2026屆河南洛陽(yáng)名校數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點(diǎn)，下列敘述正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面2．方程表示橢圓的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.數(shù)列一定是等比數(shù)列 B.數(shù)列一定是等差數(shù)列C.數(shù)列一定是等差數(shù)列 D.數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列4．某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校男教師的人數(shù)為（）A.167 B.137C.123 D.1135．已知數(shù)列滿足，在任意相鄰兩項(xiàng)與(k＝1，2，…)之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.1656．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.457．已知圓C的方程為，點(diǎn)P在圓C上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.C. D.8．正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點(diǎn)，則直線ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．下列直線中，傾斜角最大的為（）A. B.C. D.11．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離12．在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，P是與在第一象限的公共點(diǎn).線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_____________.14．如圖，SD是球O的直徑，A、B、C是球O表面上的三個(gè)不同的點(diǎn)，，當(dāng)三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形時(shí)，則球O的半徑為______.15．若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則k的取值范圍是______16．已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，五邊形為東京奧運(yùn)會(huì)公路自行車比賽賽道平面設(shè)計(jì)圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計(jì)時(shí)需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米（1）求服務(wù)通道的長(zhǎng)（2）在上述條件下，如何設(shè)計(jì)才能使折線賽道（即）的長(zhǎng)度最大，并求最大值18．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：.19．（12分）如圖，已知頂點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)分別在軸，軸上移動(dòng)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，且.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）過(guò)點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線的斜率為定值；（3）過(guò)點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn)，若，直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說(shuō)明理由.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與直線交于，兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)及的值21．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5.（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和的值；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用面面垂直的性質(zhì)可判斷BC選項(xiàng)；利用面面垂直的判定可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，平面，若平面，因?yàn)椋瑒t平面平面，事實(shí)上，平面與平面相交，假設(shè)不成立，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，而過(guò)作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，則，，，則平面，若平面平面，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，而過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，平面，平面，，，平面，因?yàn)槠矫?，因此，平面平面平面，D對(duì).故選：D.2、D【解析】由“方程表示橢圓”可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或.故方程表示橢圓的充分不必要條件可以是.故選：D.3、B【解析】可根據(jù)已知條件，設(shè)出公差為，選項(xiàng)A，可借助等比數(shù)列的定義使用數(shù)列是等差數(shù)列，來(lái)進(jìn)行判定；選項(xiàng)B，數(shù)列，可以取，即可判斷；選項(xiàng)C，可設(shè)，表示出再進(jìn)行判斷；選項(xiàng)D，可采用換元，令，求得的關(guān)系即可判斷.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，選項(xiàng)A，數(shù)列是等差數(shù)列，那么為常數(shù)，又，則數(shù)列一定是等比數(shù)列，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，數(shù)列是等差數(shù)列，可設(shè)（A、B為常數(shù)），此時(shí)，，則為常數(shù)，故數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列，故該選項(xiàng)正確.故選：B.4、C【解析】根據(jù)圖形分別求出初中部和高中部男教師的人數(shù)，最后相加即可.【詳解】初中部男教師的人數(shù)為110×(170%)=33；高中部男教師的人數(shù)為150×60%=90，∴該校男教師的人數(shù)為33+90=123.故選：C.5、C【解析】確定數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，從而求出前70項(xiàng)和.【詳解】，其中之間插入2個(gè)2，之間插入4個(gè)2，之間插入8個(gè)2，之間插入16個(gè)2，之間插入32個(gè)2，之間插入64個(gè)2，由于，，故數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，故故選：C6、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，則.故選：B.7、B【解析】化簡(jiǎn)判斷圓心和半徑，利用圓的性質(zhì)判斷連接線段OC，交圓于點(diǎn)P時(shí)最小，再計(jì)算求值即得結(jié)果.【詳解】化簡(jiǎn)得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點(diǎn)P時(shí)最小，因?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離，故此時(shí).故選：B.8、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，故選：B9、A【解析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再計(jì)算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可10、D【解析】首先分別求直線的斜率，再結(jié)合直線傾斜角與斜率的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.