專題02三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型三類綜合題型目錄典例詳解類型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型類型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型類型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型壓軸專練典例詳解類型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型如圖，B、C分別是∠DAE兩邊上的點，連結(jié)BC，形狀類似于英文字母A，故我們把它稱為“A”字模型。條件：如圖，在△ABC中，∠1、∠2分別為∠3、∠4的外角：結(jié)論:①∠1+∠2=∠A+180°;②∠3+∠4=∠D+∠E證明:①∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°.②在△ABC中，∠A+∠3+∠4=180°;在△ADE中，例1.如圖，從VABC紙片中剪去△CDE,得到四邊形ABDE.如果∠1+∠2=240°,那么∠CA.40° B.60° C.50° D.55°【答案】答案B【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)平角的定義得出∠CED+∠CDE=(180°-∠1)+(180°-∠2)=360°-240°=120°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案.【詳解】解:?∠1+∠2=240°,∠CED+∠CDE=(180°-∠1)+(180°-∠2)=360°-240°=120°,?∠C=180°-(∠CED+∠CDE)=60°.故選:B.【變式1-1】如圖,在VABC中,按圖中虛線把角度為50°的∠C剪去,則∠1+∠2等于()A.200° B.210° C.220° D.230°【答案】D【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；如圖，由題意易得∠1=∠C+∠CEF，∠2=∠C+∠CFE，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可進行求解.【詳解】解：如圖，B∠1=∠C+∠CEF,∠2=∠C+∠CFE,?∠C+∠CEF+∠CFE=180°,∠C=50°,?∠l+∠2=∠C+∠CEF+∠C+∠CFE=180°+50°=230°;故選D.【變式1-2】如圖1,直線l與△ABC的邊AC,AB分別相交于點D,E(都不與點A重合).(1)若∠A=64°,①求∠1+∠2的度數(shù);②如圖2,直線m與邊AB,AC相交得到∠3和.∠4,直接寫出∠3+∠4的度數(shù).(2)如圖3,EO,DO分別平分∠BED和∠CDE,寫出∠EOD和∠A的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)如圖4,在四邊形BCDE中,點M,N分別是線段DC、線段BE上的點,NG,MG分別平分∠BNM和∠CMN,直接寫出∠NGM與∠E,∠D的關(guān)系.【答案】(1①244°【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識點，靈活運用相關(guān)知識是正確解答的關(guān)鍵.(1)①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義進行計算即可；②根據(jù)①的結(jié)論即可解答；(2)由(1)的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理即可解答；(3)由(2)的結(jié)論可得∠BNM+∠CMN=∠D+∠E，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行解答即可.【詳解】(1)解:①如圖1,∵∠1=∠A+∠ADE,∠2=∠A+∠AED,∴∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠AED+∠A,∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,∠A=64°,∴∠1+∠2=∠A+180°=64°+180°=244°;②由①方法可得:∠3+∠4=∠1+∠2=244°.(2)解:∠EOD=90°-∵EO,DO分別平分∠BED和∠CDE,∴∠OED=12∴∠OED+∠EDO=12∴∠EOD=180°(3)解:∠E+∠D+2∠NGM=360°,理由如下:由圖2可得,∠BNM+∠CMN=∠D+∠E,∵NG,MG分別平分∠BNM和.∠CMN,∴∠BNG=∠MNG=12∴∠MGN=180°2∠MGN+∠D+∠E=360°.【變式1-3】【問題呈現(xiàn)】小明在學(xué)習(xí)了三角形有關(guān)內(nèi)角與外角的相關(guān)知識后遇到這樣一個問題：如圖①，∠1與∠2分別為VABC的兩個外角,則∠1+∠2=180°+∠A.【推理證明】B∠1與∠2分別為VABC的兩個外角，∠1=∠A+_.?∠1+∠2=.1∠3+∠4+∠A=180°,?∠1+∠2=180°+∠A.【初步應(yīng)用】(1)如圖②,在VABC紙片中剪去△AED,得到四邊形BCDE,若∠1=130°,則∠2-∠A的大小為度.(2)如圖③,在VABC中,BP、CP分別為外角∠DBC、∠ECB的平分線,則∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【拓展提升】(3)如圖④,在四邊形ABCD中,BP、CP分別為外角∠EBC、∠FCB的平分線,若∠A+∠D=230°,求∠P的度數(shù).