第67頁(yè)（共67頁(yè)）2026年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之解答題一．解答題（共25小題）1．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x216+y2b2=1（4＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，MF2⊥x軸，|MF（1）求C的方程；（2）過F1且斜率為22的直線與C交于N，P兩點(diǎn)，求△NPF22．（2025?綿陽校級(jí)模擬）已知函數(shù)f(（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及在[0，（2）若θ為銳角且f(θ)=-23．（2025?滄州校級(jí)三模）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＞0，an2-2Sn+an（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=an3n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：4．（2025?宿遷模擬）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且3sin（1）求B；（2）若b＝4，△ABC的面積為43，D為AC邊上一點(diǎn)，滿足AC①求△ABC的周長(zhǎng)；②求BD的長(zhǎng)．5．（2025?新余校級(jí)模擬）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段F1M的中點(diǎn)在該雙曲線右支上，N在x軸上，F(xiàn)1N（1）求雙曲線C的漸近線方程；（2）已知過A的直線l交該雙曲線于A，B，D（0，3），△DAB的面積為6，求直線l的方程．6．（2025?銀川校級(jí)二模）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣mx2+（2﹣m）x．（1）若m＝1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)在區(qū)間（2，3）內(nèi)，求m的取值范圍；（3）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．7．（2025?昌平區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=(x-2)e（Ⅰ）當(dāng)a＝0，b＝0時(shí)，（i）若x≤3，求函數(shù)f（x）的最大值；（ii）若直線l是曲線y＝f（x）的切線，且l經(jīng)過點(diǎn)（t，0），證明：|t|≥2；（Ⅱ）當(dāng)b＞0時(shí)，若x＝1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，求b的取值范圍．8．（2025?道里區(qū)校級(jí)二模）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax﹣2lnx+1，a∈R．（1）若f（x）在x＝1處切線為y＝b，求實(shí)數(shù)a+b的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．9．（2025?溫州二模）已知函數(shù)f（x）＝ln（x+1）+axx+1（a（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）在區(qū)間（﹣1，0）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)a＞0時(shí)，解方程f′（x）﹣f（x）=510．（2025?陽西縣模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2DC＝2，M是PB的中點(diǎn)，N是PC上的一點(diǎn)．（1）證明：平面AMD⊥平面PBC；（2）若異面直線NA和PB垂直，求二面角N﹣MA﹣C的正弦值．11．（2025?西城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝a（x﹣1）ex﹣lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過點(diǎn)（2，2），求a的值；（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）存在極小值；（Ⅲ）記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）的最大值．12．（2025?襄城縣三模）已知有窮正整數(shù)數(shù)列An：a1，a2，…an（n∈N*，n≥4）滿足：ai∈{1，2，…，n}，且當(dāng)i≠j（i，j∈N*，1≤i，j≤n）時(shí)，總有ai≠aj．定義數(shù)列An*：a1*，a2*，…，an*，其中a1*＝a1，a*k=ak-ak-1*，ak-1*＜ak，ak+ak-（Ⅰ）判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P（1）；①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．（Ⅱ）已知數(shù)列A8具有性質(zhì)P（m），求m的最小值；（Ⅲ）是否存在數(shù)列An具有性質(zhì)P(n(n+1)2)，且a1*+a2*+…+an*＝2025？若存在，13．（2025?河北模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2S（1）證明：{an+1}是等比數(shù)列；（2）設(shè)bn=n(an+1)4，求數(shù)列{b14．（2025?順義區(qū)一模）已知函數(shù)f(（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為已知條件，使函數(shù)f（x）存在且唯，確定．當(dāng)f（x）在區(qū)間（0，a）（a＞0）上僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．條件①：f（x）在[π條件②：y＝f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(π條件③：對(duì)任意的x∈R，都有f(注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．15．（2025?嘉峪關(guān)校級(jí)模擬）“村BA”是由貴州省臺(tái)盤村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展而來的賽事，比賽由村民組織，參賽者以村民為主，極具鄉(xiāng)村氣息．某學(xué)校為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)該賽事的了解情況，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別隨機(jī)抽取男生和女生各80名作為樣本，設(shè)事件M＝“了解村BA”，N＝“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)P(（1）根據(jù)已知條件，作出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)“村BA”的了解情況與性別有關(guān)；（2）現(xiàn)從該校不了解“村BA”的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再?gòu)倪@10名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：χ2P（χ2＞k）0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.82816．（2025?全國(guó)模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，△PCD為等邊三角形，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4．（1）求證：PB⊥CD；（2）若四棱錐P﹣ABCD的體積為43，求平面PAD與平面PBC17．（2025?寶山區(qū)三模）已知a∈R，函數(shù)f(（1）若a＝2，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式及定義域；（2）若關(guān)于x的方程f(x218．（2025?沙河口區(qū)校級(jí)一模）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足btanBcosC+csinB＝2atanBcosA．（1）求A；（2）若a＝3，求2b19．（2025?德州模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinB（acosC+ccosA）＝bcosB．（1）求B；（2）設(shè)D為邊BC的中點(diǎn)，若cosC=35，△ABC的面積為1420．（2025?嘉峪關(guān)校級(jí)模擬）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=∠PDC=π2（Ⅰ）求證：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求平面CPB與平面PBQ所成的夾角的大?。?1．（2025?鞍山模擬）已知函數(shù)f(（1）當(dāng)k＝0時(shí)，證明：f（x）≤0；（2）若f（x）存在極大值，且極大值大于0，求k的取值范圍．22．（2025?嘉峪關(guān)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝a2ex﹣3ax+2sinx，a≠0．（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）若a＞2，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求（3）證明：當(dāng)a∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥cosx．