專題01線段的垂直平分線目錄A題型建?！ｍ?xiàng)突破題型一、利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解 1題型二、線段垂直平分線的判定定理 2題型三、作垂直平分線(尺規(guī)作圖) 3題型四、線段的垂直平分線與角平分線的綜合問(wèn)題 4B綜合攻堅(jiān)·能力躍升A 題型建模·專項(xiàng)突破題型一、利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解1.如圖,在VABC中,AC邊的垂直平分線DE,分別交BC,AC于點(diǎn)D,E兩點(diǎn),連接AD,∠BAD=25°,∠C=35°2.如圖,在VABC中,DE是BC的垂直平分線,若AB=5,AC=8,則△ABD的周長(zhǎng)是.3.如圖,在等腰VABC中,AB=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若△BCE的周長(zhǎng)為50，則底邊BC的長(zhǎng)為.4.如圖，在VABC中，AB的垂直平分線DM交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線EN交BC于點(diǎn)E.已知VADE的周長(zhǎng)為8cm,則BC的長(zhǎng)為;題型二、線段垂直平分線的判定定理5.如圖,在VABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AC的垂直平分線分別(1)求證：點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上：(2)已知∠FAN=56°,求∠FPN6.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=AD,CB=CD,求證：(1)△ABC?△ADC;(2)AC垂直平分BD.7.如圖，已知△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D,E分別為AB,AC上的點(diǎn),BE=CD,(1)△ABD與△ACE全等嗎?為什么?(2)連接AF,DE,求證:AF垂直平分DE.8.如圖,AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高.(1)試說(shuō)明AD垂直平分EF;(2)若AB=8,AC=6,SvABC=28,題型三、作垂直平分線(尺規(guī)作圖)9.如圖所示，七年級(jí)和八年級(jí)有兩個(gè)班的學(xué)生在M、N處參加植樹活動(dòng)，要在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)P，使P到AB、AC兩條道路的距離相等，而且要使PM=PN,請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法找出P點(diǎn).(不寫作法，但保留作圖痕跡)10.要求用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法。已知：如圖，∠MON和A,B兩點(diǎn).(1)作∠MON的平分線OP：(2)求作一點(diǎn)Q，使Q點(diǎn)在ON上，且QA=QB,11.如圖,在VABC中,(1)作AC的垂直平分線DE，DE交AC于E，交BC于點(diǎn)D，連接AD(保留作圖痕跡，不用寫作法)；(2)若AE=3,△ABD的周長(zhǎng)為15，求VABC的周長(zhǎng).12.如圖,AD是VABC的角平分線.(1)尺規(guī)作圖：作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；(標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫作法.)(2)連接DE、DF,求證:DE=DF.題型四、線段的垂直平分線與角平分線的綜合問(wèn)題13.如圖,VABC中,∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點(diǎn)D,DM⊥BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,DN⊥BC于點(diǎn)N.若,BC=8,AB=3,則AM的長(zhǎng)為?14.如圖,VABC中,∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D,DG⊥AB,DH⊥AC,垂足為點(diǎn)G,H.(1)求證:BG=CH;(2)若AB=10,AC=8,求BG的長(zhǎng).15.如圖,VABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn),PD⊥AB于D,PE⊥AC于E.(1)求證:BD=CE;(2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的長(zhǎng).B 綜合攻堅(jiān)·能力躍升一、單選題1.如圖,在VABC中,∠A=90°,ED垂直平分BC,CE平分∠ACB,CE=7,ED=3,A.5 B.6 C.10 D.122.如圖,在VABC中,∠C=90°,AC>BC.用直尺和圓規(guī)在邊AC上確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B3.如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線上一點(diǎn)，PC?OA于點(diǎn)C,PD?OB于點(diǎn)D,連接CD交OP于點(diǎn)E.下列結(jié)論不一定正確的是()A.PC=PD B.OC=ODC.OP垂直平分CD D.OE=CD4.如圖,AD是VABC的角平分線,DE?AB,DF?AC,垂足分別為E,F,連接EF.EF與AD相交于點(diǎn)G.則下列結(jié)論:①DE=DF;②AE=AF;③AD垂直平分EF;④EF垂直平分AD,正確的是()A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④二、填空題5.如圖,已知AC=5cm,AD=9cm,BE是線段CD的垂直平分線,則VABC的周長(zhǎng)是cm.6.