第58頁（共58頁）2025年天津市高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）（2025?天津）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，則?U（A∪B）＝（）A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4}2．（5分）（2025?天津）設(shè)x∈R，則“x＝0”是“sin2x＝0”的（）A．充分不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）（2025?天津）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖，則f（x）的解析式可能為（）A．f（x）=x1-|x| B．f（C．f（x）=|x|1-x2 D4．（5分）（2025?天津）若m為直線，α，β為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若m∥α，n?α，則m∥n B．若m⊥α，m⊥β，則α⊥β C．若m∥α，m⊥β，則α⊥β D．若m?α，α⊥β，則m⊥β5．（5分）（2025?天津）下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．若X～N（μ，σ2），則P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ） B．若X～N（1，22），Y～N（2，22），則P（X＜1）＜P（Y＜2） C．|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng) D．|r|越接近0，相關(guān)性越弱6．（5分）（2025?天津）Sn＝﹣n2+8n，則數(shù)列{|an|}的前12項(xiàng)和為（）A．112 B．48 C．80 D．647．（5分）（2025?天津）函數(shù)f（x）＝0.3x-xA．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2）8．（5分）（2025?天津）f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），在[-5π12，π12]上單調(diào)遞增，且x=π12為它的一條對(duì)稱軸，（π3，0）是它的一個(gè)對(duì)稱中心，當(dāng)x∈[0，A．-32 B．-12 C．19．（5分）（2025?天津）雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以右焦點(diǎn)F2為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px（p＞0）與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，若|PF1|+|PF2|＝A．2 B．5 C．2+12 D二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分。10．（5分）（2025?天津）已知i是虛數(shù)單位，則|3+ii|＝11．（5分）（2025?天津）在（x﹣1）6的展開式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．12．（5分）（2025?天津）l1：x﹣y+6＝0與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與圓（x+1）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）交于C，D兩點(diǎn)，|AB|＝3|CD|，則r＝．13．（5分）（2025?天津）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均為0.5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0.4，6圈的概率為0.6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0.6，6圈的概率為0.4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望E（X）＝．14．（5分）（2025?天津）△ABC中，D為AB邊中點(diǎn)，CE→=13CD→，AB→=a→，AC→=b→，則AE→=（用a→15．（5分）（2025?天津）若a，b∈R，對(duì)?x∈[﹣2，2]，均有（2a+b）x2+bx﹣a﹣1≤0恒成立，則2a+b的最小值為．三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．（14分）（2025?天津）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinB=3bcosA，c﹣2b＝1，a=（I）求A的值；（Ⅱ）求c；（Ⅲ）求sin（A+2B）的值．17．（15分）（2025?天津）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，C1B1中點(diǎn)，CG＝3C1G．（I）求證：GF⊥平面EBF；（Ⅱ）求平面EBF與平面EBG夾角的余弦值；（Ⅲ）求三棱錐D﹣BEF的體積．18．（15分）（2025?天津）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，P為x＝a上一點(diǎn)，且直線PF的斜率為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)P的直線與橢圓有唯一交點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），求證：PF平分∠AFB．19．（15分）（2025?天津）{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，a1＝b1＝2，a2＝b2+1，a3＝b3．（I）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）?n∈N*，I＝{0，1}，有Tn＝{p1a1b1+p2a2b2+?+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn|p1，p2，?，pn﹣1，pn∈I}．（i）求證：?t∈Tn，均有t＜an+1bn+1；（ii）求Tn所有元素之和．20．（16分）（2025?天津）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣（lnx）2．（I）a＝1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）f（x）有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且（x1＜x2＜x3）．（i）求a的取值范圍；（ii）證明：（lnx2﹣lnx1）?lnx3＜4

2025年天津市高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）題號(hào)123456789答案DADCBCBAA一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）（2025?天津）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，則?U（A∪B）＝（）A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4}【考點(diǎn)】集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由集合的運(yùn)算計(jì)算即可求得．【解答】解：因?yàn)锳＝{1，3}，B＝{2，3，5}，所以A∪B＝{1，2，3，5}，因?yàn)閁＝{1，2，3，4，5}，?U（A∪B）＝{4}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）（2025?天津）設(shè)x∈R，則“x＝0”是“sin2x＝0”的（）A．充分不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義；充分條件必要條件的判斷．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；三角函數(shù)的求值；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)、充分條件、必要條件、充要條件的定義求解．