建模提能1小船渡河模型1．模型構(gòu)建在運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題中，兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)仍是勻速直線運(yùn)動(dòng)。若其中一個(gè)分運(yùn)動(dòng)的速度大小和方向都不變，另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)的速度大小不變，方向在180°范圍內(nèi)(在速度不變的分運(yùn)動(dòng)所在直線的一側(cè))變化，我們對(duì)合運(yùn)動(dòng)或分運(yùn)動(dòng)的速度、時(shí)間、位移等問題進(jìn)行研究。這樣的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)可看成“小船渡河模型”。2．模型條件(1)物體同時(shí)參與兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)。(2)一個(gè)分運(yùn)動(dòng)速度大小和方向保持不變，另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)速度大小不變，方向可在一定范圍內(nèi)變化。3．模型特點(diǎn)(1)船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是隨水流的運(yùn)動(dòng)和船相對(duì)靜水的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。(2)三種速度：船在靜水中的速度v船、水的流速v水、船的實(shí)際速度v合。(3)三種情境渡河時(shí)間最短當(dāng)船頭方向垂直河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間tmin＝eq\f(d,v船)渡河位移最短如果v船>v水，當(dāng)船頭方向與上游夾角θ滿足v船cosθ＝v水時(shí)，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河寬d如果v船<v水，當(dāng)船頭方向(即v船方向)與合速度方向垂直時(shí)，渡河位移最短，等于eq\f(v水,v船)d一小船渡河，河寬d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s。(1)若船在靜水中的速度為v2＝5m/s，欲使船在最短的時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長(zhǎng)時(shí)間？位移是多少？(2)若船在靜水中的速度為v2＝5m/s，欲使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長(zhǎng)時(shí)間？位移是多少？(3)若船在靜水中的速度為v2＝1.5m/s，欲使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長(zhǎng)時(shí)間？位移是多少？[答案](1)船頭垂直于河岸36s90eq\r(5)m(2)船頭與上游河岸成60°角24eq\r(3)s180m(3)船頭與上游河岸成53°角150s300m[解析](1)若v2＝5m/s，欲使船在最短時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝垂直河岸方向，當(dāng)船頭垂直河岸時(shí)，如圖甲所示，合速度沿傾斜方向，垂直河岸分速度為v⊥＝v2＝5m/st＝eq\f(d,v⊥)＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36sv合＝eq\r(veq\o\al(2,1)＋veq\o\al(2,2))＝eq\f(5,2)eq\r(5)m/sx＝v合t＝90eq\r(5)m。(2)若v2＝5m/s，欲使船渡河航程最短，合速度應(yīng)沿垂直河岸方向。船頭應(yīng)朝圖乙中的v2方向。垂直河岸過河要求v∥＝0，如圖乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。所以當(dāng)船頭與上游河岸成60°角時(shí)航程最短，x＝d＝180mt＝eq\f(d,v⊥)＝eq\f(d,v2cos30°)＝eq\f(180,\f(5,2)\r(3))s＝24eq\r(3)s。(3)若v2＝1.5m/s，與(2)中不同，因?yàn)榇傩∮谒伲源欢ㄏ蛳掠纹?