如圖，在VABC中，AB邊的垂直平分線DE分別與AB邊和AC邊交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，BC邊的垂直平分線FG分別與BC邊和AC邊交于點(diǎn)F和點(diǎn)G，若△BEG的周長(zhǎng)為9，且GE=1,則AC的長(zhǎng)為.7.如圖,在VABC中,AB=2,AC=4,EF垂直平分線段BC，P是直線EF上的任意一點(diǎn)，則△ABP周長(zhǎng)的最小值是.8.如圖,在四邊形ABCD中,AD‖BC,點(diǎn)E在BC上且剛好落在AB垂直平分線上，點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，EF?AF,已知AD=4,BE=7,則CE=_.三、解答題9.如圖,在VABC中, AD?BC, EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,且BD=DE.(1)求證:AB=EC;(2)若VABC的周長(zhǎng)為21cm,AC=8cm,求DC的長(zhǎng).10.如圖,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖.(1)作邊AB的中點(diǎn)D;(2)作∠ABC的平分線BE,交AC邊于點(diǎn)E;(3)作點(diǎn)C關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)F:(4)直接寫出DF的長(zhǎng)為.11.已知:如圖,MN是VABC的邊AC的垂直平分線,MN與AB,AC分別相交于點(diǎn)D,E,連接CD.(1)若CD=3,則AD的長(zhǎng)為;(2)若AB=5,BD=2,求CD的長(zhǎng):(3)若△BDC的周長(zhǎng)為10,BC=4,求AB的長(zhǎng).12.如圖，點(diǎn)D為VABC外一動(dòng)點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，連接CD交AB于點(diǎn)F.過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線于點(diǎn)O,OB=OC,已知∠ABD=∠ACD,過(guò)A作AM⊥BE于點(diǎn)M,AN⊥CD于點(diǎn)N(1)求證:△ABM≌△ACN(2)證明:AD為∠EDC的平分線.(3)若BD=2,DN=3,則CD=_.(直接寫出答案)13.如圖,VABC是等邊三角形,BD是中線,延長(zhǎng)BC至E,使CE=CD,(1)求證: DB=DE;(2)過(guò)點(diǎn)A作AF‖BC,交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AB于M,連接BF.①若EM=12,則BD=_.②求證:AB垂直平分DF.14.【問(wèn)題提出】數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在VABC中，AB=8,AC=6,D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍.【問(wèn)題探究】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD,請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“VADC≌VEDB”的推理過(guò)程.(1)試說(shuō)明:VADC≌VEDB.解:延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,∵D是BC的中點(diǎn)(已知),∴CD=BD(中點(diǎn)定義),在△ADC和△EDB中，∵AD=ED{∴VADC≌VEDB().(2)探究得出AD的取值范圍是；【問(wèn)題解決】(3)如圖2,VABC中,?B90?,AB=3,AD是VABC的中線,CE?BC,CE=6,且∠ADE=90°,15.八年級(jí)上學(xué)期我們學(xué)習(xí)了角平分線性質(zhì)及其判定定理，課本P106的例1同時(shí)運(yùn)用了角平分線性質(zhì)及其判定定理完成了該幾何問(wèn)題的證明.例1.已知:如圖,AO、BO分別是∠A、∠B的平分線,(OD?BC,OE?AB,垂足分別為點(diǎn)D、E.求證：點(diǎn)O在∠C的平分線上.證明:過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC,垂足為點(diǎn)F.∵AO、BO分別是∠A、∠B的平分線(已知).OE⊥AB,OD⊥BC(已知),OF⊥AC(所作),∴OE=OD，OE=OF(①).(A.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.B.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.C.到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.D.在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.)∴OD=OF(等量代換).∴點(diǎn)O在∠C的平分線上(②).(A.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.B.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.C.到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.D.在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.)【研究原圖形】(1)請(qǐng)?jiān)贏、B、C、D中選擇一個(gè)填入①和②;(2)在例1的圖中,分別連接DE、EF、FD.小婷發(fā)現(xiàn)DEF和VABC的內(nèi)角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，若∠BAC=m°,則∠EDF=_。