1.4定積分與微積分基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)-2025-2026學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-2-人教B版2004授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容教材章節(jié)：人教B版選修2-2《1.4定積分與微積分基本定理》

內(nèi)容：本節(jié)課主要講解定積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法以及微積分基本定理。通過(guò)引入實(shí)際生活中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解定積分的物理意義，掌握定積分的計(jì)算方法，并能夠運(yùn)用微積分基本定理解決實(shí)際問(wèn)題。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的能力，提高學(xué)生運(yùn)用微積分基本定理解決實(shí)際問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題的意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.定積分的概念及物理意義：重點(diǎn)在于幫助學(xué)生理解定積分的定義，理解其在幾何和物理上的意義。

2.微積分基本定理：重點(diǎn)在于理解定理的內(nèi)容，掌握定理的應(yīng)用。

難點(diǎn)：

1.定積分與原函數(shù)的關(guān)系：難點(diǎn)在于理解原函數(shù)與定積分的關(guān)系，以及如何通過(guò)原函數(shù)求定積分。

2.定積分的計(jì)算方法：難點(diǎn)在于掌握積分技巧，能夠靈活運(yùn)用積分公式進(jìn)行計(jì)算。

解決辦法：

1.通過(guò)實(shí)例引入，幫助學(xué)生理解定積分的物理意義，通過(guò)類比法加深對(duì)概念的掌握。

2.通過(guò)對(duì)比原函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生理解定積分與原函數(shù)的關(guān)系。

3.通過(guò)練習(xí)和講解，教授積分技巧，如換元法、分部積分法等，提高學(xué)生計(jì)算定積分的能力。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（電腦、投影儀）、黑板或白板、教學(xué)軟件（如幾何畫(huà)板、數(shù)學(xué)軟件等）。

2.課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)、教育資源共享平臺(tái)。

3.信息化資源：定積分相關(guān)視頻教程、在線練習(xí)題庫(kù)、教學(xué)課件。

4.教學(xué)手段：實(shí)物演示（如微元法模型）、多媒體動(dòng)畫(huà)展示、小組討論、課堂提問(wèn)。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)**用時(shí)：45分鐘**

**一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘**）

1.創(chuàng)設(shè)情境：播放一段關(guān)于工程計(jì)算的視頻，展示在建筑、工程等領(lǐng)域中如何通過(guò)計(jì)算面積和體積來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

2.提出問(wèn)題：引導(dǎo)學(xué)生思考，在數(shù)學(xué)中我們是如何計(jì)算面積和體積的？如何將這些計(jì)算應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中？

3.引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)的積分概念，為定積分的學(xué)習(xí)做鋪墊。

