易錯點04對曲線運動的分析存在誤區(qū)

目錄

01易錯陷阱

易錯點一：不會運用運動的合成與分解求解兩種模型

易錯點二：對拋體運動理解有誤

易錯點三：對圓周運動理解有誤

02易錯知識點

知識點一、繩桿末端速度分解的三種方法

知識點二、常見斜面平拋模型與結論

類型一：沿著斜面平拋

類型二：垂直撞斜面平拋運動

類型三：撞斜面平拋運動中的最小位移問題

知識點三、水平方向上的圓周運動

知識點四、豎直面內“繩、桿（單、雙軌道）”模型對比

知識點五、豎直面內圓周運動常見問題與二級結論

03舉一反三——易錯題型

題型一：對繩、桿端速度進行分解

題型二：平拋運動與斜面、曲面的結合

題型三：多體平拋運動

題型四：斜拋運動

題型五：水平面上的圓周運動（圓錐擺，圓碗……）

題型六：豎直面的繩、桿模型及臨界條件

04易錯題通關

易錯點一：不會運用運動的合成與分解求解兩種模型

1．解決小船渡河問題掌握“三模型、兩方案、兩確定”

（1）小船渡河三種模型

當船頭方向垂直河岸時，渡河時間最短，最

渡河時間最短d

短時間tmin＝

v船

如果v船>v水，當船頭方向與上游河岸夾角θ

滿足v船cosθ＝v水時，合速度垂直河岸，渡

河位移最短，等于河寬d

渡河位移最短

如果v船<v水，當船頭方向(即v船方向)與合

速度方向垂直時，渡河位移最短，等于dv水

v船

2.繩（桿）關聯(lián)速度問題

（1）易錯注意點

①繩或桿質量忽略不計

②繩或桿不可伸長

③沿繩(桿)方向的速度分量大小相等．

（2）思路方法

合運動（實際發(fā)生的運動）→合速度→繩(桿)拉物體的實際運動速度v

其一：沿繩桿的速度v1

分運動（對合運動沿某方向分解的運動）→分速度→

其二：與繩桿垂直的速度v2

方法：v1與v2的合成遵循平行四邊形定則．

（3）繩、桿末端速度分解四步

①找到合運動——物體的實際運動；②確定分運動——沿繩(桿)和垂直于繩(桿)；③作平行四邊形；

④根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。

易錯點二：對拋體運動理解有誤

1．平拋(或類平拋)運動所涉及物理量的特點

物理量公式決定因素

取決于下落高度和重力加

2hh

飛行時間t＝

g速度g，與初速度v0無關

由初速度、下落高度和重

2hv0h

水平射程x＝v0t＝v0

g力加速度g共同決定

與初速度v0、下落高度h和重

222

落地速度vt＝vx＋vy＝v0＋2gh

力加速度g有關

Δv＝gΔt，方向恒為豎直向下

由重力加速度g和時間間隔

速度改變量

Δt共同決定

2．平拋運動中物理量的關系圖

兩個三角形，速度與位移；

九個物理量，知二能求一；

時間和角度，橋梁和紐帶；

時間為明線，角度為暗線。

3．平拋運動常用三種解法

正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出；

?

①?0=?2?

分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出v=v0/cosθ；

推論法：若已知h、x，可求出tanθ=2tanα=2h/x；

②22

動能定理法：若已知h、v0，動能定理：mgh=?mv-?mv0，可求出。

2

③?=?0+2??

4.平拋運動中的臨界、極值問題

在平拋運動中，由于時間由高度決定，水平位移由高度和初速度決定，因而在越過障礙物時，有可

能會出現(xiàn)恰好過去或恰好過不去的臨界狀態(tài)，還會出現(xiàn)運動位移的極值等情況．

1．若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點．

2．若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這

些“起止點”往往就是臨界點．

3．若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值點，這些極值點也

往往是臨界點．

易錯點三：對圓周運動理解有誤

v22π

1．勻速圓周運動的向心力公式為F＝m＝mω2r＝mr()2.

