1/12.2基本不等式（精講）考點(diǎn)一直接型【例1-1】已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．有最大值0 B．有最小值為0C．有最大值為－4 D．有最小值為－4【答案】B【解析】由題意，，由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故，有最小值0故選：B【例1-2】已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.故選：D【一隅三反】1．已知a>0，則當(dāng)取得最小值時(shí)，a的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】∵a>0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：C2．（2022·江蘇連云港·高一期末）函數(shù)的最大值是（

）A．7 B． C．9 D．【答案】B【解析】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以函數(shù)的最大值是，故選：B3．當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為故選：B考點(diǎn)二常數(shù)代換型【例2-1】已知x，y＞0，當(dāng)x+y＝2時(shí)，求的最小值（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)故選：C【例2-2】若，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，∴，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1.故選：D.【例2-3】若，，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】由得，則有，有，同理可得，由兩邊除以xy得：，于是得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，由解得：，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：【一隅三反】1．已知，，且，則的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4【答案】A【解析】由題意可得．因?yàn)?，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故選：A2．已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．8 B．12 C． D．【答案】B【解析】由已知，，均為正數(shù)，，故，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B.3．設(shè)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故選：C.4．（多選）已知，且，則的取值可以是（

）A．8 B．9 C．11 D．12【答案】CD【解析】因?yàn)椋?，則.因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），則.因?yàn)?，所以，?故選：CD考點(diǎn)三配湊型【例3-1】已知，則的最小值是(

)A．5 B．4 C．8 D．6【答案】A【解析】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值是5．故選：A．【例3-2】函數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【解析】（方法1），，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.（方法2）令，，，.將其代入，原函數(shù)可化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).故選：D【例3-3】已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【解析】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是6.故選：A【例3-4】設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：.【一隅三反】1．已知x>3，則對(duì)于，下列說(shuō)法正確的是（

）A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以有最小值；故選：B2．若，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，的最小值為6．故選：C．3．已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，的最小值是.故選：D考點(diǎn)四消元型【例4】若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，故選：C．【一隅三反】1．已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，由，所以，由，可得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B.2．（多選）若，，，則的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】原式（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)）.故選：CD.3．若，且，則的最小值為_(kāi)________．【答案】3【解析】因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：3．考點(diǎn)五求參數(shù)【例5】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，對(duì)均成立．由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值等于3，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：D．【一隅三反】1．已知，且，若有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．（-∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【答案】A【解析】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為9，因?yàn)橛薪?，所以，即，解得或，故選：A2．已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，又不等式恒成立，，的取值范圍是．故選：B．3．已知，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以恒成立，只需因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).所以.即的最大值為16.故選：D考點(diǎn)六綜合運(yùn)用【例6-1】（多選）已知是正實(shí)數(shù)，若，則（

）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是【答案】AB【解析】正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，解得，，正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)此時(shí)取得最小值2，正確；∵，∴，當(dāng)時(shí)，的最小值為，錯(cuò)誤；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，不符合題意，故等號(hào)取不到，即的最小值大于，故D錯(cuò)誤.故選：AB【例6-2】如圖，在半徑為4(單位：cm)的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其頂點(diǎn)A，B在直徑上，頂點(diǎn)C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為_(kāi)_______(單位：cm2)．【答案】16【解析】如圖所示，連接OC，設(shè)OB＝x(0<x<4)，則BC＝eq\r(OC2－OB2)＝eq\r(16－x2)，AB＝2OB＝2x，所以由基本不等式可得，矩形ABCD的面積為S＝AB·BC＝2x·eq\r(16－x2)＝2eq\r(16－x2x2)≤(16－x2)＋x2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)16－x2＝x2，即x＝2eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立，所以矩形ABCD面積的最大值為16.【一隅三反】1．（多選）已知，是正實(shí)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則有最小值2B．若，則有最大值5C．若，則有最大值D．有最小值【答案】AC【解析】對(duì)于A，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則有最小值2，故A正確；對(duì)于B，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則有最大值4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則則有最大值，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：AC2.（多選）若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】依題意，正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD3.某農(nóng)業(yè)科研單位打算開(kāi)發(fā)一個(gè)生態(tài)漁業(yè)養(yǎng)殖項(xiàng)目，準(zhǔn)備購(gòu)置一塊1800平方米的矩形地塊(如圖所示)，中間挖三個(gè)矩形池塘養(yǎng)魚(yú)，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹(shù)，魚(yú)塘周?chē)幕鶉鷮捑鶠?米，池塘所占面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)試用x，y表示S；(2)若要使S最大，則x，y的值分別為多少？【答案】（1）y=1832－6x－eq\f(16,3)y(6<x<300,6<y<300)（2）x=40y=45【解析】(1)由題意得，xy＝1800，b＝2a，則y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝a(x－4)＋b(x－6)＝a(x－4)＋2a(x－6)＝(3x－16)a＝(3x－16)×eq\f(y－6,3)＝xy－6x－eq\f(16,3)y＋32＝1832－6x－eq\f(16,3)y，其中6<x<300,6<y<300.(2)由(1)可知，6<x<300,6<y<300，xy＝1800,6x＋eq\f(16,3)y≥2eq\r(6x·\f(16,3)y)＝2eq\r(6×16×600)＝480，當(dāng)且僅當(dāng)6x＝eq\f(16,3)y時(shí)等號(hào)成立，∴S＝1832－6x－eq\f(16,3)y≤1832－480＝1352，此時(shí)9x＝8y，xy＝1800，解得x＝40，y＝45，即x為40，y為45.2.2基本不等式（精練）1直接型1．當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．）可得當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：D2．若a，b都為正實(shí)數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋紴檎龑?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值.故選：D3．設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由基本不等式可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)，故選：C.4．若為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故選：D5．已知，則的最大值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【解析】時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則，即的最大值為0.故選：C6．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為【答案】A【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.7．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.故選：C.8．已知a>0，那么的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閍>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：D9．任意，下列式子中最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.當(dāng)時(shí)，，排除；B.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，符合；C.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，排除；D.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故等號(hào)不能成立，則，排除.故選：B.2常數(shù)代換型1．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即的最小值為4.故選：D.2．設(shè)，且，則的最小值是（

