高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期10月月考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A.0 B.C. D.不存在【答案】C【解析】因為直線與軸垂直，因此直線的傾斜角是．故選：C．2.已知一組樣本數(shù)據(jù)為、、、8、、，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】由，可知第75百分位數(shù)是第5個數(shù)，即為10.故選：B.3.兩條平行直線與間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的方程化為，則與間的距離.故選：D.4.方程表示圓，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為方程表示圓，則或.故選：A.5.甲、乙兩人獨立正確解答一道數(shù)學題的概率分別是、，假定兩人是否正確解答互不影響，則甲、乙兩人至少有一人正確解答這道題的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】兩人至少有一人正確解答這道題的對立事件為兩人都沒有正確解答這道題，所求概率為.故選：D.6.當點到直線的距離取最大值時，的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵直線，可變形為，恒過定點，∴當點到直線的距離取最大值時，.直線斜率，直線的斜率為，且，兩直線斜率之積為，即，代入可得：，解得.故選：C.7.班上有5名數(shù)學愛好者，其中3人選修了《數(shù)學史》.若從這5人中隨機選出2人，則恰好2人都選修了《數(shù)學史》的概率是（）A B. C. D.【答案】A【解析】由題知班上有5名數(shù)學愛好者，其中3人選修了《數(shù)學史》，記選修了《數(shù)學史》的3人為，其余的2人為，從5人中選取人有：，共有10種情況，恰好2人都選修了《數(shù)學史》的有，共3種情況，所以從這5人中隨機選出2人，則恰好2人都選修了《數(shù)學史》的概率為.故選：A.8.已知圓:，定點，為軸上一動點，為圓上一動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓:的圓心，半徑，當、、三點共線（點在、兩點之間）時，取等號，點關(guān)于軸的對稱點為，，當、、三點共線時，取等號.所以的最小值為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某班50個同學的數(shù)學成績構(gòu)成一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)依次減去它們的平均數(shù)，得到另一組新數(shù)據(jù)，則（）A.新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同 B.新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的方差相同C.新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同 D.新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的極差相同【答案】BD【解析】設(shè)50個同學的數(shù)學成績構(gòu)成一組數(shù)據(jù)（原）數(shù)據(jù)：，它們的平均數(shù)為（由實際意義可知），方差為，得到的新數(shù)據(jù)為：，它們的平均數(shù)為，A錯誤；新數(shù)據(jù)的方差：，B正確；因為，所以新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)中位數(shù)相差，C錯誤；新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的極差相同，D正確.故選：BD10.一個袋子中有大小相同，標號分別為1，2，3，4的4個小球．采用不放回方式從中任意摸球兩次，一次摸一個小球．設(shè)事件A=“第一次摸出球的標號小于3”，事件B=“第二次摸出球的標號小于3”，事件C=“兩次摸出球的標號都是偶數(shù)”，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意，摸球兩次的樣本空間為事件，.事件，所以，.，所以，，，.故選：AC.11.在平面直角坐標系中，已知、為圓上兩動點，點，，為中點，則下列說法正確的是（）A.點在圓內(nèi)B.C.點的軌跡方程為D.的最大值為【答案】ABD【解析】A．由，則點在圓內(nèi)，正確.B．因為為弦的中點，由垂徑定理知，正確.C．由得且，令，則，整理得，錯誤.D．點的軌跡方程化為，即軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故，又，即在圓內(nèi)，故，而，所以，正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一組樣本數(shù)據(jù)為2、3、1、1、0、2、1、0，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_______.【答案】1【解析】由眾數(shù)的定義知：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1.故答案為：.13.從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取200部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得200個評分數(shù)據(jù)分為6組：，，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖：則評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是__________部.【答案】85【解析】評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是部.故答案為：85.14.已知的頂點，邊AC上的高所在直線方程為，的角平分線所在直線方程為，則頂點C的坐標為_________；直線BC的方程為___________【答案】①②.【解析】設(shè)邊AC上的高為BH，它所在直線方程為，∴，且，∴，∵的頂點，∴直線AC方程：，即.與聯(lián)立，，解得：所以頂點C的坐標為；設(shè)的角平分線為CM，它所在直線方程為，設(shè)點關(guān)于CM的對稱點為，設(shè)點的坐標為，則，因為在直線BC上，所以直線BC的方程為，即.