2024年南師附中特長生選拔考試數(shù)學(xué)試題【綜合部分】3.3已知正整數(shù)x，y滿足xy=x2+3，則(x,y)=..一一一一一一5.已知一個(gè)三位數(shù)中至少有一位數(shù)為1，且相鄰兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值不超過1，則這樣的三位數(shù)個(gè)數(shù)為.6.已知二次函數(shù)y=x2-(2k+2)x+(k2+2)，其圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)為x1，x2，且2a7（1）求證：(2a.2c2+d22.（2）已知41×53=2173，證明2173是兩個(gè)正整數(shù)的平方之和.8.如圖，已知梯形ABCD，ADⅡBC，AD=a，BC=b.（1）如圖1，若EF過點(diǎn)O，且EFⅡAD，則EO=.第2頁/共10頁（2）如圖2，若GHⅡAD，點(diǎn)G、H分別在AB、CD上，且GH=ab，比較EF和GH的大小關(guān)系，并說明理由.（3）已知對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)四邊形稱為相似四邊形，則試說明梯形ADHG與梯形BCHG是否相似.答案與解析【答案】1【解析】【分析】該題主要考查了三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是加減消元.根據(jù)①+②算出3x+y=5，再根據(jù)①×2-②算出y+z=5，代入即可求解；解：故答案為：1.2.若x23【答案】0【解析】【分析】該題主要考查了完全平方公式、絕對(duì)值的非負(fù)性，二次根式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是得出x=-y.根據(jù)題意得出x=-y，再代入求解即可；第3頁/共10頁又∴∴又∴∴x2x+y=0，3故答案為：0.【解析】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等式的性質(zhì)等知識(shí)，先利用等式的性質(zhì)得出y=x+，根據(jù)x、y為正整數(shù)，可判定出為正整數(shù)，則得出x=1或3，即可求解.，x為正整數(shù)，∵y為正整數(shù)，∴為正整數(shù)，第4頁/共10頁【答案】3π【解析】【分析】延長BE交ΘO與H，連接OB，OC，利用垂徑定理可得出=，利用圓周角定理等可得利用勾股定理得出2=BO2，求出BO，最后利用圓的面積公式求解即可.【詳解】解∶延長BE交ΘO與H，連接OB，OC，第5頁/共10頁又BE2+OE2=BO2，故答案為：3π.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理圓周角定理，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線是解題的關(guān)鍵.5.已知一個(gè)三位數(shù)中至少有一位數(shù)為1，且相鄰兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值不超過1，則這樣的三位數(shù)個(gè)數(shù)為.【答案】13【解析】【分析】本題考查了列舉法，分百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字為1，分別列舉出所有可能即可.【詳解】解∶①當(dāng)百位數(shù)字為1時(shí)，∵相鄰兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值不超過1，∴十位數(shù)字可能為0，1，2，當(dāng)十位數(shù)字為0時(shí)，個(gè)位數(shù)字可能為0，1；當(dāng)十位數(shù)字為1時(shí)，個(gè)位數(shù)字可能為0，1，2；當(dāng)十位數(shù)字為2時(shí)，個(gè)位數(shù)字可能為1，2，3，∴三位數(shù)可能為100，101，110，111，112，121，122，123；②當(dāng)十位數(shù)字為1時(shí)，∵相鄰兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值不超過1，百位數(shù)字不能為0，∴百位數(shù)字可能為1，2，個(gè)位數(shù)字為0，1，2，③當(dāng)個(gè)位數(shù)字為1時(shí)，∵相鄰兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值不超過1，第6頁/共10頁∴十位數(shù)字可能為0，1，2，當(dāng)十位數(shù)字為0時(shí)，百位數(shù)字可能為1；當(dāng)十位數(shù)字為1時(shí)，百位數(shù)字可能為1，2；當(dāng)十位數(shù)字為2時(shí)，百位數(shù)字可能為1，2，3，∴三位數(shù)可能為101，111，211，121，221，321，∴三位數(shù)可能為100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13個(gè)，故答案為：13.(2k+2)x+(k2+2)，其圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)為x1，x2，且【答案】1【解析】【分析】本題考查了一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系，整體代入求解．令y=0，得方程x2一(2k+2)x+(k2+2)=0，x1，x2即為方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2和x1.x2，然后整體代入求解即可.【詳解】解∶∵二次函數(shù)y=x2一(2k+2)x+(k2+2)，其圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，=0，x1，x2即為方程的兩根，2.x2x2∴k222222222（2）已知41×53=2173，證明2173是兩個(gè)正整數(shù)的平方之和.【答案】（1）見解析2）見解析第7頁/共10頁【解析】【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是∶（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算左邊，利用完全平方公式計(jì)算右邊，然后驗(yàn)證即可；2求解即可.∴左邊=右邊，2222222222c2+d22，422222222，222222222222，即2173是正整數(shù)43，18的平方之和或正整數(shù)27，38的平方之和.8.如圖，已知梯形ABCD，ADⅡBC，AD=a，BC=b.（1）如圖1，若EF過點(diǎn)O，且EFⅡAD，則EO=.并說明理由.（3）已知對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)四邊形稱為相似四邊形，則試說明梯形ADHG與梯形BCHG第8頁/共10頁是否相似.abab（2）EF<GH，理由見解析（3）梯形ADHG與梯形BCHG相似.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到△ADO∽△CBO，進(jìn)而得到設(shè)AO=ax，OC=bx，再證明VAEO∽VABC，得到==求解，即可解題；的大??；（3）利用平行線性質(zhì)可得梯形ADHG與梯形BCHG對(duì)應(yīng)角相等，作APⅡDC交BC于點(diǎn)P，交GH于(ba)m，得到,即可得到對(duì)應(yīng)邊成比例，證明梯形ADHG與梯形BCHG相似.,即可得到對(duì)應(yīng)邊成比例，證明梯形ADHG與梯形BCHG相似.【小問1詳解】解：ADⅡBC，:△ADO∽△CBO，EFⅡAD，:EFⅡADⅡBC，:△AEO∽△ABC，EOAOAOaxa第9頁/共10頁故答案為：.【小問2詳解】解：由（1）同理可得，:EF<GH；【小問3詳解】解：:GHⅡAD，:ADⅡBC，:GHⅡBCⅡAD，且，作APⅡDC