【解決新問(wèn)題】為了方便研究，小婷同學(xué)把滿足例1條件的DEF叫做VABC的“內(nèi)三角形”，點(diǎn)O叫做“共心”.(3)已知DEF是VABC的“內(nèi)三角形”,點(diǎn)O是“共心”,點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、AC上,且OE‖BC.先畫出符合條件的示意圖，再過(guò)點(diǎn)E作EG?DF于點(diǎn)G，求證：點(diǎn)G在直線AO上.專題01線段的垂直平分線目錄題型一、利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解 1題型二、線段垂直平分線的判定定理 2題型三、作垂直平分線(尺規(guī)作圖) 3題型四、線段的垂直平分線與角平分線的綜合問(wèn)題 4B綜合攻堅(jiān)·能力躍升A 題型建模·專項(xiàng)突破題型一、利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解1.如圖,在VABC中,AC邊的垂直平分線DE,分別交BC,AC于點(diǎn)D,E兩點(diǎn),連接AD,∠BAD=25°,∠C=35°,則∠B的度數(shù)是°.【答案】答案85【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠EAD=∠C=35°,再根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出∠BAC=∠BAD+∠EAD=60°,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠B的度數(shù).【詳解】解：DE是AC的垂直平分線，AD=DC,?∠EAD=∠C=35°,B∠BAC=∠BAD+∠EAD=60°,?∠B=180°-∠BAC-∠C=85°,故答案為：85.2.如圖,在VABC中,DE是BC的垂直平分線,若AB=5,AC=8,則△ABD的周長(zhǎng)是.【答案】13【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BD=DC，進(jìn)而可得C?ABD=AB+AC,即可求解.【詳解】解：DE是BC的垂直平分線，BD=DC,C-ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=5+8=13,故答案為：13.3.如圖,在等腰VABC中,AB=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若BCE的周長(zhǎng)為50,則底邊BC的長(zhǎng)為.【答案】答案23【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)知，AE=BE，△BCE的周長(zhǎng)=BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AB,解方程得解.【詳解】解:DE垂直平分AB,EA=EB.又△BCE的周長(zhǎng)=BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC=BC+AB,即BC+27=50,BC=23.故答案為：23.4.如圖，在VABC中，AB的垂直平分線DM交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線EN交BC于點(diǎn)E.已知VADE的周長(zhǎng)為8cm,則BC的長(zhǎng)為;【答案】8cm【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì).利用線段垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等"可得AD=BD，AE=CE，然后利用VADE的周長(zhǎng)為8cm和等量代換可得BC=8cm，即可解答.【詳解】解：BAB的垂直平分線DM交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線EN交BC于點(diǎn)E.AD=BD,AE=CE,?VADE的周長(zhǎng)為8cm,∴AD+DE+AE=8cm,∴BD+DE+EC=8cm,∴BC=8cm,BC的長(zhǎng)為8cm;故選:8cm.題型二、線段垂直平分線的判定定理5.如圖,在VABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AC的垂直平分線分別(1)求證：點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上；(2)已知∠FAN=56°,求∠FPN【答案】答案(1)證明見解析262【分析】此題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.(1)連接PB、PC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定即可；(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解.【詳解】(1)證明:連接PB、PC,CPE垂直平分AB,PM垂直平分AC,∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上；(2)解:∵PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,∴FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=90°∠ABC=∠BAF,∠ACB=∠CAN,答案在VABC中,∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°,∠FAN=56°,∴∠ABC+∠BAF+∠FAN+∠ACB+∠CAN=180°,即,2∠BAF+2∠CAN+∠FAN=180°,∴∠BAF+∠CAN=62°∴∠BAC=∠BAF+∠CAN+∠FAN=118°在四邊形AEPM中,∠AEP+∠AMP+∠BAC+∠FPN=360°.∴∠FPN=360°-90°-90°-118°=62°6.