，設(shè)合速度方向與河岸下游方向夾角為β，則航程x＝eq\f(d,sinβ)，欲使航程最短，需β最大，如圖丙所示，由出發(fā)點(diǎn)A作出v1矢量，以v1矢量末端為圓心、v2大小為半徑作圓，A點(diǎn)與圓周上某點(diǎn)的連線為合速度方向，欲使v合與河岸下游方向夾角最大，應(yīng)使v合與圓相切，即v合⊥v2。此時(shí)sinβ＝eq\f(v2,v1)＝eq\f(3,5)，得β＝37°所以船頭應(yīng)朝與上游河岸成53°角方向。t＝eq\f(d,v2cosβ)＝eq\f(180,1.2)s＝150sx＝eq\f(d,sinβ)＝300m。【名師點(diǎn)睛】求解小船渡河問題的方法小船渡河問題有兩類：一是求渡河時(shí)間，二是求渡河位移。無論哪類都必須明確以下四點(diǎn)：(1)解決問題的關(guān)鍵：正確區(qū)分分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)，船的航行方向也就是船頭指向，是分運(yùn)動(dòng)方向，船的運(yùn)動(dòng)方向也就是船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向，是合運(yùn)動(dòng)方向，一般情況下與船頭指向不一致。(2)運(yùn)動(dòng)分解的基本方法：按實(shí)際效果分解，一般用平行四邊形定則沿水流方向和船頭指向分解。(3)渡河時(shí)間只與垂直河岸的船的分速度有關(guān)，與水流速度無關(guān)。求解渡河時(shí)間，一般根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，由t＝eq\f(x⊥,v⊥)＝eq\f(x水,v水)＝eq\f(x合,v合)求解。(4)求最短渡河位移：當(dāng)水速小于船速時(shí)，即為河寬；當(dāng)水速大于船速時(shí)，根據(jù)船速v船與水流速度v水的情況用三角形定則求極限的方法處理。1．(2021·遼寧高考)1935年5月，紅軍為突破“圍剿”決定強(qiáng)渡大渡河。首支共產(chǎn)黨員突擊隊(duì)冒著槍林彈雨依托僅有的一條小木船堅(jiān)決強(qiáng)突。若河面寬300m，水流速度3m/s，木船相對(duì)靜水速度1m/s，則突擊隊(duì)渡河所需的最短時(shí)間為()A．75s B．95sC．100s D．300s答案D解析當(dāng)船頭垂直河岸方向行駛時(shí)，渡河時(shí)間最短，tmin＝eq\f(d,v船)＝eq\f(300,1)s＝300s，故D正確。2．一艘船以vA的速度用最短的時(shí)間渡河，另一艘船以vB的速度從同一地點(diǎn)以最短的路程過河，兩船軌跡恰好重合(設(shè)河水速度保持不變)，則兩船過河所用的時(shí)間之比是()A．vA∶vB B．vB∶vAC．veq\o\al(2,A)∶veq\o\al(2,B) D．veq\o\al(2,B)∶veq\o\al(2,A)答案D解析兩船軌跡重合，知合速度方向相同，根據(jù)題意，vA垂直于河岸，vB與合速度方向垂直，如圖，兩船的合位移相等，則兩船渡河時(shí)間之比等于兩船合速度的反比，即eq\f(tA,tB)＝eq\f(vB合,vA合)＝eq\f(\f(vB,tanθ),\f(vA,sinθ))＝eq\f(vB,vA)cosθ，而v水＝eq\f(vA,tanθ)＝eq\f(vB,sinθ)，即cosθ＝eq\f(vB,vA)，所以eq\f(tA,tB)＝eq\f(veq\o\al(2,B),veq\o\al(2,A))，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。課時(shí)作業(yè)[A組基礎(chǔ)鞏固練]1.對(duì)于做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，下列說法正確的是()A．受力可能為零B．加速度可能保持不變C．一定受到變力的作用D．加速度可能和運(yùn)動(dòng)方向相同答案B解析做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，一定做變速運(yùn)動(dòng)，有加速度，根據(jù)牛頓第二定律可知，所受合力不為零，故A錯(cuò)誤；物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是合力與速度不在同一條直線上，即加速度與物體運(yùn)動(dòng)方向不在同一直線上，該合力可以是變力，也可以保持不變，即加速度可以保持不變，如平拋運(yùn)動(dòng)，故B正確，C、D錯(cuò)誤。