故答案為：，.四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某校高二年級半期考試后，為了解本次考試的情況，在整個年級中隨機抽取了200名學生的數(shù)學成績，將成績分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求實數(shù)的值.（2）在樣本中，采取按比例分層抽樣的方法從成績在內(nèi)的學生中抽取13名，問其中成績在的學生有幾名？（3）根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，試估計本次考試的平均分.解：（1）由頻率分布直方圖知：，解得.（2）采取分層抽樣，[130,150]的學生個數(shù)為：，即成績在的學生有2名.（3）由頻率分布直方圖知：平均數(shù)為：.16.已知，兩點，直線過點且與直線平行.（1）求直線的方程.（2）若圓C經(jīng)過、兩點，且圓心C在直線上，求圓C標準方程．解：（1）∵直線的斜率為，且直線，∴直線的斜率為，且過，所以直線的方程為，即.故直線的方程為.（2）設(shè)線段的中點為D，由，，可得，又因，所以線段的垂直平分線的斜率.因此線段的垂直平分線方程為，即．因圓心C既在線段的垂直平分線上，又在直線上，所以解方程組，解得，所以圓心，圓的半徑．故所求圓的標準方程是．17.學校體育教研組創(chuàng)作了一項新的課間“健身操”項目，為了解學生對該項目是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：人數(shù)性別支持不支持男生400200女生300100假設(shè)每個學生對該項目是否支持是相互獨立的.（1）從該校全體男生、全體女生中各隨機抽取1人，求2人都支持該項目的概率.（2）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持項目的概率.解：（1）記“該校男生支持項目”為事件A，“該校女生支持項目”為事件B，則：，，∵A與B相互獨立，∴；（2）設(shè)“抽取的2個男生和1個女生中，支持項目的恰有2人”為事件C，則，這3人中恰有2人支持項目的概率為.18.如圖，在四棱錐中，，，平面平面，為的中點，，且.（1）求證：平面.（2）求證：平面.（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：取中點，連接，因為為的中點，所以且，又，，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）證明：在四棱錐中，連接，由，，得，而，則為等邊三角形，取中點，連接，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，又，與相交，平面，所以平面；（3）解：取的中點，連接，為等邊三角形，故，，，由平面，平面，得，即兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由，得，，顯然為平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，則，解得，令得，故，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值是.19.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”，現(xiàn)在人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，定點、，動點滿足，則的軌跡為阿氏圓，以下稱該阿氏圓為圓.（1）求圓的方程.（2）如圖，過點斜率為的直線與圓相交于，（點在軸上方），點，是不在直線上的兩點，滿足平分，平分.（i）求的取值范圍.（ii）將點、、看作一個阿氏圓上的三點，若外接圓的面積為，求直線的方程.解：（1）設(shè)動點，因為、，又，得，化簡整理得：，所以圓的方程為.（2）（i）由，又，所以，令，則，設(shè)，則有，又直線的斜率，則，又由，得，代入，得到，即，∵，則，所以，又，則，所以，故的取值范圍.（ii）由（i）有，由阿氏圓定義知在以為定點的阿氏圓上，設(shè)此阿氏圓圓心為，半徑為，與直線的另一個交點為，則有，即，整理得到，又，解得，∴，又，∴，設(shè)，則，整理得到，解得或（舍去），由，解得，，∴，則直線的方程為，即.黑龍江省龍東聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期10月月考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A.0 B.C. D.不存在【答案】C【解析】因為直線與軸垂直，因此直線的傾斜角是．故選：C．2.已知一組樣本數(shù)據(jù)為、、、8、、，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】由，可知第75百分位數(shù)是第5個數(shù)，即為10.故選：B.3.兩條平行直線與間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的方程化為，則與間的距離.故選：D.4.方程表示圓，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為方程表示圓，則或.故選：A.5.甲、乙兩人獨立正確解答一道數(shù)學題的概率分別是、，假定兩人是否正確解答互不影響，則甲、乙兩人至少有一人正確解答這道題的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】兩人至少有一人正確解答這道題的對立事件為兩人都沒有正確解答這道題，所求概率為.故選：D.6.當點到直線的距離取最大值時，的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵直線，可變形為，恒過定點，∴當點到直線的距離取最大值時，.直線斜率，直線的斜率為，且，兩直線斜率之積為，即，代入可得：，解得.故選：C.7.班上有5名數(shù)學愛好者，其中3人選修了《數(shù)學史》.若從這5人中隨機選出2人，則恰好2人都選修了《數(shù)學史》的概率是（）A B. C. D.【答案】A【解析】由題知班上有5名數(shù)學愛好者，其中3人選修了《數(shù)學史》，記選修了《數(shù)學史》的3人為，其余的2人為，從5人中選取人有：，共有10種情況，恰好2人都選修了《數(shù)學史》的有，共3種情況，所以從這5人中隨機選出2人，則恰好2人都選修了《數(shù)學史》的概率為.故選：A.8.