第四章三角形第四節(jié)相似三角形(含位似)節(jié)前復(fù)習(xí)導(dǎo)圖相似三角形(含位似)比例線段的相關(guān)概念及性質(zhì)比例線段和比例中項比例的性質(zhì)黃金分割平行線分線段成比例圖示基本事實推論相似三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)判定方法相似多邊形概念性質(zhì)圖形的位似概念性質(zhì)作圖步驟教材知識逐點過考點1比例線段的相關(guān)概念及性質(zhì)(2025年新增考查)1.

比例線段和比例中項比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比

另外兩條線段的比，即

＝

，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段比例中項如果a∶b＝b∶c或

＝

或

，那么b叫做a和c的比例中項【溫馨提示】求兩條線段的比值時，兩條線段要用同一長度單位等于ac＝b22.

比例的性質(zhì)基本性質(zhì)

＝

?ad＝

(b，d≠0)合比性質(zhì)

＝

?

＝

(b，d≠0)等比性質(zhì)

＝

＝…＝

(b＋d＋…＋n≠0)?

＝

bc

3.

黃金分割概念如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，滿足

＝

，那么稱線段

AB被點C黃金分割，點C稱為線段AB的黃金分割點，

稱為黃金比，即

＝

或AC≈0.618AB

【溫馨提示】(1)一條線段上有兩個黃金分割點，在解題時注意是否需要分類討論；(2)黃金分割在生活問題中的體現(xiàn)，如：①古希臘著名的“斷臂維納斯”的頭頂至肚

臍的長度與肚臍至足底的長度之比是

；②古埃及建造的金字塔，高與底面邊長

的比都接近于0.618；③黃金矩形的寬與長之比為

考點2平行線分線段成比例 圖示

基本事實兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例；如圖①，若

l1∥l2∥l3，則

＝

或

＝

等推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比

例；如圖②，在△ABC中，DE∥BC，則

＝

；如圖③，在△ABC和

△ADE中，DE∥BC，則

＝

考點3相似三角形的性質(zhì)與判定(6年8考)★重點

性質(zhì)1.相似三角形的對應(yīng)角

，對應(yīng)邊

?；2.相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于

?

?；3.相似三角形周長之比等于

，面積之比等于

?判定方法1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所截得的三

角形與原三角形相似；2.兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；3.兩邊對應(yīng)成比例，且

相等的兩個三角形相似；4.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；5.直角邊和斜邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似相等成比例相似

比相似比相似比的平方夾角【溫馨提示】相似三角形的判定思路：1.有平行截線——用平行線的性質(zhì)，找等角；2.有一對等角，找另一對等角或該角的兩邊對應(yīng)成比例；3.有兩邊對應(yīng)成比例，找夾角相等或第三組邊也對應(yīng)成比例考點4相似多邊形概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)

邊的比叫做它們的相似比性質(zhì)1.相似多邊形的對應(yīng)角

?；2.相似多邊形的對應(yīng)邊

?；3.相似多邊形的周長比

相似比，面積比等于

?相等成比例等于相似比的平方考點5圖形的位似(2024.8) 概念如果兩個圖形不僅相似，而且經(jīng)過每對對應(yīng)頂點的直線相交于

，對

應(yīng)邊互相平行(或在一條直線上)，我們把這樣的兩個圖形稱為位似圖形，對

應(yīng)頂點所在直線的交點稱為

，這時的相似比又稱位似比性質(zhì)1.位似圖形是相似圖形，具備相似圖形的所有性質(zhì)；2.經(jīng)過每對對應(yīng)頂點的直線相交于一點(位似中心)；3.兩個位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離的比等于相似比；4.兩個位似圖形對應(yīng)邊平行(或在一條直線上)一點位似中心作圖步驟1.確定位似中心；2.確定原圖形中各頂點關(guān)于位似中心的對應(yīng)點；3.描出新圖形【易錯警示】位似是相似的特例.位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位

似圖形基礎(chǔ)題對點練1.

[北師九上習(xí)題改編]四條線段a，b，c，d成比例線段，其中a＝2

cm，b＝6

cm，d＝12

cm，則線段c的長為(

D

)A.

1

cmB.

2

cmC.

3

cmD.

