山西省太原市山西大學(xué)附屬中學(xué)2025年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D2．已知空間向量，，且，則的值為（）A. B.C. D.3．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.4．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.5．下列命題中的假命題是（）A.，B.存在四邊相等的四邊形不是正方形C.“存在實數(shù)，使”的否定是“不存在實數(shù)，使”D.若且，則，至少有一個大于6．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.7．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.38．已知，，，，則下列不等關(guān)系正確的是()A. B.C. D.9．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10．設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，，A為垂足．如果直線AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.811．某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數(shù)y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4個月的患病（感冒）人數(shù)與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的，氣象部門預(yù)測下個月的平均氣溫約為9℃，據(jù)此估計該社區(qū)下個月老年人與兒童患病人數(shù)約為（）A.38 B.40C.46 D.5812．命題任意圓的內(nèi)接四邊形是矩形，則為（）A.每一個圓的內(nèi)接四邊形是矩形B.有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形C.所有圓的內(nèi)接四邊形不是矩形D.存在一個圓的內(nèi)接四邊形是矩形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則______.14．已知數(shù)列的前項和為，且，若點在直線上，則______；______.15．若直線過圓的圓心，則實數(shù)a的值為_________.16．已知直線與圓交于A,B兩點,過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點,若|AB|=4,則|CD|=_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子（六個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體）（1）求兩顆骰子向上的點數(shù)相等的概率；（2）求兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的整數(shù)倍的概率18．（12分）在正方體中，，，分別是，，的中點.（1）證明：平面平面；（2）求直線與所成角的正切值.19．（12分）經(jīng)觀測，某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表.275731.121.71502368.3630表中，（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為y與x之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù).試求y關(guān)于x回歸方程.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.20．（12分）已知圓的圓心在直線，且與直線相切于點.（1）求圓的方程；（2）直線過點且與圓相交，所得弦長為，求直線的方程.21．（12分）某情報站有．五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周末使用的四種密碼中等可能地隨機選用一種．設(shè)第一周使用密碼，表示第周使用密碼的概率（1）求；（2）求證：為等比數(shù)列，并求的表達式22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，為側(cè)棱上一點（1）求證：；（2）若為中點，平面與側(cè)棱于點，且，求四棱錐的體積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由已知，分別表示出選項對應(yīng)的向量，然后利用平面向量共線定理進行判斷即可完成求解.【詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.2、B【解析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.【詳解】.故選：B.3、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當(dāng)時，.當(dāng)時，.故選：C.4、A【解析】由橢圓標準方程求得，再計算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點睛】本題考查求橢圓的離心率，根據(jù)橢圓標準方程求出即可5、C【解析】利用簡易邏輯的知識逐一判斷即可.【詳解】，故A正確；菱形的四邊相等，但不一定是正方形，故B正確；“存在實數(shù)，使”的否定是“對任意的實數(shù)都有”，故C錯誤；假設(shè)且，則，與矛盾，故D正確；故選：C6、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因為雙曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A7、C【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故③錯誤；故選：C8、C【解析】不等式性質(zhì)相關(guān)的題型，可以通過舉反例的方式判斷正誤.【詳解】若、均為負數(shù)，因為，則，故A錯.若、，則，故B錯.由不等式的性質(zhì)可知，因為，所以，故C對.若，因為，所以，故D錯.故選：C.9、A【解析】由三角函數(shù)的單調(diào)性直接判斷是否能推出，反過來判斷時，是否能推出.【詳解】當(dāng)時，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性知；當(dāng)時，或.綜上可知“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查判斷充分必要條件，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.10、D【解析】由題可得方程，進而可得點坐標及點坐標，利用拋物線定義即求【詳解】∵拋物線方程為，∴焦點F(2,0)，準線l方程為x=?2，∵直線AF的斜率為,直線AF的方程為，由，可得，∵PA⊥l，A為垂足，∴P點縱坐標為，代入拋物線方程，得P點坐標為，∴.故選：D.11、B【解析】由表格數(shù)據(jù)求樣本中心，根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點，將點代入方程求參數(shù)，寫出回歸方程，進而估計下個月老年人與兒童患病人數(shù).【詳解】由表格得為，由回歸方程中的，∴，解得，即，當(dāng)時，.故選：B.12、B【解析】全稱命題的否定特稱命題，任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】全稱量詞命題的否定是特稱命題，需要將全稱量詞換為存在量詞，答案A，C不符合題意，同時對結(jié)論進行否定，所以：有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】取，代入計算得到答案.【詳解】，當(dāng)時故答案為【點睛】本題考查了前項和和通項的關(guān)系，取是解題的關(guān)鍵.14、①.；②.【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式、裂項相消法進行求解即可.【詳解】因為點在直線上，所以，所以數(shù)列是以，公差為的等差數(shù)列，所以；因為，所以，于是，故答案為：；15、【解析】根據(jù)圓的求得圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心為，因為圓心為在直線上，可得，解得.故答案：.16、【解析】先求出圓心和半徑，由于半徑為2，弦|AB|=4，所以可知直線過圓心，從而得，求出，得到直線方程且傾斜角為135°，進而可求出|CD|【詳解】圓,圓心(1,2),半徑r=2,∵|AB|=4,∴直線過圓心(1,2),∴,∴,∴直線,傾斜角為135°,∵過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點,∴.故答案為：4【點睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查兩直線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出同時擲兩顆骰子的基本事件數(shù)、及骰子向上的點數(shù)相等的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列舉出兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)的基本事件，應(yīng)用古典概型的概率求法，求概率即可.【小問1詳解】同時擲兩顆骰子包括的基本事件共種，擲兩顆骰子向上的點數(shù)相等包括的基本事件為6種，故所求的概率為；【小問2詳解】兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)時，用坐標記為，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16個基本事件，故兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)有的概率為.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）分別證明∥平面，∥平面，最后利用面面平行的判定定理證明平面∥平面即可；（2）由∥得即為直線與所成角，在直角△即可求解.【小問1詳解】∵∥且EN平面MNE,BC平面MNE,∴BC∥平面MNE,又∵∥且EM平面MNE,平面MNE,∴∥平面MNE又∵,∴平面∥平面,【小問2詳解】由（1）得∥,∴為直線MN與所成的角，設(shè)正方體的棱長為a,在△中，，，∴.19、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，即可判斷；(2)令，利用最小二乘法即可求出y關(guān)于x的線性回歸方程.【小問1詳解】根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為y與x之間的回歸方程模型；【小問2詳解】令，則，；，∴；∴y關(guān)于x的回歸方程為.20、（1）（2）或【解析】（1）分析可知圓心在直線上，聯(lián)立兩直線方程，可得出圓心的坐標，計算出圓的半徑，即可得出圓的方程；（2）利用勾股定理求出圓心到直線的距離，然后對直線的斜率是否存在進行分類討論，設(shè)出直線的方程，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：過點且與直線垂直的直線的方程為，由題意可知，圓心即為直線與直線的交點，聯(lián)立，解得，故圓的半徑為，因此，圓的方程為.【小問2詳解】解：由勾股定理可知，圓心到直線的距離為.當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，圓心到直線的距離為，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.21、（1），，，（2）證明見解析，【解析】(1)根據(jù)題意可得第一周使用A密碼，第二周使用A密碼的概率為0，第三周使用A密碼的概率為，以此類推；(2)根據(jù)題意可知第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為，進而可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】，，，【小問2詳解】第周使用A密碼，則第周必不使用A密碼（概率為），然后第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為故，即故為等比數(shù)列且，公比