如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=AD,CB=CD.求證：(1)△ABC≌△ADC;(2)AC垂直平分BD.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，垂直平分線的判定，掌握相關(guān)圖形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；(1)根據(jù)SSS直接證明△ABC≌△ADC;(2)根據(jù)AB=AD,CB=CD,即可得證AC垂直平分BD.【詳解】(1)證明:在VABC與△ADC中,{AB=ADCB=CD△△ABC≌△ADC(SSS);(2)ⅢAB=AD,CB=CD,圓點(diǎn)A、點(diǎn)C在BD的垂直平分線上，②AC垂直平分BD.7.如圖,已知△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別為AB,AC上的點(diǎn),BE=CD.(1)△ABD與△ACE全等嗎?為什么?(2)連接AF,DE,求證:AF垂直平分DE.【答案】(1)△ABD≌△ACE,見解析(2)見解析【分析】(1)根據(jù)AB=AC,BE=CD可得AE=AD,利用SAS,進(jìn)而證明△ABD≌△ACE;(2)由AE=AD則A在DE的中垂線上,再證明△CDF≌△BEF可得EF=DF,故D在DE的中垂線上,則AF垂直平分DE，本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理、中垂線的判定定理，理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【詳解】(1)解:△ABD與△ACE全等;理由:∵AB=AC,BE=CD,∴AB-BE=AC-CD即AE=AD,在△ABD與△ACE中,{AB=AC∠A=∠A∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)解:如圖:連接DE,AF,由(1)∵AD=AE,∴A在DE的中垂線上，∵△ABD?△∴∠ABD=∠ACE,在VCDF與△BEF中,{∠ABD=∠ACE∠BFE=∠CFD,∴CDF?△答案∴EF=DF,∴F在DE的中垂線上，∴AF垂直平分DE.8.如圖,AD是?ABC的角平分線,DE、DF分別是△ABD和△ACD的高.(1)試說(shuō)明AD垂直平分EF;(2)若AB=8,AC=6,SoABC=28,【答案】(1)詳見解析(2)4【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的判定等知識(shí)，證明Rt△AED?R(1)利用角平分線的性質(zhì)證明DE=DF，證明Rt△AED?Rt(2)根據(jù)S△ABC=28列式計(jì)算即可.【詳解】(1)證明:ξAD是△ABC△ABC的角平分線,DE、DF分別是△ABD和△ACD的高.DE=DF,在Rt△AED與Rt△AFD中,{AD=ADDE=DFRt△AE=AF,DE=DF,?AD垂直平分EF:(2)解:①DE=DF,SABD+AB+AC=14,DE=4.題型三、作垂直平分線(尺規(guī)作圖)9.如圖所示，七年級(jí)和八年級(jí)有兩個(gè)班的學(xué)生在M、N處參加植樹活動(dòng)，要在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)P，使P到AB、AC兩條道路的距離相等，而且要使PM=PN,請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法找出P點(diǎn).(不寫作法，但保留作圖痕跡)【答案】見解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖一作角平分線，作垂線：因?yàn)槭筆到AB、AC兩條道路的距離相等，所以點(diǎn)P應(yīng)在∠BAC的平分線上；而且要使PM=PN,所以點(diǎn)P還應(yīng)在MN的中垂線上，即.∠BAC的平分線和MN的中垂線的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P.【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求.10.要求用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.已知：如圖，∠MON和A,B兩點(diǎn).(1)作∠MON的平分線OP：(2)求作一點(diǎn)Q，使Q點(diǎn)在ON上，且QA=QB.【答案】答案(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.(1)根據(jù)角平分線的作法作∠MON的平分線OP即可；(2)作AB的垂直平分線交ON于Q點(diǎn)，即可得QA=QB,【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)P即為所求；答案(2)解：如圖，點(diǎn)Q即為所求.11.如圖,在VABC中,(1)作AC的垂直平分線DE，DE交AC于E，交BC于點(diǎn)D，連接AD(保留作圖痕跡，不用寫作法)；(2)若AE=3,△ABD的周長(zhǎng)為15，求VABC的周長(zhǎng).【答案】(1)見解析(2)21【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì).(1)根據(jù)尺規(guī)作圖一垂直平分線的作法和步驟，即可作出DE：(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出DA=DC,則VABC的周長(zhǎng).AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=15+2AE.【詳解】(1)解:如圖DE為所求;(2)解:連接AD.∵點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，∴DA=DC,AC=2AE,∴△ABC周長(zhǎng)：AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=15+2AE=15+6=21.12.如圖,AD是VABC的角平分線.