試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江蘇省南京市第六十六中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期初熱身考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．的模為（

）A．1 B． C．2 D．1+2．已知集合是小于9的自然數(shù)，，則中元素個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．3 C．6 D．83．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線C的漸近線方程是，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．4．已知是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，則a的最小正值為（

）A． B． C． D．5．已知是定義在上的函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，則=（

）A．-5 B．-1 C．1 D．46．解決平面向量問題一個(gè)重要的定理：，的充要條件是三點(diǎn)共線.如圖所示，分別是的中點(diǎn)，則=（

）A．1 B．2 C． D．7．已知圓:與直線，直線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)可以作兩條互相垂直且與圓相切的直線，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知，若則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（

）A． B．C． D．二、多選題9．在正三棱柱中，各棱長(zhǎng)均為1，D為BC的中點(diǎn)，則（

）A．B．平面C．D．三棱柱外接球表面積為10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F作一條傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)(在第一象限)，與準(zhǔn)線垂直，垂足為.則（

）A．為等邊三角形B．C．D．11．已知中，，若，，則（

）A．B．C．D．的面積是三、填空題12．若直線是曲線的一條切線，則.13．若一個(gè)等差數(shù)列前4項(xiàng)的和等于4，后4項(xiàng)的和等于68，所有項(xiàng)的和為108，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)等于.14．有5個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地隨機(jī)取球，每次取1個(gè)球，至多取3次，如果取到數(shù)字5的球就停止取球.記X為這幾次取出的球中數(shù)字最大球的數(shù)字，則X的數(shù)學(xué)期望.四、解答題15．為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了若干人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病未患該疾病合計(jì)(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為，求關(guān)系；(2)在（1）的條件下，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析得出超聲波檢查結(jié)果與患該疾病有關(guān).求的最小值.（保留整數(shù)）附，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．已知數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記（為參數(shù)），若，求出，并求出數(shù)列的前項(xiàng)和.17．如圖所示，在四棱錐中，底面，平面平面，．(1)證明：；(2)設(shè)，，若二面角的平面角為，求.18．已知橢圓的離心率為，焦距為，以為三邊的三角形面積為.(1)求C的方程；(2)過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，求四邊形面積的最小值.19．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)恒成立，求的值答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《江蘇省南京市第六十六中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期初熱身考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案ACBDBBDDADACD題號(hào)11答案ACD1．A【分析】首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求模.【詳解】，所以.故選：A2．C【分析】先求出全集，再根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】由是小于9的自然數(shù)，，則.故選：C.3．B【分析】根據(jù)雙曲線C的漸近線方程得出的值，再根據(jù)即可得答案.【詳解】由題意，設(shè)雙曲線C的方程為．因?yàn)闈u近線方程為，依題意，，所以雙曲線C的離心率．故選：B.4．D【分析】由題意，解得，由此即可得解.【詳解】已知是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，則，解得，則a的最小正值為.故選：D.5．B【分析】利用已知條件求出函數(shù)周期，利用周期性結(jié)合對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間上的表達(dá)式求出結(jié)果.【詳解】已知，則，所以函數(shù)的一個(gè)周期為2.所以，因?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以.故選：B.6．B【分析】令，由三點(diǎn)共線，可得到一個(gè)向量等式，由三點(diǎn)共線可得到另一個(gè)等式，兩者結(jié)合可求，進(jìn)而得的值.【詳解】由三點(diǎn)共線，是的中點(diǎn)，得，①令，由三點(diǎn)共線，是的中點(diǎn)，可得，②比較①、②，得，解得．則.故選：B.7．D【分析】將題意轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離不大于半徑的倍，解不等式即可求解．【詳解】設(shè)兩切點(diǎn)為，則，由題意，則是正方形，故（為圓的半徑），因此只要直線上存在點(diǎn)，使得即可滿足題意．又，直線即，所以，解得，所以r的取值范圍是．故選：D8．D【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷各選項(xiàng)是否有可能成立.【詳解】因?yàn)?，，所以?由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的草圖如下：

當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，故A可能成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，故B可能成立；如圖：

