高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省鞍山市2026屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘滿分：150分一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故.故選：C.2.已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率就是在該點處的導(dǎo)數(shù)，即就是切線的斜率，所以.又，所以.故選：D.3.已知向量，若，則的值為（）A.10 B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，解得，，，則.故選：D.4.是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，故充分性成立；若，如，則，故必要性不成立，故是的充分不必要條件.故選：A.5.若直線與直線互相平行，則實數(shù)的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1【答案】A【解析】因為直線與直線互相平行，所以有且，解得，故選：A.6.已知正項數(shù)列為等比數(shù)列，且是與的等差中項，若，則該數(shù)列的前5項和為（）A.10 B.15 C.30 D.31【答案】D【解析】因為數(shù)列為正項等比數(shù)列，設(shè)公比為，又是與的等差中項，所以，即，解得或（舍去），所以由解得，所以該數(shù)列的前5項和，故選：D.7.中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國?秦?漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，若鱉臑的體積為2，則陽馬外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)陽馬外接球的半徑為，由題意有：，又平面，四邊形為正方形，所以，所以，所以陽馬外接球的表面積為：，故選：B.8.已知，則（）A. B. C.或-2 D.或【答案】B【解析】由題意，可得，解得或，代入得到，故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為數(shù)列的前項和，若，則下列選項正確的是（）A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】AD【解析】對于A，由可得，當(dāng)時，，故A正確；對于B，由可得，當(dāng)時，，兩式相減可得，即，即，但，所以數(shù)列是從第二項起的等比數(shù)列，不是整個數(shù)列都是等比數(shù)列，故B錯誤；對于C，由可得，即，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，故C錯誤，D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象可由圖象向左平移個單位得到B.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D.直線與函數(shù)在上的圖象恰有7個交點【答案】BD【解析】由題，可得，所以，則，，又，即，，所以，.對于A，將的圖象向左平移個單位得到的圖象，故A錯誤；對于B，因為，所以直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；對于C，令，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯誤；對于D，因為，令，又，所以函數(shù)在上與有7個交點，即直線與函數(shù)在上的圖象有7個交點，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)與的定義域都為是的導(dǎo)函數(shù)，若，則下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.的圖象關(guān)于點對稱C.4為的一個周期D.【答案】ACD【解析】對于A：由有，為常數(shù)，令得，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B：由有，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B錯誤；對于C：由有，又，所以，即，所以，所以4為的一個周期，故C正確；對于D：由，令得，令得，又，令得，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.若為實數(shù)，且復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為______．【答案】2【解析】由純虛數(shù)的概念知，可得故答案為：2.13.已知離散型隨機變量X服從二項分布，且，，則的最小值為______.【答案】【解析】離散型隨機變量服從二項分布，所以有，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，此時，故答案為：.14.已知過拋物線焦點的直線與拋物線交于，兩點，過坐標(biāo)原點的直線與雙曲線交于，兩點，點是雙曲線上一點，且直線，的斜率分別為，，若不等式恒成立，則雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】由恒成立，可得，因為，所以，則設(shè)直線為，設(shè)，令，由，得，則，因為，，所以，所以恒成立，因為直線過原點，所以，關(guān)于原點對稱，設(shè)，，因為點在雙曲線上，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，所以，即，所以離心率為，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且的周長為（1）求角；（2）若，求面積的最大值．【答案】解：（1）由正弦定理可得，因為的周長為，所以，即，化簡可得，故由余弦定理可得，因為，所以；（2）因為，，所以由余弦定理可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積，即當(dāng)時，面積取最大值.16.某中學(xué)為了解高二年級學(xué)生對“數(shù)學(xué)建模競賽”的參與意愿與性別是否有關(guān)，現(xiàn)從學(xué)校中隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別愿意參與不愿意參與合計男生女生合計（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“愿意參與數(shù)學(xué)建模競賽與性別有關(guān)聯(lián)”？