2．(2023·遼寧高考)某同學(xué)在練習(xí)投籃，籃球在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線所示，籃球所受合力F的示意圖可能正確的是()答案A解析由題圖可知籃球做曲線運(yùn)動(dòng)，所以籃球所受合力F應(yīng)指向運(yùn)動(dòng)軌跡的凹側(cè)，故只有A可能正確。3.(2022·河北省邢臺(tái)市高三上10月聯(lián)考)如圖所示，一塔式起重機(jī)正在工作，在某段時(shí)間內(nèi)，吊車P沿吊臂向末端M水平勻速移動(dòng)，同時(shí)吊車正下方的重物Q先勻減速豎直上升，后勻加速豎直上升。該段時(shí)間內(nèi)，重物Q的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是()答案C解析由運(yùn)動(dòng)軌跡與力的關(guān)系可知運(yùn)動(dòng)軌跡向力的方向彎曲，由題可知，重物Q的加速度先向下，后向上，可得重物Q所受的合力先向下后向上，所以重物Q的運(yùn)動(dòng)軌跡先向下彎曲，然后向上彎曲，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。4．(2023·吉林省吉林市高三下第二次調(diào)研)某架飛機(jī)在進(jìn)行航空測(cè)量時(shí)，需要嚴(yán)格按照從南到北的水平航線進(jìn)行飛行。如果在無風(fēng)時(shí)飛機(jī)相對(duì)地面的速度是414km/h，飛行過程中航路上有速度為54km/h的持續(xù)東風(fēng)，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，則()A．飛機(jī)的飛行方向?yàn)楸逼鳓冉?0<θ<90°)，且sinθ＝eq\f(1,23)B．飛機(jī)的飛行方向?yàn)楸逼珫|θ角(0<θ<90°)，且sinθ＝eq\f(3,23)C．飛機(jī)實(shí)際的飛行速度大小為100eq\r(2)m/sD．飛機(jī)實(shí)際的飛行速度大小為100eq\r(3)m/s答案B解析若使飛機(jī)嚴(yán)格按照從南到北的水平航線飛行，則其速度方向如圖所示，則飛機(jī)的飛行方向?yàn)楸逼珫|θ角，且sinθ＝eq\f(v風(fēng),v機(jī))＝eq\f(54km/h,414km/h)＝eq\f(3,23)，故A錯(cuò)誤，B正確；飛機(jī)實(shí)際的飛行速度大小為v＝eq\r(veq\o\al(2,機(jī))－veq\o\al(2,風(fēng)))＝eq\r(4142－542)km/h＝36eq\r(130)km/h＝10eq\r(130)m/s，故C、D錯(cuò)誤。5.在島上生活的漁民，曾用如圖所示的裝置將漁船拉到岸邊。若通過人工方式跨過定滑輪拉船，使之勻速靠岸，已知船在此運(yùn)動(dòng)過程中所受阻力保持不變，則()A．繩對(duì)船的拉力逐漸增大B．船所受水的浮力保持不變C．岸上人拉繩的速度保持不變D．岸上人拉繩的速度逐漸增大答案A解析對(duì)船進(jìn)行受力分析，如圖1，因?yàn)榇鰟蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，所以船處于平衡狀態(tài)，所受合力為零；設(shè)繩對(duì)船的拉力與水平方向的夾角為θ，則有：Fcosθ＝f，F(xiàn)sinθ＋F?。絤g；船在勻速靠岸的過程中，θ增大，阻力f不變，根據(jù)平衡方程知，繩子的拉力F逐漸增大，船所受水的浮力逐漸減小，故A正確，B錯(cuò)誤。將船的運(yùn)動(dòng)分解，如圖2所示，設(shè)船勻速靠岸的速度為v，則有vcosθ＝v1，因θ增大，所以v1會(huì)減小，即岸上人拉繩的速度逐漸減小，故C、D錯(cuò)誤。[B組綜合提升練]6.(2023·遼寧省鞍山市高三下第一次模擬聯(lián)考)“殲－20”再次閃亮登場(chǎng)2022珠海航展。如圖所示，戰(zhàn)機(jī)先水平向右，再沿曲線ab向上，最后沿陡斜線直入云霄。設(shè)飛行路徑在同一豎直面內(nèi)，飛行速率不變，則沿ab段曲線飛行時(shí)，戰(zhàn)機(jī)()A．所受合力不變B．所受合力方向豎直向上C．豎直方向的分速度不變D．水平方向的分速度逐漸減小答案D解析戰(zhàn)機(jī)飛行速率不變，則合力方向始終與速度方向垂直且指向軌跡凹側(cè)，即垂直軌跡切線向上，可知戰(zhàn)機(jī)所受合力方向不斷變化，不是豎直向上的，故A、B錯(cuò)誤；戰(zhàn)機(jī)沿ab段曲線飛行過程中，戰(zhàn)機(jī)速度大小不變，速度方向與水平方向的夾角θ逐漸增大，則豎直方向的分速度vy＝vsinθ逐漸增大，水平方向的分速度vx＝vcosθ逐漸減小，故C錯(cuò)誤，D正確。