當(dāng)時(shí)，，故C可能成立；當(dāng)時(shí)，若，則，不符合；若，則有，不符合；若，則有，不符合；若，則，不符合.所以當(dāng)時(shí)，不可能成立.故選：D9．AD【分析】對(duì)于A，由條件分別證明，，由線線垂直證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)即可證得；對(duì)于B，假設(shè)平面，由此推出，結(jié)合條件證得平面，由此得到，產(chǎn)生矛盾，排除B；對(duì)于C，結(jié)合錐體體積公式推出，由此可求體積，排除C；設(shè)為的外心，為的外心，為的中點(diǎn)，說明為三棱柱外接球球心，求出外接球的半徑，即得外接球的表面積.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槎嗝骟w為正三棱柱，則平面，因平面，故，又因正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為1，D為BC的中點(diǎn)，則，因平面，故平面，又平面，故，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)平面，平面，則，又，，平面，所以平面，又平面，所以，這與為等邊三角形矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榈拿娣e與的面積相等，且兩三角形同在平面中，故三棱錐的體積等于三棱錐的體積，即，又，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)為的外心，為的外心，為的中點(diǎn)，則與兩底面垂直，因，，故，即為三棱柱外接球的球心，又，，故，即外接球的半徑，故外接球表面積，D正確.故選：AD.10．ACD【分析】根據(jù)拋物線的定義，可判斷A的真假；寫出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義，可判斷BCD的真假.【詳解】對(duì)A：根據(jù)拋物線的定義可得，又軸，，所以，所以為等邊三角形，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，直線方程為：，代入拋物線方程得：，整理得：，所以，.根據(jù)拋物線的定義：，.所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：由AB可知，，所以，故D正確.故選：ACD11．ACD【分析】A選項(xiàng)，由正弦定理及題目條件得到，，則，，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得到A正確；B選項(xiàng)，先得到，又，，故；C選項(xiàng)，由正弦定理得到，結(jié)合勾股定理得到，從而得到C正確；D選項(xiàng)，由三角形面積公式可得D正確.【詳解】A選項(xiàng)，，，故，由正弦定理得，又，故，所以，又，故，則，，因?yàn)?，所以，A正確；B選項(xiàng)，，又，，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由勾股定理得，由正弦定理得，故，由B知，，則，即，C正確；D選項(xiàng)，的面積為，D正確.故選：ACD12．0【分析】先設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，因?yàn)橹本€是曲線的一條切線，所以，解得，所以，因?yàn)榍悬c(diǎn)為在直線上，所以.故答案為：013．12【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列，根據(jù)題意有，，兩式相加得，由等差數(shù)列的性質(zhì)，有，所以，解得.故答案為：12.14．/【分析】先確定的所有可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，再利用期望公式求解即可.【詳解】由題意可知，，對(duì)于，當(dāng)?shù)谝淮稳〉綍r(shí)，則概率為，當(dāng)?shù)诙稳〉綍r(shí)，則概率為，當(dāng)?shù)谌稳〉綍r(shí)，則概率為，所以；事件“”，等價(jià)于“進(jìn)行了3次抽樣，結(jié)果均在中且不全在中”，又每次抽樣結(jié)果的概率為，故。因此，，，.所以.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)古典概型公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案；（2）將代入列聯(lián)表，計(jì)算，根據(jù)題意，可得，即可得n的范圍，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）因?yàn)槌暡z查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為，所以，解得；（2）將代入列聯(lián)表可得：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病未患該疾病合計(jì)則，因?yàn)楦鶕?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，所以，解得，因?yàn)?，所以n的最小值為45，所以，所以m的最小值為18016．(1)證明見解析，(2)

【分析】（1）通過已知條件推出為常數(shù)，即可證明該數(shù)列為等差數(shù)列；（2）通過多項(xiàng)式相等求出，，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用與和的關(guān)系求前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即?所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.故，即.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所?即.所以，解得，.所以.數(shù)列的前項(xiàng)和.故.故，，.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由底面，證得，再由平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)定理，證得平面，進(jìn)而證得；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求得平面和的法向量和，結(jié)合二面角的平面角為，利用向量的夾角公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）由（1）易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，其中，因?yàn)榍遥傻?，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)槎娼瞧矫娼菫?，所以，整理得，解得又因?yàn)?，所以，即的長(zhǎng)為.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件解方程求解即可；（2）設(shè)直線的直線方程，聯(lián)立方程表示出弦長(zhǎng)，及四邊的面積，再化簡(jiǎn)應(yīng)用基本不等式計(jì)算得出面積的最小值.【詳解】（1）由已知可得，則所求橢圓方程．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，，從而．當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，同上可得，.設(shè)直線的斜率為，且，直線的方程為：，直線的方程為，設(shè)，，，，由，消去得，所以，，從而，由，消去得，所以，，從而，所以，因?yàn)?，則，則，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值，所以四邊形面積的最小值為．

19．(1)答案見解析(2)1【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況討論求解即可；（2）轉(zhuǎn)