4

cmD2.

[北師九上練習(xí)改編]已知3a＝2b(b≠0)，那么下列比例中一定成立的

是(

D

)A.

＝

B.

＝

C.

＝

D.

＝

D3.

[人教九上閱讀與思考改編]如圖，點C為線段AB的黃金分割點，AC

＞BC，若AB＝2，則AC的長為(

B

)A.

B.

－1C.

D.

＋1B4.

[人教九下探究改編]如圖，直線a∥b∥c，直線AC和DF分別交直線

a，b，c于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)，直線AC交DF于點O，AB＝

EF＝6，BC＝9，則DE＝

?.4

(1)BC的長為

?；(2)△ADE與△ABC的周長比為

?；(3)若△ADE的面積是6，則△ABC的面積為

?.

3∶4

6.

[冀教九上習(xí)題改編]如圖，點D在△ABC的邊AC上，添加一個條件，

使得△ADB∽△ABC，你添加的是

?.∠ABD＝∠C(答案不唯一)

7.

[人教九下習(xí)題改編]如圖，△ABC與△DEF位似，點O是它們的位似

中心，OD＝2AD，若△ABC的周長為12，則△DEF的周長是

?.8

河北中考真題精選比例線段(2025年新增考查)命題點11.

(2025河北4題)“這么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘濟橋游

覽，發(fā)現(xiàn)青石橋面上有三葉蟲化石，他想了解其長度，在化石旁放了一

支筆拍下照片(如圖).回家后量出照片上筆和化石的長度分別為7

cm和4

cm，筆的實際長度為14

cm，則該化石的實際長度為(

C

)A.

2

cmB.

6

cmC.

8

cmD.

10

cmC變式1.1某校設(shè)有三個校區(qū)，楊老師欲從槐北路校區(qū)步行去槐安路校區(qū)，用手

機上的地圖軟件搜索時，顯示兩個校區(qū)間的實際路程為1.2

km，當(dāng)?shù)貓D

上比例尺由1∶1

000變?yōu)?∶500時，則地圖上兩個校區(qū)的路程增加

了

cm.

120

相似三角形的性質(zhì)與判定(6年8考)命題點22.

(2025河北9題)如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長BA，

BC，分別交直線DE于點M，N.

若添加下列一個條件后，仍無法判定

△MAE∽△DCN，則這個條件是(

D

)A.

∠B＋∠4＝180°B.

CD∥ABC.

∠1＝∠4D.

∠2＝∠3D正A字型：有一個公共角＋有一條平行線，如DE∥BC.

【結(jié)論】△ABC∽△ADE.

模型分析3.如圖，在△ABC中，D，E分別為AC，AB上的點，AB＝3AD，

∠ADE＝∠B，則△AED與四邊形BCDE的面積之比為(

C

)A.

1∶3B.

1∶6C.

1∶8D.

1∶9C斜A字型：有一個公共角＋另有一組角相等，如∠B＝∠ADE.

【結(jié)論】△ABC∽△ADE.

模型分析4.

(2024河北8題)圖①是裝了液體的高腳杯示意圖(數(shù)據(jù)如圖)，用去一部

分液體后如圖②所示，此時液面AB＝(

C

)A.

1

cmB.

2

cmC.

3

cmD.

4

cmC5.

(2025邢臺模擬)如圖，將一個透明的玻璃沙漏與兩把尺子放在桌面上，

沙漏底部邊緣C，D在水平放置的尺子上的讀數(shù)分別為3

cm和7

cm，并

且C，D所在的直線與豎直放置的尺子的0刻度線重合，沙漏的中心點O

剛好和刻度5

cm水平對齊，上面部分的沙面(A，B所在直線)與刻度8

cm

水平對齊，則此時沙面的寬AB＝(

C

)CA.

3

cmB.

2.5

cmC.

2.4

cmD.

2

cm

正8字型：有一組對頂角且一組對邊平行，如DE∥BC.

【結(jié)論】△ABC∽△ADE.

模型分析6.

(2024河北18題)如圖，是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長度的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點E.

(1)AB與CD是否垂直？

(填“是”或“否”)；【解析】(1)如解圖，易得△ACH≌△CGD，則

∠GCD