23．（2025?陸豐市校級(jí)三模）設(shè)正整數(shù)n≥2，對(duì)于數(shù)列A：a1，a2，…，an，定義變換T，T將數(shù)列A變換成數(shù)列T（A）：a1a2，a2a3，…，an﹣1an，ana1．已知數(shù)列A0：a1，a2，…，an滿足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n）．記Ak+1＝T（Ak）（k＝0，1，2，…）．（Ⅰ）若A0：﹣1，1，1，寫出數(shù)列A1，A2；（Ⅱ）若n為奇數(shù)且A0不是常數(shù)列，求證：對(duì)任意正整數(shù)k，Ak都不是常數(shù)列；（Ⅲ）求證：當(dāng)且僅當(dāng)n＝2m（m∈N*）時(shí)，對(duì)任意A0，都存在正整數(shù)k，使得Ak為常數(shù)列．24．（2025?揚(yáng)州校級(jí)模擬）已知函數(shù)f(（1）若b＝0，且f′（x）≥0，求a的最小值；（2）證明：曲線y＝f（x）是中心對(duì)稱圖形；（3）若f（x）＞e2﹣1當(dāng)且僅當(dāng)1＜x＜2，求b的取值范圍．25．（2025?嘉峪關(guān)校級(jí)模擬）已知A（﹣2，0），B(1，32)兩點(diǎn)在橢圓C：x2a2+y2b2=1上，直線l交橢圓C于（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1+k2＝1時(shí)，①求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；②求|OH|的最小值．

2026年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之解答題參考答案與試題解析一．解答題（共25小題）1．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x216+y2b2=1（4＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，MF2⊥x軸，|MF（1）求C的方程；（2）過F1且斜率為22的直線與C交于N，P兩點(diǎn)，求△NPF2【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的定義．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）x2（2）8．【分析】（1）依題意求出a、b、c的值，即可求解橢圓方程；（2）求出直線NP的方程，設(shè)出點(diǎn)N、P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線NP與橢圓C的方程，由韋達(dá)定理及三角形的面積公式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)橢圓C半焦距為c，則F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，MF2⊥x軸，|MF1|＝7|MF2|，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為c，則|MF2由橢圓定義得|MF1|+|MF2|＝2a＝8，即7b24+b2所以橢圓C的方程為x2（2）由（1）得c2＝a2﹣b2＝16﹣4＝12，即c=23，所以所以過F1且斜率為22的直線方程為y聯(lián)立y=22(x設(shè)N（x1，y1），P（x2，y2），則x1+x所以y1y1=1則S=23即△NPF2的面積為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想，屬于中檔題．2．（2025?綿陽校級(jí)模擬）已知函數(shù)f(（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及在[0，（2）若θ為銳角且f(θ)=-2【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；求兩角和與差的三角函數(shù)值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運(yùn)算求解．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為[-π3+kπ，π6（2）-6【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)，可得f（x）＝2sin（2x+π（2）根據(jù)（1）的信息，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與兩角差的余弦公式算出cos2θ的值．【解答】解：（1）由題意得f（x）＝2（sin2xcosπ6+cos2xsinπ6）＝2sin（2由-π解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-π當(dāng)0≤x≤π可知當(dāng)x=π2時(shí)，f（x）的最小值為2sin7π6=-1；當(dāng)x=π6時(shí)，f所以f（x）在[0，π2]上的值域?yàn)閇﹣（2）由（1）知f(根據(jù)f(θ)=-由θ∈(0，π所以2θ+π可得cos=-2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．3．（2025?滄州校級(jí)三模）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＞0，an2-2Sn+an（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=an3n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（1）an＝n；（2）證明過程見解析．【分析】（1）由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）直接利用錯(cuò)位相減法求和．【解答】解：（1）由an2-2Sn+an＝取n＝1，得a1∵a1＞0，∴a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，有an-①﹣②得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，又an＞0，∴an﹣an﹣1＝1，即數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，則an＝1+1×（n﹣1）＝n；證明：（2）由（1）知an＝n，且bn=a則Tn=113可得23∴Tn【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求和，是中檔題．4．（2025?宿遷模擬）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且3sin（1）求B；（2）若b＝4，△ABC的面積為43，D為AC邊上一點(diǎn)，滿足AC①求△ABC的周長(zhǎng)；②求BD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）B=（2）①△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c＝12，②BD=【分析】（1）結(jié)合正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理以及兩角和與差的正弦公式，可求角．（2）①先根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理求得a＝c＝4，可得△ABD為等邊三角形，進(jìn)而求得周長(zhǎng)；②根據(jù)余弦定理求BD．【解答】解：（1）因?yàn)?sin所以3sinB-cosB即sin(因?yàn)锽∈（0，π），所以B-π6（2）①因?yàn)镾△ABC=12因?yàn)閎＝4，所以由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2accosB，即16＝a2+c2﹣ac，所以（a+c）2＝64，則a+c＝8，所以a＝c＝4，即△ABC為等邊三角形，則△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c＝12．②因?yàn)閎＝4，且AC→=3AD在△ABD中，由余弦定理得：BD所以BD=【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正余弦定理和三角恒等變換知識(shí)解三角形，屬于中檔題．5．（2025?新余校級(jí)模擬）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段F1M的中點(diǎn)在該雙曲線右支上，N在x軸上，F(xiàn)1N（1）求雙曲線C的漸近線方程；（2）已知過A的直線l交該雙曲線于A，B，D（0，3），△DAB的面積為6，求直線l的方程．【考點(diǎn)】根據(jù)雙曲線的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程；求雙曲線的漸近線方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）y=±（2）x＝2或3x﹣2y＝0或3x+(1+7【分析】（1）根據(jù)中位線的幾何性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，即可求解雙曲線方程，并求漸近線方程；（2）首先設(shè)直線l的方程為x＝t（y﹣3）+2，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，并表示△DAB的面積，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)線段F1M的中點(diǎn)為P，P在該雙曲線的右支上，連接PF2，∵F1N→=2F1F2→∴|P由雙曲線的定義知，|P∴a＝1，∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2把A（2，3）代入上式，可得22-3∴雙曲線C的漸近線方程為y=±（2）由題知，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y23=1，設(shè)直線l的方程為x＝t（聯(lián)立x=t(y-3)+2x2-y23=1，得（3t2﹣1）y2+（12t﹣18t由根與系數(shù)的關(guān)系可得3yB=∴|AB又D到直線l的距離為d=|-3∴S△解得t＝0，或t=23，或t∴直線l的方程為x＝2，或3x﹣2y＝0，或3x+(1+7【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積公式，是中檔題．