易錯(cuò)點(diǎn)10不能準(zhǔn)確分析帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)與臨界問題

目錄

01易錯(cuò)陷阱

易錯(cuò)點(diǎn)一：電流磁場的疊加和安培定則的應(yīng)用

易錯(cuò)點(diǎn)二：安培力的分析和平衡問題

易錯(cuò)點(diǎn)三：對(duì)洛倫茲力的分析不足

易錯(cuò)點(diǎn)四：帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間確定錯(cuò)誤

易錯(cuò)點(diǎn)五：混淆磁偏轉(zhuǎn)和電偏轉(zhuǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)六：不能正確分析帶電粒子在磁場中的臨界問題

02易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)一、安培力下的平衡

知識(shí)點(diǎn)二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型

知識(shí)點(diǎn)三、直線邊界磁場

知識(shí)點(diǎn)四、平行邊界磁場

知識(shí)點(diǎn)五、圓形邊界磁場

知識(shí)點(diǎn)六、環(huán)形磁約束

知識(shí)點(diǎn)七、數(shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用

模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用

模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用

模型三“平移圓”模型的應(yīng)用

模型四“磁聚焦”與“磁發(fā)散”

03舉一反三——易錯(cuò)題型

題型一：安培力作用下的平衡與運(yùn)動(dòng)

題型二：帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)分析

題型三：帶電粒子在磁場中的動(dòng)態(tài)圓分析

題型四：“磁聚焦”與“磁發(fā)散”問題

04易錯(cuò)題通關(guān)

易錯(cuò)點(diǎn)一：電流磁場的疊加和安培定則的應(yīng)用

1.直流電流或通電螺線管周圍磁場磁感線的方向都可以應(yīng)用安培定則判定.

2.磁感應(yīng)強(qiáng)度是矢量，疊加時(shí)符合矢量運(yùn)算的平行四邊形定則.

易錯(cuò)點(diǎn)二：安培力的分析和平衡問題

(1)安培力的方向特點(diǎn)：FB，F(xiàn)I，即F垂直于B和I決定的平面。

(2)安培力的大?。簯?yīng)用公⊥式F＝⊥IlBsinθ計(jì)算彎曲導(dǎo)線在勻強(qiáng)磁場中所受安培力的大小時(shí)，有效

長度l等于曲線兩端點(diǎn)的直線長度。

(3)視圖轉(zhuǎn)換：對(duì)于安培力作用下的力學(xué)綜合問題，題目往往給出三維空間圖，需用左手定則判

斷安培力方向，確定導(dǎo)體受力的平面，變立體圖為二維平面圖。

(1)類似于力學(xué)中用功與能的關(guān)系解決問題，通電導(dǎo)體受磁場力時(shí)的加速問題也可以考慮從能量

的觀點(diǎn)解決，關(guān)鍵是弄清安培力做正功還是做負(fù)功，再由動(dòng)能定理列式求解。

(2)對(duì)于含電路的問題，可由閉合電路歐姆定律求得導(dǎo)體中的電流，再結(jié)合安培力分析求解。

易錯(cuò)點(diǎn)三：對(duì)洛倫茲力的分析不足

1.若v∥B,帶電粒子以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其所受洛倫茲力F=0,

2.若ⅴ⊥B,此時(shí)初速度方向、洛倫茲力的方向均與磁場方向垂直，粒子在垂直于磁場方向的平面內(nèi)運(yùn)

動(dòng).

(1)洛倫茲力與粒子的運(yùn)動(dòng)方向垂直，只改變粒子速度的方向，不改變粒子速度的大小.

(2)帶電粒子在垂直于磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，

易錯(cuò)點(diǎn)四：帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間確定錯(cuò)誤

不能明確下圖幾種情形下的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題

易錯(cuò)點(diǎn)五：混淆磁偏轉(zhuǎn)和電偏轉(zhuǎn)

“電偏轉(zhuǎn)”與“磁偏轉(zhuǎn)”的比較

垂直電場線進(jìn)入垂直磁感線進(jìn)入

勻強(qiáng)電場(不計(jì)重力)勻強(qiáng)磁場(不計(jì)重力)

電場力FE＝qE，其大小、方向不變，洛倫茲力FB＝qvB，其大小不變，方向隨v

受力情況

與速度v無關(guān)，F(xiàn)E是恒力而改變，F(xiàn)B是變力

軌跡拋物線圓或圓的一部分

易錯(cuò)點(diǎn)六：不能正確分析帶電粒子在磁場中的臨界問題

（1）關(guān)注題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等關(guān)鍵詞語，作為解題的切入點(diǎn).

