浙江省“七彩陽光”新2025年高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果橢圓上一點到焦點的距離等于6，則線段的中點到坐標原點的距離等于（）A.7 B.10C.12 D.142．數(shù)列1，-3，5，-7，9，…的一個通項公式為A. B.C. D.3．橢圓的焦點坐標為（）A.和 B.和C.和 D.和4．“”是“函數(shù)在上無極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（）A. B.C. D.7．已知二次函數(shù)交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.8．魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術，他在《九章算術》方田章圓田術中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復，設，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（）A.2 B.3C. D.9．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.10．函數(shù)的圖象如圖所示，是f(x)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A B.C. D.11．某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取容量為50的樣本，則應從高三年級抽取的學生數(shù)為（）A.10 B.15C.20 D.3012．設，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的焦點，過F且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個交點，則雙曲線的方程為_________14．已知曲線在點處的切線方程是，則的值為______15．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為________.16．已知直線（為常數(shù)）和圓，給出下列四個結論：①當變化時，直線恒過定點；②直線與圓可能無公共點；③若直線與圓有兩個不同交點，，則線段的長的最小值為；④對任意實數(shù)，圓上都不存在關于直線對稱的兩個點.其中正確的結論是______.（寫出所有正確結論的序號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，E、F分別是、的中點（1）求證：平面；（2）求證：平面18．（12分）三棱柱中，側面為菱形，，，，（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由19．（12分）要設計一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設計才能使得總成本最低？20．（12分）設O為坐標原點，動點P在圓上，過點P作軸的垂線，垂足為Q且.（1）求動點D的軌跡E的方程；（2）直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩不同的點A、B，T為線段AB的中點.線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點，記的面積分別為，求的取值范圍.21．（12分）已知P，Q的坐標分別為，，直線PM，QM相交于點M，且它們的斜率之積是.設點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線的方程；（2）設為坐標原點，圓的半徑為1，直線：與圓相切，且與曲線交于不同的兩點A，B.當，且滿足時，求面積的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是與的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】可由橢圓方程先求出，在利用橢圓的定義求出，利用已知求解出，再取的中點，連接，利用中位線，即可求解出線段的中點到坐標原點的距離.【詳解】因為橢圓，，所以，結合得，，取的中點，連接，所以為的中位線，所以.故選：A.2、C【解析】觀察，奇偶相間排列，偶數(shù)位置為負，所以為，數(shù)字是奇數(shù)，滿足2n-1,所以可求得通項公式.【詳解】由符號來看，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以符號滿足，由數(shù)值1，3，5，7，9…顯然滿足奇數(shù)，所以滿足2n-1,所以通項公式為，選C.【點睛】本題考查觀察法求數(shù)列的通項公式，解題的關鍵是培養(yǎng)對數(shù)字的敏銳性，屬于基礎題.3、D【解析】本題是焦點在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點坐標.【詳解】，可得焦點坐標為和.故選：D4、B【解析】根據(jù)極值的概念，可知函數(shù)在上無極值，則方程的，再根據(jù)充分、必要條件判斷，即可得到結果.【詳解】由題意，可得，若函數(shù)在上無極值，所以對于方程，,解得.所以“”是“函數(shù)在上無極值”的必要不充分條件.故選：B.5、B【解析】構造利用導數(shù)判斷函數(shù)在上單調遞減，利用單調性比較大小【詳解】設恒成立，函數(shù)在上單調遞減，.故選：B6、C【解析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C7、C【解析】由已知求得點A、B、C的坐標，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C8、A【解析】設，則，解方程可得結果.