6．（2025?銀川校級(jí)二模）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣mx2+（2﹣m）x．（1）若m＝1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)在區(qū)間（2，3）內(nèi)，求m的取值范圍；（3）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．【考點(diǎn)】由函數(shù)的極值求解函數(shù)或參數(shù)；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）(1（3）（0，1）．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．（2）先求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)=-(mx-1)(2x+1)x；再根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），以及函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)在區(qū)間（2，3）內(nèi)，得出mx﹣（3）先對(duì)m進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值f(x)max=f(1m)；再將題目條件轉(zhuǎn)化為f(1m)＞0恒成立；最后構(gòu)造函數(shù)g（x）＝lnx+x﹣1，x＞0，利用導(dǎo)函數(shù)判斷【解答】解：（1）當(dāng)m＝1時(shí)，f（x）＝﹣x2+x+lnx，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．則f'(令f′（x）＞0，可得0＜x＜1，令f′（x）＜0，可得x＞1．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．（2）由f（x）＝lnx﹣mx2+（2﹣m）x可得：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'(要使函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)在（2，3）內(nèi)，需滿足f′（x）＝0在（2，3）上有解．∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴mx﹣1＝0在（2，3）上有解，則m≠02＜即m的取值范圍為(1（3）由（2）知f'(x)=-(mx則2x+1＞0．當(dāng)m≤0時(shí)，有mx﹣1＜0，則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)m＞0時(shí)，令f′（x）＝0，得x=當(dāng)0＜x＜1m時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1m∴函數(shù)f（x）在(0，1m則f(又∵當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→﹣∞，∴要使f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，須滿足f(1令g（x）＝lnx+x﹣1，x＞0，則g(1m)=∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又∵g（1）＝0，∴1m＞1，解得0＜m綜上所述，m取值的范圍為（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．7．（2025?昌平區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=(x-2)e（Ⅰ）當(dāng)a＝0，b＝0時(shí)，（i）若x≤3，求函數(shù)f（x）的最大值；（ii）若直線l是曲線y＝f（x）的切線，且l經(jīng)過點(diǎn)（t，0），證明：|t|≥2；（Ⅱ）當(dāng)b＞0時(shí)，若x＝1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，求b的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】應(yīng)用題；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）①e3；②證明見解析；（2）(0，【分析】（1）把a(bǔ)＝0，b＝0代入，①利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性求出最大值；②設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再由切線過的點(diǎn)，結(jié)合一元二次方程有解推理得證．（2）求出導(dǎo)數(shù)，由給定的極小值點(diǎn)可得a＝2b，且f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣2bx），構(gòu)造函數(shù)g（x）＝ex﹣2bx，按g（x）最小值不小于0和小于0分類討論求解．【解答】解：（1）（i）當(dāng)a＝0，b＝0時(shí)，函數(shù)f（x）＝（x﹣2）ex求導(dǎo)得f'（x）＝（x﹣1）ex，當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)1＜x≤3時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，且f（x）＜0，在（1，3]上單調(diào)遞增，又f（3）＝e3，所以當(dāng)x≤3時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（3）＝e3．（ii）證明：設(shè)切點(diǎn)為（x0，f（x0）），而f(x0曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線l方程為y-由l經(jīng)過點(diǎn)（t，0），得-(整理得x0由Δ＝（t+2）2﹣4（t+2）≥0，得t2≥4，所以|t|≥2．（2）函數(shù)f(x)=(求導(dǎo)得f'（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+2bx，由x＝1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，得f′（1）＝﹣a+2b＝0，即a＝2b，則f'（x）＝（x﹣1）ex﹣2bx2+2bx＝（x﹣1）（ex﹣2bx），令g（x）＝ex﹣2bx求導(dǎo)得g'（x）＝ex﹣2b，令g'（x）＝0，即ex﹣2b＝0，b＞0，得x＝ln（2b），當(dāng)x∈（﹣∞，ln（2b））時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x∈（n（2b），+∞）時(shí)，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在（﹣∞，hn（2b））上單調(diào)遞減，在（ln（2b），+∞）上單調(diào)遞增，則g（x）min＝g（ln（2b））＝eln（2b）﹣2bln（2b）＝2b（1﹣ln（2b）），①當(dāng)g（ln（2b））≥0時(shí)，即1﹣ln（2b）≥0時(shí)，得0＜b≤e2，此時(shí)g當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，f'（x）≤0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以x＝1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)g（n（2b））＜0時(shí)，即1＜ln（2b）時(shí)，則b＞而g（1）＝e﹣2b＜0，g（0）＝e0﹣0＞0，則存在x1∈（0，1），使g（x1）＝0，當(dāng)x∈（x1，1）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＞0，因此x＝1不是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，不符合題意，所以b的取值范圍為(0，【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．8．（2025?道里區(qū)校級(jí)二模）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax﹣2lnx+1，a∈R．（1）若f（x）在x＝1處切線為y＝b，求實(shí)數(shù)a+b的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．【考點(diǎn)】由函數(shù)的最值求解函數(shù)或參數(shù)（導(dǎo)數(shù)法）；利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）5；（2）存在實(shí)數(shù)a＝2，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是3．【分析】（1）由函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）＝0，再由f（1）＝b，可得b的值，即可求得a+b；（2）求函數(shù)f（x）＝ax﹣2lnx+1的導(dǎo)函數(shù)，然后分a≤1，a＞1兩種情況求解a的值得答案．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝ax﹣lnx+1的定義域?yàn)椋?