高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省名校協(xié)作體2026屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級、姓名、試場號、座位號及準考證號；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，，則.故選：D.2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，則，所以.故選：B.3.已知11位同學(xué)的身高（單位：cm）分別是167，172，172，175，178，178，182，185，186，188，190，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.185 B.185.5C.186 D.186.5【答案】C【解析】因為，所以第80百分位數(shù)是從小到大第9個，所以為186.故選：C.4.的展開式中的系數(shù)為（）A. B.C.10 D.30【答案】A【解析】的展開式通項為，當(dāng)?shù)谝粋€括號取1，第二個括號取含項時，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)?shù)谝粋€括號取，第二個括號取含項時，展開式中的系數(shù)為，故展開式中的系數(shù)為.故選：A5.已知向量.若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】因為向量，所以.所以向量在向量上的投影向量為：.所以，解得.故選：B.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，則（1），由，可得，所以（2），將（1）代入上式，，即，代入（2），可得，故.故選：B.7.已知等差數(shù)列的前項和滿足：，則數(shù)列的最小項是第（）項.A.2026 B.2027 C.4048 D.4049【答案】A【解析】由，則，，，因此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，則時，，，即；當(dāng)時，，要使最小，則，此時，數(shù)列為遞增數(shù)列，則隨著的增大，增大，減小，增大，但，，則增大，因此，當(dāng)時，最小.故選：A.8.已知函數(shù)，則在區(qū)間（）上一定存在極值點.A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，則，要使存在極值點，則一定有兩個變號零點，可設(shè)，，則當(dāng)時，函數(shù)開口向上，且，要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，則，所以在上一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，而的取值不確定，所以在上不一定存在極值點.同理，當(dāng)時，函數(shù)開口向下，且，要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，則，所以在上一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，而的取值不確定，所以在上不一定存在極值點.綜上所述，函數(shù)在一定存在極值點.故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在上存在個零點D.點是圖像的一個對稱中心【答案】ABD【解析】函數(shù)的最小正周期，故A選項正確.函數(shù)單調(diào)遞增時，，.解得，取時，即是的單調(diào)增區(qū)間，而，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.故B選項正確.函數(shù)的零點，.解得，只有當(dāng)或時，即或時，在區(qū)間內(nèi)，所以在上存在個零點.故C選項錯誤.圖像的對稱中心，即函數(shù)的零點.，所以點是圖像的一個對稱中心.故D選項正確.故選：ABD.10.已知雙曲線分別為其左、右焦點，為坐標原點，過作直線與雙曲線兩支和兩條漸近線交于4個不同點，從左到右依次為，則下列選項正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】由雙曲線，則，則雙曲線的漸近線方程為，且，如圖，不妨設(shè)都在軸上方.對于A，由圖可知，當(dāng)直線趨近于軸時，此時最小，但此時直線與兩條漸近線交于原點，不滿足題意，則，故A正確；對于B，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，且，則，則，，即中點為，聯(lián)立，解得，，即，聯(lián)立，解得，，即，則中點為，即為，所以中點即為中點，設(shè)為，則，所以，故B正確；對于C，因為漸近線方程為，則，由于，，所以，，則，故C錯誤；對于D，由B知，為中點，若，則，則，即，解得（負值舍去），則，則，故D正確.故選：ABD.11.如圖，現(xiàn)有兩種碎片各若干個，且兩種碎片均由等大小的正三角形按圖示拼湊而成.若一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，則可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】根據(jù)題意作圖：由圖觀察可知，一個大正三角形可以拆成：個小正三角形，要想一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，顯然需滿足.觀察得到碎片中有2個小正三角形，碎片中有3個小正三角形，若一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，則共有個小正三角形.當(dāng)時，，則只能是，故為.每一排的小三角形個數(shù)均為奇數(shù)，由正三角形的對稱性可知：每增加一排則至少增加1個碎片，∴，對于A選項，時，，即，滿足條件，A選項正確；如圖對于B選項，時，，不是完全平方數(shù)，B選項排除；對于C選項，時，，，如圖滿足條件，C選項正確；對于D選項，時，，，不滿足條件，D選項錯誤；故選：AC.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.拋物線的焦點坐標為_______________．【答案】【解析】拋物線中，∴焦點坐標為．故答案為：.13.已知正四棱臺的上下底面邊長分別為2、4，側(cè)棱長為，則該正四棱臺外接球的表面積為________________.【答案】【解析】如圖，將正四棱臺補形為正四棱錐，因為四棱臺的上下底面邊長分別為2、4，所以分別為的中點，所以，作正四棱錐的高，垂足為，則為正方形的中心，連接交于點，連接交于點，則，設(shè)該正四棱臺外接球的球心為，半徑為，根據(jù)對稱性可知，在上，在中，，即，即，①在中，，即，即，②聯(lián)立①②解得，，所以該正四棱臺外接球的表面積為，故答案為：.14.