rT

2．物體做勻速圓周運動的條件：合力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，提供物體做

圓周運動的向心力．

易錯分析

3．向心力是效果力：向心力是根據力的作用效果命名的，不是性質力，它可以是重力、彈力、摩擦

力等各種性質的力，也可以是它們的合力，或某個力的分力．注意在分析物體受力時，不能說物體

還受一個向心力的作用，向心力可以是某一種性質力，也可以是幾個性質力的合力或某一性質力的

分力．

知識點一、繩桿末端速度分解的三種方法

方法一、微元法

要求船在該位置的速率即為瞬時速率，需從該時刻起取一小段時間來求它的平均速率，當這一小段

時間趨于零時，該平均速率就為所求速率。

如圖所示，設船在θ角位置經t時間向左行駛x距離，滑輪右側的繩長縮短L，當繩與水平方向

的角度變化很小時，ABC可△近似看做是一直△角三角形，因而有L=xcosθ△，兩邊同除以t得：

△△△△

，即收繩速率v0=vAcosθ，因此船的速率為：vA=υ0/cosθ。

方法二、效果分解法

首先確定合運動，即物體實際運動；其次確定物體A的兩個分運動。兩個分運動：一是沿繩的方向

被牽引，繩長縮短。繩長縮短的速度即等于v1=v0；二是隨著繩以定滑輪為圓心的擺動，它不改變繩

長，只改變角度θ的值。這樣就可以將vA按圖示方向進行分解。所以v1及v2實際上就是vA的兩個分

速度，如圖所示，由此可得vA=υ0/cosθ。

方法三、功率等值法

由題意可知：人對繩子做功等于繩子對物體所做的功，即二者做功的功率相等。人對繩子的拉力為

F，則對繩子做功的功率為P1=Fv0；繩子對物體的拉力，由定滑輪的特點可知，拉力大小也為F，則

繩子對物體做功的功率為P2=FvAcosθ，因為P1=P2所以vA=v0/cosθ。

知識點二、常見斜面平拋模型與結論

類型一：沿著斜面平拋

1.斜面上平拋運動的時間的計算

斜面上的平拋(如圖)，分解位移（位移三角形）

x＝v0t，

1

y＝gt2，

2

y

tanθ＝，

x

2v0tanθ

可求得t＝。

g

2.斜面上平拋運動的推論

根據推論可知，tanα=2tanθ，同一個斜面同一個θ，所以，無論平拋初速度大小如何，落到斜面速度

方向相同。

3.與斜面的最大距離問題

【構建模型】如圖所示，從傾角為θ的斜面上的A點以初速度v0水平拋出一個物體，物體落在斜面

上的B點，不計空氣阻力．

法一：(1)以拋出點為坐標原點，沿斜面方向為x軸，垂直于斜面方向為y軸，建立坐標系，如圖(a)

所示

vx＝v0cosθ，vy＝v0sinθ，

ax＝gsinθ，ay＝gcosθ.

物體沿斜面方向做初速度為vx、加速度為ax的勻加速直線運動，垂直于斜面方向做初速度為vy、加

速度為ay的勻減速直線運動，類似于豎直上拋運動．

v0tanθ

令v′y＝v0sinθ－gcosθ·t＝0，即t＝.

g

v0tanθ2v0tanθ

(2)當t＝時，物體離斜面最遠，由對稱性可知總飛行時間T＝2t＝，

gg

2

122v0tanθ

A、B間距離s＝v0cosθ·T＋gsinθ·T＝.

2gcosθ

法二：(1)如圖(b)所示，當速度方向與斜面平行時，離斜面最遠，v的切線反向延長與v0交點為此

時橫坐標的中點P，

12

ygt

則＝＝2，＝v0tanθ

tanθ1t.

x1g

v0t

22

2222

1v0tanθ2v0tanθAD

(2)AC＝y(tǒng)＝gt2＝，而ACCD＝13，所以AD＝4y＝，A、B間距離s＝＝

22ggsinθ

2∶∶

2v0tanθ

.

gcosθ

法三：(1)設物體運動到C點離斜面最遠，所用時間為t，將v分解成vx和vy，如圖(c)所示，則由tan

vygtv0tanθ

θ＝＝，得t＝.

vxv0g

(2)設由A到B所用時間為t′，水平位移為x，豎直位移為y，如圖(d)所示，由圖可得

y

tanθ＝，y＝xtanθ

x

1①

y＝gt′2

2

②

x＝v0t′

2v0tanθ

由式得：t′＝③

g

2

①②③2v0tanθ

而x＝v0t′＝，

g

2

x2v0tanθ

因此A、B間的距離s＝＝.

cosθgcosθ

類型二：垂直撞斜面平拋運動

方法：分解速度．

vx＝v0，

vy＝gt，

vxv0

tanθ＝＝，

vygt

v0

可求得t＝.

gtanθ

底端正上方平拋撞斜面中的幾何三角形

類型三：撞斜面平拋運動中的最小位移問題

過拋出點作斜面的垂線，如圖所示，

當小球落在斜面上的B點時，位移最小，設運動的時間為t，則

水平方向：x＝hcosθ·sinθ＝v0t

12gh2h

豎直方向：y＝hcosθ·cosθ＝gt，解得v0＝sinθ，t＝cosθ.