，+∞），f'(x)=a-2x，f′（1）＝a﹣2＝0，a＝2f（1）＝∴a+b＝5；（2）由函數(shù)f（x）＝ax﹣2lnx+1，求導(dǎo)得f'(由x∈（0，2]，得2x當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）min＝f（2）＝2a﹣2ln2+1＝3，解得a＝1+ln2＞1，不成立；當(dāng)a＞1時(shí)，由f'（x）＜0，得0＜由f′（x）＞0，得2a函數(shù)f（x）在(0，2a)上單調(diào)遞減，在(2a，所以存在實(shí)數(shù)a＝2，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，是中檔題．9．（2025?溫州二模）已知函數(shù)f（x）＝ln（x+1）+axx+1（a（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）在區(qū)間（﹣1，0）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)a＞0時(shí)，解方程f′（x）﹣f（x）=5【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）求導(dǎo)，分a≥0，a＜0討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)a的取值范圍．（3）明確f'（x）﹣f（x）的解析式，分析其單調(diào)性，得到方程f(【解答】解：（1）因?yàn)閒(所以f'(當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)閤＞﹣1，所以x+1+a≥x+1＞0，即f′（x）＞0，f（x）在定義域內(nèi)（﹣1，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，由f（x）＜0＝﹣1＜x＜﹣1﹣a；由f′（x）＞0?x＞﹣1﹣a．所以f（x）在（﹣1，﹣1﹣a）上單調(diào)遞減，在（﹣1﹣a，+∞）上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（﹣1，﹣1﹣a）上單調(diào)遞減，在（﹣1﹣a，+∞）上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（﹣1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，且注意到f（0）＝0，因此f（x）在區(qū)間（﹣1，0）上無零點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，考慮到f（0）＝0，為使（﹣1，0）內(nèi)有零點(diǎn)，則極小值點(diǎn)小于零，即﹣1﹣a＜0?a＞﹣1，結(jié)合a＜0，則a的取值范圍為（﹣1，0）．（3）由題，f'(x)-f(則g'(因此g(注意到待求方程g(對(duì)g（x）中含a的部分單獨(dú)考察，即a（﹣x2﹣x+1），其中關(guān)于x的多項(xiàng)式的解為x1因此x＝x1，2時(shí)可消去a．當(dāng)x=5-當(dāng)x=-5綜上，原方程的解為x=【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2025?陽西縣模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2DC＝2，M是PB的中點(diǎn)，N是PC上的一點(diǎn)．（1）證明：平面AMD⊥平面PBC；（2）若異面直線NA和PB垂直，求二面角N﹣MA﹣C的正弦值．【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；平面與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）77【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直，結(jié)合等腰三角形三線合一，得到線面垂直，再利用面面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)題目建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)NA和PB垂直以及N在PC上，即可得到N點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量法求解面面角的余弦值，即可根據(jù)平方關(guān)系求得結(jié)果．【解答】解：（1）證明：由題知，BA⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，因?yàn)镻A∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以AD⊥PB，又PA＝AB，M是PB中點(diǎn)，所以AM⊥PB，又AM∩AD＝A，AM，AD?平面AMD，所以PB⊥平面AMD，又PB?平面PBC，所以平面AMD⊥平面PBC．（2）由題知，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，過C作CE⊥AB，因?yàn)椤螦BC＝60°，所以CE=則A(0，0，0)，M(1，則PB→?AN→=(2又PN→=λ所以a=所以a=c=則AM→設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量m→平面AMC的一個(gè)法向量n→則AM→⊥m取z1＝1，可得m→則AM→⊥n取x2=3令平面AMN與平面AMC的夾角為θ，則cosθ=所以sinθ=即二面角N﹣MA﹣C的正弦值為77【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．11．（2025?西城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）＝a（x﹣1）ex﹣lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過點(diǎn)（2，2），求a的值；（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）存在極小值；（Ⅲ）記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）的最大值．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值．【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維．【答案】（Ⅰ）a=（Ⅱ）證明見解答．（Ⅲ）0．【分析】（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線方程，進(jìn)而可求解；（Ⅱ）通過二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求證；（Ⅲ）由（Ⅱ）得到g(a)=【解答】解：（Ⅰ）求導(dǎo)，得f'(所以f（1）＝0，f'（1）＝ae﹣1，故曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝（ae﹣1）（x﹣1），將點(diǎn)（2，2）代入切線方程，得a=（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'(設(shè)函數(shù)m（x）＝ax2ex﹣1，則m'（x）＝a（x2+2x）ex，由x＞0，得m′（x）＞0，所以函數(shù)m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)閙（0）＝﹣1＜0，m(所以存在唯一的x0∈(0，1a)，使得m（x0）＝0，即f'當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）與f（x）的變化情況如下：x（0，x0）x0（x0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↓極小值↑所以函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）存在極小值f（x0）．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）有最小值f（x）min＝f（x0）＝g（a），由f'(x0所以g(設(shè)函數(shù)h(x)=x-1x2-lnx，則h'(x)=-(x當(dāng)x變化時(shí)，h′（x）與h（x）的變化情況如下：x（0，1）1（1，+∞）h′（x）+0﹣h（x）↑極大值↓所以函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝1時(shí)，h（x）max＝h（1）＝0，即當(dāng)x0＝1時(shí)，f（x0）max＝0．結(jié)合a=1ex0x02由函數(shù)y=1exx2(故當(dāng)且僅當(dāng)a=1e時(shí)，x0所以當(dāng)a=1e時(shí)，g（a【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．12．（2025?襄城縣三模）已知有窮正整數(shù)數(shù)列An：a1，a2，…an（n∈N*，n≥4）滿足：ai∈{1，2，…，n}，且當(dāng)i≠j（i，j∈N*，1≤i，j≤n）時(shí)，總有ai≠aj．定義數(shù)列An*：a1*，a2*，…，an*，其中a1*＝a1，a*k=ak-ak-1*，ak-1*＜ak，ak+ak-（Ⅰ）判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P（1）；①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．（Ⅱ）已知數(shù)列A8具有性質(zhì)P（m），求m的最小值；（Ⅲ）是否存在數(shù)列An具有性質(zhì)P(n(n+1)2)，且a1*+a2*+…+an*＝2025？若存在，【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【專題】整體思想；定義法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維；新定義類．