【解答】解：x∈R，則“x＝0”?“sin2x＝0”，“sin2x＝0”?“2x＝kπ，k∈Z”，∴“x＝0”是“sin2x＝0”的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)、充分條件、必要條件、充要條件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．3．（5分）（2025?天津）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖，則f（x）的解析式可能為（）A．f（x）=x1-|x| B．f（C．f（x）=|x|1-x2 D【考點(diǎn)】由函數(shù)圖象求解函數(shù)或參數(shù)．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由函數(shù)的性質(zhì)和特殊值法排除即可．【解答】解：由圖象可得f（x）為偶函數(shù)，因?yàn)锳，B選項(xiàng)的函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A，B；因?yàn)镃，D選項(xiàng)的函數(shù)為偶函數(shù)，且對(duì)于C，f(12)=1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（2025?天津）若m為直線，α，β為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若m∥α，n?α，則m∥n B．若m⊥α，m⊥β，則α⊥β C．若m∥α，m⊥β，則α⊥β D．若m?α，α⊥β，則m⊥β【考點(diǎn)】直線與平面垂直．【專題】分類討論；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；空間想象．【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．【解答】解：對(duì)于A，若m∥α，n?α，則m與n可能平行也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m⊥α，m⊥β，則α∥β，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m∥α，m⊥β，則α⊥β，C正確；對(duì)于D，若m?α，α⊥β，則m可能平行于β，也可能與β斜交，也可能垂直于β，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和平面間的位置關(guān)系，屬于中檔題．5．（5分）（2025?天津）下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．若X～N（μ，σ2），則P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ） B．若X～N（1，22），Y～N（2，22），則P（X＜1）＜P（Y＜2） C．|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng) D．|r|越接近0，相關(guān)性越弱【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；樣本相關(guān)系數(shù)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)判斷A，B；由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷C，D．【解答】解：對(duì)于A，由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，當(dāng)X～N（μ，σ2）時(shí)，則P（X≤μ﹣σ）＝P（x≥μ+σ），故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，當(dāng)X～N（1，22），Y～N（2，22）時(shí)，P（X＜1）=12=P（Y＜2對(duì)于C，D，由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知，|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，|r|越接近0，相關(guān)性越弱，故C，D正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）（2025?天津）Sn＝﹣n2+8n，則數(shù)列{|an|}的前12項(xiàng)和為（）A．112 B．48 C．80 D．64【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】分類討論；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由an與Sn的關(guān)系求得an＝﹣2n+9，再去絕對(duì)值后求和即可．【解答】解：因?yàn)镾n＝﹣n2+8n，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝﹣1+8＝7，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣n2+8n）﹣[﹣（n﹣1）2+8（n﹣1）]＝﹣2n+9，當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足上式，所以an＝﹣2n+9，所以當(dāng)n≤4時(shí)，an＞0，當(dāng)n≥5時(shí)，an＜0，所以{|an|}的前12項(xiàng)和為|a1|+|a2|+...+|a4|+|a5|+...+|a12|＝a1+a2+a3+a4﹣（a5+a6+...+a12）＝2（a1+a2+a3+a4）﹣（a1+a2+...+a12）＝2S4﹣S12＝2（﹣16+32）﹣（﹣144+96）＝80．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)，數(shù)列前n項(xiàng)和的求解，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）（2025?天津）函數(shù)f（x）＝0.3x-xA．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2）【考點(diǎn)】求解函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)可得y＝f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，再由零點(diǎn)存在定理求解即可．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝0.3x-x，x≥0又因?yàn)閥＝0.3x與y=-x在[0，+∞所以f（x）＝0.3x-x在[0，+∞又因?yàn)閒（0）＝1＞0，f（0.3）＝0.30.3-0.3=f（0.5）＝0.30.5-0.5=由零點(diǎn)存在定理可得，?x0∈（0.3，0.5），使f（x0）＝0，即函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（0.3，0.5）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題旨在考查了零點(diǎn)存在定理，考查了指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．8．（5分）（2025?天津）f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），在[-5π12，π12]上單調(diào)遞增，且x=π12為它的一條對(duì)稱軸，（π3，0）是它的一個(gè)對(duì)稱中心，當(dāng)x∈[0，A．-32 B．-12 C．1【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定出ω＝4n+2，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定周期范圍得出0＜ω≤2，從而可確定ω＝2，最后結(jié)合單調(diào)性與對(duì)稱中心得出φ，可得出f（x）解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像得出最值即可．