【答案】【推理證明】見解析；【初步應(yīng)用】(1)50；2∠P=90°【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵.【推理證明】由三角形外角性質(zhì)得∠1，∠2，再求∠1與∠2的和，最后由三角形內(nèi)角和定理問題即可得證：【初步應(yīng)用】(1)由∠1+∠2=180°+∠A進行變形為∠2-∠A=180°-∠1即可求解;(2)由角平分線的定義得∠PBC，∠PCB，再由三角形內(nèi)角和定理得出∠P=180°-【拓展提升】(3)延長BA、CD交于點M,先求∠M,再把∠M=50°代入∠P=90°-【詳解】證明：【推理證明】?∠1與∠2分別為VABC的兩個外角，?∠1=∠A+∠4,∠2=∠A+∠3,?∠l+∠2=∠A+∠3+∠4+∠A.②∠3+∠4+∠A=180°,(三角形內(nèi)角和定理)?∠1+∠2=180°+∠A.故答案為:∠4;∠3;∠A+∠3+∠4+∠A;答案解:(1)②∠1+∠2=180°+∠A,②∠2=∠A=180°=∠1=180°-130°=50°,故答案為：50；(2)圖BP、CP分別為外角∠DBC、∠ECB的平分線,∠PBC=12∠P=180°∠DBC+∠BCE=180°+∠A,∠P=180°(3)如圖所示,延長BA、CD交于點M,②∠BAD+∠ADC=230°,∠BAD+∠ADC=180°+∠M,B∠M=∠BAD+∠ADC-180°=230°-180°=50°,∠P=90°類型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型1)答案8字模型(基礎(chǔ)型)條件:如圖1,AD、BC相交于點O,連接AB、CD;結(jié)論:①∠A+∠B=∠C+∠D;②AB+CD<AD+BC。證明:在△ABO中,∠A+∠B+∠AOB=180°;在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°;∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D;在△ABO中,AB<AO+BO; 在△COD中, CD<CO+DO1∴AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC;∴AB+CD<AD+BC。2)8字模型(加角平分線)條件:如圖2,線段AP平分∠BAD,線段CP平分∠BCD;結(jié)論:2∠P=∠B+∠D證明:∵線段AP平分∠BAD,線段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②①+②得2∠P=∠B+∠D,則∠P=12∠B+∠D例2.如圖，AB和CD相交于點O，∠A=∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是()A.∠B=∠D B.∠1=∠A+∠DC.∠2>∠D D.∠C=∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可.【詳解】∵∠A+∠AOD+∠D=180°,∠C+∠COB+∠B=180°,∠A=∠C,∠AOD=∠BOC,∴∠B=∠D,∵∠1=∠2=∠A+∠D,∴∠2>∠D,故選項A,B,C正確,故選D.【點睛】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式2-1】如圖,已知直線AB、CD相交于點O,∠C=80°,∠A=40°,?B90?,∠D=.【答案】答案30°/30度【知識點】對頂角相等、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠AOC=180°-∠C-∠A=60°，由對頂角相等得∠BOD=∠AOC=60°，再利用三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.解題的關(guān)鍵是掌握：三角形內(nèi)角和為180°.【詳解】解:②∠C=80°,∠A=40°,D∠AOC=180°-∠C-∠A=180°-80°-40°=60°,②∠BOD=∠AOC=60°,2?B90?,B∠D=180°-∠B-∠BOD=180°-90°-60°=30°,故答案為:30°.【變式2-2】(1)生活中處處需要和諧，幾何學(xué)也如此，如圖1所示的圖形我們稱之為“和諧8字形”，則∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系.(2)在圖2中∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于P點,交叉形成了多個“和諧8字形”,若∠D=42°,∠B=38°,那么∠P的度數(shù)是.【答案】 ∠A+∠D=∠C+∠B 40°/40度【知識點】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，對頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.(1)利用三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據(jù)對頂角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解：(2)根據(jù)(1)的關(guān)系式求出∠OCB-∠OAD,∠1+∠D=∠3+∠P,然后利用“8字形”的關(guān)系式結(jié)合角平分線列式整理即可得解：【詳解】解:答案(1)∵∠A+∠D+∠AOD=180°,∠C+∠B+∠BOC=180°,又①∠AOD=∠BOC,∴∠A+∠D=∠B+∠C;(2)∵∠D=42°,∠B=38°,∴∠OAD+42°=∠OCB+38°,∴∠OCB-∠OAD=4°,∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線,∴∠1=12又∵∠1+∠D=∠3+∠P,∴∠P=∠1+∠D-∠3=12故答案為:(1)∠A+∠D=∠B+∠C,(2)40°【變式2-3】如圖，已知線段AB、CD相交于點O，連接AB、CD，我們把形如這樣的圖形稱為“八字圖形”.