第4第4頁共=SECTIONPAGES2*24頁第3頁共=SECTIONPAGES2*24頁紀元中學2025-2026學年度第一學期期中考試高二數(shù)學科試卷考試時長：120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（

）A．16 B．21 C．23 D．242．某校從500名同學中用隨機數(shù)法抽取30人參加這一項調(diào)查．將這500名同學編號為001，002，…500，假設從第1行第4列的數(shù)字開始，則第5個被抽到的同學的編號為（

）348442175572175455608331047447672176335025839212067663016378591695556719A．331 B．047 C．455 D．4473．如圖，在四面體中，點E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A.B.C.D.4．甲、乙、丙三人參加“校史知識競答”比賽，若甲、乙、丙三人榮獲一等獎的概率分別為，且三人是否獲得一等獎相互獨立，則這三人中僅有兩人獲得一等獎的概率為（

）A． B． C． D．5．已知，則在上的投影向量為().A.(?442929,?33C.(331414,11146．中國古典戲曲四大名著是《牡丹亭》《西廂記》《桃花扇》和《長生殿》，它們是中國古典文化藝術的瑰寶.某戲曲學院圖書館藏有上述四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學院的部分學生對《牡丹亭》這部戲曲產(chǎn)生了濃厚的興趣，該戲曲學院圖書館決定購買一批《牡丹亭》戲曲書籍(其他三部數(shù)量保持不變)若干本.若要保證購買后在該戲曲學院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率不小于0.6，則該戲曲學院圖書館需至少購買《牡丹亭》戲曲書籍（

）A．25本 B．30本 C．35本 D．40本7．如圖，在正四棱錐中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．有4個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是4”，則下列選項錯誤的是（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與乙相互獨立 C．丙與丁互斥 D．乙與丁互斥二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。）9．已知空間向量，，則下列選項中正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，10．已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（

