第三章函數(shù)第四節(jié)一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用教材變式過(guò)重點(diǎn)一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用教材原題例1

人教八下P99第3題一個(gè)彈簧不掛重物時(shí)長(zhǎng)12

cm，掛上重物后伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛重物的質(zhì)量

成正比(在彈簧的彈性限度內(nèi)).如果掛上1

kg的物體后，彈簧伸長(zhǎng)2

cm.求

彈簧總長(zhǎng)y(單位：cm)關(guān)于所掛物體質(zhì)量x(單位：kg)的函數(shù)解析式.解：∵掛上1

kg的物體后，彈簧伸長(zhǎng)2

cm，∴掛上x(chóng)

kg的物體后，彈簧伸長(zhǎng)2x

cm，∴彈簧總長(zhǎng)度y(單位：cm)關(guān)于所掛物體質(zhì)量x(單位：kg)的函數(shù)解析式

為y＝12＋2x.拓展設(shè)問(wèn)(1)求在彈簧的彈性限度內(nèi)，且所掛物體的質(zhì)量為4

kg時(shí)彈簧的總長(zhǎng)度；解：(1)當(dāng)x＝4時(shí)，y＝12＋2×4＝20，∴所掛物體的質(zhì)量為4

kg時(shí)彈簧的總長(zhǎng)度為20

cm；(2)若該彈簧的總長(zhǎng)度超過(guò)40

cm后，彈簧會(huì)被破壞，求彈簧能掛重物的最

大質(zhì)量.解：(2)令y＝40，可得12＋2x＝40，解得x＝14，∴彈簧能掛重物的最大質(zhì)量為14

kg.彈簧總長(zhǎng)度y(單位：cm)關(guān)于所掛物體質(zhì)量x(單位：kg)的函數(shù)解析式

為y＝12＋2x.例2

冀教八下P113第1題A，B兩地相距60

km，甲、乙二人分別騎自行車(chē)和摩托車(chē)沿相同路線(xiàn)勻

速行駛，由A地到達(dá)B地.他們行駛的路程s(km)與甲出發(fā)后的時(shí)間t(h)之

間的函數(shù)圖象如圖所示.(1)乙比甲晚出發(fā)幾小時(shí)？乙比甲早到幾小時(shí)？解：(1)乙比甲晚出發(fā)1小時(shí)，乙比甲早到2小時(shí)；A，B兩地相距60

km，甲、乙二人分別騎自行車(chē)和摩托車(chē)沿相同路線(xiàn)勻

速行駛，由A地到達(dá)B地.他們行駛的路程s(km)與甲出發(fā)后的時(shí)間t(h)之

間的函數(shù)圖象如圖所示.(2)分別寫(xiě)出甲、乙行駛的路程s(km)與甲出發(fā)后的時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)

系式；解：(2)甲行駛的路程s(km)與甲出發(fā)后的時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系式為s＝15t(0≤t≤4)；乙行駛的路程s(km)與甲出發(fā)后的時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系式為s＝60t－60(1≤t≤2)；A，B兩地相距60

km，甲、乙二人分別騎自行車(chē)和摩托車(chē)沿相同路線(xiàn)勻

速行駛，由A地到達(dá)B地.他們行駛的路程s(km)與甲出發(fā)后的時(shí)間t(h)之

間的函數(shù)圖象如圖所示.(3)乙在甲出發(fā)后幾小時(shí)追上甲？追上甲的地點(diǎn)離A地有多遠(yuǎn)？

變式題1.

由同地不同時(shí)出發(fā)，改為同時(shí)不同地出發(fā)(2025滄州模擬)周末，嘉嘉和淇淇一起去體育場(chǎng)看球賽.如圖①，共享單

車(chē)停放點(diǎn)A，B和體育場(chǎng)C依次在一條東西走向的路上.兩人從A，B之

間的點(diǎn)P處同時(shí)出發(fā)，嘉嘉步行去停放點(diǎn)A，淇淇步行去停放點(diǎn)B，然后

各自騎共享單車(chē)前往體育場(chǎng)C.

已知嘉嘉和淇淇?jī)扇瞬叫兴俣染鶠?5

m/min，兩人到體育場(chǎng)的距離s嘉嘉(m)、s淇淇(m)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系

圖象如圖②所示.(1)在圖②中，求縱軸上a的值；圖①圖②解：(1)由題意，得75×(6＋14)＝1

500(m)，∴a＝6

000－1

500＝4

500(m)，即a的值為4

500；已知嘉嘉和淇淇?jī)扇瞬叫兴俣染鶠?5

m/min，兩人到體育場(chǎng)的距離s嘉嘉(m)、s淇淇(m)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示.(2)①嘉嘉騎上共享單車(chē)后，求s嘉嘉與t的函數(shù)關(guān)系式；

圖①圖②已知嘉嘉和淇淇?jī)扇瞬叫兴俣染鶠?5

m/min，兩人到體育場(chǎng)的距離s嘉嘉(m)、s淇淇(m)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示.②求嘉嘉追上淇淇的時(shí)間t；

圖①圖②

解得t＝10，∴嘉嘉追上淇淇的時(shí)間為10

min；圖①圖②已知嘉嘉和淇淇?jī)扇瞬叫兴俣染鶠?5

m/min，兩人到體育場(chǎng)的距離s嘉嘉(m)、s淇淇(m)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示.(3)若淇淇改為先步行去停放點(diǎn)A，然后騎共享單車(chē)去體育場(chǎng)，騎行速度

與原來(lái)相同，直接寫(xiě)出與原來(lái)到達(dá)體育場(chǎng)相差的時(shí)間.解：(3)2

min.