【答案】（Ⅰ）①數(shù)列不具有性質(zhì)P（1）；②數(shù)列具有性質(zhì)P（1）；（Ⅱ）m的最小值為2；（Ⅲ）A18：18，17，16，15，14，13，12，11，1，8，9，6，7，4，5，3，2，10．【分析】（Ⅰ）①求出a4即可求解；②求出a；即可求解；（Ⅱ）證明a8*=m2為偶數(shù)，根據(jù)a（Ⅲ）證明an≤an+an-1*≤an+an-1【解答】解：（Ⅰ）①由題意得a1*=4，a2*因?yàn)閍4*≠1，所以數(shù)列不具有性質(zhì)P②由題意得a1*=1，a2*=1，a3（Ⅱ）由已知ak*＞0，設(shè)ak*=ak+λk-1ak-1*，其中λk﹣1又a1*=即an因?yàn)棣薻﹣1∈{﹣1，1}，所以λk﹣1﹣1∈{﹣2，0}（k＝2，3，…，n），所以an*與an+an﹣1+?+a因?yàn)閍1+a2+?+a8＝36，所以a8又a8*＞0又?jǐn)?shù)列A8：1，2，3，4，5，6，8，7，此時(shí)A8*：1，1，2，2，3，3，5，2，m＝綜上，m的最小值為2；（Ⅲ）由已知，0＜ak則an因?yàn)閿?shù)列An具有性質(zhì)P(n(所以ak記Sn所以Sn＝na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an，因?yàn)閧a1，a2，?，an}＝{1，2，?，n}，所以Sn＝na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an≤n2+（n﹣1）2+…+22+12，當(dāng)n≤17時(shí)，Sn所以n≥18，當(dāng)n＝18時(shí)，數(shù)列A18：18，17，16，15，14，13，12，11，1，8，9，6，7，4，5，3，2，10，此時(shí)A18*：18，35，51，66，80，93，105，116，117，125，134，140，147，151，156，159，161，n(n+1)2=18×192=171，S18＝2025，所以數(shù)列A18：18，17，16，15，14，13，12，11，1，8，9，6，7，4，【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于較難題．13．（2025?河北模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2S（1）證明：{an+1}是等比數(shù)列；（2）設(shè)bn=n(an+1)4，求數(shù)列{b【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）Tn【分析】（1）由an與Sn的關(guān)系可得遞推公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得答案；（2）由（1）可得{bn}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，可得答案．【解答】（1）證明：∵2S∴當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝3a1﹣2﹣1，解得a1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn﹣1＝3an﹣1﹣2n+1，∴2（Sn﹣Sn﹣1）＝3（an﹣an﹣1）﹣2，即an＝3an﹣1+2，∴an+1＝3（an﹣1+1）（n≥2），又a1+1＝4．∴數(shù)列{an+1}是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（2）解：由（1）可得an+1=4×3n則Tn3T兩式相減有-2∴Tn【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，錯(cuò)位相減求和法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．14．（2025?順義區(qū)一模）已知函數(shù)f(（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為已知條件，使函數(shù)f（x）存在且唯，確定．當(dāng)f（x）在區(qū)間（0，a）（a＞0）上僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．條件①：f（x）在[π條件②：y＝f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(π條件③：對(duì)任意的x∈R，都有f(注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解；結(jié)構(gòu)不良題．【答案】（Ⅰ）32（Ⅱ）(π【分析】（Ⅰ）將x＝0代入即可求解；（Ⅱ）將f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)所給條件，求出解析式，再根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，a）上僅有一個(gè)零點(diǎn)，即可求出a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閒(所以f(0)=（Ⅱ）f=sinωxcos=1選擇條件①②：因?yàn)閒（x）在[π所以最小正周期T滿足：12T≥712所以2πω≥π，又ω＞0，所以0又因?yàn)閥＝f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(π所以ωπ3+π3=kπ，k∈Z，即所以ω＝2，所以f(因?yàn)閤∈（0，a），所以2x又因?yàn)閒（x）在區(qū)間（0，a）上僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以π＜2a所以a的取值范圍是(π選擇條件①③：因?yàn)閒（x）在[π所以最小正周期T滿足：12T≥712所以2πω≥π，又ω＞0，所以0又對(duì)任意的x∈R，都有f(所以x=π12為y＝f（x所以ωπ12+π3=π2+2kπ，所以ω＝2，所以f(因?yàn)閤∈（0，a），所以2x又因?yàn)閒（x）在區(qū)間（0，a）上僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以π＜2a+π3≤2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．15．（2025?嘉峪關(guān)校級(jí)模擬）“村BA”是由貴州省臺(tái)盤村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展而來的賽事，比賽由村民組織，參賽者以村民為主，極具鄉(xiāng)村氣息．某學(xué)校為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)該賽事的了解情況，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別隨機(jī)抽取男生和女生各80名作為樣本，設(shè)事件M＝“了解村BA”，N＝“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)P(（1）根據(jù)已知條件，作出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)“村BA”的了解情況與性別有關(guān)；（2）現(xiàn)從該校不了解“村BA”的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再?gòu)倪@10名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：χ2P（χ2＞k）0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）2×2列聯(lián)表為：了解不了解總計(jì)男生305080女生57580總計(jì)35125160有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)“村BA”的了解情況與性別有關(guān)；（2）X的分布列如下：X01234P114821374351210E（X）=8【分析】（1）先根據(jù)條件概率求得人數(shù)填寫列聯(lián)表：再代入公式求出χ2，將該值與臨界值比較即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣確定抽取的男生人數(shù)和女生人數(shù)，再寫出X的所有可能取值并計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得出答案．【解答】解：（1）因?yàn)镻(所以對(duì)“村BA”了解的女生人數(shù)為116×80=5，了解“村BA”的學(xué)生人數(shù)為5×7＝結(jié)合男生和女生各80名，作出2×2列聯(lián)表為：了解不了解總計(jì)男生305080女生57580總計(jì)35125160χ2因此有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)“村BA”的了解情況與性別有關(guān)；（2）由（1）知，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10名學(xué)生，其中男生人數(shù)為5050+75×10=4，女生人數(shù)為隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4．P(P(故隨機(jī)變量X的分布列如下：X01234P114821374351210則E(【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．16．（2025?全國(guó)模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，△PCD為等邊三角形，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4．（1）求證：PB⊥CD；（2）若四棱錐P﹣ABCD的體積為43，求平面PAD與平面PBC【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）取CD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，易證四邊形ABED是平行四邊形，進(jìn)而證BE⊥CD，結(jié)合PE⊥CD，應(yīng)用線面垂直的判定及性質(zhì)證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的正弦值．