2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)F佳20251009高矮胖瘦輕重長(zhǎng)短

在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系。情景引入在數(shù)學(xué)中，我們用不等式來(lái)表示不等關(guān)系.文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語(yǔ)言大于＞大于，高于，超過(guò)小于＜

小于，低于，少于大于或等于≥至少，不少于，不低于小于或等于≤至多,不多于,不超過(guò)不等于≠不相等問(wèn)題1：你能用不等式或不等式組表示下列問(wèn)題中的不等關(guān)系嗎？

問(wèn)題1：你能用不等式或不等式組表示下列問(wèn)題中的不等關(guān)系嗎？（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊

（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

以上我們根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所蘊(yùn)含的不等關(guān)系抽象出了不等式.接著，就可以用不等式研究相應(yīng)問(wèn)題了.

練習(xí)(第39頁(yè)）1．用不等式或不等式組表示下面的不等關(guān)系：

（1）某高速公路規(guī)定通過(guò)車(chē)輛的車(chē)貨總高度h從地面算起不能超過(guò)4m；

（2）a與b的和為非負(fù)實(shí)數(shù)；

（3）如圖，在一個(gè)面積小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，

倉(cāng)庫(kù)的四周建成綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)L大于寬W的4倍．思考：你能用不等式表示并解決下面的問(wèn)題嗎？

某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷(xiāo)售就可能減少2000本.如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷(xiāo)售總收入不低于20萬(wàn)？解：設(shè)提價(jià)后每本雜志的定價(jià)為

x元.

不等關(guān)系：銷(xiāo)售總收入不低于20萬(wàn).解：設(shè)提價(jià)后每本雜志的定價(jià)為

x元.

思考：你能用不等式表示并解決下面的問(wèn)題嗎？

某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷(xiāo)售就可能減少2000本.如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷(xiāo)售總收入不低于20萬(wàn)？

如何求解？思考：你能用不等式表示并解決下面的問(wèn)題嗎？

某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷(xiāo)售就可能減少2000本.如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷(xiāo)售總收入不低于20萬(wàn)？不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變不等式的兩邊同乘(或除以)一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變不等式的兩邊同乘(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變初中我們通過(guò)由特殊到一般的方法，歸納過(guò)一些不等式的性質(zhì)，類(lèi)比等式，能猜想到不等式的哪些性質(zhì)？

AB

AB

A（B）

0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，它為實(shí)數(shù)比較大小提供了“標(biāo)桿”.從上述基本事實(shí)可知：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?。?：比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.解：(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)－(x2+5x+4)

=2>0所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).作差變形判號(hào)定論做差比較法(1)利用作差法比較大小，只需判斷差的符號(hào)，至于差的值是多少無(wú)關(guān)緊要，通常將差化為完全平方的形式．(2)對(duì)于兩個(gè)正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大?。?/p>

(3)對(duì)于某些問(wèn)題也可能采用取中間值的方法比較大?。n本P40練習(xí)2：

已知a∈R，比較(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大??；解：(1)因?yàn)?x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝x2＋10x＋21－x2－10x－24＝－3＜0，所以(x＋3)(x＋7)＜(x＋4)(x＋6)．探究圖2.1-3是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客．你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？探究中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的證明。大正方形的構(gòu)成：4個(gè)全等的直角三角形1個(gè)小正方形等面積法第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是根據(jù)趙爽弦圖設(shè)計(jì)的.趙爽弦圖的不等關(guān)系探究2.趙爽弦圖的不等關(guān)系（面積關(guān)系）

大正方形面積>4個(gè)直角三角形的面積和a,b>0

大正方形面積=4個(gè)等腰直角三角形的面積和對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b，a2+b2≥2ab成立嗎？試證明。三.重要不等式作差法

當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立。一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)我們有重要不等式：文字?jǐn)⑹觯簝蓚€(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們乘積的2倍。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立符號(hào)語(yǔ)言：練習(xí)(第39頁(yè)）作業(yè)：課本P42習(xí)題2.11，3（作業(yè)本）

習(xí)題2.1（第42頁(yè)）2．某市環(huán)保局為增加城市的綠地面積，提出兩個(gè)投資方案：方案A為一次性投資500萬(wàn)元；方案B為第一年投資100萬(wàn)元，以后每年投資10萬(wàn)元．列出不等式表示“經(jīng)過(guò)n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．習(xí)題2.1（第42頁(yè)）習(xí)題2.1（第42頁(yè)）【問(wèn)題】不等式到底有哪些性質(zhì)呢？應(yīng)該怎樣研究不等式的性質(zhì)呢?引導(dǎo)語(yǔ)：關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)為研究不等式的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).因?yàn)椴坏仁脚c等式一樣，都是對(duì)大小關(guān)系的刻畫(huà)，所以我們可以從等式的性質(zhì)及其研究方法中獲得啟發(fā).類(lèi)比等式的性質(zhì)研究不等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么______________；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么________；性質(zhì)3如果a＝b，那么______________；性質(zhì)4如果a＝b，那么______________；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么________.b＝aa＝ca±c＝b±cac＝bc【對(duì)稱(chēng)性】【傳遞性】【同加性】【同乘性】【同除性】問(wèn)題：

類(lèi)比等式的基本性質(zhì),你能猜想不等式的基本性質(zhì)嗎？

證明：由a＞b，得a-b＞0，因?yàn)檎龜?shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，所以-(a-b)＜0，即b-a＜0，所以b＜a．

證明：

不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向

這就是說(shuō)，不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向．【可乘性】證明：由a＞b，得a-b＞0，所以(a-b)c＞0，因?yàn)閏＞0，所以ac＞bc；同理可證ac＜bc．【可乘性】簡(jiǎn)記：大+大>小+?。铩就蚩杉有浴?/p>

性質(zhì)1（對(duì)稱(chēng)性）性質(zhì)2（傳遞性）性質(zhì)3（同加性）性質(zhì)4（