安徽省亳州市利辛縣闞疃金石中學(xué)2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，則選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.2．①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；②“若，則”的逆否命題；③“若，則”的否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.33．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則直線(xiàn)的斜率為A. B.C. D.4．若直線(xiàn)a，b是異面直線(xiàn)，點(diǎn)O是空間中不在直線(xiàn)a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過(guò)點(diǎn)O且與直線(xiàn)a，b都相交的直線(xiàn)B.過(guò)點(diǎn)O一定可以作一條直線(xiàn)與直線(xiàn)a，b都相交C.過(guò)點(diǎn)O可以作無(wú)數(shù)多條直線(xiàn)與直線(xiàn)a，b都相交D.過(guò)點(diǎn)O至多可以作一條直線(xiàn)與直線(xiàn)a，b都相交5．已知、是平面直角坐標(biāo)系上的直線(xiàn)，“與的斜率相等”是“與平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件6．已知關(guān)于x的不等式的解集為空集，則的最小值為（）A. B.2C. D.47．等差數(shù)列中，，，則（）A.1 B.2C.3 D.48．五行學(xué)說(shuō)是中華民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關(guān)系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關(guān)系的概率是（）A. B.C. D.9．設(shè)雙曲線(xiàn)：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.810．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.11．已知直線(xiàn)l：過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，Q為線(xiàn)段PF的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.12．已知等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝__________.14．若將拋擲一枚硬幣所出現(xiàn)的結(jié)果“正面（朝上）”與“反面（朝上）”，分別記為H、T，相應(yīng)的拋擲兩枚硬幣的樣本空間為，則與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集為_(kāi)_____15．設(shè)點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，、分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，已知，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______16．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，C上的一點(diǎn)M在l上的射影為N，已知線(xiàn)段FN的垂直平分線(xiàn)方程為，則___________；___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓.（1）若不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切，且直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線(xiàn)的方程；（2）求與圓和直線(xiàn)都相切的最小圓的方程.18．（12分）如圖所示在多面體中，平面，四邊形是正方形，，，，.（1）求證：直線(xiàn)平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.19．（12分）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值20．（12分）已知圓：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過(guò)A的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于B，C兩點(diǎn)，且.（1）證明：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為定值；（2）若點(diǎn)C在圓內(nèi)，且過(guò)點(diǎn)C與垂直的直線(xiàn)與圓交于D，E兩點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積的最大值.21．（12分）已知拋物線(xiàn)C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM（1）當(dāng)λ＝3時(shí)，求|AB|的值；（2）當(dāng)λ∈[]時(shí)，求|+|的最大值22．（10分）已知直線(xiàn)，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線(xiàn)的右上方.（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)在軸上方），問(wèn)在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體有，進(jìn)而可知與向量相等的表達(dá)式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B2、B【解析】寫(xiě)出逆命題判斷①；寫(xiě)出逆否命題判斷②；寫(xiě)出否命題判斷③.【詳解】①:“若，則互為相反數(shù)”的逆命題為：“若互為相反數(shù)，則”，是真命題；②：“若，則”的逆否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但不成立.故“若，則”是假命題.③：“若，則”的否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但是，即不成立.故“若，則”是假命題..故選：B3、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，求得p的值，即可得拋物線(xiàn)，的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)后，再根據(jù)斜率公式求解.【詳解】因?yàn)椋?，解得，所以直線(xiàn)的斜率為．故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義的應(yīng)用，考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及了直線(xiàn)的斜率公式；拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線(xiàn)的距離；解題過(guò)程中注意焦點(diǎn)的位置.4、D【解析】設(shè)直線(xiàn)與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線(xiàn)與平面相交或平行.分兩種情形，畫(huà)圖說(shuō)明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線(xiàn)，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線(xiàn)與平面相交或平行.(1)若直線(xiàn)與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)，都相交的直線(xiàn)；②若與不平行，則直線(xiàn)即為過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)，都相交的直線(xiàn).（2）若直線(xiàn)與平面平行（如圖2），則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)，都相交的直線(xiàn).綜上所述，過(guò)點(diǎn)至多有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)，都相交.故選：D.5、D【解析】根據(jù)直線(xiàn)平行與直線(xiàn)斜率的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：與的斜率相等”，“與可能重合，故前者不可以推出后者，若與平行，與的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分條件也非必要條件，故選：D.6、D【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項(xiàng)系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以的最小值為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查均值不等式，關(guān)鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關(guān)系，再將所求的式子運(yùn)用不等式的性質(zhì)降低元的個(gè)數(shù)，運(yùn)用均值不等式，是中檔題.7、B【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】在等差數(shù)列中，因，，而，于是得，解得，所以.故選：B8、C【解析】先計(jì)算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數(shù)，再計(jì)算其中兩種元素恰是相生關(guān)系的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式，即得解【詳解】由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個(gè)基本事件，其中兩種元素恰是相生關(guān)系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個(gè)基本事件，所以所求概率.