圖①圖②河北中考真題精選一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(6年3考)命題點(diǎn)1.

(2025河北22題)一般固體都具有熱脹冷縮的性質(zhì)，固體受熱后其長(zhǎng)度的增加稱(chēng)為線(xiàn)膨脹.在0～100

℃(本題涉及的溫度均在此范圍內(nèi))，原長(zhǎng)為l

m的銅棒、鐵棒受熱后，伸長(zhǎng)量y(m)與溫度的增加量x(℃)之間的關(guān)系均為y＝αlx，其中α為常數(shù)，稱(chēng)為該金屬的線(xiàn)膨脹系數(shù).已知銅的線(xiàn)膨脹系數(shù)αCu＝1.7×10－5(單位：/℃)；原長(zhǎng)為2.5

m的鐵棒從20

℃加熱到80

℃伸長(zhǎng)了1.8×10－3

m.(1)原長(zhǎng)為0.6

m的銅棒受熱后升高50

℃，求該銅棒的伸長(zhǎng)量(用科學(xué)記數(shù)法表示)；解：(1)0.6×50×1.7×10－5＝5.1×10－4(m)，答：該銅棒的伸長(zhǎng)量為5.1×10－4

m；新考法跨物理學(xué)科原長(zhǎng)為l

m的銅棒、鐵棒受熱后，伸長(zhǎng)量y(m)與溫度的增加量x(℃)之間的關(guān)系均為y＝αlx，其中α為常數(shù)，稱(chēng)為該金屬的線(xiàn)膨脹系數(shù).已知銅的線(xiàn)膨脹系數(shù)αCu＝1.7×10－5(單位：/℃)；原長(zhǎng)為2.5

m的鐵棒從20

℃加熱到80

℃伸長(zhǎng)了1.8×10－3

m.(2)求鐵的線(xiàn)膨脹系數(shù)αFe；若原長(zhǎng)為1

m的鐵棒受熱后伸長(zhǎng)4.8×10－4

m，

求該鐵棒溫度的增加量；解：(2)2.5×αFe(80－20)＝1.8×10－3，解得αFe＝1.2×10－5，設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x1

℃，根據(jù)題意得1×1.2×10－5×x1＝4.8×10－4，解得x1＝40，答：鐵的線(xiàn)膨脹系數(shù)αFe＝1.2×10－5/℃，該鐵棒溫度的增加量為40

℃；原長(zhǎng)為l

m的銅棒、鐵棒受熱后，伸長(zhǎng)量y(m)與溫度的增加量x(℃)之間的關(guān)系均為y＝αlx，其中α為常數(shù)，稱(chēng)為該金屬的線(xiàn)膨脹系數(shù).已知銅的線(xiàn)膨脹系數(shù)αCu＝1.7×10－5(單位：/℃)；原長(zhǎng)為2.5

m的鐵棒從20

℃加熱到80

℃伸長(zhǎng)了1.8×10－3

m.(3)將原長(zhǎng)相等的銅棒和鐵棒從0

℃開(kāi)始分別加熱，當(dāng)它們的伸長(zhǎng)量相同

時(shí)，若鐵棒的溫度比銅棒的高20

℃，求該鐵棒溫度的增加量.解：(3)設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x2

℃，根據(jù)題意得1.7×10－5(x2－20)＝1.2×10－5x2，解得x2＝68，答：該鐵棒溫度的增加量為68

℃.2.

香蕉草是水族箱中常見(jiàn)的沉水植物.有研究表明施用戊二醛(水箱消毒劑)會(huì)對(duì)水體中香蕉草的生長(zhǎng)造成不利影響，科研人員通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)香蕉草溶解氧的增加量y與戊二醛濃度x之間成一次函數(shù)關(guān)系.相關(guān)數(shù)據(jù)如下：戊二醛濃度x(mg·L－1)46810溶解氧的增加量y(mg·L－1)0.620.480.340.2新考法跨生物學(xué)學(xué)科(1)觀(guān)察表格中的數(shù)據(jù)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－0.07x＋0.9；(2)請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)戊二醛濃度超過(guò)多少時(shí)，香蕉草溶解氧的增加量為負(fù)值？解：(2)由題意得－0.07x＋0.9＜0，

戊二醛濃度x(mg·L－1)46810溶解氧的增加量y(mg·L－1)0.620.480.340.23.

(2024河北23題)如圖是某機(jī)場(chǎng)監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號(hào)指揮

機(jī)(看成點(diǎn)P)始終以3

km/min的速度在離地面5

km高的上空勻速向右飛

行，2號(hào)試飛機(jī)(看成點(diǎn)Q)一直保持在1號(hào)機(jī)P的正下方，2號(hào)機(jī)從原點(diǎn)O

處沿45°仰角爬升，到4

km高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過(guò)1

min到

達(dá)B