2024-2025學年度第一學期高一期中測試數(shù)學試題本試卷共4頁，19小題，滿分150分注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.若集合，且，則（）A.10或13 B.13 C.4或7 D.7【答案】B【解析】【分析】利用元素與集合的關(guān)系計算即可.【詳解】當，即時，，此時與4重復，則.當，即時，.故選：B2.已知，則p是q的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】因為當時，成立，而當時，不一定成立，所以p是q的充分不必要條件.故選：B3.已知實數(shù)且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由等式得到關(guān)于的表達式，再由條件得到，進而分析各不等式得到的取值范圍，從而得解.【詳解】由，得，因為且，所以，所以由，得，所以，由，得，所以，由，得，綜上，，即.故選：B.4.已知，，，則以下不等式不成立的是（）A B.C D.【答案】D【解析】【分析】直接利用基本不等式即可判斷ACD，由，整理后利用不等式的性質(zhì)即可判斷B.【詳解】對于A，，當且僅當且，即時取等號，故A正確；對于B，由D選項證得，則有：，當且僅當時取等號，所以，即，故B正確（也可利用三元基本不等式，，相加得證）；對于C，，當且僅當，即時取等號，故C正確；對于D，因為，，，所以，所以，當且僅當時取等號，故D錯誤．故選：D．5.已知，，則的最大值是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】結(jié)合，利用不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，又，所以由不等式的可加性可得，故的最大值是2.故選：B.6已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析在各段區(qū)間上的值域，再根據(jù)條件由外而內(nèi)依次求得，從而得解.【詳解】因為，當時，；當時，；當時，；令，則由，得，由上述分析可得且，解得，即，所以且，解得.故選：D.7.函數(shù)為定義在上的減函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是定義域R上的減函數(shù)，且，然后比較與的大小關(guān)系，從而得出選項A錯誤；比較與的大小即可得出選項B錯誤；可得出，從而得出選項C正確；比較大小即可判斷D.【詳解】是定義在R上的減函數(shù)，，與的大小關(guān)系不能確定，從而關(guān)系不確定，故A錯誤；，時，；時，，故的關(guān)系不確定，故B錯誤；，，，故C正確．，時，；時，，故關(guān)系不確定，D錯誤，故選：C．8.定義在上的函數(shù)和的最小周期分別是和，已知的最小正周期為1，則下列選項中可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)，可知，然后根據(jù)每一個選項的，去求，判斷選項是否成立即可.【詳解】令，則有，若，則，此時，有，此時，故A錯誤；若，則，因為，此時，而的整數(shù)倍，相同的最小的數(shù)為，所以，此時，故B錯誤；若，則，因為，此時，而的整數(shù)倍，相同的最小的數(shù)為，所以，此時，故C錯誤；若，則，因為，此時，而的整數(shù)倍，相同的最小的數(shù)為，所以，此時，故D正確；故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：當兩個最小正周期不同的函數(shù)相互加或減的時候，形成的新函數(shù)的周期為初始兩個函數(shù)周期的整數(shù)倍，且相同的最小的數(shù).二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列各組中M，N表示不同集合的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】ABC【解析】【分析】由兩集合相等定義可判斷集合是否相同.【詳解】A選項，為數(shù)集，為點集，則兩集合不同，故A正確；B選項，為點集，為數(shù)集，則兩集合不同，故B正確；C選項，為數(shù)集，表示射線上的點，則兩集合不同，故C正確；D選項，兩集合均表示全體奇數(shù)，故兩集合相同，故D錯誤.故選：ABC10.對于實數(shù)，下列說法錯誤的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】對ABD，舉反例說明不等式不恒成立，對C，根據(jù)不等式的性質(zhì)，證明不等式恒成立.【詳解】對A：令，，則，但不成立，所以A錯誤；對B：令，，，，則，，但不成立，所以B錯誤；對C：由題意，根據(jù)不等式的性質(zhì)，有即，故C成立；對D：令，，，，則，，但不成立，所以D錯誤.故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.的圖象關(guān)于點對稱C.D.的一個周期為8【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可推出函數(shù)的對稱性，判斷AB；利用賦值法求出的值，結(jié)合對稱性可求，判斷C；結(jié)合函數(shù)奇偶性、對稱性可推出函數(shù)的周期，判斷D.【詳解】由于函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，則，即，則的圖象關(guān)于直線對稱，A正確；又為奇函數(shù)，則，即，故的圖象關(guān)于點對稱，B正確；由于，令，則，又的圖象關(guān)于直線對稱，故，C錯誤；又，，則，故，即，則，即的一個周期為8，D正確，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合元素的互異性分別討論集合中三個元素分別為1時的值，再計算即可；【詳解】因為，若時，，不符合元素的互異性；若，即或2時：當時，集合，不符合元素的互異性；當時，，不符合元素互異性；若，即或2時：當時，由以上可知不符合題意；當時，，符合；所以，所以，故答案為：.13.已知，則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】分子進行有理化，然后結(jié)合“1”的妙用，利用，即可結(jié)合基本不等式來求解最值.【詳解】由題知，，令，因為，所以，所以，，所以，當且僅當，即時取等，所以的最小值為.故答案為：.14.若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與單調(diào)性求解即可.【詳解】由題意，圖象的對稱軸為，因為在上是減函數(shù)，故，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合，，.（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得集合，由題意，得到，分和，兩種情況討論，結(jié)合集合的包含關(guān)系，列出不等式，即可求解；（2）先求得集合，結(jié)合，分類討論求得實數(shù)的范圍，進而求得時，實數(shù)的取值范圍，得到答案.【小問1詳解】由集合，，因為，可得，當時，即，解得，此時滿足；當時，要使得，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】由集合，，當時，即，解得，此時；當時，要使得，則滿足或，解得或，綜上可得，若時，實數(shù)的取值范圍為，所以，若時，可得實數(shù)的取值范圍為.16.（1），，求證：；（2）已知，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用作差法結(jié)合已知條件證明即可；（2）令，整理后求出，然后利用不等式的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】（1），因為，所以，又，所以，即.（2）令，所以，解得，所以，因為，所以，又，所以，故的取值范圍為.17.（1）已知，求的最大值；（2）已知，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）依題意可得，利用基本不等式計算可得.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以當，時取得最大值；（2）因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.18.已知，，且.（1）求ab的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)基本不等式，即可求解；（2）根據(jù)，代入，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值.【小問1詳解】，，得，當時，等號成立，所以的最大值為2；【小問2詳解】，，當時，時，取得最小值.19.已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若，對，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用分類討論的思想求解含有參數(shù)的不等式的解集.（2）