）A． B．C．若A與B互斥，則 D．一定有11．在邊長為1的正方體中，點為線段的中點，點為線段的中點，則（

）A．點到直線的距離為 B．直線到直線的距離為C．點到平面的距離為 D．直線到平面的距離為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分。）12．從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中有放回的隨機抽取2次，每次抽取1張，則2次抽到的卡片上的數(shù)字之和為5的概率為．13．對某校學生體重進行調(diào)查，采用按樣本量比例分配的分層抽樣.已知抽取女生30人，其平均數(shù)和方差分別為；抽取男生20人，其平均數(shù)和方差分別為，則總樣本平均數(shù)為；總樣本的方差為.14．已知向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為四、解答題（共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（13分）在一個文藝比賽中，5名專業(yè)人士和5名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分.下面是兩組評委對同一名選手的打分：組4247484652組5236703839(1)分別計算兩組評委打分的方差，并判斷哪組更像是由專業(yè)人士組成的評委小組；(2)甲、乙是該場比賽的專業(yè)人士評委，要從五位專業(yè)人士的評委小組中任意選取3人對該選手點評，求甲、乙都被選中的概率.16．（15分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者，鶴山市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求樣本成績的平均數(shù)和第62百分位數(shù)；(2)用分層抽樣的方法在分數(shù)落在內(nèi)的答卷中隨機抽取一個容量為5的樣本，現(xiàn)將該樣本看成一個總體，再從中任取2份，求至多有1份答卷的分數(shù)在內(nèi)的概率．17．（15分）如圖，平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且．(1)求的長度：(2)求證：平面．18．（17分）《中華人民共和國愛國主義教育法》已由中華人民共和國第十四屆全國人民代表大會常務委員會第六次會議于2023年10月24日通過，現(xiàn)予公布，自2024年1月1日起施行．甲，乙兩同學組成“星隊”鶴山市“愛國主義教育法”知識競賽．現(xiàn)有A，B兩類問題，競賽規(guī)則如下：①競賽開始時，每個同學先從A類問題中隨機抽取一個問題進行回答，答錯的同學本輪競賽結(jié)束；答對的同學再從B類問題中隨機抽取一個問題進行回答，無論答對與否，本輪競賽結(jié)束．②若在本輪競賽中“星隊”同學合計答對問題的個數(shù)不少于3個，則“星隊”可進入決賽．已知甲同學能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為．乙同學能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為．(1)設“甲同學答對0個，1個，2個問題”分別記為事件，求事件的概率；(2)求甲乙兩同學組成“星隊”能進入決賽的概率．19．（17分）如圖，在正三棱柱中，底面邊長為，側(cè)棱長為，是的中點.(1)證明:平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點，使得點到平面ADE的距離為?若存在，請求出的值;若不存在，請說明理由.答案第答案第=page11頁，共=sectionpages22頁紀元中學2025-2026學年度第一學期期中考試高二數(shù)學參考答案題號1234567891011答案CBABDCABBCABCABD1．C將樣本數(shù)據(jù)從小到大排序為：，因為，所以第75百分位數(shù)為.2．B由題知，選取的同學編號分別是442,175,572,175,455,608,331,047，剔除重復數(shù)據(jù)，超過500的數(shù)據(jù)，符合條件的是442,175,455,331,047，第五個是047.3．A由題意可得,4．B設這三人中僅有兩人獲得一等獎為事件A，則.5.，所以在上的投影向量為6．C設需購買《牡丹亭》戲曲書籍x本，則購買后該戲曲學院圖書館所藏有的這四大戲曲名著共，從中任取1本有種取法.《牡丹亭》戲曲書籍共，從中任取1本有種取法.從該戲曲學院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率為根據(jù)題意可得，解得，即該戲曲學院圖書館需至少購買《社丹亭》戲曲書籍35本.7．A連接交于，連接，由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由，不妨設，則，在中，，則，則，，則，由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.8．B由題意可得兩次取球所有可能情況為，，，，，，，，，，，共種情況；第一次取出的球的數(shù)字是1，所有可能為，，共3種情況；第二次取出的球的數(shù)字是2，所有可能為，，共3種情況；則兩次取出球的數(shù)字之和為，的所有可能為，，，共種情況；兩次取出球的數(shù)字之和為，所有可能為，共種情況；記“第一次取出的球的數(shù)字是1”為，“第二次取出的球的數(shù)字是2”為，“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”為，“兩次取出的球的數(shù)字之和是4”為，則，，，.A：當出現(xiàn)情況時，甲丙同時發(fā)生，則，故甲丙相互獨立，故A正確；B：當出現(xiàn)情況時，甲乙同時發(fā)生，則，故甲乙不相互獨立，故B錯誤；C：由不可能同時發(fā)生，故丙與丁互斥，故C正確；D：由于兩次不可能都取2，故乙丁不能同時發(fā)生，則乙與丁互斥，故D正確；故選：B.9．BCA：當時，，解得，A錯誤；B：當時，，即，解得，B正確；C：當時，則有，，C正確；D：當時，，D錯誤，10．ABC對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，又且，則，所以，即，故B正確；對于C，因為A與B互斥，所以，則，故C正確；對于D，記事件“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)小于3”，事件“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為4”，則滿足，，但不成立，故D錯誤；11．ABD建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，．因為，，．設，所以，所以點到直線的距離為，故A正確．因為，，所以，所以，所以點到直線的距離即為直線到直線的距離．，．設，所以，所以直線到直線的距離為，故B正確．設平面的一個法向量，又，，所以取，則，，所以，所以．又，所以點到平面的距離為，故C錯誤．因為，平面，所以平面，所以到平面的距離即為點到平面的距離．又平面的單位法向量，，所以直線到平面的距離為，故D正確．12．/把第一次抽取的卡片為，第二次抽取的卡片為，記為.則4張卡片中有放回的隨機抽取2次所有情況為：，，共16種.其中數(shù)字之和為5的有4種，則所求概率為.13．54/設分別為總樣本均值和方差，則，，14.，，，向量與的夾角為銳角，且向量與不平行，，，向量與不平行，，的取值范圍為且15．（1）組評委打分的平均數(shù)為，(1分)組評委打分的方差為，(3分)組評委打分的平均數(shù)為，(4分)組評委打分的方差為，(6分)則，又，小組打分波動較小，故小組更像是由專業(yè)人士組成的評委小組.(7分)（2）記五位專業(yè)人士分別為，甲，乙，(8分)從五位專業(yè)人士的評委小組中任意選取3人，基本情況為共10種情況，(11分)其中甲、乙都被選中的情況有3種情況，(12分)所以恰好甲、乙同時被選中的概率為.(13分)16．（1），則；(1分)平均數(shù)為：；(3分)前三組的頻率之和為；前四組的頻率之和為；第62百分位數(shù)在第四組，為(6分)（3）落在內(nèi)的樣本容量為：，落在內(nèi)的樣本容量為：.則應從中抽2個，從中抽3個.(8分)設中的樣本為：，中的樣本為：.(9分)則從中任取2份的情況有：，，共10種.(11分)分數(shù)在內(nèi)有：共7種，(12分)則至多有1份答卷的分數(shù)在內(nèi)的概率為：.(13分)17．（1）設，，，由于四邊形為菱形，設，即，(1分)所以，同理可得，(2分)由題意可得，(3分)所以；(6分)（2）因為，(7分)所以，(9分)所以，(10分)因為，計算：，(12分)所以，(13分)又因為，、平面．(14分)所以平面.(15分)18．（1）因為甲同學能答對A類中問題的概率為(1分)，能答對類中問題的概率為，(2分)所以(4分)，(6分)，．(8分)（2）設“乙同學答對1個，2個問題”分別記為事件，因為乙同學能答對A類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為，(10分)可得，(12分)設事件表示“星隊能進入決賽”，可得，(16分)所以“星隊”能進入決賽的概率為.(17分)19．（1）如圖，連接交于點O，連接，則點O為的中點，且D是的中點，則為的中位線，所以．(2分)又因