22g

知識點三、水平方向上的圓周運動

1．結構特點：一根質量和伸長可以不計的輕細線，上端固定，下端系一個可以視為質點的擺球在水

平面內做勻速圓周運動，細繩所掠過的路徑為圓錐表面。

2．受力特點：擺球質量為，只受兩個力即豎直向下的重力和沿擺線方向的拉力。兩個力的

合力，就是擺球做圓周運動的向心力，如圖所示（也可以理解為拉力的豎直分力?與擺球的重

?Fn??FT?

力平衡，的水平分力提供向心力）。

FT

4．運動特點：擺長為，擺線與豎直方向的夾角為的圓錐擺，擺球做圓周運動的圓心是O，圓周運

動的軌道半徑是??

?=?????

向心力合

22

?=??????=???=???????=??/(?????)

擺線的拉力

??=??/????

【討論】：(1)當擺長一定，擺球在同一地點、不同高度的水平面內分別做勻速圓周運動時，據

可知，若角速度越大，則越大，擺線拉力也越大，向心加速度????=

2

??

?也/越(?大?，)線速度?=?也越大。?=??/?????=?????

?=????????????

結論是：同一圓錐擺，在同一地點，若越大，則擺線的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越

大，轉動的越快，運動的也越快，。?

(2)當為定值時（為擺球的軌道面到懸點的距離h，即圓錐擺的高度），擺球的質量相

??????????=?

等、擺長不等的圓錐擺若在同一水平面內做勻速圓周運動，則擺線拉力，向心力合

?

，向心加速度，角速度，線速度?=??/???。??=

????????=??????=?/??=??=??????

結論是：在同一地點，擺球的質量相等、擺長不等但高度相同的圓錐擺，轉動的快慢相等，但角

大的圓錐擺，擺線的拉力大，向心力大，向心加速度大，運動得快。?

知識點四、豎直面內“繩、桿（單、雙軌道）”模型對比

輕繩模型（沒有支撐）輕桿模型（有支撐）

常見

類型

v2

過最高點的臨由mg＝m得v臨＝gr由小球能運動即可得v臨＝0

r

界條件

對應最低點速度v低≥對應最低點速度v低≥

繩不松不脫軌5??4??

v低≥或v低≤不脫軌

條件

5??2??

22

F低-mg=mv低/rF低-mg=mv低/r

最低點彈力

22

F低=mg+mv低/r，向上拉力F低=mg+mv低/r，向上拉力

(1)當v＝0時，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為向上支持力

v2

(2)當0＜v＜gr時，－FN＋mg＝m，F(xiàn)N向

v2r

過最高點時，v≥gr，F(xiàn)N＋mg＝m，

r

上支持力，隨v的增大而減小

最高點彈力v2

繩、軌道對球產生彈力FN＝m-mg

r(3)當v＝gr時，F(xiàn)N＝0

向下壓力v2

(4)當v＞gr時，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N為向下壓

r

力并隨v的增大而增大

在最高

點的FN

取豎直向下為正方向

圖線取豎直向下為正方向

知識點五、豎直面內圓周運動常見問題與二級結論

【問題1】一個小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內側做完整的圓周運動，軌道的最高點記為A和最

低點記為C，與原點等高的位置記為B。圓周的半徑為

要使小球做完整的圓周運動，當在最高點的向心力恰?好等于重力時，由可得

A2

?

??=?????①

對應C點的速度有機械能守恒得

1212

2?2??

當小球在C點時給小球一個水平??向2左?=的速?度?若?小球??恰能?到達=與5O??點②等高的D位置則由機械能守恒

得

12

???=2?????=2??③

小結：(1).當時小球能通過最高點A小球在A點受軌道向內的支持力由牛頓第二定律

??>5????+

2

??