）A． B．8 C． D．16【答案】B【解析】由題意，故則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選：B3．已知，，且，則的最小值為（

）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】B【解析】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，，等號(hào)成立．所以的最小值為25，故選：B4．已知a，b＞0，且a＋2b＝1，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】∵a＋2b＝1，∴＝＝9，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)等號(hào)成立,故選：C.5．已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是2.故選：A.6．（多選）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則對(duì)于，下列說(shuō)法準(zhǔn)確的是（

）A．取得最小值時(shí)a＝ B．最小值是5C．取得最小值時(shí)b＝ D．最小值是【答案】AD【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故AD正確，BC錯(cuò)誤.故選：AD.7．已知實(shí)數(shù)x，y>0，且，則的最小值是________．【答案】【解析】∵x，y>0，且，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴的最小值是，故答案為：8．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為_(kāi)__________．【答案】【解析】因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故答案為：.3配湊型1．若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?所以.當(dāng)且僅當(dāng)“”即時(shí)取“=”.故選：B.2．已知正實(shí)數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即y的最大值是.故選：D.3．已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是2，故選：C4．已知正數(shù)，則的最大值為_(kāi)________．【答案】【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），的最大值為.故答案為：.5．已知，則的最小值為_(kāi)__

.【答案】1【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，，令，因?yàn)樵谏线f增，所以，故答案為：16．已知，且，則的最小值為_(kāi)___________.【答案】【解析】由題意得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故答案為：4消元型1．已知，滿(mǎn)足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】由，得，而，則有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為2.故選：D2．已知，且，則最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】由且，可得，代入，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，又，可得，時(shí)，不等式取等，即的最大值為，故答案為：．3．已知，若，則的最大值為_(kāi)______．【答案】【解析】由條件可知，則，，，，設(shè)，，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故答案為：4.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2+xy=1，則y2﹣2xy的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】由x2+xy=1，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.5．若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.則的最小值為故答案為：6．已知，，且，則的最小值為【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，得，所以，記，所以，所以，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，此時(shí)，.7.若正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)檎龜?shù)滿(mǎn)足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立5求參數(shù)1．已知，，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立），所以.由推得出，由推不出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．若對(duì)任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意得，當(dāng)時(shí)，恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，的最大值為，所以，解得的取值范圍為．故選：B3．若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設(shè)，則，再設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=”.所以，即實(shí)數(shù)a的最小值為.故選：D.4．已知，若不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】由得．又，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴的最大值為．故答案為：5．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】或【解析】不等式有解，，，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“”，，故，即，解得或，故答案為：或．6．已知x、y為兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)閤、y為兩個(gè)正實(shí)數(shù)，由可得，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故答案為：7．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】根據(jù)題意先求得最小值，由，得，所以若要不等式恒成立，只要，即，解得，所以.故答案為：8．已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________.【答案】36【解析】f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝時(shí)取得最小值，由題意知＝3，∴a＝36.故答案為：6綜合運(yùn)用1．若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，因?yàn)椤郈錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，D正確；故選：D2．下列函數(shù)，最小值為2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)A，可取負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，故D正確；故選：D3.（多選）已知，則（

）A．的最大值為B．的最小值為4C．的最小值為D．的最小值為16【答案】BCD【解析】由得：，因?yàn)椋?，所以，由基本不等式可得：?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，解得：或，因?yàn)椋陨崛ィ实淖畲笾禐?，A錯(cuò)誤；由得：，因?yàn)椋?，所以，由基本不等式可得：?/p>