已知且，若對于任意的，都有，則________________.【答案】【解析】，，，，，是等比數(shù)列，公比，首項為，，，，，，設(shè)，則，，，設(shè)，，的對稱軸為，又在前后震蕩，若對稱軸在的左側(cè)，則會總存在一個，使得，，等在對稱軸的右側(cè)且在附近左右擺動，就不滿足對于任意的，都有成立，對稱軸在的左側(cè)不成立；若對稱軸在的右側(cè)，則會總存在一個，使得，，等在對稱軸的左側(cè)且在附近左右擺動，就不滿足對于任意的，都有成立，對稱軸在的右側(cè)不成立；對稱軸只能是，即，解得，，.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某商場推出購物抽獎活動，盒子里放有10個相同小球，其中4個紅球，6個藍球，顧客從盒中不放回地抽取3個球，若恰好抽到3個紅球為一等獎，獎金為100元，恰好抽到2個紅球為二等獎，獎金為50元，其余不設(shè)獎.（1）在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍球的條件下，則該次抽獎獲得二等獎概率是多少？（2）求抽獎一次獲得獎金的期望.【答案】解：（1）在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍球的條件下，要使該次抽獎獲得二等獎，則抽取的第3個球一定為紅球，而此時總共有8個球，其中有3個紅球，5個藍球，因此，在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍球的條件下，該次抽獎獲得二等獎概率是.（2）設(shè)抽獎一次獲得獎金為，則的取值為，所以，，則，則.16.如圖，已知直角梯形繞旋轉(zhuǎn)得到四邊形，其中.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明：由題意，平面平面，，，因為平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，易得平面的一個法向量為，所以，由圖可知，二面角為銳二面角，則二面角的余弦值為.17.在中，分別是角所對的邊，且滿足.（1）求的大?。唬?）點是邊上一點，且滿足，求的值.【答案】解：（1）因為,由正弦定理可得：.所以,由于在中，,所以,化簡得：,由于，則不為0，則由于，所以.（2）由于,則,在中，由正弦定理可得：在中，由正弦定理可得：所以,由于滿足，所以，由于在中，,所以,即，所以，所以,由于，則，所以則或,解得或，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，,不滿足.綜上，.18.已知橢圓過點.（1）求橢圓的方程；（2）斜率為1的直線與橢圓交于兩點，點P坐標為，直線與橢圓的另一個交點為點M，直線PD與橢圓的另一個交點為點N.①已知點M坐標為，求點橫坐標（用表示）；②過點作于點G，是否存在定點Q，使得為定值，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】解：（1）由題意，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①設(shè)直線的方程為，且，，即，聯(lián)立，得，則，即，且，則，即點橫坐標為.由①知，，，則，即，設(shè)，與①同理可得，則，則，設(shè)直線，則，則，又，則，則直線，所以直線過定點，則為中點時，則，，則，因此，存在定點，使得為定值.19.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若存在實數(shù)b，使得函數(shù)有三個不同的零點.①求a的取值范圍；②若成等差數(shù)列，求證：.【答案】（1）解：，定義域為，，令得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）①解：，即，故，有三個不同的零點，故有3個不同的正根，令，定義域為，則需有兩個極值點，則需有兩個不同的變號零點，令，則，令得，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時，，又時，恒成立，故要想有兩個不同的變號零點，需滿足，此時存在實數(shù)b，使得有3個不同的正根，a的取值范圍為；②證明：，即，，兩式相加得，即，成等差數(shù)列，故，故，，故，即，又，故，故，即，，下面推導(dǎo)對數(shù)平均不等式，，，只需證，即證，令，只需證，令，，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故，證畢，，又，故等號取不到，所以，即，所以，由①知，，故，證畢.浙江省名校協(xié)作體2026屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級、姓名、試場號、座位號及準考證號；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，，則.故選：D.2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，則，所以.故選：B.3.已知11位同學(xué)的身高（單位：cm）分別是167，172，172，175，178，178，182，185，186，188，190，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.185 B.185.5C.186 D.186.5【答案】C【解析】因為，所以第80百分位數(shù)是從小到大第9個，所以為186.故選：C.4.的展開式中的系數(shù)為（）A. B.C.10 D.30【答案】A【解析】的展開式通項為，當(dāng)?shù)谝粋€括號取1，第二個括號取含項時，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)?shù)谝粋€括號取，第二個括號取含項時，展開式中的系數(shù)為，故展開式中的系數(shù)為.故選：A5.已知向量.若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】因為向量，所以.所以向量在向量上的投影向量為：.所以，解得.故選：B.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，則（1），由，可得，所以（2），將（1）代入上式，，即，代入（2），可得，故.故選：B.7.已知等差數(shù)列的前項和滿足：，則數(shù)列的最小項是第（）項.A.2026 B.2027 C.4048 D.4049【答案】A【解析】由，則，，，因此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，則時，，，即；當(dāng)時，，要使最小，則，此時，數(shù)列為遞增數(shù)列，則隨著的增大，增大，減小，增大，但，，則增大，因此，當(dāng)時，最小.