第六章

數(shù)據(jù)的分析6.2.2

四分位數(shù)及箱線圖1.理解四分位數(shù)的概念，掌握四分位數(shù)的計算方法。2.理解箱線圖的構成及其意義，能夠繪制和解讀箱線圖。3.能夠通過四分位數(shù)和箱線圖分析數(shù)據(jù)的分布特征。

情境：某次考試中，一班的部分成績如圖所示，請問老師該如何描述班級中學生的成績分布情況？除了平均數(shù)和中位數(shù)，還有哪些統(tǒng)計量可以幫助我們分析數(shù)據(jù)？在百分位數(shù)中，25

%

分位數(shù)、50

%

分位數(shù)、75

%

分位數(shù)是三個最常用的百分位數(shù)，它們把一組數(shù)據(jù)分為個數(shù)相等的四部分，因此分別稱為下四分位數(shù)、中位數(shù)和上四分位數(shù)，記為

m25，m50，m75，統(tǒng)稱四分位數(shù)。百分位數(shù)m75：75

%

分位數(shù)（上四分位數(shù)）m50：50%

分位數(shù)（中位數(shù)）m25：25

%

分位數(shù)（下四分位數(shù)）四分位數(shù)問題1：某市

12

月16

—

31日每日的最高氣溫

(單位：℃)

依次如下：5，3，2，2，2，2，3，3，5，5，-2，-2，-5，-1，-1，-1求這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

m25，m50，m75。

練一練1：有一組數(shù)據(jù)：3，5，7，9，11，13，15，求這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)、中位數(shù)和上四分位數(shù)。練一練2：在一次體育測試中，10名學生的跳遠成績（單位：米）分別為：4.5，4.8，5.0，5.2，5.5，5.8，6.0，6.2，6.5，6.8。請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，確定成績處于下四分位數(shù)以下的學生人數(shù)。m25=5m50=9m75=132人問題2：老師記錄了全班

40名學生

1min跳繩的次數(shù)：132136144162144115132136123144136136132159136144129136139153123133144137152138136129129134138149125128128133138134146148（1）求全班學生

1

min

跳繩次數(shù)的最小值、下四分位數(shù)、中位數(shù)、上四分位數(shù)和最大值；解：（1）將

40

名學生

1

分鐘跳繩的次數(shù)從小到大排列：115，123，123，125，128，128，129，129，129，132，132，132，133，133，134，134，136，136，136，136，136，136，136，137，138，138，138，139，144，144，144，144，144，146，148，149，152，153，159，162；最小值為：115最大值為：162

（1）求全班學生

1

min

跳繩次數(shù)的最小值、下四分位數(shù)、中位數(shù)、上四分位數(shù)和最大值；（2）老師繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖。你能讀懂這個統(tǒng)計圖嗎?

圖中出現(xiàn)了5

條橫線，分別對應

5

個數(shù)據(jù)，它們是怎樣的數(shù)據(jù)?

你認為這個統(tǒng)計圖是如何畫出的?最小值最大值m25(下四分位數(shù))m50(中位數(shù))m75(上四分位數(shù))（3）根據(jù)圖，中間的“箱子”被

136

分成了兩部分，其中“下半截箱子”比較短，這說明什么?“下半截箱子”比較短，說明下四分位數(shù)與中位數(shù)之間的距離相對較小，即班級中有25%的數(shù)據(jù)集中在相對較小的范圍內，且靠近中位數(shù)136；這意味著跳繩次數(shù)在132（下四分位數(shù)）到136（中位數(shù)）之間的學生人數(shù)相對較少。在全班學生

1

分鐘跳繩次數(shù)的數(shù)據(jù)中，存在

159、162

等較大的極端值，這些較大的值會對平均數(shù)產(chǎn)生向上的拉動作用，而中位數(shù)不受這些極端值的影響；且根據(jù)前面“箱子”統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)情況，可以估計全班學生

1

分鐘跳繩次數(shù)的平均數(shù)大于中位數(shù)。（4）請估計一下，全班學生1

min

跳繩次數(shù)的平均數(shù)和中位數(shù)哪個大?132136144162144115132136123144136136132159136144129136139153123133144137152138136129129134138149125128128133138134146148如圖所示的這種統(tǒng)計圖叫作箱線圖。箱線圖有時也畫成橫圖的形式。（1）在圖1的直方圖中，數(shù)據(jù)的分布有什么特點?

圖2的箱線圖是否也反映了數(shù)據(jù)的這種特征?（2）讀取箱線圖時，你可以借鑒之前學習統(tǒng)計圖的哪些經(jīng)驗？問題3：為反映全班學生

1

min

跳繩次數(shù)的整體情況，小穎和小亮分別畫出了圖1和圖2。圖1圖2（1）圖1直方圖中數(shù)據(jù)主要集中在130-140跳繩次數(shù)區(qū)間內，兩端的數(shù)據(jù)較少，呈現(xiàn)中間多、兩邊少的分布特征；圖2的箱線圖也反映了這種數(shù)據(jù)中間多、兩邊少的特征；（2）讀取箱線圖時，可以借鑒條形圖通過長度比較數(shù)據(jù)離散程度的經(jīng)驗，以及折線圖觀察數(shù)據(jù)分布范圍和集中趨勢變化的經(jīng)驗。圖1圖2練一練3：如圖是同一班級學生兩次1min跳繩成績的箱線圖。該班學生第二次跳繩成績有什么變化?你是如何得出結論的?（1）整體水平提升：第二次跳繩的最小值（130

>

115）、中位數(shù)（153

>

136）、最大值（181

>

162）均顯著大于第一次，說明低水平、中等水平、高水平學生的跳繩成績都有進步；（2）中間50%數(shù)據(jù)上移：第二次的箱體（m25~m75之間的距離，代表中間50%學生的成績范圍）從“132~144”上移到“146~160”，說明大部分學生的跳繩成績都有提升。1.能直觀展示數(shù)據(jù)分布特征：通過箱線圖的箱子，可以直觀地看出數(shù)據(jù)的集中趨勢（中位數(shù)）、離散程度（四分位距和全距）以及數(shù)據(jù)的偏態(tài)性（箱子上下部分的長短）。2.能識別異常值：箱線圖能清晰地標記出異常值，超出須的范圍的點即為異常值，便于分析數(shù)據(jù)中是否存在特殊情況。3.數(shù)據(jù)信息簡潔明了：相比于大量原始數(shù)據(jù)，箱線圖用幾個關鍵數(shù)