**二、講授新課（25分鐘**）

1.定積分的概念及物理意義（10分鐘）：

-通過(guò)實(shí)例展示定積分在物理上的應(yīng)用，如計(jì)算物體的位移。

-引入微元法，講解定積分的定義。

-強(qiáng)調(diào)定積分的幾何意義，即表示由曲線圍成的面積。

-通過(guò)動(dòng)畫(huà)或圖形演示，幫助學(xué)生理解定積分的計(jì)算過(guò)程。

2.定積分的性質(zhì)（5分鐘）：

-講解定積分的線性性質(zhì)、保號(hào)性等基本性質(zhì)。

-通過(guò)舉例說(shuō)明性質(zhì)的應(yīng)用。

3.定積分的計(jì)算方法（10分鐘）：

-講解換元法、分部積分法等基本積分方法。

-通過(guò)例題展示積分方法的運(yùn)用。

4.微積分基本定理（5分鐘）：

-講解微積分基本定理的內(nèi)容和證明過(guò)程。

-通過(guò)實(shí)例說(shuō)明定理的應(yīng)用。

**三、鞏固練習(xí)（15分鐘**）

1.基礎(chǔ)練習(xí)（5分鐘）：

-學(xué)生獨(dú)立完成定積分計(jì)算題，教師巡視指導(dǎo)。

-對(duì)學(xué)生的答案進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和講解。

2.應(yīng)用練習(xí)（5分鐘）：

-提供實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定積分解決。

-學(xué)生分組討論，教師巡視指導(dǎo)。

3.課堂討論（5分鐘）：

-學(xué)生展示解題過(guò)程，教師點(diǎn)評(píng)。

-引導(dǎo)學(xué)生思考如何將定積分應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

**四、課堂提問(wèn)（5分鐘**）

1.提問(wèn)1（2分鐘）：回顧定積分的概念和物理意義，提問(wèn)學(xué)生如何用定積分描述物體的位移。

2.提問(wèn)2（2分鐘）：提問(wèn)學(xué)生定積分的計(jì)算方法有哪些，如何選擇合適的方法。

3.提問(wèn)3（1分鐘）：提問(wèn)學(xué)生微積分基本定理的應(yīng)用場(chǎng)景。

**五、師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（5分鐘**）

1.學(xué)生提問(wèn)環(huán)節(jié)（2分鐘）：

-學(xué)生提出在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題，教師進(jìn)行解答。

2.小組討論環(huán)節(jié)（3分鐘）：

-將學(xué)生分成小組，針對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行討論，教師巡回指導(dǎo)。

**六、總結(jié)與作業(yè)布置（5分鐘**）

1.總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

2.布置作業(yè)，要求學(xué)生完成課后練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《微積分學(xué)導(dǎo)論》：這本書(shū)深入淺出地介紹了微積分的基本概念、原理和方法，適合對(duì)微積分有更深入興趣的學(xué)生閱讀。

-《數(shù)學(xué)分析》：這是一本較為經(jīng)典的數(shù)學(xué)分析教材，涵蓋了微積分的基本理論和方法，適合有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

-《微積分與物理》：這本書(shū)結(jié)合了微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，通過(guò)實(shí)例講解了微積分在物理學(xué)中的重要作用，適合對(duì)物理和數(shù)學(xué)都感興趣的學(xué)生。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-學(xué)生可以嘗試解決一些定積分的實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算曲線圍成的面積、物體的位移等。

-引導(dǎo)學(xué)生探索定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，如計(jì)算經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的變化率、生物種群的增長(zhǎng)率等。

-鼓勵(lì)學(xué)生研究微積分在歷史發(fā)展中的地位和作用，了解微積分的起源和發(fā)展過(guò)程。

-學(xué)生可以嘗試使用計(jì)算機(jī)軟件（如MATLAB、Python等）進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算，加深對(duì)定積分計(jì)算方法的理解。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，通過(guò)與其他同學(xué)的交流和合作，提升自己的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新能力。

3.知識(shí)點(diǎn)拓展：

-探討定積分在概率論中的應(yīng)用，如計(jì)算概率密度函數(shù)、累積分布函數(shù)等。

-研究定積分在優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用，如求解最大值、最小值問(wèn)題。

-探索定積分在工程計(jì)算中的應(yīng)用，如計(jì)算結(jié)構(gòu)受力、流體動(dòng)力學(xué)等。

-研究定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，如計(jì)算經(jīng)濟(jì)指標(biāo)、分析經(jīng)濟(jì)趨勢(shì)等。

-探討定積分在生物學(xué)中的應(yīng)用，如計(jì)算種群增長(zhǎng)、疾病傳播等。

4.實(shí)用性拓展：

-學(xué)生可以通過(guò)學(xué)習(xí)定積分，提高自己在實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)學(xué)建模能力。

-通過(guò)學(xué)習(xí)微積分基本定理，學(xué)生可以更好地理解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、積分之間的關(guān)系。

-學(xué)生可以通過(guò)自主學(xué)習(xí)和探究，提升自己的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力。

-學(xué)生可以通過(guò)學(xué)習(xí)微積分在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，拓寬自己的知識(shí)面，為未來(lái)的學(xué)習(xí)和工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。板書(shū)設(shè)計(jì)①定積分的概念

-定積分的定義

-微元法的引入

-幾何意義：由曲線圍成的面積

②定積分的性質(zhì)

-線性性質(zhì)