【解答】解：因?yàn)閒（x）在[-5π12，π12]可得f（π12）＝1，即π12ω+φ＝2kπ+π2因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于（π3，0所以π3ω+φ=mπ，且π3-π12=2n解得ω＝4n+2，n∈Z，因?yàn)樵赱-5π12，π12解得0＜ω≤2，所以ω＝2，根據(jù)①②，可得φ=2因?yàn)椹仸校鸡眨鸡?，所以?π故f（x）＝sin（2x+π當(dāng)x∈[0，π2]時(shí)，2x+π3∈[π3，4π3]，可得f（x）的最小值為f故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）（2025?天津）雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以右焦點(diǎn)F2為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px（p＞0）與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，若|PF1|+|PF2|＝A．2 B．5 C．2+12 D【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合；求雙曲線的離心率．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】畫出圖形，結(jié)合雙曲線的定義，拋物線的定義，通過勾股定理，綜合求解雙曲線的離心率即可．【解答】解：如圖，拋物線的準(zhǔn)線為F1E，E為過P作準(zhǔn)線的垂線，與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過P作x軸的垂線，交點(diǎn)為D，由題意，|PF1|+|PF2|＝3|F1F2|＝6c，|PF1|﹣|PF2|＝2a，解得|PF1|＝3c+a，|PF2|＝3c﹣a，xP＝2c﹣a，|F2D|＝c﹣a，|EP|＝3c﹣a，|P可得（3c+a）2﹣（3c﹣a）2＝（3c﹣a）2﹣（c﹣a）2，化簡可得2a＝c，所以e=c故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線與拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線的離心率的求法，是中檔題．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分。10．（5分）（2025?天津）已知i是虛數(shù)單位，則|3+ii|＝10【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】10．【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得3+ii=1﹣3i【解答】解：因?yàn)?+ii=(3+i所以|3+ii|＝|1﹣3i|故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模的求解，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）（2025?天津）在（x﹣1）6的展開式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為﹣20（用數(shù)字作答）．【考點(diǎn)】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】﹣20．【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式以及組合數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)二項(xiàng)式的展開式Tr+1=C6r?(-1)r?x6-r（r＝當(dāng)r＝3時(shí)，展開式中x3的系數(shù)為C6故答案為：﹣20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．（5分）（2025?天津）l1：x﹣y+6＝0與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與圓（x+1）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）交于C，D兩點(diǎn)，|AB|＝3|CD|，則r＝2．【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】2．【分析】求出A，B的坐標(biāo)，從而求得|AB|=62，|CD|=22，由圓的弦長公式求出|CD|=2r【解答】解：因?yàn)閘1：x﹣y+6＝0與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，所以A（﹣6，0），B（0，6），所以|AB|＝62，因?yàn)閨AB|＝3|CD|，所以|CD|=22因?yàn)閘1：x﹣y+6＝0與圓（x+1）2+（y﹣3）2＝r2交于C，D兩點(diǎn)，且圓心（﹣1，3）到直線的距離為d=|-1-3+6|所以|CD|=2r2-故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）（2025?天津）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均為0.5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0.4，6圈的概率為0.6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0.6，6圈的概率為0.4．小桐一周跑11圈的概率為0.6；若一周至少跑11圈為運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望E（X）＝3.2．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；全概率公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.6；3.2．【分析】由題意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，利用全概率公式可求解第一空，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求解第二空．【解答】解：由題意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，小桐一周跑10圈的概率為0.5×0.4＝0.2，小桐一周跑11圈的概率為0.5×0.6+0.5×0.6＝0.6，小桐一周跑12圈的概率為0.5×0.4＝0.2，一周至少跑11圈的概率為0.6+0.2＝0.8，則X～B（4，0.8），所以E（X）＝4×0.8＝3.2．故答案為：0.6；3.2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全概率公式，考查了二項(xiàng)分布的期望公式，屬于中檔題．14．（5分）（2025?天津）△ABC中，D為AB邊中點(diǎn)，CE→=13CD→，AB→=a→，AC→=b→，則AE→=16a→+2【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】16a→【分析】由平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可求得第一空；由|AE→|＝5，AE⊥CB結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積建立關(guān)于a→2，a→?【解答】解：因?yàn)镈為AB邊中點(diǎn)，CE→所以AE=1因?yàn)閨AE→|＝5，所以136因?yàn)镃B→=AB→-所以AE→?由①②可得：a→?b因?yàn)镃D→所以AE=112故答案為：16a→【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，屬于中檔題．15．（5分）（2025?天津）若a，b∈R，對(duì)?x∈[﹣2，2]，均有（2a+b）x2+bx﹣a﹣1≤0恒成立，則2a+b的最小值為﹣4．【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；基本不等式及其應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】﹣4．