7.如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的直棒一端可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端擱在升降平臺(tái)上，平臺(tái)以速度v勻速上升，當(dāng)棒與豎直方向的夾角為α?xí)r，棒的角速度為()A.eq\f(vsinα,L) B.eq\f(v,Lsinα)C.eq\f(vcosα,L) D.eq\f(v,Lcosα)答案B解析棒與平臺(tái)接觸點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)即合運(yùn)動(dòng)方向是垂直于棒斜向左上，如圖所示，合速度v實(shí)＝ωL，沿豎直方向的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝eq\f(v,Lsinα)，故B正確。8．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)(多選)如圖a，在跳臺(tái)滑雪比賽中，運(yùn)動(dòng)員在空中滑翔時(shí)身體的姿態(tài)會(huì)影響其下落的速度和滑翔的距離。某運(yùn)動(dòng)員先后兩次從同一跳臺(tái)起跳，每次都從離開跳臺(tái)開始計(jì)時(shí)，用v表示他在豎直方向的速度，其v-t圖象如圖b所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時(shí)刻。則()A．第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的小B．第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大C．第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大D．豎直方向速度大小為v1時(shí)，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大答案BD解析v-t圖象中圖線與t軸包圍的面積表示位移的大小，第二次滑翔過程中v-t圖線與t軸所圍面積比第一次的大表示在豎直方向上的位移比第一次的大，A錯(cuò)誤；由圖a知落在雪道上時(shí)的水平位移與豎直位移成正比，再由A項(xiàng)分析知，B正確；從起跳到落到雪道上，第一次滑翔過程中豎直方向的速度變化比第二次的大，時(shí)間比第二次的短，由a＝eq\f(Δv,Δt)，可知第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的小，C錯(cuò)誤；v-t圖象的斜率表示加速度，豎直方向速度大小為v1時(shí)，第二次滑翔在豎直方向上的加速度比第一次的小，設(shè)在豎直方向上所受阻力為f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在豎直方向上受到的阻力比第一次的大，D正確。9．(2023·山東省臨沂市高三下二模)某軍事興趣小組在進(jìn)行無人機(jī)戰(zhàn)爭(zhēng)模擬撞擊訓(xùn)練中，無人機(jī)以10m/s的速度水平飛過地面A點(diǎn)正上方40m的位置時(shí)，收到操作員發(fā)出的指令，立即以5eq\r(2)m/s2的恒定加速度運(yùn)動(dòng)且恰好撞上A點(diǎn)。則無人機(jī)從收到指令到撞上A點(diǎn)所用時(shí)間為()A．3s B．3eq\r(2)sC．4s D．4eq\r(2)s答案C解析設(shè)無人機(jī)加速度沿水平方向和豎直方向的分量分別為ax、ay，無人機(jī)從收到指令到撞上A點(diǎn)所用時(shí)間為t，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，水平方向有v0t－eq\f(1,2)axt2＝0，豎直方向有h＝eq\f(1,2)ayt2，又aeq\o\al(2,x)＋aeq\o\al(2,y)＝a2，其中h＝40m，v0＝10m/s，解得t＝4s(t＝－4s舍去)，故選C。10．(2020·山東高考)單板滑雪U形池比賽是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目，其場(chǎng)地可以簡(jiǎn)化為如圖甲所示的模型：U形滑道由兩個(gè)半徑相同的四分之