故選：C9、C【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程求出的值，由雙曲線(xiàn)的定義可得，由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線(xiàn)：可得，，所以，所以，，由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，所以，由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，即的最小值為，故選：C.10、A【解析】寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，可得，因此，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.11、D【解析】由直線(xiàn)的傾斜角為，可得，結(jié)合，可推得是等邊三角形，可得，計(jì)算可得離心率【詳解】直線(xiàn)：過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，所以，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又在橢圓上，所以，所以，所以離心率為，故選：12、B【解析】確實(shí)新數(shù)列是等比數(shù)列及公比、首項(xiàng)后，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算，【詳解】由題意，新數(shù)列為，所以，，前項(xiàng)和為故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、－.【解析】因?yàn)?，所以，所以，即，又，即，所以?shù)列是首項(xiàng)和公差都為的等差數(shù)列，所以，所以考點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)定知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解答中得到，，確定數(shù)列是首項(xiàng)和公差都為的等差數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生靈活變形能力和推理與論證能力，平時(shí)應(yīng)注意方法的積累與總結(jié)，屬于中檔試題14、，，，【解析】先寫(xiě)出與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間，再寫(xiě)出其全部子集即可.【詳解】與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間為，此空間的子集為，，，故答案為：，，，15、【解析】由雙曲線(xiàn)的定義可求得、，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，進(jìn)而可求得該雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】由雙曲線(xiàn)定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線(xiàn)的離心率為.故答案為：.16、①.2②.4【解析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線(xiàn)定義可得線(xiàn)段FN的中點(diǎn)及點(diǎn)M都在線(xiàn)段FN的垂直平分線(xiàn)，再列式計(jì)算作答.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)l：，設(shè)點(diǎn)，則，線(xiàn)段FN的中點(diǎn)，由拋物線(xiàn)定義知：，即點(diǎn)M在線(xiàn)段FN的垂直平分線(xiàn)，因此，，解得，而，則有，，所以，.故答案為：2；4【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線(xiàn)方程中，字母p的幾何意義是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的距離三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線(xiàn)的方程，然后根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，即可求出答案；（2）首先根據(jù)題意判斷出最小圓的圓心在直線(xiàn)上，且最小圓的半徑為，然后設(shè)出最小圓的圓心為，則圓心到直線(xiàn)的距離為，從而可求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若直線(xiàn)與圓相切，則，即，解得或者3，所以直線(xiàn)的方程為或者；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以直線(xiàn)與圓相離，所以所求最小圓的圓心一定在圓的圓心到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段上，即最小圓的圓心在直線(xiàn)上，且最小圓的半徑為，設(shè)最小圓的圓心為，則圓心到直線(xiàn)的距離為，所以，即，解得(舍)或，所以最小的圓的方程為.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證明出直線(xiàn)平面；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，依題意有，即，令，可得，，則，平面，因此，平面.【小問(wèn)2詳解】解：由題，，設(shè)平面的法向量為，依題意有，即，取，可得，，因此，平面與平面的夾角余弦值為.19、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線(xiàn)面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線(xiàn)面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線(xiàn)面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解.【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長(zhǎng)到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線(xiàn)平面,又∵直線(xiàn)平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線(xiàn)上,∴直線(xiàn)為直線(xiàn)在平面中的射影，∠為直線(xiàn)與平面所成的角，根據(jù)直線(xiàn)直線(xiàn)，可知∠為直線(xiàn)與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則,,∴,∴,∴,即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長(zhǎng)，易證三線(xiàn)交于一點(diǎn)P因?yàn)?，所以直線(xiàn)與平面所成的角，即直線(xiàn)與平面所成的角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在中，易得，可得由，得，整理得所以所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)到平面的距離為h，在中，，，所以，易得由，得，解得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，所以【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）的方法一使用線(xiàn)面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒(méi)有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡(jiǎn)潔；方法四不作任何輔助線(xiàn)，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線(xiàn)和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）設(shè)直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合，得到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）所設(shè)，表示出弦長(zhǎng)，再求出，進(jìn)而表示出四邊形ADBE的面積，據(jù)此求其最大值,【小問(wèn)1詳解】由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知直線(xiàn)的斜率存在且不為零，設(shè)直線(xiàn)：，，，聯(lián)立，得，則，即，由韋達(dá)定理得，由，即，得，即，代入，得或，又拋物線(xiàn)開(kāi)口向右，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【小問(wèn)2詳解】由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在圓內(nèi)，得，解得，又，得的斜率，故的方程為，即，故圓心到直線(xiàn)的距離為，由垂徑定理得，故，（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，所以四邊形的面積的最大值為.21、（1）（2）【解析】（1）由面積之比可得向量之比，設(shè)直線(xiàn)AB的方程，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，與向量的關(guān)系可得的A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系聯(lián)立求出直線(xiàn)AB的斜率，再由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得焦點(diǎn)弦的值；（2）由（1）的解法類(lèi)似的求出AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，可得直線(xiàn)AB的斜率與λ的關(guān)系，再由λ的范圍，求出直線(xiàn)AB的斜率的范圍，由題意設(shè)直線(xiàn)MF的方程，令y＝﹣1求出M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值【小問(wèn)1詳解】當(dāng)λ＝3時(shí)，即S△AFM＝3S△BFM，由題意可得＝3，因?yàn)閽佄?/p>