2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差

課前自主預(yù)習(xí)

F知識導(dǎo)學(xué)

學(xué)問點J方差

、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì)

(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

???

XX\X2Xi???Xn

??????

P出p1P"

則稱M=但￡(必一反加匕為隨機(jī)變量x的方差，其算術(shù)平方根?麗為隨機(jī)變量*的絲

/=1

標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的亞均程度，方差或標(biāo)

準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏高于均值的但平均程度越小.

學(xué)問點匚兩點分布與二項分布的方差

X才聽從兩點分布X?B(n，P)

D(X)小0(1一近(其中0為勝利概率)酉一夕)

EG知識拓展

方差的性質(zhì)：

DlaX+b)=者以用,

=0(。是常數(shù)).

EG自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越稔定.：)

(2)若a是常數(shù)，則〃?=0.()

⑶離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度.()

答案⑴X(2)V(3)V

2.做一做

(1)若隨機(jī)變量才聽從兩點分布,且勝利的概率2=0.5,則ECO和〃0)分別為

(2)設(shè)隨機(jī)變量f?46,g，則〃(9=.

(3)假如才是離散型隨機(jī)變量，V=31+2,那么〃(?)=〃(笛.

3

答案⑴0.5和0.25(2)-(3)9

解析(1)因為I聽從兩點分布，

所以才的概率分布為

X01

p0.50.5

所以E1#=0X0.5+1X0.5=0.5,

〃(心=0.52X0.5+(1-0.5)2X0.5=0.25.

(2)因為隨機(jī)變量f?46,，，

月1?以〃(6)=6X)X(一泊

⑶由于1是離散型隨機(jī)變量，K=3Z4-2呈線性關(guān)系，代入公式，則〃⑴=36(4)=9〃(心.

課堂互動探究

探究1方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計算

例1已知隨機(jī)變量力的分布列為

010205060

2121

P

3515T5?5

(1)求1的方差及標(biāo)準(zhǔn)差：

(2)設(shè)V=2X—￡O),求〃(D.

12121

［解］(1)雙笛=0XZ+1()XE+20XT7+50X=+60XTT=16,

3□IoioIo

12121

Z?Cn=(0-16)2X-+(10-16)2xe+(20-16)2X—+(50-16)2X—+(60-16)2X—=

3o151515

384.

(2)VY=2X-E(X),

；?1)(?=M2X-E(川)=4〃(心=4X384=1536.

拓展提升

求方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)鍵是求分布列，只要有了分布列，就可以依據(jù)定義求數(shù)學(xué)期望，進(jìn)

而求出方差、標(biāo)準(zhǔn)差，同時還要留意隨機(jī)變量招'十方的方差可用〃(〃什6)=才〃(乃求解.

［跟蹤訓(xùn)練1］已知隨機(jī)變量f的分布列如下表：

-101

11

P

236

(1)求f的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差；

⑵設(shè)〃=24+3,求￡(〃),〃(〃).

解⑴均值￡(^)=(—1)x1+ox1+ix1=-I；

Z303

方差方f)=(劉一方《))2?.+&—￡(f))2?R+(照一￡(f))2?R=3；標(biāo)準(zhǔn)差4攵f)=

亞

3?

790

(2)￡(〃)=2￡(f)+3=9〃(〃)=4〃(<)=-

Oy

探究2兩點分布與二項分布的方差

例2(1)籃球競賽中每次罰球命中得1分，不中得0分.已知某運(yùn)動員罰球命中的概率

為0.7,求他一次罰球得分的方差：

(2)將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，求正面對上的次數(shù)的方差；

(3)老師要從1()名同學(xué)中隨機(jī)抽3名同學(xué)參與社會實踐活動，其中男同學(xué)有6名，求抽

到男同學(xué)人數(shù)的方差.

［解］(1)設(shè)一次罰球得分為X才聽從兩點分布，即

X01

P0.30.7

：.D(X)=p(l-p)=0.7X0.3=0.21.

(2)設(shè)正面對上的次數(shù)為匕則入45,1

〃(D=np(l—p)=5X；X：=1.25.

⑶設(shè)抽到男同學(xué)的人數(shù)為S.

/聽從超幾何分布，分布列為

0123

堡cidde；Cc：

p

C10C10

0123

13\_

p

30To26

3ii

E(f)=0X-4-1X--+2X-+3X-=0.3+1+0.5=1.8,

oUiuzo

1311

〃(9=(0-1.8)12X—4-(1-1.8)2X—4-(2-1.8)2X-+(3-1.8)2X-=0.56.

oU1U/b

拓展提升

解決此類問題的第一步是推斷隨機(jī)變量f聽從什么分布，其次步代入相應(yīng)的公式求解.若

《聽從兩點分布，則〃(。=夕(1一夕)；若<聽從二項分布，即，?B5,0)，則〃(￡)=即(1

—P).