（2）關(guān)注涉及臨界點(diǎn)條件的幾個(gè)結(jié)論:

①粒子剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切；

②當(dāng)速度一定時(shí)，弧長越長，圓心角越大，則粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長；

?

③當(dāng)速度變化時(shí)，圓心角越大，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長.

?

知識(shí)點(diǎn)一、安培力下的平衡

1．安培力的方向

(1)用左手定則判斷：伸開左手，使拇指與其余四個(gè)手指垂直，并且都與手掌在同一個(gè)平面內(nèi)；

讓磁感線從掌心垂直進(jìn)入，并使四指指向電流的方向，這時(shí)拇指所指的方向就是通電導(dǎo)線在磁場中

所受安培力的方向。

(2)安培力方向的特點(diǎn)：FB，F(xiàn)I，即F垂直于B、I決定的平面。

(3)推論：兩平行的通電直⊥導(dǎo)線間⊥的安培力——同向電流互相吸引，反向電流互相排斥。

2．安培力的大小

F＝IlBsinθ(其中θ為B與I之間的夾角)。如圖所示：

(1)IB時(shí)，θ＝0或θ＝180°，安培力F＝0。

(2)I∥B時(shí)，θ＝90°，安培力最大，F(xiàn)＝IlB。

3.分⊥析通電導(dǎo)體在磁場中平衡或加速問題的一般步驟

(1)確定要研究的通電導(dǎo)體。

(2)按照已知力→重力→安培力→彈力→摩擦力的順序，對(duì)導(dǎo)體作受力分析。

(3)分析導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)情況。

(4)根據(jù)平衡條件或牛頓第二定律列式求解。

知識(shí)點(diǎn)二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型

基本思路圖例說明

P、M點(diǎn)速度垂線交點(diǎn)

與速度方向垂直的直

線過圓心弦的垂直平

①P點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分

圓心的確定分線過圓心②軌跡圓弧線交點(diǎn)

與邊界切點(diǎn)③的法線過圓

心某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的

交點(diǎn)

常用解三角形法：例：(左圖)

利用平面幾何知識(shí)求半L

R＝或由R2＝L2＋(R－d)2

半徑的確定sinθ

徑

L2＋d2

求得R＝

2d

利用軌跡對(duì)應(yīng)圓心角θ或(1)速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于AB所

軌跡長度L求時(shí)間對(duì)的圓心角θ

運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定θ

t＝T(2)偏轉(zhuǎn)角φ與弦切角α的關(guān)系：

2π

時(shí)，＝；時(shí)，

①Lφ<180°φ2αφ>180°

t＝

vφ＝360°－2α

②

知識(shí)點(diǎn)三、直線邊界磁場

直線邊界，粒子進(jìn)出磁場具有對(duì)稱性(如圖所示)

Tπm

圖a中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝＝

2Bq

θθ2πm2mπ－θ

圖b中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝(1－)T＝(1－)＝

ππBqBq

θ2θm

圖c中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝T＝

πBq

知識(shí)點(diǎn)四、平行邊界磁場

θmTπm

平行邊界存在臨界條件，圖a中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝，t2＝＝

Bq2Bq

θm

圖b中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝

Bq

圖c中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

θθ2πm2mπ－θ

t＝(1－)T＝(1－)＝

ππBqBq

θ2θm

圖d中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝T＝

πBq

知識(shí)點(diǎn)五、圓形邊界磁場

沿徑向射入圓形磁場的粒子必沿徑向射出，運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性(如圖所示)

R

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝

tanθ

θ2θm

粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝T＝

πBq

θ＋α＝90°

1．圓形有界磁場問題（1）

正對(duì)圓心射入圓形磁場區(qū)域

正對(duì)圓心射出，兩圓心和出（入）射點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，有磁偏轉(zhuǎn)半徑，根據(jù)半徑

???

?

???2=??=???2

公式求解；時(shí)間。速度v越大→磁偏轉(zhuǎn)半徑r越大→圓心角α越小→時(shí)間t越短。

??0????

