第22課時矩形與菱形1.(2025·瀘州)矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是(

)A.對角線相等 B.對角線互相平分C.對角線互相垂直 D.對角相等

AB

C4.(1)(2025·福建)如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,EF過點O且與邊AB,CD分別相交于點E,F.若OA=2,OD=1,則△AOE與△DOF的面積之和為

;1

(3)(2025·內(nèi)江)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=45°,DE⊥BC于點E,交對角線AC于點P,過點P作PF⊥CD于點F.若PD+PF=3,則菱形ABCD的面積為

.4

5.如圖,在矩形ABCD中,P是邊AD上一點(不與點A,D重合),先將△ABP沿直線BP翻折,點A的對應(yīng)點為E.再作點B關(guān)于直線PE的對稱點F,連接PF,EF.完成下列探究:(1)當(dāng)點F與點D重合時,∠ABP=

°;(2)若AB=13,AD=24,當(dāng)點F恰好落在CD邊上時,線段AP的長為

.30

6.(2025·遂寧)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,點E,F在對角線BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD.(1)求證:△ABF≌△CDE;(1)證明:∵AF⊥AB,CE⊥CD,∴∠BAF=∠DCE=90°.∵AB∥CD,∴∠ABF=∠CDE.∵BE=EF=FD,∴BF=DE,∴△ABF≌△CDE(AAS).(2)連接AE,CF,若∠ABD=30°,請判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.

7.如圖,E是矩形的邊BC上一點,連接AE,DE,DE平分∠AEC,過點D作DH⊥AE于點H,連接BH并延長交DE于點O,交CD于點F.(1)求證:DH=AB;(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠DCB=90°,AB=CD.∵DE平分∠AEC,DH⊥AE,∴DH=DC,∴DH=AB.(2)若AE平分∠BAD,OF·OB=5.①求證:O是DE的中點;(2)①證明:∵AE平分∠BAD,四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠BAD=90°,∠BAE=∠DAE=45°.∵DH⊥AE,∴∠AHD=∠EHD=90°,∠ADH=∠DAE=45°,∴AH=DH.由(1)知DH=AB,∴AB=AH,∴∠ABH=∠AHB=67.5°,∴∠OHE=∠AHB=67.5°,∴∠DHO=22.5°.∵AD∥BC,∴∠AEC=180°-∠DAE=135°,∴∠AED=∠DEC=67.5°,∴∠OHE=∠AED,∠EDH=90°-∠AED=22.5°=∠DHO,∴OE=OH=OD,∴O是DE的中點.②求OH的長.

C

(2)(2025·遼寧)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AC=8,BD=12,點E在線段OA上,AE=2,點F在線段OC上,OF=1,連接BE,點G為BE的中點,連接FG,則FG的長為

.

10.(2025·貴州)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,點P為線段AC上一動點,點E為射線BP上的一點(點E與點B不重合).(1)【問題解決】如圖①,若點P與線段AC的中點O重合,則∠PBC=

度,線段BP與線段AC的位置關(guān)系是

;30BP⊥AC

(2)【問題探究】如圖②,在點P運動過程中,點E在線段BP上,且∠AEP=30°,∠PEC=60°,探究線段BE與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;解:(2)CE=2BE.理由如下:如圖②,把△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBQ,連接EQ.∴BE=BQ,∠EBQ=60°,∠AEB=∠CQB,∴△BEQ為等邊三角形,∴∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ.∵點E在線段BP上,且∠AEP=30°,∠PEC=60°,∴∠AEB=150°,∠BEC=120°.∴∠BEQ=∠CEQ=60°,∠BQC=∠AEB=150°,∴∠EQC=150°-60°=90°,∴∠ECQ=90°-60°=30°,∴CE