??=??④

當時小球恰能通過最高點小球在點受軌道的支持力為由牛頓第二定律。

(2).AA02

??

??=5????=??

(⑤3).當時小球不能通過最高點A小球在A點，上升至DA圓弧間的某一位向右做

斜拋運動2?離?開<圓??周<，且5?v?越大離開的位置越高，離開時軌道的支持力為0

在段射重力與半徑方向的夾角為則、

DA2

??

(4).當時小球不能通過?最高?點??A??上?升=至?C?D圓??弧??的=某?一位置速度減為0之后沿圓弧返

回。上0升<的?最?≤高點2為??C永不脫離軌道

【問題2】常見幾種情況下物體受軌道的作用力

(1)從最高點A點靜止釋放的小球到達最低點C：由機械能守恒

12

??2?=2???

在點由牛頓運動定律：得

C2

??

?????=????=5??⑥

(2)從與O等高的D點（四分之一圓?。┨庫o止釋放到達最低點C：由機械能守恒

12

???=2???

在點由牛頓運動定律：得

C2

??

??

(3)從A點以初速度??釋?放?小=球?到?達最?低點=3??⑦

?

由機械能守恒?=??

1212

??2?=2????2???

在點由牛頓運動定律：得

C2

??

?????=????=6??⑧

題型一：對繩、桿端速度進行分解

【例1】（2024?荊門三模）如圖所示，一輛貨車利用跨過光滑定滑輪的輕質不可伸長的纜繩提升一

箱貨物，已知貨箱的質量為m0，貨物的質量為m，貨車向左做勻速直線運動，在將貨物提升到

圖示的位置時，貨箱速度為v，連接貨車的纜繩與水平方向夾角為，不計一切摩擦，下列說法正

確的是（）θ

A．貨車的速度等于vcos

B．貨物處于失重狀態(tài)θ

C．纜繩中的拉力FT大于（m0+m）g

D．貨車對地面的壓力大于貨車的重力

【變式1-1】（2024?錦江區(qū)校級模擬）為了減小關后備箱時箱蓋和車體間的沖力，在箱蓋和車體間安

裝液壓緩沖桿，其結構如圖所示。當液壓桿AO2長度為L時，AO2和水平方向夾角為75°，AO1

和水平方向夾角為45°，A點相對于O1的速度是vA，則A點相對于O2的角速度為（）

A．B．C．D．

3????2??2??

【變式】（?浙江模擬）如圖所示，有一半徑為的圓環(huán)在一水平地面上向右運動，且其圓心

12-2?20242?2r?3?

速度大小為v?，F(xiàn)有一木板，左端固定于地面之上，同時還搭于圓環(huán)之上，且木板與地面所成銳

角為。則木板轉動的角速度為（）

θω

A．B．

????

??????????????

C．?2D．?2

????

??????????????