【詳解】設，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：設是解題關鍵.9、B【解析】由題設可得，又，易知，，將問題轉化為平面點線距離關系：向量的終點為圓心，1為半徑的圓上的點到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問題轉化為求在圓上的哪一點時，使最小，又，∴當且僅當三點共線且時，最小為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：由已知確定，，構成等邊三角形，即可將問題轉化為圓上動點到射線的距離最短問題.10、A【解析】結合導數(shù)的幾何意義確定正確選項.【詳解】，表示兩點連線斜率，表示在處切線的斜率；表示在處切線的斜率；根據(jù)圖象可知，.故選：A11、C【解析】根據(jù)抽取比例乘以即可求解.【詳解】由題意可得應從高三年級抽取的學生數(shù)為，故選：C.12、C【解析】根據(jù)否命題的定義直接可得.【詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)直線與雙曲線只有一個交點可知直線與雙曲線平行，由漸近線斜率可列出的齊次方程，利用齊次方程求解.【詳解】直線與雙曲線有且只有一個交點，且焦點，直線與雙曲線漸近線平行，，即，，即，.則雙曲線的方程為故答案為：14、11【解析】根據(jù)給定條件結合導數(shù)的幾何意義直接計算作答.【詳解】因曲線在點處的切線方程是，則，，所以.故答案為：1115、6【解析】由橢圓方程得到F，O的坐標，設P(x，y)(－2≤x≤2)，利用數(shù)量積的坐標運算將·轉化為二次函數(shù)最值求解.【詳解】由橢圓＋＝1，可得F(－1，0)，點O(0，0)，設P(x，y)(－2≤x≤2)，則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，當x＝2時，·取得最大值6.故答案為：6【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積及應用以及橢圓的幾何性質和二次函數(shù)求最值，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.16、③④【解析】由可判斷①；根據(jù)直線過的定點在圓內可判斷②；當直線與過圓心的直徑垂直時，求出線段的長度可判斷③；把圓心代入直線的方程可判斷④.【詳解】對于①，，當變化時，直線恒過定點，故錯誤；對于②，因為，所以在圓的內部，所以直線與圓總有公共點，故錯誤；對于③，當直線與過圓心的直徑垂直時，線段的長度的最小，此時，故正確；對于④，把圓心代入直線，得對任意實數(shù)，圓上都不存在關于直線對稱的兩個點，故正確.故答案為：③④.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接，交于點M，連接ME，則M為中點．根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形的判斷和性質可證得，再由線面平行的判定定理可得證；（2）由線面垂直的性質和判定可得證.【詳解】證明：（1）連接，交于點M，連接ME，則M為中點因為E、F分別是與的中點，所以，則，從而為平行四邊形，則又因為平面平面，所以平面（2）由平面，因為平面，所以而，M為的中點，所以因為，所以平面，由（1）有，故平面18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取BC的中點O，連結AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結果.（2）建立空間直角坐標系，假設點M存在，設，求出M點坐標，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據(jù)二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點O，連結AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，所以，又，滿足，所以；因為，所以平面，因為平面中，所以平面平面.（2）由（1）問知：兩兩垂直，以O為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間之間坐標系.則，，，，若存在點M，則點M在上，不妨設，則有，則，有，，設平面的法向量為，則解得：平面的法向量為則解得：或（舍）故存在點M，.【點睛】本題考查立體幾何探索是否存在的問題，屬于中檔題.方法點睛：（1）判斷是否存在的問題，一般先假設存在；（2）設出點坐標，作為已知條件，代入計算；（3）根據(jù)結果，判斷是否存在.19、當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.【解析】設圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進而根據(jù)體積得到，然后求出表面積，進而運用導數(shù)的方法求得表面積的最小值，此時成本最小.【詳解】設圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價為元，由題意得：，則，表面積造價，，令，得，令，得，的單調遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.20、（1）；（2）.【解析】(1)設出點D的坐標，借助向量運算表示出點P的坐標代入圓O的方程計算作答.(2)在直線的斜率存在時設出其方程，與軌跡E的方程聯(lián)立，借助韋達定理表示出，再利用二次函數(shù)性質計算得解，然后計算直線的斜率不存在的值作答.【小問1詳解】設點，則，因，則有，又點P在圓上，即，所以動點D的軌跡E的方程是.【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設其方程為：，因直線與圓相切，則，即，而時，直線與橢圓E相切，不符合題意，因此，由消去x并整理得：，設，則，而點T是線段AB中點，則有：，令，則，而，當，即時，，當，即時，，而，于是得，當直線的斜率不存在時，直線，，此時，所以的取值范圍是.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達定理構建目標的函數(shù)關系式，自變量可以斜率或點的橫、縱坐標等