第十五章軸對(duì)稱培優(yōu)訓(xùn)練人教版（2024）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)1.如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G，F(xiàn)，若FG＝3，ED＝6，則EB＋DC的值為

()A．7

B．8

C．9

D．10C一、選擇題2.如圖，已知在△ABC中，∠B＝50°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線MN分別交AB，BC于點(diǎn)M，N.若點(diǎn)M在PA的垂直平分線上，點(diǎn)N在PC的垂直平分線上，則∠APC的度數(shù)為

()A．100°

B．105°

C．115°

D．120°C3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，分別以點(diǎn)A，B為圓心畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EF交BC于點(diǎn)D，連接AD，則△ACD的周長(zhǎng)為

()A．21

B．24

C．27

D．30A4．如圖，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，AB＝18cm，AC＝8cm，則BE的長(zhǎng)為

()A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．5cmD5．如圖，∠AOB＝30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP＝15.若在OA，OB上分別有動(dòng)點(diǎn)M，N，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是

()A.5B．15C．20D．30B6．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，垂足為E，M為DE上任意一點(diǎn)，BA＝3，AC＝4，BC＝6，則△AMC周長(zhǎng)的最小值為

()A.7B．6C．9D．10D證明：(1)∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°.∵∠DAC＝∠BAC＋∠DAB，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE，1.如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，連接CD，BE相交于點(diǎn)F，連接AF，BC.求證：(1)BE＝DC；三、解答題∴∠DAC＝∠BAE.在△BAE和△DAC中，∴△BAE≌△DAC(SAS).∴BE＝DC.由(1)可知△BAE≌△DAC，∴∠ABE＝∠ADC.∵∠BKD＝∠ABE＋∠BFK＝∠ADC＋∠DAK，∴∠BFK＝∠DAK＝60°.∴∠BFC＝180°－∠BFK＝180°－60°＝120°.(2)∠BFC＝120°；證明：(2)如圖，設(shè)DC與AB相交于點(diǎn)K，∴∠DMA＝∠BNA＝90°.∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE.在△DAM和△BAN中，∴△DAM≌△BAN(AAS).∴AM＝AN.∴FA平分∠DFE.(3)FA平分∠DFE.證明：(3)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DC于點(diǎn)M，AN⊥BE于點(diǎn)N，2．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線l2交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，△ADE的周長(zhǎng)為8cm.(1)求BC的長(zhǎng)；解：(1)∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC，∴AD＝BD，AE＝CE.∵△ADE的周長(zhǎng)為8cm，∴BC＝BD＋DE＋CE

＝AD＋DE＋AE＝8(cm).(2)若∠BAC＝128°，求∠DAE的度數(shù)；(2)∵AD＝BD，AE＝CE，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB.∵∠BAC＝128°，∴∠ABC＋∠ACB＝52°.∴∠BAD＋∠EAC＝52°.∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠EAC)＝76°.(3)分別連接OA，OB，OC，若△OBC的周長(zhǎng)為18

cm，求OA的長(zhǎng)．(3)∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC，∴OA＝OB，OA＝OC.∴OA＝OB＝OC.∵△OBC的周長(zhǎng)為18cm，∴OB＋OC＋BC＝18(cm).又∵BC＝8cm，∴OB＝OC＝5cm.∴OA＝5cm.3.如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC方向，在線段BC上運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，連接AM，并以AM為邊在線段BC上方，作等邊△AMN，連接CN.(1)當(dāng)∠BAM＝______°時(shí)，AB＝2BM；(2)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：______________________，使得△ABC為等邊三角形；30AB＝AC(答案不唯一)(3)證明：∵△ABC與△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.∴∠BAC－∠MAC＝∠MAN－∠MAC，即∠BAM＝∠CAN.在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN(SAS).∴BM＝CN.∵BC＝BM＋MC，AC＝BC，∴CN＋CM＝AC.(3)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求證：CN＋CM＝AC.4．流經(jīng)官渡古鎮(zhèn)的寶象河兩岸風(fēng)光旖旎，是附近居民散步休閑的好去處，為了測(cè)量寶象河平行兩岸的寬度，兩個(gè)數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方案，如下表：(1)第一小組測(cè)得BC＝8m，則河寬AB為____m；解：(1)依題意，得∠DBC＝80°，∵∠ACB＝40°，∴∠BAC＝∠DBC－∠ACB＝40°.∴∠ACB＝∠BAC.∴AB＝BC＝8m.故答案為8.8(2)第二小組認(rèn)為只要測(cè)得CD的長(zhǎng)就能得到河寬AB.你認(rèn)為第二小組的方案可行嗎？如果可行，請(qǐng)給出證明；如果不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)我認(rèn)為第二小組的方案可行．證明如下：依題意，得∠ABO＝∠DCO＝90°，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，∴△ABO≌△DCO(ASA).∴AB＝CD.∴只要測(cè)得CD的長(zhǎng)就能得到河寬AB.(3)如圖，觀察者從點(diǎn)B向東走到點(diǎn)C，此時(shí)恰好測(cè)得∠ACB＝45°.依題意，得∠ABC＝90°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°－∠ACB＝45°.∴AB＝BC，即要測(cè)量河寬AB，只需要測(cè)量線段BC的長(zhǎng)度．(3)除上述方法外，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)再設(shè)計(jì)一種方案對(duì)河寬進(jìn)行測(cè)量．5．在等腰△ABC中，AB＝AC，D為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，BD，CD.(1)如圖1，若D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BAD＝∠CAD，求證：BD＝CD；∴△ABD≌△ACD(SAS).∴BD＝CD.(1)證明：在△ABD和△ACD中，(2)如圖2，若D是△ABC外一點(diǎn)，且∠ADC＋∠ADB＝180°，∠ACD＝60°，猜想AB，CD和BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)解：AB＝CD＋BD.證明如下：如圖2，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使得DH＝DB，連接AH.∵∠ADC＋∠ADB＝180°，∠ADC＋∠ADH＝180°，∴∠ADB＝∠ADH.在△ADH和△ADB中，∴△ADH≌△ADB(SAS).∴AH＝AB.∵AB＝AC，∴AH＝AC.∵∠ACD＝60°，∴△ACH為等邊三角形．∴CH＝AH.∴AB＝CH＝CD＋DH＝CD＋BD.(3)如圖2，在(2)的條件下，若BD＝1，AC＝4，求CD的長(zhǎng)．(3)解：由(2)得AB＝CD＋BD，∵AB＝AC，BD＝1，AC＝4，∴CD＝AB－BD＝AC－BD＝3.6．已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AC，AD⊥CE，垂足為D，交BC于點(diǎn)F.(1)如圖1，若∠BCE＝30°，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；解：(1)△ABC為直角三角形．理由如下：∵AE＝AC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CDF＝90°，∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD.又∵∠BAC＝2∠B，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BCE＝30°，∠CDF＝90°，∴∠AFC＝90°－∠BCE＝60°.∴∠BAF＝∠B＝∠CAD＝30°.∴∠BCA＝90°.∴△ABC為直角三角形．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G.∴CA＝CG.又∵∠BAF＝∠B，∴∠BCG＝∠G.∴CA＝CG，F(xiàn)A＝FB，F(xiàn)C＝FG.∴AG＝BC.在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，∴AG＝2AD＝2DG.∴BC＝2AD＝8.(2)如圖2，若AD＝4，求BC的長(zhǎng)．7.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在邊AB，BC上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為vP＝2cm/s，vQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

