答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁山東省煙臺(tái)某中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．8 D．無數(shù)個(gè)2．樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．93．設(shè)復(fù)數(shù)，其中，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．下列函數(shù)為偶函數(shù)是（

）A． B．C． D．5．“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列，其前n項(xiàng)積是公差為3的等差數(shù)列，則＝（

）A．4 B．3 C． D．7．已知，，則（

）A．13 B．14 C．15 D．168．微擾級(jí)數(shù)是物理學(xué)中用于處理非線性系統(tǒng)的重要方法，對(duì)于小擾動(dòng)參數(shù)，可得系統(tǒng)的能量，若為常數(shù)，則（

）A．當(dāng)取最小值時(shí)，B．當(dāng)取最大值時(shí)，C．無最小值D．E無最大值二、多選題9．已知P是圓C：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O的動(dòng)直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．|OP|的最大值為 B．|OP|的最小值為C．|MN|最大值為6 D．|MN|最小值為210．某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植同一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量與田塊數(shù)的關(guān)系（單位：），并整理下表畝產(chǎn)量田塊數(shù)61218302410據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于B．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于的稻田所占比例低于C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于至之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于至之間11．已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的最大值為，設(shè)，且在中，，其內(nèi)切圓的半徑為，則下列說法正確的是（

）A．B．的外接圓的面積為C．的最大值為D．若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的取值范圍為三、填空題12．已知平面向量，，若，則.13．某數(shù)學(xué)興趣小組的6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙兩名同學(xué)必須彼此相鄰，丙不在隊(duì)伍兩頭的安排方式共有（用數(shù)字作答）種.14．如圖，在中，，D，E是線段上的兩個(gè)點(diǎn)，為正三角形，，則．

四、解答題15．已知拋物線C：（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)直線l⊥y軸時(shí)，|AB|＝4．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AB的斜率為1，求△ABO的面積．16．已知.(1)當(dāng)時(shí)，，求中的最大值；(2)若，求.17．已知數(shù)列的前項(xiàng)為，且.正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，為其前項(xiàng)和，且.(1)求，；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.18．如圖，四棱錐中，底面為矩形，為中點(diǎn)，為的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．直線與平面所成的角分別為．(1)證明：平面；(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值.19．已知函數(shù)（，，）.(1)當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：；(3)設(shè)，為函數(shù)的極值點(diǎn)，且，若，，是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，求的取值范圍.《山東省煙臺(tái)某中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案CCDCACCDABCBC題號(hào)11答案AD1．C【分析】解不等式得到集合A，由集合中元素個(gè)數(shù)判斷子集個(gè)數(shù).【詳解】解不等式，得，所以，則集合的子集個(gè)數(shù)是.故選：C.2．C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】樣本數(shù)據(jù)按照從小到大排列為3，4，5，6，8，11共6個(gè)數(shù)據(jù)，.所以百分位數(shù)取第4位數(shù)字6，故選：C.3．D【分析】先表示復(fù)數(shù)，再根據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，列不等式組可求的取值范圍.【詳解】由題意.因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以.故選：D4．C【分析】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)奇偶性的定義判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以不是偶函?shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出在上單調(diào)遞增的值范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對(duì)恒成立，而當(dāng)時(shí)，，則，因此，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A6．C【分析】根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)積為等差數(shù)列，得等差數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而得所求項(xiàng).【詳解】因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)為1，且其前n項(xiàng)積是公差為3的等差數(shù)列.所以，令，得.所以數(shù)列是公差為3，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.故，即.所以.故選：C.7．C【分析】根據(jù)和差的正切函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，化?jiǎn)得.①+②得，①-②得.所以.故選：C.8．D【分析】由題可得，然后利用導(dǎo)數(shù)，研究，單調(diào)性，可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】.令，，則.令，，則，則在上單調(diào)遞減，又注意到，則，從而，則在上單調(diào)遞增.則，則E無最大值，有最小值，取最小值時(shí).故ABC錯(cuò)，D正確.故選：D9．ABC【分析】根據(jù)題意可得：所以，，計(jì)算可得A，B選項(xiàng)，設(shè)圓心C到直線的距離為,結(jié)合圖形可知：當(dāng)為直徑時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求出的最小值和最大值.【詳解】由于P是圓C：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O的動(dòng)直線與圓C交于M，N兩點(diǎn),所以點(diǎn)在圓內(nèi)，