(1)尺規(guī)作圖：作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；(標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫作法.)(2)連接DE、DF,求證:DE=DF,【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；(1)根據(jù)尺規(guī)作線段垂直平分線的方法作圖即可；(2)連接DE、DF,AD與EF交于點(diǎn)O,證明△AOE?△AOF,可得AE=AF,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=DE,AF=DF,等量代換可得結(jié)論.【詳解】(1)解：如圖所示：(2)證明:如圖,連接DE、DF,AD與EF交于點(diǎn)O,2AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD,②EF垂直平分線段AD，∠AOE=∠AOF=90°?在△AOE和△AOF中{∠AOE=∠AOF=90△AOE?△AOF(ASA),AE=AF,EF垂直平分線段AD，?AE=DE,AF=DF,DE=DF.題型四、線段的垂直平分線與角平分線的綜合問(wèn)題13.如圖,VABC中,∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點(diǎn)D,DM⊥BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,DN⊥BC于點(diǎn)N,若,BC=8,AB=3,則AM的長(zhǎng)為?【答案】答案2.5【分析】連接AD、CD,由AAS可證BDM≌BDN,則可得BM=BN、DM=DN,由HL可證RtDMA≌RtDNC,則可得AM=NC,設(shè)AM=x,則BM=BN=3+x,NC=5-x,由此得x=5-x,求出x的值即可得解.【詳解】解:如圖,連接AD、CDBD是∠ABC的角平分線,且DM⊥BA、DN⊥BC,∴∠ABD=∠CBD,∠DMB=∠DNB=90°,又∵BD=BD,∴BDM≌BDN(AAS),∴BM=BN,DM=DN,DE垂直平分AC,∴DA=DC,∴Rt△∴AM=NC,∵AB=3,BC=8,設(shè)AM=x,則BM=BN=3+x,NC=BC-BN=8-(3+x)=5-x,∴x=5-x,解得x=2.5,\AM=2.5.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.14.如圖,VABC中,∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D,DG⊥AB,DH⊥AC,垂足為點(diǎn)G,H.(1)求證:BG=CH;(2)若AB=10,AC=8,求BG的長(zhǎng).【答案】答案(1)見解析(2)1【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和判定，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵：(1)根據(jù)題意連接BD，CD，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得BD=CD，依據(jù)角平分線的性質(zhì)得DG=DH，依據(jù)HL證明Rt△BDG?R(2)由題意可得Rt△ADG?R【詳解】(1)證明:連接BD,CD,>HD是BC垂直平分線上的點(diǎn)，BD=CD,BAD平分∠BAC,DG⊥AB,DH⊥AC,DG=DH,∠BGD=∠H=90°,在Rt△BDG和Rt△CDH中{BD=CDDG=DHRt△BG=CH;(2)在Rt△ADG和R{AD=ADDG=DHRt△AG=AH,BAG+AH=AB-BG+AC+CH=AB+AC=18,AG=9,BG=AB-AG=10-9=1.15.如圖,VABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn),PD⊥AB于D,PE⊥AC于E.(1)求證:BD=CE;(2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的長(zhǎng).【答案】答案(1)證明見解析(2)2cm【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)：(1)連接BP、CP，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BP=CP，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DP=EP，然后利用“HL”證明Rt△BDP和Rt(2)利用“HL”證明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=AE，再根據(jù)AB、AC【詳解】(1)證明:連接BP、CP,點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，∴BP=CP,.AP是∠DAC的平分線,\DP=EP,在Rt△BDP和R{BP=CPDP=EP,∴Rt△∴BD=CE;(2)解:在Rt△ADP{AP=APDP=EP,∴Rt△∴AD=AE,∵AB=6cm,AC=10cm,\6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD,解得AD=2cm.B綜合攻堅(jiān)·能力躍升一、單選題1.如圖,在VABC中,∠A=90°,ED垂直平分BC,CE平分∠ACB,CE=7,ED=3,則AB的長(zhǎng)為()A.5 B.6 C.10 D.12【答案】C【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，得到AE=DE，BE=CE，再根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:∵∠A=90°,ED垂直平分BC,CE平分∠ACB,∴DE⊥BC,BE=CE=7,∴AE=DE=3,∴AB=AE+BE=10;故選C.2.