s．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4－2t，BQ＝t.(1)當(dāng)BP＝BQ時(shí)，△PBQ為等邊三角形，△PBQ為等邊三角形．∴當(dāng)t＝

時(shí)，即4－2t＝t，解得t＝

.(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？(2)若△PBQ為直角三角形，有兩種情況：①當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP＝2BQ，即4－2t＝2t，解得t＝1；②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BQ＝2BP，△PBQ為直角三角形．即t＝2(4－2t)，解得t＝

.∴當(dāng)t＝

或t＝1時(shí)，8.

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，對(duì)角線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)P，CE是∠ACB的平分線，交BD于點(diǎn)O.(1)請(qǐng)求出∠BAC的度數(shù)；解：(1)∵CD＝AD，∠ADC＝60°，∴△ACD為等邊三角形．∴∠ACD＝60°.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝60°.(2)試用等式表示線段BE，BC，CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)BC＝BE＋CP.理由如下：如圖，在BC上截取BF＝BE，連接OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBF.∴△BEO≌△BFO(SAS).∴∠BOE＝∠BOF.在△BEO和△BFO中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°.∵OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＋∠OCB＝60°.∴∠POC＝∠BOE＝60°.∴∠COF＝60°.∴∠COF＝∠POC.又∵OC＝OC，∠OCP＝∠OCF，∴△CPO≌△CFO(ASA).∴CP＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CP.9.

已知△ABC是等邊三角形，E，F(xiàn)分別是邊BC，AC上的點(diǎn)，AE與BF相交于點(diǎn)G，且BE＝CF.(1)如圖1，求證：△ABE≌△BCF，并直接寫出∠AGF的度數(shù)；(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(SAS).∴∠BAE＝∠CBF.∴∠AGF＝∠BAE＋∠ABG＝∠CBF＋∠ABG＝∠ABC＝60°.(2)如圖2，若DF⊥AE，垂足為D，且DG＝2，BF＝7，求BG的長(zhǎng)；(2)解：由(1)得∠AGF＝60°.∵DF⊥AE，∴∠DFG＝30°.∵DG＝2，∴GF＝2DG＝4.又∵BF＝7，∴BG＝BF－GF＝3.(3)如圖3，以AB為邊在其左側(cè)作等邊△ABD，連接DG，DG＝10，AG＝7，求BG的長(zhǎng)．(3)解：如圖3，延長(zhǎng)GE至點(diǎn)H，使GH＝GB，連接BH.∵∠AGF＝60°，∴∠BGE＝∠AGF＝60°.∴△BGH為等邊三角形．∴BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°.∵△ABD為等邊三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°.∴∠GBH＝∠ABD.∵∠ABH＝∠GBH＋∠ABG，∠DBG＝∠ABD＋∠ABG，∴∠DBG＝∠ABH.∴△DBG≌△ABH(SAS).∴DG＝AH.∵AH＝AG＋GH，∴DG＝AG＋BG.∵DG＝10，AG＝7，∴BG＝DG－AG＝3.在△DBG和△ABH中，10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB交AB于點(diǎn)E.(1)如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；(1)證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°＝∠A.∴DA＝DB.∴BC＝BE.∴△EBC是等邊三角形．∴∠ABC＝60°，BC＝

AB.∵DE⊥AB，∴AE＝BE＝

AB.(2)如圖2，M是線段CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合)，以BM為一邊，在BM下方作∠BMG＝60°，MG交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)ED使得DF＝DM，連接MF.請(qǐng)直接寫出線段AD，DG，DM之間的數(shù)量關(guān)系；(不用證明)(2)解：AD＝DG＋DM.證明