【分析】先設(shè)t＝2a+b，根據(jù)不等式的形式，為了消a可以取x=-12，得到t≥﹣4，驗(yàn)證t＝﹣4時(shí)，a【解答】解：設(shè)t＝2a+b，原題即求t的最小值，原不等式可化為對(duì)任意的x∈[﹣2，2]，tx2+（t﹣2a）x﹣a﹣1≤0，為了消去a，不妨取x=-12，得14t-當(dāng)t＝﹣4時(shí)，原不等式可化為﹣4x2+（﹣4﹣2a）x﹣a﹣1≤0，即-[2觀察可知，當(dāng)a＝0時(shí)，﹣（2x+1）2≤0對(duì)x∈[﹣2，2]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=-此時(shí)a＝0，b＝﹣4，說明當(dāng)t＝﹣4時(shí)，a，b均可取到，滿足題意，所以t＝2a+b的最小值為﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問題，屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．（14分）（2025?天津）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinB=3bcosA，c﹣2b＝1，a=（I）求A的值；（Ⅱ）求c；（Ⅲ）求sin（A+2B）的值．【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（I）A=π（Ⅱ）c＝3；（Ⅲ）43【分析】（I）由正弦定理，邊角互化求解即可；（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，代入已知數(shù)據(jù)及b=c（Ⅲ）由余弦定理可得cosB=5714，sinB=2114，從而求出cos2【解答】解：（I）因?yàn)閍sinB=3bcosA所以sinAsinB=3sinBcosA又因?yàn)閟inB≠0，所以sinA=3cosA即tanA=3因?yàn)锳∈（0，π），所以A=π（Ⅱ）因?yàn)锳=π3，c﹣2b＝1，a所以a2＝b2+c2﹣2bccosA，即7=(c-12)2整理得：3c2＝27，解得c＝3；（Ⅲ）因?yàn)锳=π3，c﹣2b＝1，c＝3，a所以b＝1，cosB=a所以sinB=1-所以sin2B＝2sinBcosB=5314，cos2B＝cos2B﹣sin2所以sin（A+2B）＝sinAcos2B+cosAsin2B=3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換、利用正弦定理及余弦定理解三角形，屬于中檔題．17．（15分）（2025?天津）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，C1B1中點(diǎn)，CG＝3C1G．（I）求證：GF⊥平面EBF；（Ⅱ）求平面EBF與平面EBG夾角的余弦值；（Ⅲ）求三棱錐D﹣BEF的體積．【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；棱錐的體積；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解；空間想象．【答案】（I）證明見解答；（Ⅱ）45；（Ⅲ）32【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面EBF的法向量，通過證明直線的方向向量與平面的法向量平行證明線面垂直；（Ⅱ）利用空間向量法求平面與平面的夾角的余弦值；（Ⅲ）先由題意得△FBE為直角三角形，求出其面積，然后利用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離，最后利用棱錐的體積公式求解即可．【解答】解：（I）證明：如圖，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，由已知得D（0，0，0），B（4，4，0），G（0，4，3），E（2，0，4），F(xiàn)（2，4，4），所以GF→=(2，0，1)，BE→=（﹣設(shè)平面BEF的法向量為n→=（x0，y0，z則BE→?n取z0＝1，則n→=(2，所以GF→∥n所以GF⊥面BEF．（Ⅱ）由（I）得EG→=（﹣2，4，﹣設(shè)平面BEG的法向量為m→=（x1，y1，z則BE→?m取z1＝1，則m→=（34，5所以cos＜n故平面EBF與平面EBG夾角的余弦值為45（Ⅲ）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1D1，C1B1中點(diǎn)，所以EF⊥平面CBB1C1，又FB?平面CBB1C1，所以EF⊥FB，在△FBE中，因?yàn)镋F＝4，BF=BB12+所以S△BEF=12?EF?BF=1又DE→=（2，0，則點(diǎn)D到平面BEF的距離為d=|所以三棱錐D﹣BEF的體積為V=13S△BEF?d【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用空間向量法判斷線面垂直和求二面角的余弦值，考查錐體的體積，是中檔題．18．（15分）（2025?天津）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，P為x＝a上一點(diǎn)，且直線PF的斜率為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)P的直線與橢圓有唯一交點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），求證：PF平分∠AFB．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；向量與圓錐曲線；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）x24+【分析】（I）根據(jù)題意，利用橢圓的離心率得到a＝2c，再由直線PF的斜率得到m＝c，從而利用三角形的面積公式得到關(guān)于c的方程，解方程即可得解；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用其位置關(guān)系求得k，進(jìn)而得到直線PB的方程與點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可得證．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓x2a2則左焦點(diǎn)F（﹣c，0），右頂點(diǎn)A（a，0），由離心率e=ca=12因?yàn)镻為x＝a上一點(diǎn)，設(shè)P（a，m），由直線PF的斜率為13，得m-0所以m2解得m＝c，則P（a，c），即P（2c，c），在△PFA中，|AF|＝a﹣（﹣c）＝a+c＝3c，高為|m|＝c，所以S△解得c＝1，則a＝2c＝2，b2＝a2﹣c2＝3，所以橢圓的方程為x2（Ⅱ）證明：由（1）得P（2，1），F(xiàn)（﹣1，0），A（2，0），易知直線PB的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx+t，則1＝2k+t，即t＝1﹣2k，聯(lián)立y=消去y得，（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，因?yàn)橹本€與橢圓有唯一交點(diǎn)，所以Δ＝（8k?t）2﹣4（3+4k2）?（4t2﹣12）＝0，即4k2﹣t2+3＝0，則4k2﹣（1﹣2k）2+3＝0，解得k=-12，則t所以直線PB的方程為y=-聯(lián)立y=-解得x=1y=所以FB→=(2，32)，F(xiàn)P→所以cos∠cos∠則cos∠BFP＝cos∠PFA，又∠BFP，∠PFA∈（0，π2所以∠BFP＝∠PFA，即PF平分∠AFB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯思維和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．（15分）（2025?天津）{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，a1＝b1＝2，a2＝b2+1，a3＝b3．（I）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）?n∈N*，I＝{0，1}，有Tn＝{p1a1b1+p2a2b2+?+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn|p1，p2，?，pn﹣1，pn∈I}．