-保號(hào)性

-可積性

③定積分的計(jì)算方法

-直接積分法

-換元積分法

-分部積分法

④微積分基本定理

-定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

-定積分的計(jì)算公式

-定積分的應(yīng)用

⑤定積分的實(shí)際應(yīng)用

-物理中的位移計(jì)算

-經(jīng)濟(jì)學(xué)中的變化率計(jì)算

-工程學(xué)中的面積和體積計(jì)算

⑥定積分的拓展

-微積分在概率論中的應(yīng)用

-微積分在優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用

-微積分在其他領(lǐng)域的應(yīng)用教學(xué)評(píng)價(jià)1.課堂評(píng)價(jià)：

-通過(guò)提問(wèn)，了解學(xué)生對(duì)定積分概念、性質(zhì)和計(jì)算方法的掌握程度。

-觀察學(xué)生在課堂上的參與度，包括提問(wèn)、回答問(wèn)題和小組討論的積極性。

-進(jìn)行小測(cè)驗(yàn)或隨堂練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的即時(shí)理解和應(yīng)用能力。

-通過(guò)學(xué)生的反饋和表情，評(píng)估學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受程度和興趣。

-及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解上的難點(diǎn)，調(diào)整教學(xué)策略，確保所有學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

-對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行細(xì)致批改，關(guān)注作業(yè)的正確性和解題思路。

-對(duì)作業(yè)中的錯(cuò)誤進(jìn)行詳細(xì)點(diǎn)評(píng)，指出錯(cuò)誤原因，并提供正確的解題方法。

-及時(shí)反饋?zhàn)鳂I(yè)結(jié)果，鼓勵(lì)學(xué)生在下一次作業(yè)中改進(jìn)。

-通過(guò)作業(yè)評(píng)價(jià)，了解學(xué)生對(duì)定積分知識(shí)的長(zhǎng)期記憶和應(yīng)用能力。

-鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)作業(yè)鞏固知識(shí)點(diǎn)，提高解題技巧，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

3.形成性評(píng)價(jià)：

-定期組織課堂討論和小組活動(dòng)，評(píng)估學(xué)生的合作能力和問(wèn)題解決能力。

-通過(guò)學(xué)生自評(píng)和互評(píng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)自身學(xué)習(xí)過(guò)程的反思和改進(jìn)。

-利用在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，收集學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，分析學(xué)生的學(xué)習(xí)行為和進(jìn)度。

4.總結(jié)性評(píng)價(jià)：

-在課程結(jié)束時(shí)，通過(guò)期末考試或綜合評(píng)價(jià)，全面評(píng)估學(xué)生對(duì)定積分知識(shí)的掌握情況。

-結(jié)合學(xué)生的課堂表現(xiàn)、作業(yè)成績(jī)和形成性評(píng)價(jià)結(jié)果，給出綜合評(píng)價(jià)。

-根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果，為學(xué)生提供個(gè)性化的學(xué)習(xí)建議，幫助他們制定未來(lái)的學(xué)習(xí)計(jì)劃。課后作業(yè)1.**計(jì)算定積分**

-作業(yè)：計(jì)算下列定積分：$\int_0^1x^2dx$

-答案：$\frac{1}{3}$

2.**應(yīng)用微積分基本定理**

-作業(yè)：已知函數(shù)$f(x)=x^2$，求$f'(x)$，并計(jì)算定積分$\int_1^4f'(x)dx$

-答案：$f'(x)=2x$，$\int_1^4f'(x)dx=\int_1^42xdx=2\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^4=2(8-\frac{1}{2})=15$

3.**換元積分法**

-作業(yè)：使用換元法計(jì)算定積分$\int_0^{\pi}\sin^2(x)dx$

-答案：設(shè)$u=\cos(x)$，則$du=-\sin(x)dx$，當(dāng)$x=0$時(shí)，$u=1$，當(dāng)$x=\pi$時(shí)，$u=-1$，因此$\int_0^{\pi}\sin^2(x)dx=-\int_1^{-1}u^2du=\int_{-1}^1u^2du=\frac{2}{3}$

4.**分部積分法**

-作業(yè)：使用分部積分法計(jì)算定積分$\intxe^xdx$

-答案：設(shè)$u=x$，$dv=e^xdx$，則$du=dx$，$v=e^x$，因此$\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C$

5.**實(shí)際應(yīng)用問(wèn)