安徽省馬鞍山市2026屆數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列滿足，對(duì)任意，都有，則（）A. B.C. D.3．【山東省濰坊市二?！恳阎p曲線的離心率為，其左焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.4．在三棱錐中，，D為上的點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.5．已知長(zhǎng)方體中，，，則直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．已知橢圓是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，設(shè)以為對(duì)角線的橢圓內(nèi)接平行四邊形的一組鄰邊斜率分別為，則（）A.1 B.C. D.7．雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，若直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.8．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.9．直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)|AB|等于（）A. B.C. D.10．焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y11．已知，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.12．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于PQ兩點(diǎn)，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（）A.8 B.7C.6 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光邊界類(lèi)似雙曲線的一支.如圖，P為雙曲線的頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，該雙曲線的漸近線相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，雙曲線的焦點(diǎn)位于直線PC上，則該雙曲線的焦距為_(kāi)___cm.14．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)__________.15．棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)到截面的距離等于__________.16．已知正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CD上靠近D的四等分點(diǎn)，則直線EF與AG所成角的余弦值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）證明：18．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率等于（1）求橢圓的方程（2）設(shè)，若橢圓E上存在兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q滿足，證明：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).19．（12分）已知圓與直線相切（1）求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若線段AB的端點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程20．（12分）三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，，（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，E為的中點(diǎn)（1）證明：（2）已知，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】對(duì)A，根據(jù)當(dāng)時(shí)，的值即可判斷；對(duì)B，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷；對(duì)C，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可判斷；對(duì)D，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，的定義域?yàn)?，且，故為奇函?shù)；，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，又，，故存在，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)C，為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：B.2、C【解析】首先根據(jù)題設(shè)條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)，考查利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于常考題.3、D【解析】分析：根據(jù)題設(shè)條件，列出方程，求出，，的值，即可求得雙曲線得標(biāo)準(zhǔn)方程詳解：∵雙曲線的離心率為，其左焦點(diǎn)為∴，∴∵∴∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選D.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題設(shè)條件求出，，的值是解決本題的關(guān)鍵.4、B【解析】根據(jù)幾何關(guān)系以及空間向量的線性運(yùn)算即可解出【詳解】因?yàn)?，所以，即故選：B5、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與所成角為，由求解.【詳解】∵長(zhǎng)方體中，，，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，則，，，，所以，，設(shè)直線與所成角為，則，∴直線和夾角余弦值是.故選：C.6、C【解析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性和平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，即，因?yàn)槠叫兴倪呅我彩侵行膶?duì)稱圖形，所以也是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，即，，得：，即，故選：C7、A【解析】求出，分析可得，可得出關(guān)于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯(lián)立，可得，則，易知點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，且為線段的中點(diǎn)，則，又因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.8、C【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C9、A【解析】聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求距離.【詳解】由得交點(diǎn)為(0,1)，，則|AB|＝＝.故選：A.10、B【解析】由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p，則答案可求【詳解】由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），得，即p=2∴拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題11、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A12、C【解析】依據(jù)拋物線定義可以證明：以過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的弦PQ為直徑的圓與其準(zhǔn)線相切，則可以順利求得線段的長(zhǎng).【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線取PQ中點(diǎn)H，分別過(guò)P、Q、H作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N、M、E則四邊形為直角梯形，為梯形中位線，由拋物線定義可知，,，則故，即點(diǎn)H到拋物線準(zhǔn)線的距離為的一半，則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.又以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線與直線間的距離.即故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立直角坐標(biāo)系，利用代入法、雙曲線的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)樵撾p曲線的漸近線相互垂直，所以，即，因?yàn)锳B=60cm，PC=20cm，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為：，代入，得：，因此有，所以該雙曲線的焦距為，故答案為：14、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：15、【解析】根據(jù)勾股定理可以計(jì)算出，這樣得到是直角三角形，利用等體積法求出點(diǎn)到的距離.【詳解】解：如圖所示，在三棱錐中，是三棱錐的高，，在中，,,,所以是直角三角形，，設(shè)點(diǎn)到的距離為，.故A到平面的距離為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到線的距離，利用等體積法求出點(diǎn)到面的距離.是解題的關(guān)鍵.16、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，令正四面體的棱長(zhǎng)為，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出異面直線所成角的余弦值；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正四面體的棱長(zhǎng)為，則，所以，所以，所以，，，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，，設(shè)直線與所成角為，則故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）連接，分別證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，在正方體中，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，在中，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面因?yàn)榍?，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，，平面，平面，平面又，所以，平面平面【小問(wèn)2詳解】證明：在正方體中，平面，平面，,因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)椋瑒t平面由知（1）平面平面，所以，平面，平面，因此，18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【解析】（1）由題可得，即求；（2）設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)橢圓的方程為，則，∴，∴橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)，由，得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∴，∴直線PQ的方程為過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，不合題意.故直線PQ過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.19、（1）（2）【解析】(1)由圓心到直線的距離等于半徑即可求出.(2)由相關(guān)點(diǎn)法即可求出軌跡方程.【小問(wèn)1詳解】已知圓與直線相切，所以圓心到直線的距離為半徑．所以，所以圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問(wèn)2詳解】設(shè)因?yàn)锳B的中點(diǎn)是M，則，所以，又因A在圓O上運(yùn)動(dòng)，則，所以帶入有：，化簡(jiǎn)得：．線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為:.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結(jié)合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)M存在，設(shè)，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據(jù)二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側(cè)面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，所以，又，滿足，所以；因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫嬷?，所以平面平?（2）由（1）問(wèn)知：兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間之間坐標(biāo)系.則，，，，若存在點(diǎn)M，則點(diǎn)M在上，不妨設(shè)，則有，則，有，，設(shè)平面的法向量為，則解得：平面的法向量為則解得：或（舍）故存在點(diǎn)M，.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何探索是否存在的問(wèn)題，屬于中檔題.方法點(diǎn)睛：（1）判斷是否存在的問(wèn)題，一般先假設(shè)存在；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，作為已知條件，代入計(jì)算；（3）根據(jù)結(jié)果，判斷是否存在.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合離心率易，知雙曲線為等軸雙曲線，進(jìn)而可求解；（2）根據(jù)題意，分直線斜率否存在兩種情形討論，結(jié)合設(shè)而不求法以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，由離心率為，知雙曲線是等軸雙曲線，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則由消去，得到，∵直線與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，，解得.設(shè)，則有，，因此，∵，∴且，故或，故；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，易知，，故.綜上所述，所求的取值范圍是.22、（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即可證明線線垂直；（2）利用垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)