【變式?1-3】（22024?西城區(qū)校級模擬）如圖所示，小球?A、B用2一根長為L的輕桿相連，豎直放置在

光滑水平地面上，小球C挨著小球B放置在地面上。由于微小擾動，小球A沿光滑的豎直墻面

下滑，小球B、C在同一豎直面內向右運動。當桿與墻面夾角為，小球A和墻面恰好分離，最

后小球A落到水平地面上。下列說法中不正確的是（）θ

A．當小球A的機械能取最小值時，小球B與小球C的加速度為零

B．小球A由靜止到與墻面分離的過程中，小球B的速度先增大后減小

C．當小球A和墻面恰好分離時，小球B與小球C也恰好分離

D．當小球A和墻面恰好分離時，A、B兩球的速率之比為tan：1

θ

題型二：平拋運動與斜面、曲面的結合

【例2】（2024?五華區(qū)校級模擬）國家跳臺滑雪中心是中國首座跳臺滑雪場館，主體建筑靈感來自

于中國傳統(tǒng)飾物“如意”，因此被形象地稱作“雪如意”。如圖所示，現(xiàn)有甲、乙兩名可視為質點

的運動員從跳臺a處先后沿水平方向向左飛出，初速度大小之比為2：3，不計空氣阻力，則甲、

乙從飛出至落到斜坡（可視為斜面）上的過程中，下列說法正確的是（）

A．甲、乙飛行時間之比為3：2

B．甲、乙飛行的水平位移之比為4：9

C．甲、乙在空中豎直方向下落的距離之比為2：3

D．甲、乙落到坡面上的瞬時速度方向與水平方向的夾角之比為2：3

【變式2-1】（2024?德州模擬）如圖所示，把一小球從斜面上先后以相同大小的速度拋出，一次水平

拋出，另一次拋出的速度方向與斜面垂直，兩小球最終都落到斜面上，水平拋出與垂直斜面拋出

落點到拋出點的距離之比為（）

A．1：2B．2：1C．1：1D．1：3

【變式2-2】（2024?觀山湖區(qū)校級模擬）如圖所示為固定的半圓形豎直軌道，AB為水平直徑，O為

圓心，現(xiàn)同時從A、B兩點水平相向拋出甲、乙兩個小球，其初速度大小分別為v1、v2，且均落

在軌道上的C點，已知OC與豎直方向的夾角＝30°，忽略空氣阻力，兩小球均可視為質點。

則下列說法正確的是（）θ

A．甲、乙兩球不會同時落到軌道上

B．兩者初速度關系為v1＞v2

C．整個下落過程，甲球速度變化量大于乙球速度變化量

D．甲球可沿半徑方向垂直打在軌道上C點

【變式2-3】（多選）（2023??？谌＃┤鐖D所示，DOE為豎直半圓，O為圓周的最低點，B、C關

于過O點的豎直線左右對稱?，F(xiàn)從D點分別水平拋出三個小球a、b、c，其落點分別為圓周上的

A、B、C三點。不計空氣阻力，則下列說法正確的是（）

A．飛行時間最短的是小球c

B．飛行位移最小的是小球a

C．三個小球飛行的加速度大小關系為aa＜ab＝ac

D．小球c的初速度比小球b的初速度大

題型三：多體平拋運動

【例3】（2024?南京二模）如圖所示，在同一豎直面內，物塊1從a點以速度v1水平拋出，同時物

塊2從b點以速度v2拋出，兩物塊在落地前相遇，兩物塊均視為質點，除重力外不受其他作用力。

下列說法正確的是（）

A．相遇點在二者初速度連線交點的正下方

B．只改變v1的大小，兩物塊仍可相遇

C．只改變v2的大小，兩物塊仍可相遇

D．只把v2的方向向左轉動，兩物塊仍可相遇

【變式3-1】（2023?鐵東區(qū)校級二模）如圖所示，A、B兩小球從相同高度同時水平拋出，經過時間

t在空中相遇，若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?，不計空氣阻力，則兩球從拋出到相遇的過程中，

1

下列說法正確的是（）2

A．相遇時間變?yōu)?/p>

?

B．相遇時間變?yōu)?

?

C．相遇點的高度下2降了

32

??

D．相遇點的位置在原來2的左下方

【變式3-2】如圖所示，兩人各自用吸管吹黃豆，甲黃豆從吸管末端P點水平射出的同時乙黃豆從另

一吸管末端M點斜向上射出，經過一段時間后兩黃豆在N點相遇，曲線1和2分別為甲、乙黃

豆的運動軌跡。若M點在P點正下方，M點與N點位于同一水平線上，且PM長度等于MN的

長度，不計黃豆的空氣阻力，可將黃豆看成質點，則（）

A．兩黃豆相遇時，甲的速度與水平方向的夾角的正切值為乙的兩倍

B．甲黃豆在P點速度與乙黃豆在最高點的速度不相等

C．兩黃豆相遇時甲的速度大小為乙的兩倍

D．乙黃豆相對于M點上升的最大高度為PM長度一半

【變式3-3】（2024?安康模擬）如圖所示，小球從O點的正上方離地h＝40m高處的P點以v1＝10m/s

的速度水平拋出，同時在O點右方地面上S點以速度v2斜向左上方與地面成＝45°拋出一小球，

兩小球恰在O、S連線靠近O的三等分點M的正上方相遇。若不計空氣阻力θ，則兩小球拋出后到

相遇過程中所用的時間為（）

A．1sB．C．2sD．3s

2?