如圖,在VABC中,∠C=90°,AC>BC,用直尺和圓規(guī)在邊AC上確定一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是()【答案】答案A【分析】本題考查了作圖————復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段中垂線的性質(zhì)和尺規(guī)作圖，點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等，可知點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，據(jù)此可得答案.【詳解】解：∵點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，故選:A.3.如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線上一點(diǎn)，PC?OA于點(diǎn)C,PD⊥OB于點(diǎn)D,連接CD交OP于點(diǎn)E.下列結(jié)論不一定正確的是()A.PC=PD B.OC=ODC.OP垂直平分CD D.OE=CD【答案】D【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可判斷A，證明Rt△COP?Rt【詳解】解:∵點(diǎn)P是∠AOB的角平分線上一點(diǎn),PC⊥OA于點(diǎn)C,PD⊥OB于點(diǎn)D,.PC=PD,故選項(xiàng)A成立,不符合題意;∵OP=OP,PC=PD,∴Rt△∴OC=OD，故選項(xiàng)B成立，不符合題意；∵PC=PD,OC=OD,∴PO垂直平分CD，故選項(xiàng)C成立，不符合題意；∵PO⊥CD,即∠OED=90°,∴OE<CD，故選項(xiàng)D不成立，符合題意；故選:D.4.如圖,AD是VABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,連接EF.EF與AD相交于點(diǎn)G.則下列結(jié)論:①DE=DF;②AE=AF;③AD垂直平分EF;④EF垂直平分AD,正確的是()A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④【答案】答案C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，可利用AAS證明VADE≌VADF得到DE=DF，AE=AF，據(jù)此可判斷①②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明EF垂直平分AD，據(jù)此可判斷④.【詳解】解:∵AD是VABC的角平分線,∴∠DAE=∠DAF,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEA=∠DFA=90°,又∵AD=AD,∴△ADE≌△ADF(AAS).∴DE=DF,AE=AF,故①②正確;∴AD垂直平分EF,故③正確;根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明EF垂直平分AD，故④錯(cuò)誤；故選:C.二、填空題5.如圖,已知AC=5cm,AD=9cm,BE是線段CD的垂直平分線,則VABC的周長(zhǎng)是cm.【答案】答案14【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題關(guān)鍵.根據(jù)BE是線段CD的垂直平分線得出BC=BD，將VABC周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC+AD即可.【詳解】解：∵BE是線段CD的垂直平分線，∴BC=BD∴VABC的周長(zhǎng)為:AC+AB+BC=AC+AB+BD=AC+AD=5+9=14(cm).故答案為：14.6.如圖，在VABC中，AB邊的垂直平分線DE分別與AB邊和AC邊交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，BC邊的垂直平分線FG分別與BC邊和AC邊交于點(diǎn)F和點(diǎn)G,若△BEG的周長(zhǎng)為9,且GE=1,則AC的長(zhǎng)為.【答案】7【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AE=BE，BG=CG，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案.【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE,同理可得:BG=CG,∵△BEG的周長(zhǎng)為9.∴BG+BE+GE=9,∵GE=1,∴BG+BE=8,∴AC=AE+CG-GE=BE+BG-GE=8-1=7,故答案為：7.7.如圖,在VABC中,AB=2,AC=4,EF垂直平分線段BC,P是直線EF上的任意一點(diǎn),則ABP周長(zhǎng)的最小值是.【答案】6【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到BP=CP，則可得到△ABP周長(zhǎng)=AP+CP+2,當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí),AP+CP有最小值,最小值為AC的長(zhǎng),即為4,據(jù)此可得答案?！驹斀狻拷猓喝鐖D所示，連接CP，∵EF垂直平分線段BC，P是直線EF上的任意一點(diǎn)，∴BP=CP,AB=2,∴△ABP周長(zhǎng)=AB+AP+BP=AP+CP+2,∵AP+CP≥AC,∴當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí),AP+CP有最小值，最小值為AC的長(zhǎng)，即為4，∴△ABP周長(zhǎng)的最小值為4+2=6,故答案為：6.8.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上且剛好落在AB垂直平分線上，點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，EF⊥AF,已知AD=4,BE=7,則(CE=_.【答案】3【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).