(1)求證:∠A+∠C=∠B+∠D;(2)如圖②,若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P,與CD、AB分別交于點M,N.①觀察圖②，寫出另外兩組“八字圖形”中與(1)類似的結(jié)論：：②若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度數(shù);③根據(jù)②的結(jié)果直接寫出∠B，∠C，∠P之間的關(guān)系(不需要證明).【答案】(1)見解析(2)①∠CAM+∠C=∠PDM+∠P(答案不唯一);②∠P=110°;③2∠P=∠B+∠C【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【分析】本題主要考查了三角形外角的定義和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、對頂角的性質(zhì)等知識，理解并掌握三角形外角的定義和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.(1)利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等即可證明；(2)①根據(jù)“8字型”的定義判斷即可；②由(1)結(jié)論可得在△AMC和△DMP中,∠C+∠CAM=∠P+∠PDM,在△BDN和△PAN中,∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，兩式相加再由角平分線的定義即可解答：③根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2,∠3=∠4,在△AMC和△DMP中,可有∠C+∠1=∠P+∠3,即∠C-∠P=∠P+∠3-∠1,同理在△BDN和△PAN中,可有∠B=∠P+∠2-∠4,∠B+∠C=∠P+∠2=∠4+∠P+∠3=∠1=2∠P,即可獲得答案.【詳解】(1)證明:在△AOC中,∠A+∠C=180°-∠AOC,在△BOD中,∠B+∠D=180°-∠BOD,B∠AOC=∠BOD,②∠A+∠C=∠B+∠D;(2)解:①以線段AC為邊的“8字型”有:△ACM和△PDM,△ACO和△BOD,△ACO和△DNO;以點O為交點的字型"有:△ACO和△BDO,△ACO和△DNO,△AMO和△BDO,△AMO和△DNO;“8故答案為:∠CAM+∠C=∠PDM+∠P;②②在△AMC和△DMP中,∠C+∠CAM=∠P+∠PDM,在△BDN和△PAN中,∠B+∠BDN=∠P+∠PAN,②∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN,PA平分∠BAC,PD平分∠BDC,②∠CAM=∠PAN,∠BDN=∠PDM,②∠C+∠B=2∠P,即120°+100°=2∠P,?∠P=110°;③∠B、∠C、∠P之間的關(guān)系為2∠P=∠B+∠C.理由如下：如下圖，DAP和DP分別平分∠CAB和∠BDC,?∠1=∠2,∠3=∠4,在△AMC和△DMP中,∠C+∠1=∠P+∠3,?∠C-∠P=∠P+∠3-∠1,在△BDN和△PAN中,∠B+∠4=∠P+∠2,B∠B=∠P+∠2-∠4,B∠B+∠C=∠P+∠2-∠4+∠P+∠3-∠1=2∠P,?∠B、∠C、∠P之間的關(guān)系為2∠P=∠B+∠C.類型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型基本模型:條件:如圖1,凹四邊形ABCD;結(jié)論:①∠BCD=∠A+∠B+∠D;②AB+AD>BC+CD。證明：連接AC并延長至點P;在△ABC中,∠BCP=∠BAC+∠B;在△ACD中,∠DCP=∠CAD+∠D;又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC,∠BCD=∠BCP+∠DCP;∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。延長BC交AD于點P1在△ABQ中,AB+AQ>BC+CQ;在△CDQ中,CQ+QD>CD。即:AB+AQ+CQ+QD>BC+CQ+CD,故AB+AD>BC+CD。拓展模型1:條件:如圖2,BO平分∠ABC,OD平分∠ADC;結(jié)論:∠O=12證明:∵BO平分∠ABC,OD平分∠ADC:∴∠ABO=12根據(jù)飛鏢模型： ∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=12∠ABC+∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A;即∠O=12例3.如圖是一個“燕尾形”,已知∠ADC=105°,∠ABC=63°,∠BAD=22°,則∠BCD的度數(shù)為()CA.15° B.20° C.22° D.42°【答案】答案B【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握三角形外角的性質(zhì)。先利用三角形外角的性質(zhì)得到∠ADC=∠DEC+∠BCD，再利用三角形外角的性質(zhì)求得∠DEC，代入∠ADC=∠DEC+∠BCD求出∠BCD即可.【詳解】解:延長AD交BC于點E,∵∠ADC是△DEC的一個外角,∴∠ADC=∠DEC+∠BCD,∵∠ADC=105°,∴105°=∠DEC+∠BCD,∵∠DEC是△ABE的一個外角,∴∠DEC=∠ABC+∠BAD,∵∠ABC=63°,∠BAD=22°,∴∠DEC=∠ABC+∠BAD=63°+22°=85°,∴105°=85°+∠BCD,解得:∠BCD=20°,故選:B.【變式3-1】如下圖.