直線的斜率；B.直線的斜率；C.直線的斜率；D.直線的斜率，因?yàn)?，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，可知直線的傾斜角最大.故選：D11、C【解析】寫出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，發(fā)現(xiàn)與兩圓的半徑和相等，所以判斷兩圓外切【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心坐標(biāo)為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，所以兩圓相外切故選：C12、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長(zhǎng)弦，最短弦為過(guò)點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長(zhǎng)，可得面積.【詳解】圓化簡(jiǎn)為可得圓心為易知過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑，即而最短弦為過(guò)與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##4.5【解析】設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，從而有，最后利用均值不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，故答案為：.14、【解析】由三棱錐是正三棱錐，利用正弦定理得出三角形外接圓的半徑，進(jìn)而求出，再由余弦定理得出球O的半徑.【詳解】因?yàn)?，所以平面，三棱錐是正三棱錐，設(shè)為三角形外接圓的圓心，則在上，連接，，由得出，所以，在中，，即，解得，則球O的半徑為.故答案為：15、【解析】求導(dǎo)得有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有一個(gè)不等于1的零點(diǎn)，分離參數(shù)得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并作出的圖象，根據(jù)圖象即可得出k的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，解得或，若函?shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)與圖象在上恰有1個(gè)橫坐標(biāo)不為1的交點(diǎn)，而，令，令或，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，如圖所示，由圖可得.故答案為：16、【解析】求橢圓上平行于的直線方程，利用平行線的距離公式求橢圓上點(diǎn)到直線的最小值.【詳解】設(shè)與橢圓相切，且平行于的直線為，聯(lián)立橢圓整理可得：，則，∴，又兩平行線的距離，∴到直線距離的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）服務(wù)通道的長(zhǎng)為千米（2）時(shí)，折線賽道的長(zhǎng)度最大，最大值為千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到長(zhǎng)度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據(jù)基本等式求解最值即可.【小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負(fù)值舍去）所以服務(wù)通道的長(zhǎng)為千米【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理得：，即，所以因?yàn)?，所以，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即當(dāng)時(shí)，折線賽道的長(zhǎng)度最大，最大值為千米18、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，構(gòu)造新等式，作差整理得到，進(jìn)而求解結(jié)論；（2）求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再代入裂項(xiàng)求和即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減，得到，整理得，又因?yàn)閍n＞0，所以，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為3；【小問(wèn)2詳解】證明：當(dāng)n＝1時(shí)，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因?yàn)閍1＜2，所以a1＝1，由（1）可知公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，所以，所以＝.19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)M,P,Q的坐標(biāo),將向量進(jìn)行坐標(biāo)化，整理即可得軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，直線的傾斜角互補(bǔ)，則兩直線斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計(jì)算得到，即可計(jì)算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關(guān)于與的等量關(guān)系，寫出直線AB的方程，將等量關(guān)系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)【詳解】（1）設(shè)，，.由，得，即.因?yàn)?，所以，所?所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，其方程為.（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，若直線的傾斜角互補(bǔ)，則兩直線斜率互為相反數(shù)，又，，所以，，整理得，所以.（3）因?yàn)?，所以，即，①直線的方程為：，整理得：，②將①代入②得，即，當(dāng)時(shí)，即直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查直接法求軌跡方程，考查直線斜率為定值的求法和直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.20、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】解：過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為普通方程為，即直線的普通方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為，即，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，即曲線的直角坐標(biāo)方程【小問(wèn)2詳解】解：把代入，整理得，所以，設(shè)，，；故，代入，解得，故中點(diǎn)坐標(biāo)為；把直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）代入，設(shè)和對(duì)應(yīng)的參數(shù)為和，得到，整理得，所以21、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，利用拋物線的定義求得p，進(jìn)而得到拋物線方程，然后將點(diǎn)代入拋物線求解；（2）方法一：設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用數(shù)量積的運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)，分直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)即可；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)點(diǎn)，∴設(shè)拋物線方程為，由拋物線定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于5，則，，∴拋物線方程為，又點(diǎn)在拋物線上，，，∴所求拋物線方程為，.【小問(wèn)