通過(guò)延長(zhǎng)AF構(gòu)造全等三角形，利用平行線性質(zhì)和中點(diǎn)條件證△ADF?△GCF,轉(zhuǎn)化線段AD為CG，結(jié)合【詳解】解:連接AE,并延長(zhǎng)AF交BC延長(zhǎng)線于G,因?yàn)锳D∥BC,所以∠DAF=∠G,又F是CD中點(diǎn)，即DF=CF,且∠AFD=∠GFC,∴△ADF?△則AD=CG=4,點(diǎn)E在AB垂直平分線上，故AE=BE=7,由EF⊥AF,F是AG中點(diǎn),得AE=GE=7,所以CE=GE-CG=7-4=3.故答案為：3.三、解答題9.如圖,在VABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,且BD=DE.(1)求證:AB=EC;(2)若VABC的周長(zhǎng)為21cm,AC=8cm,求DC的長(zhǎng).【答案】答案(1)見解析(2)DC=6.5cm【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等可得AE=EC，AB=AE，即可證明：(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】(1)證明:連接AE.EF垂直平分AC,答案∴AE=EC,∵AD⊥BC,BD=DE,∴AD垂直平分BE,∴AB=AE,∴AB=EC;(2)∵△ABC的周長(zhǎng)為21cm,∴AB+BC+AC=2lcm,∵AC=8cm,∴AB+BC=13cm,∵AB=EC,BD=DE,∴AB+BD=EC+DE=12∴DC=6.5cm.10.如圖,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖.(1)作邊AB的中點(diǎn)D;(2)作∠ABC的平分線BE,交AC邊于點(diǎn)E1(3)作點(diǎn)C關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)F;(4)直接寫出DF的長(zhǎng)為.【答案】(1)見解析;(2)見解析:(3)見解析:(4)1.5.【分析】(1)作線段AB的垂直平分線，垂足為D，點(diǎn)D即為所求；(2)作射線BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E即可;(3)以B為圓心，BC為半徑作弧交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求；(4)求出BF,BD可得結(jié)論.【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)D即為所求；(2)解：如圖，射線BE即為所求；(3)解：如圖，點(diǎn)F即為所求；(4)解: ∵BF=BC=4,BD=DA=12∴DF=BF-BD=4-2.5=1.5.故答案為:1.5.【點(diǎn)睛】本題考查作圖-軸對(duì)稱變換，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。11.已知:如圖,MN是VABC的邊AC的垂直平分線,MN與AB,AC分別相交于點(diǎn)D,E,連接CD.(1)若CD=3,則AD的長(zhǎng)為；(2)若AB=5,BD=2,求CD的長(zhǎng)：(3)若△BDC的周長(zhǎng)為10，BC=4,求AB的長(zhǎng).【答案】答案(1)3(2)3(3)6【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解答本題的關(guān)鍵.(1)直接根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可；(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)得AD=CD,再求出AD=3即可求解；(3)先根據(jù)△BDC的周長(zhǎng)為10求出BD+CD=6,，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AD=CD,進(jìn)而可求出AB的長(zhǎng).【詳解】(1)解:∵M(jìn)N垂直平分AC,答案∴AD=CD,∵CD=3,∴AD=CD=3.故答案為：3；(2)解:∵M(jìn)N垂直平分AC,∴AD=CD,∵AB=5,BD=2,∴AD=AB-BD=5-2=3,∴CD=AD=3.(3)解:∵△BDC的周長(zhǎng)為10,BC=4,∴BD+CD=10-4=6,∵M(jìn)N垂直平分AC,∴AD=CD,∴AB=AD+BD=CD+BD=6.12.如圖，點(diǎn)D為VABC外一動(dòng)點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，連接CD交AB于點(diǎn)F.過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線于點(diǎn)O,OB=OC,已知∠ABD=∠ACD.過(guò)A作AM⊥BE于點(diǎn)M,AN⊥CD于點(diǎn)N(1)求證:△ABM≌△ACN(2)證明:AD為∠EDC的平分線.(3)若BD=2,DN=3,則CD=_.(直接寫出答案)【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)8【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵。(1)先證出AO垂直平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AC，再根據(jù)垂直的定義可得∠AMB=∠ANC=90°,然后利用AAS定理即可得證;(2)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AM=AN，再證出Rt△ADM≌Rt△ADN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；(3)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BM=CN，DM=DN，再根據(jù)線段和差、等量代換即可得解.