題型四：斜拋運動

【例4】（2024?朝陽區(qū)校級模擬）如圖為煙花在空中的運動軌跡，虛線為軌跡上a、b、c三點的切線，

其中最高點b的切線方向水平，c點的切線方向豎直，可知該煙花（）

A．由a點運動到c點過程中，水平方向做勻速運動

B．由b點到c點做平拋運動

C．在b點的加速度方向豎直向下

D．在b點處于失重狀態(tài)

【變式4-1】（2024?南昌一模）一住宅陽臺失火，消防員用靠在一起的兩支水槍噴水滅火，如圖所示

甲水柱射向水平陽臺近處著火點A，乙水柱射向水平陽臺遠處清火點B，兩水柱最高點在同一水

平線上，不計空氣阻力，甲、乙水柱噴出時的速度大小分別為v1、v2，甲、乙水柱在空中運動的

時間分別為t1、t2。以下判斷正確的是（）

A．v1＞v2，t1＝t2B．v1＜v2，t1＝t2

C．v1＞v2，ι1＜t2D．v1＜v2，t1＜t2

【變式4-2】（2024?江蘇模擬）如圖所示，從水平面上A點以傾角為斜向上方拋出一小球，拋出時

速度大小為v0，小球落到傾角為的斜面上C點時，速度方向正好α與斜面垂直，B為小球運動的

最高點，已知重力加速度為g，則θ（）

A．小球在B點的速度大小為v0sin

B．小球從A點運動到B點的時間為α

?0????

C．小球落到C點前瞬間豎直方向的速度?為

?0????

D．小球從B點運動到C點的時間為????

?0????

【變式4-3】（2024?東莞市校級模擬）過?水??門??儀式是國際民航中最高級別的禮儀。如圖所示，“過水

門”儀式中的“水門”是由兩輛消防車噴出的水柱形成的。兩條水柱形成的拋物線對稱分布，且

剛好在最高點相遇。已知兩水柱均沿與水平方向成45°角噴出，且從噴出到在最高點相遇所用時

間為3s。重力加速度g取10m/s2，忽略空氣阻力和水流之間的相互作用，下列說法正確的是（）

A．“水門”的高度一定為90m

B．“水門”的跨度一定為180m

C．在最高點相遇時，水柱的速度為零

D．水噴出的瞬間，速度水平方向分量為15m/s

題型五：水平面上的圓周運動（圓錐擺，圓碗……）

【例5】（2023?朝陽區(qū)一模）如圖所示，可視為質點的小球用輕質細繩懸掛于B點，使小球在水平

面內做勻速圓周運動?，F(xiàn)僅增加繩長，保持軌跡圓的圓心O到懸點B的高度不變，小球仍在水平

面內做勻速圓周運動。增加繩長前后小球運動的角速度、加速度以及所受細繩的拉力大小分別為

1、a1、F1和2、a2、F2。則（）

ωω

A．1＝2B．a1＞a2C．F1＝F2D．F1＞F2

【變式ω5-1】（ω2023?河北一模）如圖所示，光滑水平板開有小孔，頂角＝60°的光滑圓錐的頂點緊

靠著小孔，圓錐的高位于豎直面。質量相同的小球用穿過小孔的輕繩θ連接，兩球分別位于水平板

和圓錐側面上。為了保證小球Q的高度不變且剛好不脫離圓錐面，讓兩小球分別做勻速圓周運動。

重力加速度為g，則小球P、Q做勻速圓周運動的向心加速度的差值為（）

A．B．C．0D．

13?23

【變式?】（多選）（?郴州模擬?）如圖所示。在勻速轉動的水平圓盤上，?沿直徑方向放著用輕

25-2202323

繩相連的物體A和B，A和B質量都為m。它們分居圓心兩側，與圓心的距離分別為RA＝r，RB

＝3r，A、B與盤間的動摩擦因數相同且均為。若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當圓盤轉速從

零開始逐漸加快到兩物體剛好要發(fā)生但還未發(fā)μ生滑動時，下列說法正確的是（）

A．繩子的最大張力為FT＝2mg

μ

B．當A所受的摩擦力為零時，圓盤的角速度為

2??

C．隨著角速度的增大，A所受摩擦力的方向和大ω小=都會?變化，而B所受的摩擦力方向不變

D．隨著角速度的增大，A所受的摩擦力一直減小，而B所受的摩擦力一直增大

【變式5-3】（多選）（2024?博望區(qū)校級模擬）通用技術課上，某興趣小組制作了一個小球爬桿裝置，

如圖所示，豎直桿OM與光滑桿ON均固定在電動機底座上，且ON與水平面間的夾角＝60°，

一彈簧上端固定在OM桿上的P點，下端與穿在ON桿上質量為m的小球相連。裝置靜α止時彈簧

與豎直方向間的夾角＝30°，當電動機帶動底座開始轉動時，小球開始爬桿。已知OP兩點間的

距離為L，重力加速度β為g。則（）

A．裝置靜止時桿對小球的彈力方向垂直桿ON斜向下

B．裝置靜止時彈簧彈力的大小為mg

C．裝置靜止時桿對小球的彈力大小為

3??