（2）從樣本中“愿意參與”的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法抽取11人，再從這11人中隨機抽取3人作為競賽種子選手，記3人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】解：（1）零假設(shè)：愿意參與數(shù)學(xué)建模競賽與性別無關(guān).根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們沒有充分的證據(jù)推斷不成立，即認為愿意參與數(shù)學(xué)建模競賽的意愿與性別無關(guān).（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知：愿意參與的學(xué)生中男生與女生的比例為.因此選出人中，男生人數(shù)為人，女生人數(shù)為人由題意可知：，服從超幾何分布，，.，，，，所以這3人中女生人數(shù)的概率分布列為：.17.如圖，在四棱錐中，為矩形，且.（1）求證：平面；（2）求線段長；（3）若（與在平面的兩側(cè)），設(shè)三棱錐體積為，四棱錐體積為，且．求平面與平面所成夾角的余弦值．【答案】（1）證明：在中，，，解得，，，又為矩形，，，平面，平面，平面；（2）解：由（1）知，平面，，平面，平面，，在三角形中，，，又，；（3）解：取的中點，平面，平面，平面平面，，平面平面，平面平面，平面內(nèi)，平面，又，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易得，，，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得到，令，得，，則；設(shè)平面的法向量，則，得到，解得，令，，則，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，即平面與平面所成夾角的余弦值.18.已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：；（3）求證：對任意的且，都有（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【答案】（1）解：函數(shù)的定義域為．①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，令，解得．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明：當(dāng)時，，要證明，即證，即，設(shè)，則，令得，．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以為極大值點，也為最大值點．所以，即．故；（3）證明：由（2）知（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），令，則，所以，即，所以．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓的左右焦點，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點是橢圓的上頂點，過點的直線與橢圓交于兩點，其中點在第一象限，點在軸下方且不在軸上，設(shè)直線，的斜率分別為（ⅰ）若，求出的值；（ⅱ）設(shè)直線與軸交于點，求的面積S的最大值．【答案】解：（1）由題意知，則，又，，又，，解得，，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，其中，且，即，設(shè)直線與橢圓交于點，，聯(lián)立方程組整理得，，所以，，（?。?，即，（ⅱ）法一：直線的方程為，令，得，故，設(shè)直線與軸交于點，直線的方程為，令，得，故聯(lián)立方程組整理得，解得或0（舍），，所以的面積，由（?。┛芍?，故，代入上式，所以，因為點在軸下方且不在軸上，故或，得，所以，顯然，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故只需考慮，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時，不等式取等號，所以的面積的最大值為．法二：直線的方程為，令，得，故，設(shè)直線與軸交于點，直線的方程為，令，得，故，由（?。┛芍?，，故，所以點是線段的中點，故的面積，其中為點到直線的距離，思路①顯然，當(dāng)過點且與直線平行的直線與橢圓相切時，取最大值，設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組整理得，據(jù)，解得（正舍），所以平行直線與直線之間的距離為，即的最大值為，所以的面積的最大值為．思路②因為直線的方程為，所以，因為在橢圓上，故，設(shè)，，不妨設(shè)，所以，當(dāng)，，時，，即的面積的最大值為．遼寧省鞍山市2026屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘滿分：150分一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故.故選：C.2.已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率就是在該點處的導(dǎo)數(shù)，即就是切線的斜率，所以.又，所以.故選：D.3.已知向量，若，則的值為（）A.10 B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，解得，，，則.故選：D.4.是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，故充分性成立；若，如，則，故必要性不成立，故是的充分不必要條件.故選：A.5.若直線與直線互相平行，則實數(shù)的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或-1【答案】A【解析】因為直線與直線互相平行，所以有且，解得，故選：A.6.已知正項數(shù)列為等比數(shù)列，且是與的等差中項，若，則該數(shù)列的前5項和為（）A.10 B.15 C.30 D.31【答案】D【解析】因為數(shù)列為正項等比數(shù)列，設(shè)公比為，又是與的等差中項，所以，即，解得或（舍去），所以由解得，所以該數(shù)列的前5項和，故選：D.7.中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國?秦?漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，若鱉臑的體積為2，則陽馬外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)陽馬外接球的半徑為，由題意有：，又平面，四邊形為正方形，所以，所以，所以陽馬外接球的表面積為：，故選：B.8.已知，則（）A. B. C.或-2 D.