?=???=??=?0

若r=R，構(gòu)成正方形。

2．圓形有界磁場問題（2）

不對(duì)圓心射入圓形磁場區(qū)域

兩個(gè)等腰三角形，一個(gè)共同的底邊若r=R，構(gòu)成菱形

知識(shí)點(diǎn)六、環(huán)形磁約束

臨

界

圓

222

臨勾股定理(R2-R1)=R1+r

1221

界?+????

?=?=解得：

22

半?=?2?2?2?1

徑

知識(shí)點(diǎn)七、數(shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用

模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用

速度方向一

粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，這些帶電

定，大小不

粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化

同

適用

條件如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，

軌跡圓圓心

運(yùn)動(dòng)半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，

共線

它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上

界定以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這

方法種方法稱為“放縮圓”法

模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子

進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

速度大小的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運(yùn)動(dòng)半

適用

mv0

一定，方徑為R＝。如圖所示

條件qB

向不同

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入

軌跡圓圓心共圓

mv0

射點(diǎn)P為圓心、半徑R＝的圓上

qB

mv0

界定將一半徑為R＝的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，

qB

方法

這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

模型三“平移圓”模型的應(yīng)用

速度大小一粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同，但

定，方向一在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們做勻

定，但入射點(diǎn)速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為，則

適用v0

在同一直線

mv0

條件半徑R＝，如圖所示

上qB

軌跡圓圓心帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上，該直線與入射點(diǎn)的

共線連線平行

mv0

將半徑為R＝的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平

界定方法qB

移圓”法

模型四“磁聚焦”與“磁發(fā)散”

1．帶電粒子的會(huì)聚

如圖甲所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場區(qū)域，如果軌跡圓半徑與

磁場圓半徑相等(R＝r)，則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出．(會(huì)聚)

證明：四邊形OAO′B為菱形，必是平行四邊形，對(duì)邊平行，OB必平行于AO′(即豎直方向)，可知從

A點(diǎn)發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過B點(diǎn)．

2．帶電粒子的發(fā)散

如圖乙所示，有界圓形磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓心為O，從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的

正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場，不計(jì)粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑

與有界圓形磁場半徑相等，則所有粒子射出磁場的方向平行．(發(fā)散)

證明：所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心與有界圓圓心O、入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的連線為菱形，也是平行四邊形，

O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．

題型一：安培力作用下的平衡與運(yùn)動(dòng)

【例1】（2024?海珠區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，安裝在固定支架（圖中未畫出）上的光滑絕緣轉(zhuǎn)動(dòng)軸

OO'兩端通過等長的輕質(zhì)細(xì)軟導(dǎo)線（導(dǎo)線不可伸長）連接并懸掛長為L、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab，

導(dǎo)體棒橫截面的直徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于懸線的長度，空間存在輻向分布磁場（磁極未畫出），導(dǎo)體棒擺動(dòng)

過程中磁場方向總是垂直于導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，開始時(shí)導(dǎo)體棒靜止

在最低點(diǎn)?，F(xiàn)給導(dǎo)體棒通以方向向里的電流（電路未畫出），若僅通過逐漸改變導(dǎo)體棒中的電流

大小，使導(dǎo)體棒由最低點(diǎn)緩慢移動(dòng)到懸線呈水平狀態(tài)，則在這個(gè)過程中（）

A．懸線對(duì)導(dǎo)體棒的拉力先增大后減小

B．導(dǎo)體棒中的電流一直減小

C．轉(zhuǎn)動(dòng)軸OO'受到繩子在豎直方向的作用力一直不變

D．轉(zhuǎn)動(dòng)軸OO'受到繩子在水平方向的作用力先增大后減小

【變式1-1】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖a所示，一根用某種單一材料制成的均勻金屬桿長為3L，

用兩根長L的電阻不計(jì)的輕質(zhì)導(dǎo)線豎直懸掛在三等分點(diǎn)，導(dǎo)線與金屬桿相接處接觸良好，并將金

屬桿置于垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中。導(dǎo)線的懸掛點(diǎn)間不加電壓時(shí)，單根導(dǎo)線上的拉力為F，加