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于()A.90° B.120° C.180° D.360°【答案】答案C【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了三角形外角、三角形內(nèi)角和的知識，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)與內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.延長BE,交AC于點G,根據(jù)三角形外角的性質(zhì),得∠GFC=∠D+∠DEF,∠BCC=∠A+∠B,再根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)計算，即可得到答案?！驹斀狻咳鐖D,延長BE,交AC于點G,C?∠GFC=∠D+∠DEF,B∠BGC=∠A+∠B,?∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠GFC+∠BGC+∠C=180°,故選:C.【變式3-2】已知:∠A=49°,點B、C在∠A的兩邊上,點P為平面內(nèi)一點,且∠PBA=38°,∠PCA=30°,則∠BPC=.【答案】117°或41°或【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和與三角形的外角性質(zhì)，全面分類、熟練掌握三角形的內(nèi)角和與三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；分三種情況：當(dāng)點P在∠A的內(nèi)部時，當(dāng)點P在∠A的外部時，若點P在AB上方，當(dāng)點P在∠A的外部時，若點P在AC下方，分別畫出圖形，利用三角形的內(nèi)角和與三角形的外角性質(zhì)即可求解.【詳解】解：當(dāng)點P在∠A的內(nèi)部時，如圖，延長BP交AC于點D，則∠BDC=∠A+∠B=87°∠BPC=∠PDC+∠C=117°當(dāng)點P在∠A的外部時，若點P在AB上方，如圖，設(shè)AB，PC交于點E，∠PEB=∠AEC,∠P+∠B=∠A+∠C,∠P=49°當(dāng)點P在∠A的外部時，若點P在AC下方，如圖，設(shè)AC，PB交于點E，?∠PEC=∠AEB,D∠P+∠C=∠A+∠B,①∠P=49°+38°-30°=57°;綜上:∠BPC=117°或41°或5故答案為：117°或41°或57°.【變式3-3】【探究】如圖①,試說明∠BOC=∠A+∠B+∠C;【應(yīng)用】(1)一張帆布折椅的側(cè)面示意圖如圖②所示,∠A=28°,∠D=12°,∠ABC=64°,∠BCD=46°,求椅面和椅背的夾角∠AED的度數(shù)：(2)如圖③,∠ABC=100°,∠DEF=130°,求∠A+∠C+∠D+∠F的度數(shù).【答案】探究:見解析:應(yīng)用:(1)110°;(2)230°【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】本題側(cè)重考查三角形的外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理.探究:連結(jié)AO,并延長,如圖所示,先由外角的性質(zhì)得∠BAO+∠B=∠BOM①,∠CAO+∠C=∠COM②,再由①+②即可得出結(jié)論：應(yīng)用：(1)先由三角形的內(nèi)角和求出∠2=70°，得到∠1=∠2=70°，再由探究的結(jié)論得到∠AED=∠A+∠D+∠1,代入求值即可;(2)連結(jié)AD,由探究可知∠F+∠FAD+∠EDA=∠DEF,∠BAD+∠ADC+∠C=∠ABC,即可得到∠F+∠FAB+∠D+∠CDE=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°,【詳解】探究：證明：連結(jié)AO，并延長，如圖所示，∵∠BOM是△ABO的外角,∴∠BAO+∠B=∠BOM①,∵∠COM是△AOC的外角,∴∠CAO+∠C=∠COM②,①+②,得∠BAO+∠B+∠CAO+∠C=∠BOM+∠COM,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C;應(yīng)用：解:(1)∵∠ABC=64°,∠BCD=46°,∴∠2=180°-∠ABC-∠BCD=180°-64°-46°=70°,∴∠1=∠2=70°,由探究可知∠AED=∠A+∠D+∠1=28°+12°+70°=110°;(2)連結(jié)AD,如圖所示.由探究可知∠F+∠FAD+∠EDA=∠DEF③,∠BAD+∠ADC+∠C=∠ABC④,③+④,得∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°,∴∠FAB+∠C+∠EDC+∠F=230°.壓軸專練一、單選題1.如圖,VABC中,∠A=65°,直線DE交AB于點D,交AC于點E,則∠BDE+∠CED=().A.180° B.215° C.235° D.245°【答案】答案D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE+∠AED，根據(jù)平角的概念計算即可.【詳解】解:∵∠A=65°,∴∠ADE+∠AED=180°-65°=115°,∴∠BDE+∠CED=360°-115°=245°,故選:D.【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵.2.如圖,在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中,∠D=28°,則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為().A.262° B.152° C.208° D.236°【答案】C【分析】如圖標(biāo)記徑,2,?3,然后利用三角形的外角性質(zhì)得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3,∠2=∠A+∠C,再利用∠2，∠3互為鄰補角，即可得答案.