.63061.0009根據(jù)本次運行結(jié)果，至少有一封信放對的概率估計值為0.6306，放對信封數(shù)的數(shù)學期望估計值為1.0009.4.令是一個i.i.d序列，且.令用統(tǒng)計模擬的方法求.并把模擬結(jié)果和第一章中該問題的理論結(jié)果作比較.解：R代碼如下minnumberminnumber<-function(n){y=numeric(n)for(iin1:n){s=0;x=1while(s<x){s=s+runif(1)y[i]=y[i]+1}}mean(y)}minnumber(10000)[1]2.708[1]2.708本次估計結(jié)果為2.708.運用第一章條件期望公式可知該問題的理論結(jié)果為.5.(保險問題)某家保險公司車險業(yè)務有1000個客戶,每個客戶索賠的概率為0.05,客戶索賠額具有數(shù)學期望為800的指數(shù)型分布，用模擬的方法估計索賠額超過60000元的概率,并與理論結(jié)果進行比較.解：理論分析.設索賠次數(shù)為隨機變量,易知.設每個客戶索賠額為，.根據(jù)指數(shù)分布是伽瑪分布的特殊形式，以及伽瑪分布的可加性可知.由全概率公式,索賠額超過60000元的概率可表示為模擬分析R代碼如下：insurance<-function(ninsurance<-function(n){m=0;y=0for(iin1:n){x=rbinom(1,1000,0.05)u=runif(x)y[i]=-800*log(prod(u))if(y[i]>60000)m=m+1}rt<-c('超過60000元次數(shù)'=m,'頻率'=m/n)rt}insurance(100000)超過超過60000元次數(shù)頻率1.061e+031.061e-02本次估計結(jié)果為0.01061.6.洗好編號分別為的紙牌，有放回的每次從中任取一張，如果第次抽中的紙牌恰好為紙牌，則稱之為成功().用R編程估計成功次數(shù)的期望與方差，并與理論分析結(jié)果作比較.解：設成功次數(shù)為隨機變量,易知.模擬分析R代碼如下：n=n=100000;z=0for(iin1:n){x=sample(1:100,100,replace=T)y=x-1:100z[i]=sum(y==0)}mean(z);var(z)[1]0.99681[1]0.99681[1]0.9828297本次估計結(jié)果分別為0.99681和0.9828297,與理論值都很接近.7.解：理論分析：易得模擬分析R代碼如下：方法1poker<-function(n){poker<-function(n){m<-0for(jin1:n){x=sample(1:52,2,replace=FALSE)if(all(x%in%1:13)|all(x%in%14:26)|all(x%in%27:39)|all(x%in%40:52)){m<-m+1}}m/n}poker(10000)[1]0.2305[1]0.2305方法2deck<-rep(c("deck<-rep(c("黑桃","紅心","方塊","梅花"),each=13)#進行模擬card<-function(n){m<-0for(iin1:n){#從撲克牌中隨機選擇兩張牌two_cards<-sample(deck,2,replace=F)#判斷兩張牌是否屬于同一花色if(two_cards[1]==two_cards[2]){m<-m+1}}#估計概率cat("兩張牌是否屬于同一花色的概率=",m/n)}card(10000)兩張牌是否屬于同一花色的概率兩張牌是否屬于同一花色的概率=0.2334方法3card<-function(ncard<-function(n){m=0for(iin1:n){x=sample(1:52,2,rep(1/52,52),replace=F)y=ceiling(x/13)##編號，1~13為一種花色，14~16為另一種花色...if(y[1]==y[2]){m=m+1}}m/n}card(10000)[1]0.2377[1]0.23778.(生日問題)美國數(shù)學家伯格米尼曾經(jīng)做過一個別開生面的實驗:在一個盛況空前、人山人海的世界杯賽場上,他隨機地在某號看臺上召喚了22個球迷,請他們分別寫下自己的生日,結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日.怎么會這么湊巧呢?通過分析求出理論概率，并運用模擬方法求出概率的近似值.人數(shù)分別為40，50，64時，又如何？解：理論分析.設隨機選取個人,則，時，相應概率分別為0.476,0.891,0.970,0.997.模擬分析R代碼如下：birthday<-function(birthday<-function(r,m){p=0;for(iin1:m){x=sample(1:365,r,replace=T);if(length(unique(x))<r)p=p+1}list(rt=p/m)}birthday(22,10000)birthday(40,10000)birthday(50,10000)birthday(64,10000)$rt$rt[1]0.4933$rt[1]0.8886$rt[1]0.9705$rt[1]0.9963估計結(jié)果分別為0.4933,0.8886,0.9705,0.9963.9.(趕火車問題)一列火車從A站開往B站,某人每天趕往B站上火車.他已了解到火車從A站到B站的運行時間是服從均值為30分鐘,標準差為2分鐘的正態(tài)分布.火車大約13點離開A站,此人大約13:30到達B站.火車離開A站的時刻及概率和此人到達B站的時刻及概率如表所示.用模擬實驗的方法求他趕上火車的概率.表1火車離開A站時刻及概率火車離站時刻13:0013:0513:10P0.70.20.1表2某人到達B站時刻及概率人到達時刻13:2813:3013:3213:34P0.30.40.20.1解：為便于分析，設表示火車從A站出發(fā)的時刻，為火車從A站到B站需要的時間，為此人到達B站的時間.則，且和的分布律分別為0510P0.70.20.128303234P0.30.40.20.1此人能趕上火車的充要條件是：.通過模擬產(chǎn)生、和的樣本值，統(tǒng)計發(fā)生的頻數(shù)，并用頻率作為所求概率的近似值.理論結(jié)果是0.6311.模擬分析R代碼如下：train<-function(ntrain<-function(n){m=0for(iin1:n){x=rnorm(1,30,2)p1=c(0.7,0.2,0.1);p2=c(0.3,0.4,0.2,0.1)y=sample(c(0,5,10),1,p=p1)z=sample(c(28,30,32,34),1,p=p2)if(x+y>z)m=m+1}rt<-c('趕上次數(shù)'=m,'頻率'=m/n)rt}train(10000)趕上次數(shù)趕上次數(shù)頻率6295.00000.6295本次概率估計結(jié)果為0.6295.10.(電力供應問題)某車間有200臺機床，它們相互獨立工作，各車床開工率為0.6，開工時耗電1kW.問供電部門至少要給車間多少電力，才能以99.9%的概率保證車間機床正常工作.就該問題分別作理論分析和模擬分析.解：設某時刻正常工作的車床數(shù)為，則，設需提供給車間電力數(shù)為m,問題即為確定m的最小整數(shù)值，使得..根據(jù)中心極限定理，可得解得.模擬分析R代碼如下：n=n=10000;x=0for(iin1:n){x[i]=rbinom(1,200,0.6)}quantile(x,0.999)99.9%99.9%141本次估計結(jié)果為141.11.隨機拋擲兩枚均勻的骰子，求雙骰子點數(shù)和5點出現(xiàn)在7點前的概率.解：理論分析：設表示“前次試驗中沒有出現(xiàn)點數(shù)和為5點或7點的結(jié)果，而第次試驗出現(xiàn)點數(shù)和為5點的結(jié)果”,表示“兩枚骰子點數(shù)和為5的結(jié)果出現(xiàn)在點數(shù)和為7的結(jié)果之前”,則.又在一次試驗中，事件“兩枚骰子的點數(shù)和為