上電壓U后，單根導(dǎo)線上的拉力是2F。若把導(dǎo)線長度變成L，如圖b所示懸掛在金屬桿兩端，

仍然加上電壓U，則此時(shí)單根導(dǎo)線上的拉力是（）2

A．2FB．4FC．4FD．8F

【變式1-2】（多選）（2023?鯉城區(qū)校級(jí)一模）實(shí)驗(yàn)室里2有三根等長細(xì)直通電導(dǎo)體棒a、b、c水平放

置，如圖所示，P、M、N分別是三根導(dǎo)體棒上的點(diǎn)且在同一豎直面內(nèi)，導(dǎo)體棒b、c中的電流方

向垂直紙面向里，導(dǎo)體棒之間的距離PM＝PN＝L，PM與PN之間的夾角為120°，導(dǎo)體棒b、c

固定，導(dǎo)體棒a所受的重力G剛好與它所受的安培力的合力平衡，則下列說法中正確的是（）

A．導(dǎo)體棒a中的電流方向垂直紙面向里

B．導(dǎo)體棒b對(duì)c的安培力方向水平向左

C．導(dǎo)體棒b、c對(duì)導(dǎo)體棒a的安培力大小均為

?

D．導(dǎo)體棒b、c在P點(diǎn)產(chǎn)生的合磁場方向水平2向右

【變式1-3】（多選）（2023?安康二模）豎直面內(nèi)有一內(nèi)壁光滑、半徑為R的固定半圓柱形軌道，在

半圓柱形軌道中放置兩根長為L的通電直導(dǎo)線，其截面如圖所示。O為半圓的圓心，導(dǎo)線a固定

在O點(diǎn)正下方的C處，且通有大小為I0、方向垂直紙面向里的電流。當(dāng)質(zhì)量為m的導(dǎo)線b中通

入大小為I1（未知）的電流時(shí)，剛好能靜止在與圓心等高的A點(diǎn)。已知導(dǎo)線a中電流在其周圍某

點(diǎn)產(chǎn)生磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝k（k為大于零的常量，r為該點(diǎn)到導(dǎo)線a的距離），由于導(dǎo)

?0

線b的質(zhì)量發(fā)生變化或者兩導(dǎo)線電流大?小發(fā)生變化，導(dǎo)線b沿著軌道緩慢下降到D點(diǎn)，并在D

點(diǎn)重新平衡。已知∠COD＝60°，則下列說法正確的是（）

A．導(dǎo)線b中電流的方向垂直于紙面向外，且位于A點(diǎn)時(shí)，電流的大小為I1

2???

B．若導(dǎo)線b的質(zhì)量不發(fā)生改變，則導(dǎo)線b在D處受到軌道的支持力等于在=A處??受0?到的支持力

C．可能僅是導(dǎo)線b的質(zhì)量變?yōu)?m

D．可能僅是兩導(dǎo)線電流的乘積減小為原來的

2

2

題型二：帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)分析

【例2】（2023?東莞市校級(jí)模擬）如圖所示，質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M點(diǎn)以大小為

v0、方向與豎直方向成角斜向下的初速度垂直于磁場方向射入邊界線豎直的勻強(qiáng)磁場，最后從

邊界上的N點(diǎn)射出磁場θ。已知磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，不計(jì)粒子受到的重力，則M、N兩點(diǎn)

間的距離為（）

A．B．

??0??????0????

C．??D．??

2??0????2??0????

【變式2-1?】?（多選）（2024?石家莊二模）利用磁場控制帶??電粒子的運(yùn)動(dòng)，在現(xiàn)代科學(xué)實(shí)驗(yàn)和技術(shù)設(shè)

備中有廣泛的應(yīng)用。如圖所示，以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁

場，圓形區(qū)域外有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。有一質(zhì)量為m、

電荷量為+q的粒子從P點(diǎn)沿半徑射入圓形區(qū)域，粒子n次穿越圓形區(qū)域邊界（不包括經(jīng)過P點(diǎn)）

后又回到P點(diǎn)，此過程中粒子與圓心O的連線轉(zhuǎn)過角度為2，不計(jì)粒子重力，下列說法正確的

是（）π

A．n的最小值為2

B．n＝3時(shí)，粒子速度大小為

3???

C．n＝4時(shí)，粒子從P出發(fā)到回?到P點(diǎn)的時(shí)間為

23??