【詳解】解：如下圖標(biāo)記行，2，?3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3,∵∠D=28°,∴∠3=∠B+∠F-28°,又∵∠2=∠A+∠C,∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F-28°,∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F-28°,∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°,故選C.【點睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補角的意義，熟練掌握并靈活運用三角形的外角性質(zhì)與鄰補角的意義是解答此題的關(guān)鍵。3.如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合,若BA=60°,則B1+B2=()A.75° B.120° C.105° D.210°【答案】答案B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出2ADE+RAED，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得EA'DE=EADE，EA'ED=BAED，然后利用平角等于180°列式計算即可得解.【詳解】解:MMA=60°,圖ADE+BAED=180°-60°=120°,圓ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合，BBA'DE=BADE,BA'ED=BAED,201+22=180°-(BA'ED+BAED)+180°-(EA'DE+BADE)=360°-2×120°=120°.故選:B.【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻折變換的性質(zhì)，整體思想的利用求解更簡便.4.在社會實踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°,那么∠F的度數(shù)是().A.72° B.70° C.65° D.60°【答案】答案B【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC，再利用鄰補角的性質(zhì)求出∠DEO，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠DFO，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)即可求出∠DFC的度數(shù).【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，B∠OAB+∠B+∠AOB=180°,∠AOB=180°-∠B-∠OAB,同理得∠AOC=180°-∠OAC-∠C,?∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,答案?∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=360°-(180°-∠B=∠OAB)-(180°-∠OAC-∠C)=∠B+∠C+∠BAC=107°,?∠BED=72°.∠DEO=180°-∠BED=108°,?∠DFO=360°-∠D-∠DEO-∠EOF=360°-35°-108°-107°=110°,?∠DFC=180°-∠DFO=180°-110°=70°,故選:B.【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進行求解.三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；鄰補角性質(zhì)：鄰補角互補；多邊形內(nèi)角和：180°(n-2).二、填空題5.如圖，將∠1、∠2、∠3按由小到大的順序可以排列為.【答案】∠1<∠2<∠3【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，熟知三角形的一個外角大于和它不相鄰的任一個內(nèi)角是解題的關(guān)鍵：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可.【詳解】解:②∠2是VABC的外角,?∠1<∠2,同理∠2<∠3,?∠1<∠2<∠3;故答案為:∠1<∠2<∠3.6.如圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=.9【答案】答案720°/720度【分析】連接DH，利用三角形外角性質(zhì)得Q81=②A+②F,2=3+85,再利用四邊形內(nèi)角和等于360°即可求解.【詳解】解：如圖，連接DH，③4+26+②E+G=360°②A+△F+B+②C+\circledE故答案為：720°【點睛】本題考查四邊形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，將所求角轉(zhuǎn)化成三角形與四邊形的內(nèi)角，利用四邊形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.7.