（i）求證：?t∈Tn，均有t＜an+1bn+1；（ii）求Tn所有元素之和．【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列的求和．【專題】分類討論；方程思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）an＝3n﹣1，bn=2n；（Ⅱ）（i）證明見解答；（ii）2n﹣1[8+（3n﹣4）2【分析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}公比為q（q≠0），由題中條件列出關(guān)于d和q（q≠0）的方程求解，再結(jié)合等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解；（Ⅱ）（i）由題意結(jié)合（Ⅰ）求出an+1bn+1和p1a1b1+p2a2b2+…+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn的最大值，再作差比較兩者大小即可證明；（ii）根據(jù)p1，p2，…，pn﹣1，pn中全為1；一個(gè)為0其余為1；2個(gè)為0其余為1；…；全為0等情況將Tn中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后將所有系列所得的和加起來即可得解．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}公比為q（q≠0），因?yàn)閍1＝b1＝2，a2＝b2+1，a3＝b3，所以2+d=2q所以an（Ⅱ）（i）證明：由（1）知anpnan當(dāng)pn設(shè)Sn＝p1a1b1+p2a2b2+...+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn＝2×2+5×22+...+（3n﹣4）2n﹣1+（3n﹣1）2n，①則2Sn①﹣②得：-=4+3×22(1-2n-1)1-2-(3所以Sn=8+(3n-4)2此時(shí)an+1所以對(duì)?t∈Tn，均有t＜an+1bn+1；（ii）由（i）得Sn=8+(3n-由題可得Tn中的所有元素由以下系列中所有元素組成：當(dāng)p1，p2，…，pn﹣1，pn均為1時(shí)：此時(shí)該系列元素只有Sn=8+(3n-當(dāng)p1，p2，…，pn﹣1，pn中只有一個(gè)為0，其余均為1時(shí)：此時(shí)該系列的元素有Sn﹣a1b1，Sn﹣a2b2，Sn﹣a3b3，…，Sn﹣anbn共有Cn1則這n個(gè)元素的和為Cn當(dāng)p1，p2，…，pn﹣1，pn中只有2個(gè)為0，其余均為1時(shí)：此時(shí)該系列的元素為Sn﹣aibi﹣ajbj（i，j∈{1，2，…，n}，i≠j）共有Cn2則這n個(gè)元素的和為Cn當(dāng)p1，p2，…，pn﹣1，pn中有3個(gè)為0，其余均為1時(shí)：此時(shí)該系列的元素為Sn﹣aibi﹣ajbj﹣akbk（i，j，k∈{1，2，…，n）}，i≠j≠k）共有Cn3則這n個(gè)元素的和為Cn3S當(dāng)p1，p2，…，pn﹣1，pn中有n﹣1個(gè)為0，1個(gè)為1時(shí)：此時(shí)該系列的元素為a1b1，a2b2，…，anbn共有Cnn則這n個(gè)元素的和為Cn當(dāng)p1，p2，…，pn﹣1，pn均為0時(shí)：此時(shí)該系列的元素為0=(Cnn-綜上所述，Tn中的所有元素之和為S=[(c=(2【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差等比數(shù)列基本量的運(yùn)算，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于難題．20．（16分）（2025?天津）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣（lnx）2．（I）a＝1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）f（x）有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且（x1＜x2＜x3）．（i）求a的取值范圍；（ii）證明：（lnx2﹣lnx1）?lnx3＜4【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）x﹣y＝0；（Ⅱ）（i）（0，4e2）；（【分析】（Ⅰ）a＝1時(shí)f（x）＝x﹣（lnx）2，求出f（1）＝1與f′（1），即可寫出f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）（i）由f（x）＝0，得a=(lnx)2x，設(shè)g（x）=(lnx)2x，利用導(dǎo)數(shù)求出g（（ii）由題意，0＜x1＜1＜x2＜e2＜x3，設(shè)lnx1＝t1，lnx2＝t2，lnx3＝t3，則t1＜0＜t2＜2＜t3，代回方程由均值不等式得t3t2＜4，再證t2t3﹣t1t3＜4ee-1，分析得出t3et32≤4e-1，構(gòu)造函數(shù)h【解答】解：（Ⅰ）a＝1時(shí)，f（x）＝x﹣（lnx）2，且f（1）＝1，f′（x）＝1﹣2lnx?1x，所以k＝f′（1）＝1所以f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣1＝1×（x﹣1），即x﹣y＝0；（Ⅱ）（i）由f（x）＝0，得a=(lnx)2x設(shè)g（x）=(lnx)2x，則g′令g′（x）＝0，得x＝1或x＝e2，所以x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）∈（0，+∞）；x∈（1，e2）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）∈（0，4ex∈（e2，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）∈（0，4e畫出函數(shù)g（x）的大致圖象，如圖所示：由函數(shù)的圖象，結(jié)合題意知，a的取值范圍是（0，4e（ii）證明：由（i）知，0＜x1＜1＜x2＜e2＜x3，設(shè)lnx1＝t1，lnx2＝t2，lnx3＝t3，則t1＜0＜t2＜2＜t3，又aet1=t12①aet2=t22②aet3=由對(duì)數(shù)均值不等式得2=t3-t2lnt3要證（lnx2﹣lnx1）lnx3＜4ee-1，即證t2t3﹣t只需證4﹣t1t3≤4ee-1，即證﹣t又因?yàn)閠1＜0，t12=aet1＜a，所以|t1所以﹣t1t3＜at32=設(shè)h（t）=t2et2，t＞2，則h′當(dāng)2＜t＜4時(shí)，h′（t）＞0，h（t）在（2，4）上單調(diào)遞增；當(dāng)t＞4時(shí)，h′（t）＜0，h（t）在（4，+∞）上單調(diào)遞減；所以h（x）max＝h（4）=16e2，即h（t由4e2﹣16e+16＝4（e﹣2）2＞0，得16e【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的零點(diǎn)與不等式的證明應(yīng)用問題，是難題．

考點(diǎn)卡片1．集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補(bǔ)律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，每年高考一般都是單獨(dú)命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎(chǔ)題．設(shè)全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：（Ⅰ）?U（A∩B）；（Ⅱ）（?UA）∪（?UB）；（Ⅲ）A∩（?UB）．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，∵全集U＝R，∴?U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）（?UA）∪（?UB）＝?U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，∴?UB＝{x|x≤1或x≥5}，∵A＝{x|0≤x＜8}，∴A∩（?UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．2．充分條件必要條件的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．3．