故選：A.8.已知函數(shù)，則在區(qū)間（）上一定存在極值點.A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，則，要使存在極值點，則一定有兩個變號零點，可設(shè)，，則當(dāng)時，函數(shù)開口向上，且，要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，則，所以在上一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，而的取值不確定，所以在上不一定存在極值點.同理，當(dāng)時，函數(shù)開口向下，且，要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，則，所以在上一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，而的取值不確定，所以在上不一定存在極值點.綜上所述，函數(shù)在一定存在極值點.故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在上存在個零點D.點是圖像的一個對稱中心【答案】ABD【解析】函數(shù)的最小正周期，故A選項正確.函數(shù)單調(diào)遞增時，，.解得，取時，即是的單調(diào)增區(qū)間，而，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.故B選項正確.函數(shù)的零點，.解得，只有當(dāng)或時，即或時，在區(qū)間內(nèi)，所以在上存在個零點.故C選項錯誤.圖像的對稱中心，即函數(shù)的零點.，所以點是圖像的一個對稱中心.故D選項正確.故選：ABD.10.已知雙曲線分別為其左、右焦點，為坐標原點，過作直線與雙曲線兩支和兩條漸近線交于4個不同點，從左到右依次為，則下列選項正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】由雙曲線，則，則雙曲線的漸近線方程為，且，如圖，不妨設(shè)都在軸上方.對于A，由圖可知，當(dāng)直線趨近于軸時，此時最小，但此時直線與兩條漸近線交于原點，不滿足題意，則，故A正確；對于B，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，且，則，則，，即中點為，聯(lián)立，解得，，即，聯(lián)立，解得，，即，則中點為，即為，所以中點即為中點，設(shè)為，則，所以，故B正確；對于C，因為漸近線方程為，則，由于，，所以，，則，故C錯誤；對于D，由B知，為中點，若，則，則，即，解得（負值舍去），則，則，故D正確.故選：ABD.11.如圖，現(xiàn)有兩種碎片各若干個，且兩種碎片均由等大小的正三角形按圖示拼湊而成.若一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，則可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】根據(jù)題意作圖：由圖觀察可知，一個大正三角形可以拆成：個小正三角形，要想一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，顯然需滿足.觀察得到碎片中有2個小正三角形，碎片中有3個小正三角形，若一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，則共有個小正三角形.當(dāng)時，，則只能是，故為.每一排的小三角形個數(shù)均為奇數(shù)，由正三角形的對稱性可知：每增加一排則至少增加1個碎片，∴，對于A選項，時，，即，滿足條件，A選項正確；如圖對于B選項，時，，不是完全平方數(shù)，B選項排除；對于C選項，時，，，如圖滿足條件，C選項正確；對于D選項，時，，，不滿足條件，D選項錯誤；故選：AC.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.拋物線的焦點坐標為_______________．【答案】【解析】拋物線中，∴焦點坐標為．故答案為：.13.已知正四棱臺的上下底面邊長分別為2、4，側(cè)棱長為，則該正四棱臺外接球的表面積為________________.【答案】【解析】如圖，將正四棱臺補形為正四棱錐，因為四棱臺的上下底面邊長分別為2、4，所以分別為的中點，所以，作正四棱錐的高，垂足為，則為正方形的中心，連接交于點，連接交于點，則，設(shè)該正四棱臺外接球的球心為，半徑為，根據(jù)對稱性可知，在上，在中，，即，即，①在中，，即，即，②聯(lián)立①②解得，，所以該正四棱臺外接球的表面積為，故答案為：.14.已知且，若對于任意的，都有，則________________.【答案】【解析】，，，，，是等比數(shù)列，公比，首項為，，，，，，設(shè)，則，，，設(shè)，，的對稱軸為，又在前后震蕩，若對稱軸在的左側(cè)，則會總存在一個，使得，，等在對稱軸的右側(cè)且在附近左右擺動，就不滿足對于任意的，都有成立，對稱軸在的左側(cè)不成立；若對稱軸在的右側(cè)，則會總存在一個，使得，，等在對稱軸的左側(cè)且在附近左右擺動，就不滿足對于任意的，都有成立，對稱軸在的右側(cè)不成立；對稱軸只能是，即，解得，，.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某商場推出購物抽獎活動，盒子里放有10個相同小球，其中4個紅球，6個藍球，顧客從盒中不放回地抽取3個球，若恰好抽到3個紅球為一等獎，獎金為100元，恰好抽到2個紅球為二等獎，獎金為50元，其余不設(shè)獎.（1）在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍球的條件下，則該次抽獎獲得二等獎概率是多少？（2）求抽獎一次獲得獎金的期望.【答案】解：（1）在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍球的條件下，要使該次抽獎獲得二等獎，則抽取的第3個球一定為紅球，而此時總共有8個球，其中有3個紅球，5個藍球，因此，在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍球的條件下，該次抽獎獲得二等獎概率是.（2）設(shè)抽獎一次獲得獎金為，則的取值為，所以，，則，則.16.如圖，已知直角梯形繞旋轉(zhuǎn)得到四邊形，其中.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明：由題意，平面平面，，，因為平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，易得平面的一個法向量為，所以，由圖可知，二