第1頁/共1頁2024年1月福建省普通高中學業(yè)水平合格性考試數學試題（考試時間：90分鐘；滿分：100分）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．注意事項：1．答題前，考生將自己的考生號、姓名填寫在試題卷、答題卡上．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“考生號、姓名”與考生本人考生號、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號．第Ⅱ卷用黑色字跡簽字筆在答題卡上作答．在試題卷上作答，答案無效．3．考試結束，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：樣本數據的標準差其中為樣本平均數柱體體積公式，其中S為底面面積，h為高臺體體積公式，其中分別為上、下底面面積，h為高錐體體積公式，其中S為底面面積，h為高球的表面積公式，球的體積公式，其中R為球的半徑第Ⅰ卷（選擇題57分）一、選擇題：本題共19小題，每小題3分，共57分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據交集的定義計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：A2.隨機投擲一枚質地均勻的骰子，出現朝上的面的點數是偶數的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據古典概型的概率公式計算可得.【詳解】隨機投擲一枚質地均勻的骰子可能出現的結果有個，其中朝上的面的點數是偶數有種情況，所以出現朝上的面的點數是偶數的概率.故選：C3.若，，則是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】【分析】根據，可判斷可能在的象限，根據，可判斷可能在的象限，綜合分析，即可得答案.【詳解】由，可得的終邊在第一象限或第二象限或與y軸正半軸重合，由，可得的終邊在第二象限或第四象限，因為，同時成立，所以是第二象限角.故選：B4.命題“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題“”為全稱量詞命題，其否定為：.故選：D5.下列函數是奇函數的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇函數的定義逐個分析判斷.【詳解】對于A，定義域為，因為，所以是奇函數，所以A正確，對于B，定義域為，因為定義域不關于原點對稱，所以是非奇非偶函數，所以B錯誤，對于C，定義域為，因為，所以不是奇函數，所以C錯誤；對于D，定義域為，因為，所以不是奇函數，所以D錯誤.故選：A6.i為虛數單位，計算等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數的除法法則運算即可.【詳解】.故選：A.7.某校有小學生、初中生和高中生，其人數比是．為了解該校學生的視力情況，采用按比例分層抽樣的方法從中抽取容量為的樣本，那么初中生應抽取的人數是（）A.5 B.10 C.20 D.25【答案】C【解析】【分析】根據分層抽樣計算規(guī)則計算可得.【詳解】依題意初中生應抽取人.故選：C8.已知直線平面，直線平面，下列結論一定正確的是（）A. B. C.與是異面直線 D.與沒有公共點【答案】D【解析】【分析】根據空間中線線、線面的位置關系判斷即可.【詳解】因為直線平面，直線平面，所以或與是異面直線，則與沒有公共點.故選：D9.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導公式計算可得.【詳解】因為，所以.故選：C10.如圖，在中，，分別是，的中點，若，則向量可表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據平面向量線性運算法則計算可得.【詳解】因為，分別是，的中點，所以，，所以.故選：D11.不等式的解集是（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根據一元二次不等式的解法計算可得.【詳解】不等式，解得或，所以不等式的解集為或.故選：A12.計算等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式計算可得.【詳解】.故選：B13.三個數的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據指數函數、對數函數性質判斷即可.【詳解】因為在定義域上單調遞增，所以，又，所以.故選：A14.甲、乙兩人獨立破譯某個密碼，若每人成功破譯密碼的概率均為，則密碼不被破譯的概率為（）A.0.09 B.0.42 C.0.49 D.0.51【答案】C【解析】【分析】根據相互獨立事件的概率乘法公式計算可得.【詳解】因為每人成功破譯密碼的概率均為，且甲、乙兩人獨立破譯某個密碼，則密碼不被破譯的概率.故選：C15.若，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將對數式化為指數式，再根據指數冪的運算法則計算可得.【詳解】因為，，所以，，所以.故選：D16.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判斷A、B、C，根據不等式的性質判斷D.【詳解】對于A，當，時，滿足，但是，故A錯誤；對于B，當，時，滿足，但是，故B錯誤；對于C，當，時，滿足，但是，故C錯誤；對于D，因為，所以，即，故D正確.故選：D17.將函數的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到的圖象所對應的函數的解析式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據三角函數的變換規(guī)則計算可得.【詳解】將函數的圖象上所有的點向左平移個單位長度得到.故選：B18.已知向量與的夾角是，且，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據數量積的定義求出，再由投影向量的定義計算可得.【詳解】因為向量與的夾角是，且，，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B19.某“定制班車”的票價按下列規(guī)則制定：①行程在以內的（含），票價2元；②行程在以上的，前票價2元，以后每增加票價增加1元（不足的按計算）．小明某天乘坐該“定制班車”，行程，票價4元，那么的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據小明的票價分析行程最大值，即可判斷.【詳解】因為小明的票價為元，則小明的行程最大為，又當小明的行程為時，票價只需元，則小明的行程需大于且不超過，所以.故選：B第Ⅱ卷（非選擇題43分）（請考生在答題卡上作答）二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分．20.若球的表面積為，則該球的半徑是___________．【答案】【解析】【分析】根據球的表面積公式計算可得.【詳解】設球的半徑為，依題意，解得（負值已舍去）.故答案為：21.函數的最小值是___________．【答案】【解析】【分析】根據余弦函數的性質計算可得.【詳解】因為，所以，所以函數的最小值是.故答案為：22.若函數在區(qū)間上單調遞增，則k的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】求得拋物線的對稱軸方程為，可得，求解即可.【詳解】由題意得拋物線的對稱軸方程為∵函數在上單調遞增，∴，∴，則的取值范圍為.故答案為：23.某市政府計劃對居民生活用水實施階梯式水價制度，即確定一戶居民月均用水量標準（單位：），用水量不超過部分按平價收費，超出的部分按議價收費，該市隨機調查了10000戶居民，獲得了他們的月均用水量數據，整理得到頻率分布直方圖（如圖）．如果要讓該市的居民用戶的月均用水量不超出標準，那么應為___________（單位：）．【答案】##【解析】【分析】首先判斷位于之間，再根據百分位數計算規(guī)則計算可得.【詳解】因為，，所以位于之間，所以，解得，所以應為.故答案為：三、解答題：本題共3小題，共27分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．24.如圖，正方體的棱長為2，E為的中點.（1）求三棱錐的體積；（2）求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據三棱錐體積計算公式即可；（2）通過證明，得平面即可.【小問1詳解】由題意可知，為的中點，且正方體棱長為2，所以三棱錐體積為：.【小問2詳解】因為正方體中平面，且平面，所以.連接，又因為底面為正方形，所以.因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以.25.已知的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求證：為等腰三角形；（2）若，求的面積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化角為邊，化簡即可得證；（2）由余弦定理可求得，可求的面積.【小問1詳解】因為，所以，化簡得，即，所以是等腰三角形.【小問2詳解】由余弦定理可得，得，解得，由，所以，所以的面積為.26已知函數且．（1）求實數a的值；（2）若函數在上恰有兩個零點，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據分段函數解