基本不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當(dāng)0＜x解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，y=用基本不等式若x＞0時(shí)，0＜y≤2若x＜0時(shí)，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y=x2+7x+10x+1當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝技巧四：換元對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+a技巧六：整體代換點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．技巧七：取平方點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．4．由函數(shù)圖象求解函數(shù)或參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個(gè)步驟（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線．利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線．首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）．其次：列表（尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等），描點(diǎn)，連線．【解題方法點(diǎn)撥】1、畫函數(shù)圖象的一般方法（1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式（或變形后的表達(dá)式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時(shí)，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．（3）描點(diǎn)法：當(dāng)上面兩種方法都失效時(shí)，則可采用描點(diǎn)法．為了通過描少量點(diǎn)，就能得到比較準(zhǔn)確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論．2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法知圖選式：①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；②從圖象的變化趨勢(shì)，觀察函數(shù)的單調(diào)性；③從圖象的對(duì)稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；④從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性．利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確的選項(xiàng)．【命題方向】識(shí)圖的方法對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：①定性分析法，也就是通過對(duì)問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢(shì)，利用這一特征來分析解決問題；②定量計(jì)算法，也就是通過定量的計(jì)算來分析解決問題；③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．在數(shù)學(xué)中，常用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)，也常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)f（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式可能為（）A.fB.fC.fD.f解：f(x)=2xx2當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)=2x對(duì)于D，f(-x)=x2+1x2故選：A．5．函數(shù)恒成立問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)恒成立問題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時(shí)，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個(gè)參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當(dāng)?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件．﹣利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為．一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量【命題方向】題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應(yīng)用題，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)恒成立問題的理解和應(yīng)用能力．關(guān)于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對(duì)x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴?x∈R，m＜1x∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．6．任意角的三角函數(shù)的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】任意角的三角函數(shù)1定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα=y2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）．【解題方法點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：（1）角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x；（2）縱坐標(biāo)y；（3）該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況（點(diǎn)所在象限不同）．【命題方向】已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，3），則cosα＝（）A．45B．35C．-35分析：由條件直接利用任意角的三角函數(shù)的定義求得cosα的值．解：∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x2∴cosα=x故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．正弦函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）時(shí)，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ+π2，k對(duì)稱中心：（kπ+π2，0）（k∈對(duì)稱軸：x＝kπ，k∈Z對(duì)稱中心：（kπ2，0）（k∈Z無對(duì)稱軸周期2π2ππ8．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．9．求解函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個(gè)c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一．（2）并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點(diǎn)，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個(gè)零點(diǎn)．