D．電動機轉動后，當小球穩(wěn)定在與P點等高的位置時桿的角速度為

6?

?

題型六：豎直面的繩、桿模型及臨界條件

【例6】（多選）（2024?南昌模擬）如圖所示，一物塊放在水平木板上，現(xiàn)用木板托住物塊一起繞O

點在豎直平面內做半徑為R的勻速圓周運動，角速度大小為，物塊與木板之間的動摩擦因數為

，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。若在運動ω過程中物塊和木板始終保持相對靜

μ止且木板始終保持水平，則下列說法正確的是（）

A．在圓心等高處時物塊受到的摩擦力為mg

B．在圓心等高處時物塊受到的摩擦力為μm2R

ω

C．的最大值為

??

ω?

D．的最大值為

??

ω2

?1+?

【變式6-1】（2024?西城區(qū)一模）如圖1所示，長為R且不可伸長的輕繩一端固定在O點，另一端

系一小球，使小球在豎直面內做圓周運動。由于阻力的影響，小球每次通過最高點時速度大小不

同。測量小球經過最高點時速度的大小v、繩子拉力的大小F，作出F與v2的關系圖線如圖2所

示。下列說法中正確的是（）

A．根據圖線可以得出小球的質量

??

?=

B．根據圖線可以得出重力加速度?

?

C．繩長不變，用質量更小的球做實?=驗?，得到的圖線斜率更大

D．用更長的繩做實驗，得到的圖線與橫軸交點的位置不變

【變式6-2】（2024?洛陽一模）如圖（甲），輕桿一端與一小球相連，另一端連在光滑固定軸上?，F(xiàn)