【詳解】(1)證明:∵AO⊥BC,OB=OC,∴AO垂直平分BC,∴AB=AC,∵AM⊥BE,AN⊥CD,∴∠AMB=∠ANC=90°.在ABM和△ACN中,{∠AMB=∠ANC=90∴△ABM≌△ACN(AAS).(2)證明:由(1)已證:△ABM≌△ACN,∴AM=AN,在Rt△ADM和Rt△ADN中,{AD=ADAM=ANRt△ADM≌Rt△ADN(HL),∠ADM=∠ADN,∴AD為∠EDC的平分線.(3)證明:∵△ABM≌△ACN,Rt△ADM≌Rt△ADN,∴BM=CN,DM=DN,∵BM=DM+BD,∴CN=DN+BD.∵BD=2,DN=3,∴CD=CN+DN=2DN+BD=8.故答案為：8.13.如圖,VABC是等邊三角形,BD是中線,延長(zhǎng)BC至E,使CE=CD.(1)求證:DB=DE:(2)過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC,交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AB于M,連接BF.①若EM=12,則BD=_.②求證:AB垂直平分DF.【答案】(1)見解析(2)①8;②見解析【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°,再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC=∠CED,根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到DB=DE;(2)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=60°,∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°,求出∠BME=180°-∠ABC-∠CED=90°,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出DM=②根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AFD=∠CED，再利用ASA證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)證明VBDF是等邊三角形，即可解答.【詳解】(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,BD是中線,∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°,又∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED,又∵∠BCD=∠CDE+∠CED,∴∠CDE=∠CED=12∴∠DBC=∠DEC,∴DB=DE;(2)解:①∵VABC是等邊三角形,BD是中線,∴∠ABC=60°根據(jù)解析(1)可知,∠CED=30°,∴∠BME=180°-∠ABC-∠CED=90°,∵∠MBD=30°,∴DM=12根據(jù)(1)可知,BD=DE,∴EM=ED+MD=BD+12∵EM=12,∴32解得:BD=8;故答案為：8；②答案證明:∵AF∥BE,∴∠AFD=∠CED,QBD為VABC的中線,∴AD=DC∵∠ADF=∠CDE,∴△AFD?△∴AF=CE=CD=AD,DF=DE=BD,∵∠FDB=∠DBE+∠E=60°,∴BDF是等邊三角形，∴BF=BD,∵AF=AD,∴AB垂直平分DF.【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，直角三角形的性質(zhì)，利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CDE=30°是正確解答本題的關(guān)鍵.14.【問(wèn)題提出】數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在VABC中，AB=8，AC=6，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍.【問(wèn)題探究】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“VADC≌VEDB”的推理過(guò)程.(1)試說(shuō)明:VADC≌VEDB.解:延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,∵D是BC的中點(diǎn)(已知),∴CD=BD(中點(diǎn)定義),在△ADC和△EDB中,∴VADC≌VEDB().(2)探究得出AD的取值范圍是；【問(wèn)題解決】(3)如圖2,VABC中,?B90?,AB=3,AD是VABC的中線,CE⊥BC,CE=6,且∠ADE=90°,求AE的長(zhǎng).【答案】答案(1)對(duì)頂角相等;SAS;(2)1<AD<7;(3)AE=9【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)“倍長(zhǎng)中線”法構(gòu)造全等三角形，將分散的線段和角的關(guān)系集中，進(jìn)而解決問(wèn)題.(1)根據(jù)中點(diǎn)定義得到CD=BD，結(jié)合對(duì)頂角相等的性質(zhì)，利用SAS判定定理證明VADC≌VEDB；(2)由全等三角形性質(zhì)得BE=AC，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，進(jìn)而得到AD的取值范圍；(3)延長(zhǎng)AD交EC延長(zhǎng)線于F,利用ASA證明△ABD≌△FCD,得出CF=AB、AD=DF,結(jié)合∠ADE=90°得AE=FE，最后計(jì)算FE長(zhǎng)度即得AE的長(zhǎng).【詳解】(1)解:延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,∵D是BC的中點(diǎn)(已知),∴CD=BD(中點(diǎn)定義),在△ADC和△EDB中,∵{AD=ED∠ADC=∠EDB,∴△ADC?△EDB(SAS);故答案為：對(duì)頂角相等；SAS.(2)由題意可得:AC=BE=6,∵8-6<AE<