或【答案】B【解析】由題意，可得，解得或，代入得到，故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為數(shù)列的前項和，若，則下列選項正確的是（）A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】AD【解析】對于A，由可得，當(dāng)時，，故A正確；對于B，由可得，當(dāng)時，，兩式相減可得，即，即，但，所以數(shù)列是從第二項起的等比數(shù)列，不是整個數(shù)列都是等比數(shù)列，故B錯誤；對于C，由可得，即，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，故C錯誤，D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象可由圖象向左平移個單位得到B.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D.直線與函數(shù)在上的圖象恰有7個交點【答案】BD【解析】由題，可得，所以，則，，又，即，，所以，.對于A，將的圖象向左平移個單位得到的圖象，故A錯誤；對于B，因為，所以直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；對于C，令，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯誤；對于D，因為，令，又，所以函數(shù)在上與有7個交點，即直線與函數(shù)在上的圖象有7個交點，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)與的定義域都為是的導(dǎo)函數(shù)，若，則下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.的圖象關(guān)于點對稱C.4為的一個周期D.【答案】ACD【解析】對于A：由有，為常數(shù)，令得，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B：由有，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B錯誤；對于C：由有，又，所以，即，所以，所以4為的一個周期，故C正確；對于D：由，令得，令得，又，令得，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.若為實數(shù)，且復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為______．【答案】2【解析】由純虛數(shù)的概念知，可得故答案為：2.13.已知離散型隨機變量X服從二項分布，且，，則的最小值為______.【答案】【解析】離散型隨機變量服從二項分布，所以有，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，此時，故答案為：.14.已知過拋物線焦點的直線與拋物線交于，兩點，過坐標(biāo)原點的直線與雙曲線交于，兩點，點是雙曲線上一點，且直線，的斜率分別為，，若不等式恒成立，則雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】由恒成立，可得，因為，所以，則設(shè)直線為，設(shè)，令，由，得，則，因為，，所以，所以恒成立，因為直線過原點，所以，關(guān)于原點對稱，設(shè)，，因為點在雙曲線上，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，所以，即，所以離心率為，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且的周長為（1）求角；（2）若，求面積的最大值．【答案】解：（1）由正弦定理可得，因為的周長為，所以，即，化簡可得，故由余弦定理可得，因為，所以；（2）因為，，所以由余弦定理可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積，即當(dāng)時，面積取最大值.16.某中學(xué)為了解高二年級學(xué)生對“數(shù)學(xué)建模競賽”的參與意愿與性別是否有關(guān)，現(xiàn)從學(xué)校中隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別愿意參與不愿意參與合計男生女生合計（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“愿意參與數(shù)學(xué)建模競賽與性別有關(guān)聯(lián)”？（2）從樣本中“愿意參與”的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法抽取11人，再從這11人中隨機抽取3人作為競賽種子選手，記3人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】解：（1）零假設(shè)：愿意參與數(shù)學(xué)建模競賽與性別無關(guān).根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們沒有充分的證據(jù)推斷不成立，即認為愿意參與數(shù)學(xué)建模競賽的意愿與性別無關(guān).（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知：愿意參與的學(xué)生中男生與女生的比例為.因此選出人中，男生人數(shù)為人，女生人數(shù)為人由題意可知：，服從超幾何分布，，.，，，，所以這3人中女生人數(shù)的概率分布列為：.17.如圖，在四棱錐中，為矩形，且.（1）求證：平面；（2）求線段長；（3）若（與在平面的兩側(cè)），設(shè)三棱錐體積為，四棱錐體積為，且．求平面與平面所成夾角的余弦值．【答案】（1）證明：在中，，，解得，，，又為矩形，，，平面，平面，平面；（2）解：由（1）知，平面，，平面，平面，，在三角形中，，，又，；（3）解：取的中點，平面，平面，平面平面，，平面平面，平面平面，平面內(nèi)，平面，又，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易得，，，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得到，令，得，，則；設(shè)平面的法向量，則，得到，解得，令，，則，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，即平面與平面所成夾角的余弦值.18.已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：；（3）求證：對任意的且，都有（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【答案】（1）解：函數(shù)的定義域為．①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，令，解得．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；