【解答】解：（1）證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，BE．因?yàn)镃D＝2AB，AB∥CD，所以DE∥AB且DE＝AB，所以四邊形ABED是平行四邊形，則BE∥AD，因?yàn)镃D⊥AD，所以BE⊥CD，又△PCD為等邊三角形，所以PE⊥CD，因?yàn)镻E∩BE＝E，PE，BE?平面PBE，所以CD⊥平面PBE，因?yàn)镻B?平面PBE，所以PB⊥CD．（2）設(shè)四棱錐P﹣ABCD的高為h，由題設(shè)，得V=13由題設(shè)知PE=2所以PE⊥底面ABCD．如圖所示，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線EB為x軸，EC為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P(0，0，23)，A（2，﹣2，0），D所以PB→=(2，0，-2設(shè)平面PBC的法向量為m→則m→⊥PB令z1＝1，則x1=3，y設(shè)平面PAD的法向量為n→則n→⊥DP令z2＝1，則y2=-3，x2＝0設(shè)平面PAD與平面PBC的夾角為θ，因?yàn)閏os＜所以sinθ=即平面PAD與平面PBC的夾角正弦值為427【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．17．（2025?寶山區(qū)三模）已知a∈R，函數(shù)f(（1）若a＝2，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式及定義域；（2）若關(guān)于x的方程f(x2【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；函數(shù)的定義域及其求法．【專題】分類討論；函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）f(x)=（2）(1，【分析】（1）用換元法可得f(x)=log（2）將問題轉(zhuǎn)化為（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0只有一個(gè)解，分a＝2、a≠2求解即可．【解答】解：（1）f(令x+1＝t，則f(t)=因?yàn)閍＝2，所以f(又2+1定義域?yàn)?-∞，（2）由（1）得f(方程f(即log可轉(zhuǎn)化為（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0，且2x①當(dāng)a﹣2＝0，即a＝2時(shí)，x＝﹣2，符合題意；②當(dāng)a﹣2≠0，即a≠2時(shí)，x1（i）當(dāng)-2=1a（ii）當(dāng)-2≠1a-2時(shí)，即要滿足題意，則有-1+或-1+綜上可得，a的取值范圍(1，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分類討論思想，屬于中檔題．18．（2025?沙河口區(qū)校級(jí)一模）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足btanBcosC+csinB＝2atanBcosA．（1）求A；（2）若a＝3，求2b【考點(diǎn)】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1）π（2）(2【分析】（1）由正弦定理整理得等式，根據(jù)同角三角函數(shù)的商式關(guān)系，結(jié)合正弦函數(shù)，可得答案；（2）由正弦定理以及三角函數(shù)恒等式，整理函數(shù)解析式，換元，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（1）由btanBcosC+csinB＝2atanBcosA，根據(jù)正弦定理，得sinBtanBcosC+sinCsinB＝2sinAcosAtanB，由tanB=sinBcosB，sinB＞0，則sinBcosC+sinCcosB＝2sinA即sin（B+C）＝sinA＝2sinAcosA，而sinA＞0，故cosA=又A∈（0，π），所以A=（2）由正弦定理，且asinA=23，則b由sinC=則2b-c+2sin(2B+π6)=33＝6sin（B-π6）+2cos2（B＝﹣4sin2（B-π6）+6sin（B-π在銳角三角形中，則0＜解得π6＜B可得sin(令t=sin(B-π6)，則﹣4sin2（B-π6）+6sin（B-π6）+2＝﹣4t2易知函數(shù)f(t)=-4(tf（0）＝2，f(34所以2b【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的應(yīng)用，銳角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，換元法的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（2025?德州模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinB（acosC+ccosA）＝bcosB．（1）求B；（2）設(shè)D為邊BC的中點(diǎn)，若cosC=35，△ABC的面積為14【考點(diǎn)】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1）B=（2）AD=【分析】（1）先由正弦定理邊化角已知條件，再由兩角和正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件即可求解；（2）先由題設(shè)求出sinA，接著由正弦定理求出b=57a，進(jìn)而由面積公式S△ABC=12absinC求出a＝7，再在三角形ACD中由余弦定理AD2＝CD2+【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，sinB（acosC+ccosA）＝bcosB，根據(jù)正弦定理可得sinB（sinAcosC+sinCcosA）＝sinBcosB，即sinBsin（A+C）＝sinBcosB，在△ABC中，由A+B+C＝π，得sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，所以sin2B＝sinBcosB，又B∈（0，π），sinB≠0，所以tanB＝1，所以B=（2）因?yàn)閏osC=35所以sinA=所以ab=sinA因?yàn)镾△ABC=12absinC=12×在三角形ACD中，由余弦定理可得AD所以AD=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和正弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于中檔題．20．（2025?嘉峪關(guān)校級(jí)模擬）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=∠PDC=π2（Ⅰ）求證：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求平面CPB與平面PBQ所成的夾角的大?。究键c(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解答；（2）π6【分析】（1）先證平面QAB∥平面PDC，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面CPB與平面PBQ的法向量，利用向量法求解即可．【解答】解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB∥CD，又AB?平面PDC，CD?平面PDC，所以AB∥平面PDC，因?yàn)樗倪呅蜛DPQ是梯形，QA∥PD，又QA?平面DCP，PD?平面PDC，所以QA∥平面PDC，又QA∩AB＝A，QA，AB?平面QAB，故平面QAB∥平面PDC，又因?yàn)镼B?平面QAB，所以QB∥平面PDC．（2）因?yàn)椤螾DA=∠PDC=∠ADC=π故以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則有C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），Q（2，0，1），所以PB→=(2，2，-2)設(shè)平面PBQ的一個(gè)法向量m→則m→⊥PB令x＝1，則y＝1，z＝2，所以m→設(shè)平面CPB的一個(gè)法向量n→則n→⊥BC令y＝1，則z＝1，所以n→設(shè)平面CPB與平面PBQ的夾角為θ，則cosθ=因?yàn)?≤θ≤π所以平面CPB與平面PBQ的夾角的大小為π6【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．21．（2025?鞍山模擬）已知函數(shù)f(（1）當(dāng)k＝0時(shí)，證明：f（x）≤0；（2）若f（x）存在極大值，且極大值大于0，求k的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值．【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】（1）證明見解析；（2）k∈（﹣2，0）．【分析】（1）求導(dǎo)后分析單調(diào)性，得到最大值即可；（2）求導(dǎo)后，分k≤﹣2和k＞﹣2討論單調(diào)性和極值，當(dāng)k＞﹣2時(shí)，構(gòu)造函數(shù)g（x），由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式可得．【解答】解：（1）證明：根據(jù)已知：函數(shù)f(k＝0時(shí)，f（x）＝2lnx﹣x2+1，f'(0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；x＞1時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）≤f（1）＝0．