使小球在豎直平面內做圓周運動，到達某一位置開始計時，取水平向右為正方向，小球的水平分

速度vx隨時間t的變化關系如圖（乙）所示。不計空氣阻力，下列說法正確的是（）

A．在t1時刻小球通過最低點

B．圖（乙）中S1面積的數值為0.8m

C．圖（乙）中S1和S2的面積不相等

D．圖線第一次與橫軸的交點對應小球的速度為4m/s

【變式6-3】（2024?安徽模擬）如圖所示，一滑塊（可視為質點）在水平力F的作用下由靜止沿粗糙

水平直軌道AB開始運動，該力的功率恒定，達到最大速度后，撤掉該力，滑塊繼續(xù)前進一段距

離后進入豎直光滑半圓軌道BCD，并恰好通過該軌道最高點D，然后進入光滑半圓管道DEF，

最終停在粗糙水平直軌道FG上。已知水平力的恒定功率為10W，滑塊的質量為0.2kg，滑塊與

軌道AB的動摩擦因數為0.5，半圓軌道BCD的半徑R＝0.5m，重力加速度g取10m/s2，下列說

法正確的是（）

A．滑塊在D點的速度大小為

B．半圓管道DEF的半徑r可能1為0?0/.1?5m

C．在軌道AB上，滑塊的最大速度為10m/s

D．在軌道AB上，滑塊減速過程的距離為2.5m

1.（2024?黃州區(qū)校級二模）如圖所示，小球A從地面向上斜拋，拋出時的速度大小為10m/s，方

向與水平方向夾角為53°，在A拋出的同時有小球B從某高處自由下落，當A上升到最高點

時恰能擊中下落的B，不計空氣阻力，sin53°＝0.8，重力加速度g取10m/s2。則A、B兩球初

始距離是（）

A．4.8mB．6.4mC．8.0mD．11.2m

2.（2024?順慶區(qū)校級模擬）如圖所示，陽光垂直照射到斜面草坪上，在斜面頂端把一高爾夫球水

平擊出讓其在與斜面垂直的面內運動，小球剛好落在斜面底端。B點是運動過程中距離斜面的

最遠處，A點是在陽光照射下小球經過B點的投影點，不計空氣阻力，則（）

A．小球在斜面上的投影做勻速運動

B．OA與AC長度之比為1：3

C．若斜面內D點在B點的正下方，則OD與DC長度不等

D．小球在B點的速度與整個段平均速度大小相等

3.（2024?清江浦區(qū)模擬）金秋九月，正是收割玉米的季節(jié)，加工過程中，農民會采用如圖甲所示

的傳送帶裝置。具體過程如圖乙所示，將收割曬干的玉米投入脫粒機后，玉米粒從靜止開始被

傳送到底端與脫粒機相連的順時針勻速轉動的傳送帶上，一段時間后和傳送帶保持靜止，直至

從傳送帶的頂端飛出，最后落在水平地面上，農民迅速裝袋轉運。提升了加工轉運的效率。已

知傳送帶與水平方向的夾角為、頂端的高度為h，玉米粒相對于傳送帶頂端的最大高度也是h，

θ

重力加速度為g，若不計風力，空氣阻力和玉米粒之間的相互作用力，下列說法正確的是（）

A．玉米粒在傳送帶上時，所受摩擦力始終不變

B．玉米粒落地點與傳送帶底端的水平距離為

(2+22)?

C．傳送帶的速度大小為????

2??

D．玉米粒飛出后到落地所???用?的時間為

?

3

4.（2024?合肥三模）如圖所示，在某次跳?臺滑雪比賽中，運動員以初速度v0從跳臺頂端A水平

飛出，經過一段時間后落在傾斜賽道上的B點，運動員運動到P點時離傾斜賽道最遠，P點到

賽道的垂直距離為PC，P點離賽道的豎直高度為PD，賽道的傾角為，重力加速度為g，空氣

阻力不計，運動員（包括滑雪板）視為質點。則C、D兩點間的距離θ是（）

A．B．

2222

?0?????????0????????

C．2?D．?

222222

?0?????????0????????

5.（2024?2鹽?城三模）飛鏢扎氣球是一種民間?娛樂游戲項目，其示意圖如圖甲所示，靶面豎直固定，

O點為鏢靶中心，OP水平、OQ豎直，靶面圖如圖乙所示。若每次都在空中同一位置M點水平

射出飛鏢，且M、O、Q三點在同一豎直平面，忽略空氣阻力。關于分別射中靶面O、P、Q三

點的飛鏢，下列說法錯誤的是（）

A．射中O點的飛鏢射出時的速度最小

B．射中P點的飛鏢射出時的速度最大

C．射中Q點的飛鏢空中飛行時間最長

D．射中O、P兩點的飛鏢空中飛行時間相等

6.（2024?浙江二模）如圖在水平地面上放置一邊長為0.8m的正方形水箱，一水管可在ABCD面

內繞A點轉動≤90°，已知出水口截面積為5cm2，出水速率為2.5m/s，不計水管管口長度及

一切阻力，水落θ至液面或打至側壁不再彈起，則（）

A．任何方向噴出的水柱都能打到DCGH或CGFB側面

B．水在空中運動時間的最大值為

C．空中運動的水的質量最大值為0.35k2g2?

D．若保持不變，則隨著液面上升，水在空中運動的時長逐漸縮短

7.（2024?鎮(zhèn)θ海區(qū)校級一模）汽車行駛中經常會經過一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看

作圓弧的一部分，如圖所示的A、B、C處，其中B處的曲率半徑最大，A處的曲率半徑為1，

C處的曲率半徑為2，1＞2，重力加速度為g。若有一輛可視為質點、質量為m的小汽車ρ與

路面之間各處的動ρ摩擦ρ因數ρ均為，當該車以恒定的速率v沿這段凹凸路面行駛經過A、B、C

三點時，下列μ說法正確的是（）

A．汽車在A處受到的摩擦力大小為mg

B．汽車經過A處時處于失重狀態(tài)，經μ過C處時處于超重狀態(tài)

C．汽車在A點的行駛速度小于時，汽車將做平拋運動

D．汽車經過C處時所受的向心力?最?1小

8.（2024?鹽城三模）如圖所示，豎直平面內的光滑金屬細圓環(huán)半徑為R，質量為m的帶孔小球

穿于環(huán)上，一長為R的輕桿一端固定于球上，另一端通過光滑的鉸鏈連接于圓環(huán)最低點，重力

加速度為g。當圓環(huán)以角速度繞豎直直徑轉動時，輕桿對小球的作用力大小和方向為

6?

（）