D．粒子連續(xù)兩次穿越圓形區(qū)域邊界過程中，粒子5與??圓心的連線轉(zhuǎn)過的角度為

2?

【變式2-2】（多選）（2023?湖北模擬）如圖所示，在邊長為L的等邊三角形內(nèi)分布?著垂直于紙面向

外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，在三角形的中心有一個(gè)點(diǎn)狀的粒子源O，它可沿平行紙面

的各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m，電荷量為+q，速率為的同種粒子。不考慮粒子重力及粒子間相

3???

互作用，下列說法正確的是（）

6?

A．有部分粒子能夠擊中三角形的頂點(diǎn)

B．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為

??

C．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為3??

??

D．若磁感應(yīng)強(qiáng)度大于2B，所有粒子?均?不能射出三角形區(qū)域

【變式2-3】（2024?鹽城三模）如圖所示，在以半徑為R和2R的同心圓為邊界的區(qū)域中，有磁感應(yīng)

強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場。在圓心O處有一粒子源（圖中未畫出），在紙面

內(nèi)沿各個(gè)方向發(fā)射出比荷為的帶負(fù)電的粒子，粒子的速率分布連續(xù)，忽略粒子所受重力和粒子

?

間的相互作用力，已知sin37?°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁場，則下列說法

正確的是（）

A．粒子速度的最大值為

2???

B．粒子速度的最大值為?

???

C．某粒子恰好不從大圓邊4?界射出磁場，其在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（不考慮粒子再次進(jìn)入

127??

磁場的情況）90??

D．某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場，其在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（不考慮粒子再次進(jìn)入磁

4??

場的情況）3??

題型三：帶電粒子在磁場中的動(dòng)態(tài)圓分析

【例3】（多選）（2024?青山湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，足夠長的熒屏板MN的上方分布了水平方向

的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。距熒屏板d處有一粒子源S，能夠在紙

面內(nèi)不斷均勻地向各個(gè)方向發(fā)射速度大小為，電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，不

???

計(jì)粒子的重力，已知粒子源發(fā)射粒子的總個(gè)數(shù)?=為n?，則（）

A．粒子能打到板上的區(qū)域長度為

23?

B．打到板上的粒子數(shù)為

1

?

C．從粒子源出發(fā)到板的最2短時(shí)間為

??

D．同一時(shí)刻發(fā)射的粒子打到熒光板2上??的最大時(shí)間差為

7??

【變式3-1】（多選）（2023?道里區(qū)校級(jí)三模）如圖，長度為6??a的豎直薄擋板MN處在垂直紙面向里

的勻強(qiáng)磁場中（磁場空間足夠大、圖中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。擋板左側(cè)O點(diǎn)有一粒子源在

紙面內(nèi)向各方向均勻發(fā)射電荷量為+q、質(zhì)量為m的帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知

圖中初速度與ON夾角為60°發(fā)射的粒子恰好經(jīng)過N點(diǎn)，，。不計(jì)粒子重力，

不考慮粒子的反彈和粒子間的相互作用。則（）??=3???⊥??

A．粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為a

3

．擋板左側(cè)能被粒子擊中的豎直長度為

B2a

C．粒子能擊中擋板右側(cè)的粒子數(shù)占粒子總數(shù)的

1

D．擋板的右側(cè)被粒子擊中的豎直長度為a6

【變式3-2】（多選）（2023?貴州模擬）如圖所示，勻強(qiáng)磁場垂直紙面向里，其邊界如圖所示，磁場

的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，半圓形邊界的半徑為R，O為半圓的圓心，ab是半圓的直徑，邊界上c

點(diǎn)到a的距離為R，a、b、c、O在同一直線上，從c點(diǎn)沿垂直邊界、垂直磁場向上射出速度大小

不同的質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子，粒子均能從圓弧（含a、b點(diǎn)）上射出磁場，不

計(jì)粒子的重力和粒子間作用，則能從圓弧邊界射出的粒子（）

A．粒子速度大小范圍為

???3???

≤?≤

B．粒子的速度越大，粒子2?在磁場中運(yùn)2動(dòng)?的時(shí)間越短

C．從圓弧面射出后能到達(dá)b點(diǎn)的粒子速度大小可能為

???