（2）f'(k≤﹣2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；k＞﹣2時(shí)，0＜x＜2k+2時(shí)，f′（x）＞0；x＞2所以f（x）在區(qū)間(0，2k所以f（x）的極大值為f(令g（x）＝2lnx+x﹣1（x＞0），則g'(所以g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，由已知g(所以2k+2＞1，解得綜上，k∈（﹣2，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，屬于中等題．22．（2025?嘉峪關(guān)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝a2ex﹣3ax+2sinx，a≠0．（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）若a＞2，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求（3）證明：當(dāng)a∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥cosx．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）6x﹣y+1＝0；（2）a∈[2，+∞）；（3）證明見解析．【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）先確定f′（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．再由f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，得到f′（0）≥0，即可求解；（3）由cosx≤1，將問題轉(zhuǎn)化成f（x）＝a2ex﹣3ax+2sinx≥1，構(gòu)造函數(shù)g（a）＝exa2﹣3xa+2sinx﹣1，確定其在[1，+∞）上單調(diào)遞增．進(jìn)而轉(zhuǎn)化成g（1）≥0恒成立，進(jìn)而可求證．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝a2ex﹣3ax+2sinx（a≠0），所以，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，f（x）＝ex+3x+2sinx，f′（x）＝ex+3+2cosx，則f′（0）＝6，又f（0）＝1，故曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為y﹣1＝6x，即6x﹣y+1＝0；（2）令t（x）＝f′（x）＝a2ex﹣3a+2cosx，x＞0，則t′（x）＝a2ex﹣2sinx，由a＞2，x＞0，得a2ex＞2所以t′（x）＝a2ex﹣2sinx＞0恒成立，所以f′（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以?x∈（0，+∞），f′（x）＝a2ex﹣3a+2cosx≥0恒成立，所以只需f′（0）＝a2﹣3a+2≥0，解得a≥2或a≤1，又a＞故a≥2，即a∈[2，+∞）．（3）證明：因?yàn)閏osx≤1，所以要證f（x）≥cosx，只需證f（x）＝a2ex﹣3ax+2sinx≥1，令g（a）＝exa2﹣3xa+2sinx﹣1，該二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線a=令h(x)=令h′（x）＞0，則x＜1，h′（x）＜0，則x＞1，所以h（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以h(x)max=h(1)=32e問題可轉(zhuǎn)化為證明g（1）≥0，即證ex﹣3x+2sinx﹣1≥0，即證3x令F(則F'(令φ（x）＝2﹣3x+2sinx﹣2cosx，則φ'(所以φ（x）在R上單調(diào)遞減，且φ（0）＝0，所以當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，所以函數(shù)F（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以F（x）≤F（0）＝1，即3x【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，考查推理論證能力與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．23．（2025?陸豐市校級(jí)三模）設(shè)正整數(shù)n≥2，對(duì)于數(shù)列A：a1，a2，…，an，定義變換T，T將數(shù)列A變換成數(shù)列T（A）：a1a2，a2a3，…，an﹣1an，ana1．已知數(shù)列A0：a1，a2，…，an滿足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n）．記Ak+1＝T（Ak）（k＝0，1，2，…）．（Ⅰ）若A0：﹣1，1，1，寫出數(shù)列A1，A2；（Ⅱ）若n為奇數(shù)且A0不是常數(shù)列，求證：對(duì)任意正整數(shù)k，Ak都不是常數(shù)列；（Ⅲ）求證：當(dāng)且僅當(dāng)n＝2m（m∈N*）時(shí)，對(duì)任意A0，都存在正整數(shù)k，使得Ak為常數(shù)列．【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（I）由題意，直接寫出答案；（II）利用反證法，假設(shè)存在常數(shù)列，并建立方程，可證矛盾；（III）首先證明，若n＝2m（2s﹣1），其中m∈N*s≥2，s∈N*則存在n項(xiàng)的數(shù)列A0使得對(duì)任意的正整數(shù)k，Ak都不是常數(shù)列．其次證明：若n＝2m其中m∈N*對(duì)任意A0都存在正整數(shù)k，Ak是常數(shù)列．【解答】解：（I）由題意可得A1：﹣1，1，﹣1；A2：﹣1，﹣1，1．（II）證明：設(shè)n＝2t﹣1，其中t∈N*假設(shè)存在正整數(shù)k，使得Ak是常數(shù)列，由A0不是常數(shù)列，不妨設(shè)A0，A1，…，Ak﹣1，不為常數(shù)列且Ak為常數(shù)列，記Ak﹣1：b1，b2，?，b2t﹣2，b2t﹣1，則Ak：b1b2，b2b3，?，b2t﹣2b2t﹣1，b2t﹣1b1.令b2t＝b1，b2t+1＝b2，當(dāng)i＝1，2，…，2t﹣1時(shí)，因?yàn)閎ibi+1＝bi+1bi+2且bi+1∈{﹣1，1}，所以bi＝bi+2．故b1＝b3＝b5＝?＝b2t﹣1＝b2＝b4＝?＝b2t﹣2.此時(shí)Ak﹣1為常數(shù)列，矛盾．（III）證明：首先證明，若n＝2m?（2s﹣1），其中m∈N*，s≥2，s∈N*，則存在n項(xiàng)的數(shù)列A0使得對(duì)任意的正整數(shù)k，Ak都不是常數(shù)列．證明：構(gòu)造2s﹣1項(xiàng)的數(shù)列C0：c1，c2，?，c2s﹣1，其中c1＝c2＝?＝c2s﹣2＝1，c2s﹣1＝﹣1，構(gòu)造n項(xiàng)的數(shù)列A0：c1，c2，?，c2s﹣1，c1，c1，?，c2s﹣1，?，c1，c2，?，c2s﹣1，對(duì)任意的正整數(shù)k，設(shè)?k：d1，d2，…，d2s﹣1，則Ak：d1，d2…d2s﹣1，d1，d1，?，d2s﹣1，?，d1，d2，?，d2s﹣1，由于?k不是常數(shù)列，故Ak不是常數(shù)列．其次證明：若n＝2m其中m∈N*，對(duì)任意A0，都存在正整數(shù)k，Ak是常數(shù)列．證明：假設(shè)存在n＝2m，其中m∈N*，使得存在數(shù)列A0使得對(duì)任意的正整數(shù)k，Ak都不是常數(shù)列，不妨設(shè)m的最小值為m0，情形一：m0＝1，則n＝2，記A0：a1，a2，則A1：a1a2，a1a2為常數(shù)列，矛盾．情形二：m0≥2對(duì)任意的數(shù)列A0：a1，a2，a3，…，an﹣2，an﹣1，an，則A1：a1a2，a2a3，a3a4，?，an﹣2an﹣1，an﹣1an，ana1，A2：a1a3，a2a4，a3a5，…，an﹣2an，an﹣1a1，ana2，記A0：α其中n2=2m-1．則E1：a1a2，a2a3，?，an2a1，F(xiàn)1：β1β則依此類推，對(duì)任意正整數(shù)k，記Ek：u1，存在正整數(shù)k1，k2，使得Ek1，F(xiàn)k2為常數(shù)列，記k0＝max{k1，則數(shù)列Ek0，F(xiàn)k0均為常數(shù)列，設(shè)A2k0α，β，α，β則A2k0+1的各項(xiàng)均為αβ．即k＝2k0+l綜上，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2m（m∈N*）時(shí)，對(duì)任意A0，都存在正整數(shù)k，使得Ak為常數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于難題．24．（2025?揚(yáng)州校級(jí)模擬）已知函數(shù)f(（1）若b＝0，且f′（x）≥0，求a的最小值；（2）證明：曲線y＝f（x）是中心對(duì)稱圖形；（3）若f（x）＞e2﹣1當(dāng)且僅當(dāng)1＜x＜2，求b的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）﹣2e；（2）證明見解析；（3）[23(e【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用f′（x）≥0列不等式求解即可．（2）先判斷y＝f（x）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再設(shè)P（m，n）為y＝f（x）圖象上任意一點(diǎn)，然后利用指數(shù)運(yùn)算判斷點(diǎn)Q（2﹣m，2a﹣n）也在y＝f（x）圖象上，即可證明．（3）由題意，x＝2為f（x）＝e2﹣1的一個(gè)解，可得a=-b2，設(shè)t＝x﹣1∈（0，1），則有g(shù)(t)=e(et-e-【解答】解：（1）當(dāng)b＝0時(shí)，f（x）＝ex﹣e2﹣x+ax，則f'(∵ex+e2e故f′（x）min＝2e+a，而f′（x）≥0成立，故2e+a≥0，即a≥﹣2e，∴a的最小值為﹣2e．（2）證明：f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（1，+∞）．