如圖，四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E，F(xiàn)，∠E=40°,∠F=60°,若∠A與∠BCD互補，則【答案】答案40°/40度【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，連接EF，可得∠ECD=∠A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ECD=∠1+∠2,則∠A=∠1+∠2,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180°,即2∠A+40°+60°=180°,再解方程即可.【詳解】解：連接EF，如圖，B∠A+∠BCD=180°,∠BCD+∠DCE=180°,B∠ECD=∠A,?∠ECD=∠1+∠2,B∠A=∠1+∠2,?∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180°,②2∠A+40°+60°=180°,?∠A=40°.故答案為:40°.8.如圖,AB⊥BC于點B,CD⊥BC于點C,點E在線段BC上,且AE⊥DE.AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE,則∠F的度數(shù)是.【答案】45°/45度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角平分線的定義，熟知相關(guān)知識點，正確添加輔助線是正確解答此題的關(guān)鍵。過點F作FM∥AB,根據(jù)平行公理的推論證明FM∥AB∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠CDF=∠DFM,∠BAF=∠AFM,根據(jù)AB⊥BC于點B,CD⊥BC于點C,點E在線段BC上,AE⊥DE推出∠BAE+∠CDE=90°,即可求解.【詳解】解:過點F作FM∥AB,∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴∠B=∠C=90°,∴∠B+∠C=180°,∴AB∥CD,∴FM‖AB‖CD,∵AE⊥DE,∴∠CED+∠AEB=∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CED,∵∠CED+∠CDE=90°,∴∠BAE+∠CDE=90°,∵AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE,∴∠CDF=12∴∠CDF+∠BAF=12∵FM‖AB‖CD,答案∴∠CDF=∠DFM,∠BAF=∠AFM,∴∠AFD=∠CDF+∠BAF=45°.三、解答題9.如圖所示,∠DAE的兩邊上各有一點B,C,連接BC,求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A.【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和證明即可.【詳解】解:∵∠DBC和∠ECB是VABC的外角,∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A.【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.10.如圖,BP平分∠ABC,交CD于點F,DP平分∠ADC交AB于點E,AB與CD相交于點G,∠A=42°.(1)若∠ADC=60°,求∠AEP的度數(shù);(2)若∠C=38°,求∠P的度數(shù).【答案】(1)72°;(2)40°.【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得ADP=12∠ADC,(2)根據(jù)角平分線的定義可得@ADP=MPDF，MCBP=MPBA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得BA+EADP=EP+EABP,BC+BCBP=②P+EPDF,所以EA+BC=2EP,即可得解.【詳解】解:(1)EDP平分EADC,ADP=②PDF=12∠ADC,?∠ADC=60°,?∠ADP=30°,?∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°;(2)圖BP平分圖ABC,DP平分圖ADC,?ADP=②PDF,②CBP=?PBA,REA+EADP=EP+EABP,C+CBP=P+②PDF,?A+5C=2∣P,圖2A=42°,BC=38°,P=123【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記定理并理解“8字形”的等式是解題的關(guān)鍵.11.(1)如圖①,在凹四邊形ABOC中,請直接寫出∠BOC與∠B,∠C,∠A之間的數(shù)量關(guān)系.(2)根據(jù)圖②中的條件,利用(1)中你得出的結(jié)論計算∠A+∠ABC+∠D+∠DEF的度數(shù).(3)如圖③,在VABC中,設(shè)∠A=β,∠ABC和∠ACB的平分線BD,CE交于點O,過B作EC的平行線BG交AC的延長線于點G，試用含β的代數(shù)式表示∠OBG.【答案】答案(1)∠BOC=∠A+∠B+∠C;(2)224°;3∠OBG=90【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)延長BO交AC于點D,利用外角的性質(zhì)可得∠BDC=∠A+∠B,∠BOC=∠BDC+∠C,從而得到∠BOC=∠A+∠B+∠C;(2)連接BE,利用(1)中得出的結(jié)論可知:∠A+∠ABE+∠BEF=∠AFE=132°,∠CBE+∠D+∠BED=∠BCD=92°,兩式相加即可得解:(3)利用角平分線得到∠OBC+∠OCB=90-β2,再根據(jù)∠CBG=∠OCB,∠OBG=∠OBC+∠CBG即可求【詳解】解:(1)∠BOC=∠A+∠B+∠C,理由如下:延長BO交AC于點D,如圖①;②∠BDC是△ABD的外角,B∠BDC=∠A+∠B.?