D．從圓弧面射出后經(jīng)過O點(diǎn)的粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)?的半徑為R

【變式3-3】（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，有一厚度不計(jì)的薄板MN水平固定放置，薄板

長為2L?？臻g中存在范圍足夠大的、垂直于紙面水平向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。粒

子源P位于薄板中心O的正上方L處，可在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的帶

正電粒子，所有粒子的速率相同，若粒子碰到薄板上表面（含左、右緩點(diǎn)）會(huì)被吸收，碰到下表

面會(huì)被反彈，反彈前后粒子沿板方向的分速度不變，垂直于板的分速度等大反向，不計(jì)粒子重力

及相互作用力，落到上板表面的電荷被導(dǎo)走，不會(huì)對(duì)其它粒子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，與下板表面碰撞的

粒子電量不變。求；

（1）粒子要能打到板上，速度至少多大；

（2）若粒子以速率v發(fā)射，則：

???

①直接打到板的上表=面（?含左，右端點(diǎn)）的粒子中，求運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間；

②粒子與薄板下表面碰撞一次后反彈，恰能返回P點(diǎn)，最終落到上表面，求該粒子發(fā)射的速度方

向與豎直方向的夾角以及該粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的總路程。

θ

題型四：“磁聚焦”與“磁發(fā)散”問題

【例4】（2023?漣源市二模）如圖所示，在x軸的上方存在一個(gè)垂直xoy平面向里、半徑為R的有

界勻強(qiáng)圓磁場，磁場的直徑在y軸上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一粒子源，可沿與

x軸正方向成30°～150°范圍內(nèi)垂直磁場方向均勻發(fā)射速度大小相等、質(zhì)量為m、帶電量為e

的電子，這些電子都能夠打到右側(cè)與y軸平行放置的屏MN上，被屏反彈后以原速率沿原方向返

回，其中沿y軸正向射入的電子能夠垂直打到屏上，屏的橫坐標(biāo)為。不計(jì)電子的重力和電子

間的相互作用，求：3?

（1）電子射入磁場時(shí)的速度大小；

（2）電子打到屏MN上的長度；

（3）電子從O點(diǎn)出發(fā)到返回磁場右邊界的最短時(shí)間。

【變式4-1】（2023?寧德模擬）如圖所示，半徑為R、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外的圓

形磁場區(qū)域，右側(cè)與y軸相切于C點(diǎn)，下側(cè)與x軸相切于O點(diǎn)，感光板（足夠大）與y軸的距離

為1.5R。已知質(zhì)量為m，電量為q的粒子過O點(diǎn)垂直于x軸射入，從C點(diǎn)垂直于y軸射出。不

計(jì)粒子的重力。

（1）求該粒子速率v0；

（2）若在y軸與感光板之間充滿垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，求能使該粒子擊中感光板的磁感應(yīng)強(qiáng)度

大小范圍；

（3）現(xiàn)有大量速率為v0的同種粒子沿不同方向從坐標(biāo)O點(diǎn)處射入磁場。若在y軸與感光板之間

加沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，求粒子打在感光板上的范圍。

2

016???

?=9?

【變式4-2】（2024?郫都區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，一半徑為R的圓與x軸相切于原點(diǎn)O，圓內(nèi)有直

于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大為B。與x軸垂直的豎直虛線與磁場最右端相切，其右側(cè)

的第Ⅰ象限內(nèi)存在沿﹣y方向的勻強(qiáng)電場?，F(xiàn)有一束比荷為的帶正電粒子沿著+y方向從原點(diǎn)O

?

射入磁場，粒子離開磁場時(shí)方向沿x軸正方向，進(jìn)入電場后，?經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)打到x軸上坐標(biāo)為（3R，

0）的點(diǎn)，不計(jì)粒子的重力，求：

（1）粒子射入磁場時(shí)的速度；

（2）電場強(qiáng)度的大小；

（3）若僅使從O點(diǎn)射入的帶電粒子初速度方向與﹣x軸方向成30°角，求粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再

次打到x軸上所用的時(shí)間。

【變式4-3】（2024?龍巖三模）如圖所示，在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)，半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的邊

界與x軸相切于原點(diǎn)O，與PM相切于A點(diǎn)，PM＝2R。PQ、MN間存在著勻強(qiáng)電場，MC＝R，

MDR?，F(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子，從O點(diǎn)以速率v0沿y軸正方向射入磁場，