[跟蹤訓(xùn)練2](】)若隨機(jī)變量￥的分布列如下表所示

X01

P0.40.6

則,〃(給=；

9

(2)若隨機(jī)變量p),〃(心=鼻，則夕=.

12

答案(1)0.60.24(2)鼻或鼻

oJ

解析(1)???￡(心=0X0.44-1X0.6=0.6,〃(加=0.6X(1-0.6)=0.6X0.4=0.24.

(2)???h8(3,p),

工〃(心=3夕(1一夕)，

2

由3p(l—p)=-,

15

得夕=§或p=-

探究3方差的實際應(yīng)用

例3有甲、乙兩名同學(xué)，據(jù)統(tǒng)計，他們在解答同一份數(shù)學(xué)試卷時，各自的分?jǐn)?shù)在80分,

90分，100分的概率分布大致如下表所示：

分?jǐn)?shù)X甲8090100

甲

概率0.20.60.2

—

分?jǐn)?shù)X乙8090100

乙

概率0.40.20.4

試分析甲、乙兩名同學(xué)誰的成果好一些.

［解］在解答同一份數(shù)學(xué)試卷時，甲、乙兩人成果的均值分別為

甲）=80X0.24-90X0.6+100X0.2=90,

￡（九.）=80X0.44-90X0.2+100X0.4=90.

方差分別為

“（X甲）=（80-90）2＞：0.2+（90-90）2X0.6+（100~90）2X0.2=40,

〃（一乙）=（80—Mx。.4+（90—Mx。.2+（100-90）2X0.4=80.

由上面數(shù)據(jù)，可知次/甲）=￡'（＞乙），

〃（才甲）＜〃（才乙）.

這表示甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)的均值相等，但兩人的分?jǐn)?shù)的穩(wěn)定程度不同，甲同學(xué)分?jǐn)?shù)較

穩(wěn)定，乙同學(xué)分?jǐn)?shù)波動較大，所以甲同學(xué)的成果較好.

拓展提升

離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差反映了離散型隨

機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.因此，在實際決策問題中，需先計算均值，

看一下誰的平均水平高，然后再計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.因此，在利用

均值和方差的意義去分析解決實際問題時，兩者都要分析.

［跟蹤訓(xùn)練3］甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量f與/?,

且乙〃的分布列為:

123

pa0.10.6

n123

p0.3b0.3

⑴求&b的值;

(2)計算f,〃的期望與方差，并依此分析甲、乙技術(shù)狀況.

解(1)由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得a+0.1+0.6=1,解得a=0.3：

同理0.3+b+0.3=l,

解得〃=0.4.

⑵以0=1X0.34-2X0.14-3X0.6=2.3；

E(/?)=1XO.3+2X0.4+3X0.3=2；

f)=(1-2.3)2X0.3+(2-2.3)2X0.1+(3-2.3；2X0.6=0.81；

/)(n)=(1-2)2X0.34-(2-2)2X0.4+(3-2)2X0.3=0.6.

由丁以。>以〃)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但〃(<)>〃(〃)，說明甲

得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢.

邠疆川---------------------

f---------------------1

1.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度，

以及隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度.方差〃(如或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量I偏離均值

的平均程度越?。悍讲钤酱螅砻髌骄x的程度越大，說明J的取值越分散.

2.求離散型隨機(jī)變量彳的均值、方差的步驟

(1)理解I的意義，寫出］的全部可能的取值；

(2)求X取每一個值的概率；

(3)寫出隨機(jī)變量X的分布列；

(4)由均值、方差的定義求￡(心，〃(力.

特殊地，若隨機(jī)變量聽從兩點分布或二項分布，可依據(jù)公式干脆計算/(心和〃O).

隨堂達(dá)標(biāo)自測

1.已知隨機(jī)變量才的分布列為

X012

工\1

P

333

設(shè)？=2才+3,則〃⑴=()

答案A

解析,?，￡(?=0x]+lX：+2X；=L

JJJ

1119

.\P(A)=(0-l)2X--|-(l-l)2X-+(2-D2X-=",

oJJJ

o

/.Z?(F)=〃(2X+3)=4〃(力=-

o

2.一批產(chǎn)品中，次品率為:現(xiàn)有放回地連續(xù)抽取4次，若抽取的次品件數(shù)記為X則

〃(切的值為()

A.JB.gC.7D.白

33416

答案C

解析由題意，次品件數(shù)X聽從二項分布，即h44,，，故〃(a=如?(1一夕)=4X；X,

_3

=?

3.已知g?B5,0)，且爪3f+2)=9.2,〃(3f+2)=12.96,則二項分布的參數(shù)〃，p

的值為()

A./7=4,2=0.6B.〃=6,p=0.4

C.8,p~0.3D.