陜西省寶雞市部分高中2025年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．圓與圓的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離3．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（）A.30 B.C. D.30或4．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，，則（）A. B.4C. D.15．已知函數(shù)(且，)的一個極值點(diǎn)為2，則的最小值為（）A. B.C. D.76．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）7．黃金矩形是寬（）與長（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是A. B.C. D.8．已知，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3C.4 D.69．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.14410．《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問立夏日影長為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知圓，若存在過點(diǎn)的直線與圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個樣本數(shù)據(jù)為3，3，5，5，5，7，7，現(xiàn)在新加入一個3，一個5，一個7得到一個新樣本，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)______，方差______.（“變大”、“變小”、“不變”）14．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若，則_______________.15．設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實(shí)數(shù)m等于___________.16．桌面排列著100個乒乓球，兩個人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個乒乓球人為勝利者．條件是：每次拿走球的個數(shù)至少要拿1個，但最多又不能超過5個，這個游戲中，先手是有必勝策略的，請問：如果你是最先拿球的人，為了保證最后贏得這個游戲，你第一次該拿走_(dá)__個球三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)；18．（12分）如圖，四棱錐中，平面、底面為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)，菱形的面積為，求二面角的余弦值.19．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)作軸的垂線，為垂足，直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與軸交點(diǎn)分別為，求的值；（3）若，求.20．（12分）（1）證明：；（2）已知：，，且，求證：.21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，（1）求直線BC的方程；（2）記的外接圓為圓M，若直線OC被圓M截得的弦長為4，求點(diǎn)C的坐標(biāo)22．（10分）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，其中．記為數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求，；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】用向量分別表示,利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可得，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量的夾角公式求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】判斷圓心距與兩圓半徑之和、之差關(guān)系即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】由得圓心坐標(biāo)為，半徑，由得圓心坐標(biāo)為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選：B.3、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A4、D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，，代入即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得即，又，即又，，解得又等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，故，即，解得故選：D5、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由給定極值點(diǎn)可得a與b的關(guān)系，再借助“1”的妙用求解即得.【詳解】對求導(dǎo)得：，因函數(shù)的一個極值點(diǎn)為2，則，此時，，，因，即，因此，在2左右兩側(cè)鄰近的區(qū)域值一正一負(fù)，2是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則有，又，，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為.故選：B6、A【解析】根據(jù)橢圓的方程求得的值，進(jìn)而求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：A.7、C【解析】設(shè)矩形的長，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形,所以，設(shè)矩形的面積為,正方形的面積為,設(shè)在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運(yùn)算能力.8、B【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.詳解】因，且，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的值為3.故選：B9、A【解析】分析數(shù)列的特點(diǎn)，可知其是等差數(shù)列，寫出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A.10、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列知識求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長，公差為，則，所以立夏日影長丈，即四尺五寸.故選：D11、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B12、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因?yàn)?，所以，于是有，因?yàn)椋裕?，或，所以，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.不變②.變大【解析】通過計(jì)算平均數(shù)和方差來確定正確答案.【詳解】原樣本平均數(shù)為，原樣本方差為，新樣本平均數(shù)為，新樣本方差為.所以平均數(shù)不變，方差變大.故答案為：不變；變大14、【解析】由可知公比，所以直接利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡，即可求出【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，所以，化簡得，因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15、2【解析】根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的等價關(guān)系，，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則其方向向量，，解得.故答案為：2.16、4【解析】根據(jù)題意，由游戲規(guī)則，結(jié)合余數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，第一次該拿走4個球，以后的取球過程中，對方取個，自己取個，由于，則自己一定可以取到第100個球.故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得,聯(lián)立方程可得,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求;(2)代入等差數(shù)列的前和公式可求,進(jìn)一步可得,然后結(jié)合等差數(shù)列的定義可得,從而可求.【詳解】（1）為等差數(shù)列，，又是方程的兩個根，（2）由（1）可知，為等差數(shù)列，舍去)當(dāng)時，為等差數(shù)列，滿足要求【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式的綜合運(yùn)用,屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則，利用線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，求得菱形的邊長，取中點(diǎn)，可證，如圖建系，求得點(diǎn)坐標(biāo)及坐標(biāo)，即可求得平面的法向量，根據(jù)平面PAD，可求得面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則、E分別為、的中點(diǎn)，所以，又平面平面所以平面（2）由菱形的面積為，，易得菱形邊長為，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立如圖所示坐標(biāo)系.則所以設(shè)平面的法向量，由得，令，則所以一個法向量，因?yàn)?，，所以平面PAD，所以平面的一個法向量所以，又二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明平行的定理，證明線面平行時，常用中位線法和平行四邊形法來證明；利用空間向量求解二面角為?？碱}型，步驟為建系、求點(diǎn)坐標(biāo)、求所需向量坐標(biāo)、求法向量、利用夾角公式求解，屬基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運(yùn)用拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)和的縱坐標(biāo)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；（3）利用弦長公式求得，由兩點(diǎn)間距離公式求得和，再解方程即可.【小問1詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，所以有；小問2詳解】由題意知，，，設(shè)，則，，，，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，解得，設(shè)，，，，不妨取，，直線的斜率為，其方程為，令，則，同理可得，所以，而，所以；【小問3詳解】，其中，，，因?yàn)?，所以，化簡得，解得（舍?fù)），即，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用拋物線的定義、弦長公式進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用分析法證明即可；（2）將與相乘，展開后利用基本不等式可證明所證不等式成立.【詳解】（1）要證成立，即證，即證，即證，而顯然成立，故成立；（2）已知，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.21、（1）；（2）.【解析】(1)延長CB交x軸于點(diǎn)N，根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算作答.(2)利用待定系數(shù)法求出圓M的方程，再由給定弦長確定C點(diǎn)位置，推理計(jì)算得解.【小問1詳解】延長CB交x軸于點(diǎn)N，如圖，因，則，又，則有，又，于是得，則直線BC的傾斜角為120°，直線BC的斜率，