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點(diǎn)”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個(gè)等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)；②函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)而不是數(shù)軸上的點(diǎn)．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根．函數(shù)f(A.(B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）解：因?yàn)楹瘮?shù)f(在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)閒（e）＝1-3e＜0，f（e2）＝2所以f（x）的零點(diǎn)位于（e，e2）．故選：C．10．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝則S10＝10a1+10×92d＝10+45＝故答案為：55點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時(shí)，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用．11．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實(shí)際問題的結(jié)合．12．?dāng)?shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求數(shù)列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n點(diǎn)評(píng)：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．13．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）=1x在（0，（2）函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點(diǎn)撥】﹣求導(dǎo)：計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）．﹣極值點(diǎn)：求解f'（x）＝0以找到極值點(diǎn)．﹣邊界條件：結(jié)合函數(shù)的定義域邊界點(diǎn)計(jì)算函數(shù)值，比較得到最值．【命題方向】常見題型包括利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，結(jié)合函數(shù)的定義域進(jìn)行分析．設(shè)函數(shù)f(x)=1x解：因?yàn)閒(所以f'(令f'（x）＞0得x＞12；令f'（x）＜0所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(12，所以當(dāng)x=12時(shí)，f（x所以f（x）的最小值為2﹣2ln2．14．利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】曲線在某點(diǎn)上的切線方程可以通過該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值和坐標(biāo)求得．【解題方法點(diǎn)撥】﹣求導(dǎo)：計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）．﹣切線方程：利用導(dǎo)數(shù)值作為切線的斜率，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出切線方程．﹣公式：切線方程為y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【命題方向】常見題型包括求解曲線在特定點(diǎn)的切線方程，分析函數(shù)的局部行為．曲線y=2xx2+1在點(diǎn)（2解：由題意得y'=則曲線在點(diǎn)（2，45）處的切線斜率k＝y(tǒng)'|x＝2=故曲線y=2xx2+1在（2，45）處的切線方程為y-45=-625（x故答案為：6x+25y﹣32＝0．15．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時(shí)，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?b（3）分配律：（a→?b→）?c平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=a→2-【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，a④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b→）⑥“acbc=ab”類比得到a→?c→b解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→?即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a即③錯(cuò)誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b→）即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=ab即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|?|b→|【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)常考點(diǎn)，題目相對(duì)來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．16．正弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S=12a?ha（ha表示邊2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測(cè)量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測(cè)量高度問題：解題思路：①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．17．余弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測(cè)量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測(cè)量高度問題：解題思路：①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．18．解三角形【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分別表示②S△ABC=12absinC=12bcsinA=③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC=abc⑤S△ABC=s(s-a)(s-b)(⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝πA2+B2=π2-C2，余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=a正弦定理asinA=R為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△=12aha=12bh②S△=12absinC=12acsinB③S△=④S△=s(s-a)(s-b)(⑤S△=12（a+b+c（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA=sinB＝2SsinC=19．復(fù)數(shù)的?！局R(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a+bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復(fù)數(shù)的模：OZ→的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=20．