設(shè)P（m，n）為y＝f（x）圖象上任意一點(diǎn)，P（m，n）關(guān)于（1，a）的對(duì)稱點(diǎn)為Q（2﹣m，2a﹣n），∵P（m，n）在y＝f（x）圖象上，故n=而f(2-∴Q（2﹣m，2a﹣n）也在y＝f（x）圖象上，由P的任意性可得y＝f（x）圖象為中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為（1，a）．（3）∵f（x）＞e2﹣1當(dāng)且僅當(dāng)1＜x＜2，故x＝2為f（x）＝e2﹣1的一個(gè)解，∴f（2）＝e2﹣1，可得a=-b2，依題意f（x）＞e2﹣1在（1，2設(shè)t＝x﹣1∈（0，1），則f(則有g(shù)(t)=e(et∵g'(t)=∴φ'(當(dāng)b＝0時(shí)，∴g（t）＝e1+t﹣e1﹣t在（0，1）上單調(diào)遞增，則g（t）＜g（1）＝e2﹣1，∴舍去；當(dāng)b＜0時(shí)，y＝e1+t﹣e1﹣t與y=-b2t+∴g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，則g（t）＜g（1）＝e2﹣1，∴舍去；當(dāng)b＞0時(shí)，由t∈（0，1）知et﹣1＞0，2bt3＞0，∴φ′∴φ（t）在（0，1）單調(diào)遞增．1．當(dāng)φ(1)=e2+1-b2-b≤0，即b≥23(e2∴g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，則g（t）＞g（1）＝e2﹣1；2．當(dāng)φ(1)=e2+1-b2-b＞0，即0＜b∴?t0∈（0，1），使φ（t0）＝0，∴g（t）在（0，t0）上單調(diào)遞減，在（t0，1）上單調(diào)遞增，∴g(t0綜上，b≥23(e2+1)，即【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．25．（2025?嘉峪關(guān)校級(jí)模擬）已知A（﹣2，0），B(1，32)兩點(diǎn)在橢圓C：x2a2+y2b2=1上，直線l交橢圓C于（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1+k2＝1時(shí)，①求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；②求|OH|的最小值．【考點(diǎn)】橢圓的定點(diǎn)及定值問題；根據(jù)橢圓上的點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運(yùn)算求解．【答案】（1）x24+y23=1；（2）①證明見解析，（﹣【分析】（1）將A（﹣2，0），B(1，32)（2）①設(shè)直線l：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合k1+k2＝1，解出k，m的關(guān)系即可求解；②由AH⊥PQ可得點(diǎn)H在以AS為直徑的圓上，利用圓的性質(zhì)求解即可；【解答】解：（1）由題意可得(-2)2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2（2）①證明：由條件k1+k2＝1，可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立方程組：y=kx+mx24+y23=1?（3+4k2）其中Δ＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0?m2﹣4k2＜3（▲），所以x1+x由條件k1+k2＝1，即y1由于直線l不過點(diǎn)A，故m≠2k，化簡(jiǎn)可得1x所以1?3+4代入（▲）式，k＜-12，此時(shí)直線l：y＝kx+2k+3恒過定點(diǎn)S（﹣②因?yàn)锳H⊥PQ，所以點(diǎn)H在以AS為直徑的圓上，圓心為G(-2，3所以|OH此時(shí)H的坐標(biāo)為(-45，35故|OH|的最小值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的應(yīng)用，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．函數(shù)的定義域及其求法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；②根式（開偶次方）被開方式≥0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，以及對(duì)數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；④指數(shù)為零時(shí)，底數(shù)不為零．⑤實(shí)際問題中函數(shù)的定義域；【解題方法點(diǎn)撥】求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組．（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí)，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實(shí)際意義（如長(zhǎng)度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個(gè)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這幾個(gè)函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域?yàn)榭占?，則函數(shù)不存在．（4）抽象函數(shù)的定義域：①對(duì)在同一對(duì)應(yīng)法則f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（x）中的x的范圍．【命題方向】高考會(huì)考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題．2．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．3．求兩角和與差的三角函數(shù)值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解題方法點(diǎn)撥】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ?sinαsinβtan(﹣將具體角度值代入公式，求解三角函數(shù)值．﹣驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性．【命題方向】常見題型包括利用和差公式求解三角函數(shù)值，結(jié)合具體角度進(jìn)行計(jì)算．若α為銳角，sinα=45，則解：若α為銳角，sinα=45，則cossin(α+π3)=14．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：sinαcosα=tan2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=25．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的零點(diǎn)表示的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的．【解題方法點(diǎn)撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點(diǎn)來探討一下函數(shù)零點(diǎn)的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過這個(gè)題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點(diǎn)常用的方法就是配方法，把他配成若干個(gè)一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點(diǎn)或者說求基本函數(shù)等于0時(shí)的解即可．【命題方向】直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．6．函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用是指結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和方程的解法解決復(fù)雜問題．【解題方法點(diǎn)撥】﹣函數(shù)性質(zhì)：分析函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性等性質(zhì)．﹣方程求解：利用函數(shù)性質(zhì)建立方程，求解方程根．﹣綜合應(yīng)用：將函數(shù)性質(zhì)和方程求解結(jié)合，解決實(shí)際問題．【命題方向】常見題型包括函數(shù)性質(zhì)和方程解法的綜合運(yùn)用，解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題．7．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)等實(shí)際問題的結(jié)合．8．?dāng)?shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求數(shù)列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n點(diǎn)評(píng)：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．9．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=s在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1n≥2s（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an=a（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．10．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】導(dǎo)數(shù)