并經(jīng)=過A2點(diǎn)打到了D點(diǎn)。離子到達(dá)MN上即被吸收，不計(jì)離子重力。

（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；

（2）若其他條件不變，僅將該離子從O點(diǎn)以偏向y軸正方向左側(cè)30°方向射入磁場，求離子在

磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；

（3）若其他條件不變，將大量的上述離子從O點(diǎn)均勻向各個(gè)方向射入y＞0的區(qū)域，不計(jì)離子間

的相互作用。求在CD區(qū)域接收到的離子數(shù)占發(fā)射出的總離子數(shù)的比例。

η

（?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，質(zhì)量為、長為的直導(dǎo)線用兩絕緣細(xì)線懸掛于、，并處于

1.2023mLOO?

勻強(qiáng)磁場中．當(dāng)導(dǎo)線中通以沿x正方向的電流I，且導(dǎo)線保持靜止時(shí)，懸線與豎直方向夾角為．則

磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和大小可能為（）θ

A．x正向，B．y正向，cos

????

θ

C．z負(fù)向，??tanD．y負(fù)向，??sin

????

θθ

2.（2023?弋陽??縣校級(jí)一模）如圖所示，質(zhì)量為m，長為L?的?金屬棒MN兩端用等長的輕質(zhì)細(xì)線

水平懸掛，靜止于方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中．已知棒中通過的電流大小為

I，兩懸線與豎直方向夾角＝60°，重力加速度為g，下列說法正確的是（）

θ

A．金屬棒中的電流由N流向M

B．勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度

3??

?=3??

C．若僅改變磁場的方向，其他條件不變，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值為

??

D．若僅改變磁場的方向，其他條件不變，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值可能為2??

??

3.（2024?渾南區(qū)校級(jí)三模）如圖所示，射線AB、AC為一足夠大的勻強(qiáng)??磁場區(qū)域的邊界，內(nèi)部

磁場方向垂直紙面向里。兩個(gè)質(zhì)量相同且?guī)М惙N電荷的粒子a、b以相同的速度先后從AB邊上

的D點(diǎn)垂直AB邊射入磁場，兩粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡均與AC相切，忽略粒子受到的重力及粒子間

的相互作用力，sin∠BAC＝0.6，下列說法正確的是（）

A．a(chǎn)粒子帶負(fù)電

B．a(chǎn)、b兩粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑之比為3：1

C．a(chǎn)、b兩粒子所帶的電荷量之比為1：4

D．b粒子在磁場中的軌跡直徑等于兩切點(diǎn)的距離

4.（2024?九龍坡區(qū)模擬）如圖，靜止在勻強(qiáng)磁場中的原子核A發(fā)生一次衰變后放出的射線粒子

和新生成的反沖核均垂直于磁感線方向運(yùn)動(dòng)。已知大小圓半徑和周期之比分別為n、k，且繞大

圓軌道運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。設(shè)該過程釋放的核能全部轉(zhuǎn)化成射線粒子和反沖核的動(dòng)

能，已知該衰變前后原子核質(zhì)量虧損為m，光速為c。下列說法正確的是（）

A．反沖核的動(dòng)能為

?2

??

B．原子核A的原子?序+數(shù)?是n+1

C．大圓是反沖核的運(yùn)動(dòng)軌跡

D．該勻強(qiáng)磁場的方向垂直于紙面向外

5.（多選）（2024?長安區(qū)二模）如圖所示的直角三角形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（圖

中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，邊界Ⅰ、Ⅱ的長度分別為、L；大量均勻分布的帶電

粒子由邊界Ⅰ的左側(cè)沿平行邊界Ⅱ的方向垂直射入磁場，粒子的速3?率均相等，已知從邊界Ⅰ離

開磁場的帶電粒子占總數(shù)的，帶電粒子的質(zhì)量為m、所帶電荷量為+q，忽略帶電粒子之間的

3

相互作用以及粒子的重力。下4列說法正確的是（）

A．帶電粒子射入磁場后沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

B．帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為

??

C．剛好從邊界Ⅲ離開的帶電粒子在磁場中??運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

??

3??

D．帶電粒子的初速度大小為

3???

（多選）（?新城區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，邊長為的正方形區(qū)域內(nèi)有一方向垂直正

6.202412?aMNPQ

方形平面向里的勻強(qiáng)