∠BOC是△COD的外角,B∠BOC=∠BDC+∠C,B∠BOC=∠A+∠B+∠C,即∠BOC與∠B、∠C、∠A之間的關(guān)系為∠BOC=∠A+∠B+∠C;(2)連接BE,如圖②:根據(jù)圖②中的條件，利用(1)中得出的結(jié)論可知：∠A+∠ABE+∠BEF=∠AFE=132°,∠CBE+∠D+∠BED=∠BCD=92°,④∠A+∠ABE+∠BEF+∠CBE+∠D+∠BED=132°+92°=224°,即∠A+∠ABC+∠D+∠DEF=224°;(3)答案在VABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-β,?∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE交于點O,∠OBC=12∠OBC+∠OCB=12BG∥EC,?∠CBG=∠OCB,∠OBG=∠OBC+∠CBG=∠OBC+∠OCB=90°即用含β的代數(shù)式表示∠OBG的度數(shù)為90°12.(1)已知：如圖(1)的圖形我們把它稱為“8字形",試說明:∠A+∠B=∠C+∠D.(2)如圖(2),AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°.求∠P的度數(shù).(3)如圖(3),直線AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是;(4)如圖(4),直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是.【答案】(1)見解析;(2)26°;3∠P=904∠P=180【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和對頂角的性質(zhì)即可得證；(2)設(shè)解方程即可得到答案；(3)根據(jù)直線AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,得到∠PAB=∠PAD=12∠BAD,∠PCB=∠PCE=根據(jù)∠P+∠PAD=∠PCD+∠D,∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到∠P-∠B=∠PAD+∠PCB=∠PAB+∠PCB即可求解:(4)連接PB,PD,求得∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°,∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°,再根據(jù)∠PCE+∠PCD=180°,∠PAB+∠PAF=180°,∠FAP=∠PAO,∠PCE=∠PCB,即可求解.【詳解】解:(1)如圖.∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD.∵∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D;(2)如圖,∵AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD,設(shè)∠BAP=∠PAD=x,∠BCP=∠PCD=y,則有∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC,∴∠P=12(3)如圖,∵直線AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,∴∠PAB=∠PAD=122∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D,圓180°-2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B?∠P+∠PAD=∠PCD+∠D,∠BAD+∠B=∠BCD+∠D?∠P+∠PAD-∠BAD-∠B=∠PCD-∠BCD∴∠P-∠PAB-∠B=∠PCB,①∠P-∠B=∠PAB+∠PCB2180°-2(∠P-∠B)+∠D=∠B,即∠P=90°(4)連接PB,PD∵直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,∴∠FAP=∠PAO,∠PCE=∠PCB,B∠APB+∠PBA+∠PAB=180°,∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°B∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°同理得到:∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°②2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°②2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°1∠PCE+∠PCD=180°,∠PAB+∠PAF=180°2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°,∴∠APC=180°【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.13.如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系,并說明理由;(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在VABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，直接寫出∠ABX+∠ACX的結(jié)果;②如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度數(shù):③如圖4,∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點G1.G2,?