已知圓:，定點，為軸上一動點，為圓上一動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓:的圓心，半徑，當、、三點共線（點在、兩點之間）時，取等號，點關(guān)于軸的對稱點為，，當、、三點共線時，取等號.所以的最小值為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某班50個同學的數(shù)學成績構(gòu)成一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)依次減去它們的平均數(shù)，得到另一組新數(shù)據(jù)，則（）A.新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同 B.新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的方差相同C.新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同 D.新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的極差相同【答案】BD【解析】設(shè)50個同學的數(shù)學成績構(gòu)成一組數(shù)據(jù)（原）數(shù)據(jù)：，它們的平均數(shù)為（由實際意義可知），方差為，得到的新數(shù)據(jù)為：，它們的平均數(shù)為，A錯誤；新數(shù)據(jù)的方差：，B正確；因為，所以新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)中位數(shù)相差，C錯誤；新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的極差相同，D正確.故選：BD10.一個袋子中有大小相同，標號分別為1，2，3，4的4個小球．采用不放回方式從中任意摸球兩次，一次摸一個小球．設(shè)事件A=“第一次摸出球的標號小于3”，事件B=“第二次摸出球的標號小于3”，事件C=“兩次摸出球的標號都是偶數(shù)”，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意，摸球兩次的樣本空間為事件，.事件，所以，.，所以，，，.故選：AC.11.在平面直角坐標系中，已知、為圓上兩動點，點，，為中點，則下列說法正確的是（）A.點在圓內(nèi)B.C.點的軌跡方程為D.的最大值為【答案】ABD【解析】A．由，則點在圓內(nèi)，正確.B．因為為弦的中點，由垂徑定理知，正確.C．由得且，令，則，整理得，錯誤.D．點的軌跡方程化為，即軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故，又，即在圓內(nèi)，故，而，所以，正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一組樣本數(shù)據(jù)為2、3、1、1、0、2、1、0，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_______.【答案】1【解析】由眾數(shù)的定義知：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1.故答案為：.13.從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取200部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得200個評分數(shù)據(jù)分為6組：，，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖：則評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是__________部.【答案】85【解析】評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是部.故答案為：85.14.已知的頂點，邊AC上的高所在直線方程為，的角平分線所在直線方程為，則頂點C的坐標為_________；直線BC的方程為___________【答案】①②.【解析】設(shè)邊AC上的高為BH，它所在直線方程為，∴，且，∴，∵的頂點，∴直線AC方程：，即.與聯(lián)立，，解得：所以頂點C的坐標為；設(shè)的角平分線為CM，它所在直線方程為，設(shè)點關(guān)于CM的對稱點為，設(shè)點的坐標為，則，因為在直線BC上，所以直線BC的方程為，即.故答案為：，.四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某校高二年級半期考試后，為了解本次考試的情況，在整個年級中隨機抽取了200名學生的數(shù)學成績，將成績分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求實數(shù)的值.（2）在樣本中，采取按比例分層抽樣的方法從成績在內(nèi)的學生中抽取13名，問其中成績在的學生有幾名？（3）根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，試估計本次考試的平均分.解：（1）由頻率分布直方圖知：，解得.（2）采取分層抽樣，[130,150]的學生個數(shù)為：，即成績在的學生有2名.（3）由頻率分布直方圖知：平均數(shù)為：.16.已知，兩點，直線過點且與直線平行.（1）求直線的方程.（2）若圓C經(jīng)過、兩點，且圓心C在直線上，求圓C標準方程．解：（1）∵直線的斜率為，且直線，∴直線的斜率為，且過，所以直線的方程為，即.故直線的方程為.（2）設(shè)線段的中點為D，由，，可得，又因，所以線段的垂直平分線的斜率.因此線段的垂直平分線方程為，即．因圓心C既在線段的垂直平分線上，又在直線上，所以解方程組，解得，所以圓心，圓的半徑．故所求圓的標準方程是．17.學校體育教研組創(chuàng)作了一項新的課間“健身操”項目，為了解學生對該項目是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：人數(shù)性別支持不支持男生400200女生300100假設(shè)每個學生對該項目是否支持是相互獨立的.（1）從該校全體男生、全體女生中各隨機抽取1人，求2人都支持該項目的概率.（2）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持項目的概率.解：（1）記“該校男生支持項目”為事件A，“該校女生支持項目”為事件B，則：，，∵A與B相互獨立，∴；（2）設(shè)“抽取的2個男生和1個女生中，支持項目的恰有2人”為事件C，則，這3人中恰有2人支持項目的概率為.18.如圖，在四棱錐中，，，平面