復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】復(fù)數(shù)除法涉及分子與分母的復(fù)數(shù)．對(duì)于復(fù)數(shù)z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法結(jié)果是z1【解題方法點(diǎn)撥】﹣化簡復(fù)數(shù)：將復(fù)數(shù)除法轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)形式，乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡得到標(biāo)準(zhǔn)形式．﹣應(yīng)用：在實(shí)際問題中如何處理復(fù)數(shù)的除法及其應(yīng)用．【命題方向】﹣復(fù)數(shù)除法的計(jì)算：考查如何計(jì)算復(fù)數(shù)除法及其結(jié)果．﹣除法的實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用復(fù)數(shù)除法．i是虛數(shù)單位，2i1+解：2i1+i21．棱錐的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】棱錐的體積可以通過底面面積B和高度h計(jì)算，頂點(diǎn)到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣底面面積計(jì)算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計(jì)算棱錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用棱錐體積計(jì)算．22．直線與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對(duì)于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．符號(hào)表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．23．空間向量法求解二面角及兩平面的夾角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時(shí)為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點(diǎn)O的位置無關(guān)，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱l上的點(diǎn)O．3、二面角的平面角求法：向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設(shè)平面α和β的法向量分別為u→和v→，若兩個(gè)平面的夾角為（1）當(dāng)0≤＜u→，v→＞≤此時(shí)cosθ＝cos＜u→，（2）當(dāng)π2＜＜u→，v→＞＜π時(shí)，θcosθ＝﹣cos＜u→，【解題方法點(diǎn)撥】﹣數(shù)量積和模：使用向量數(shù)量積和模計(jì)算夾角，應(yīng)用反余弦函數(shù)得到結(jié)果．【命題方向】﹣向量法計(jì)算：考查如何使用空間向量法計(jì)算兩平面之間的夾角．24．直線與圓相交的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與圓的關(guān)系分為相交、相切、相離．判斷的方法就是看圓心到直線的距離和圓半徑誰大誰?。孩佼?dāng)圓心到直線的距離小于半徑時(shí)，直線與圓相交；②當(dāng)圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切；③當(dāng)圓心到直線的距離大于半徑時(shí)，直線與圓相離．【解題方法點(diǎn)撥】例：寫出直線y＝x+m與圓x2+y2＝1相交的一個(gè)必要不充分條件：解：直線x﹣y+m＝0若與圓x2+y2＝1相交，則圓心（0，0）到直線的距離d＜1，即d=|∴|m|＜2即-2∴滿足-2故答案為：滿足-2這是一道符合高考命題習(xí)慣的例題，對(duì)于簡單的知識(shí)點(diǎn)，高考一般都是把幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，這也要求大家知識(shí)一定要全面，切不可投機(jī)取巧．本題首先根據(jù)直線與圓的關(guān)系求出滿足要求的m的值；然后在考查了考試對(duì)邏輯關(guān)系的掌握程度，不失為一道好題．【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容比較簡單，在初中的時(shí)候就已經(jīng)學(xué)習(xí)過，所以大家要熟練掌握，特別是點(diǎn)到直線的距離怎么求，如何判斷直線與圓相切．25．直線與橢圓的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ＜0；【解題方法點(diǎn)撥】（1）直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來判斷；②借助直線和橢圓的幾何性質(zhì)來判斷．根據(jù)直線系方程抓住直線恒過定點(diǎn)的特征，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系，也是解決此類問題的難點(diǎn)所在．（2）弦長的求法設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=(1+k2注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式．（3）中點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)常見問題①過定點(diǎn)被定點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；②平行弦中點(diǎn)的軌跡；③過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡．解決有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用方法是“韋達(dá)定理”和“點(diǎn)差法”，這兩種方法的前提都必須保證直線和橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．（4）橢圓切線問題①直線與橢圓相切，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；②過橢圓外一點(diǎn)可以作兩條直線與橢圓相切；③過橢圓上一點(diǎn)只能作一條切線．（5）最值與范圍問題的解決思路①構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過求函數(shù)的值域來獲得問題的解；②構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過解不等式來獲得問題的解．在解題過程中，一定要深刻挖掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等可利用條件．【命題方向】1．由已知條件求橢圓的方程或離心率；2．由已知條件求直線的方程；3．中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)問題；4．弦長問題；5．與向量結(jié)合求參變量的取值．26．求雙曲線的離心率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線的離心率e是e=ca【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算離心率：利用公式e=2．求解參數(shù)：從雙曲線方程中提取參數(shù)．【命題方向】﹣給定雙曲線的參數(shù)，求離心率．﹣根據(jù)離心率計(jì)算雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．27．圓錐曲線的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、拋物線的簡單性質(zhì)：2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