所以，故A正確；所以，故B正確；設(shè)圓心C到直線的距離為,則,當(dāng)為直徑時(shí)，，所以,故C正確；由于時(shí),所以,故D不正確；故選：ABC10．BC【分析】對(duì)于A，計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷；對(duì)于B，計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷．【詳解】對(duì)于A，根據(jù)頻數(shù)分布表可知，，所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為，所以低于1100kg的稻田占比為，故B正確；對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的最大在區(qū)間內(nèi)，最小在區(qū)間內(nèi)，故極差在范圍內(nèi)，故C正確；對(duì)于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為，故D錯(cuò)誤。故選：BC．11．AD【分析】由求得，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性求得的范圍得解可判斷A；由正弦定理求出外接圓半徑得出面積可判斷B；由余弦定理可得與的關(guān)系，利用等面積法可得，結(jié)合基本不等式求得的最大值判斷C；由題可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，根據(jù)三點(diǎn)共線求最值判斷D.【詳解】，由可知，故，由，則，由在區(qū)間上單調(diào)遞增可知，得到，代入可知題設(shè)條件成立，故，于是，故A正確；因?yàn)?，由可得，由正弦定理得外接圓直徑，所以的外接圓面積為，故B錯(cuò)誤；不妨記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，由余弦定理可得，即，故，由等面積法可得，于是，而，故，于是，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)取得最大值時(shí)，，記的中點(diǎn)為，如圖，由，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上（除去B、C），則，由等腰三角形性質(zhì)可知，故且，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，O三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故的取值范圍是，故D正確.故選：AD12．【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由題意得，解得.故答案為：.13．144【分析】利用捆綁法、分步乘法計(jì)數(shù)原理和間接法求解.【詳解】6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙相鄰的安排方式有（種），6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙相鄰，丙在隊(duì)伍兩頭的安排方式有（種），所以6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙兩名同學(xué)彼此相鄰，丙不在隊(duì)伍兩頭的安排方式共有（種）.故答案為：144.14．/【分析】根據(jù)題意設(shè)，可證，得到，繼而得到，由余弦定理可求，再利用正弦定理可得，然后求即可．【詳解】設(shè)，則，又為正三角形，所以，則，又，所以，則，故，則，即，所以，即，所以，，即，在中，，即，解得，又，則為銳角，所以．故答案為：．15．(1)(2)【分析】(1)依題意分析當(dāng)直線l⊥y軸時(shí)，用表示A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù),可求得的值,進(jìn)而得到拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，可得到兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而求得△ABO的面積.【詳解】（1）由題可知：.

當(dāng)直線l⊥y軸時(shí)，可得，.所以.因?yàn)?所以2p＝4，解得p＝2，故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（１）知：，所以直線.聯(lián)立直線l與拋物線C方程，得，設(shè)點(diǎn)A，B,則，，所以.

所以△ABO的面積．16．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)展開式得，則，分析為偶數(shù)時(shí)，取得最大值，再列出不等式組，解出即可；（2）法一：兩邊同時(shí)求導(dǎo)后再代入即可；法二：首先得，，再根據(jù)恒等式計(jì)算即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，顯然為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，；則當(dāng)取到最大值時(shí)，為偶數(shù)，設(shè)為最大項(xiàng)，其中．當(dāng)時(shí)，得，即，解得，又因?yàn)椋?jīng)驗(yàn)證得：．又因?yàn)?，所以最大?xiàng)為．（2）法一：因?yàn)椋?，令，得：，所以：．法二：則，因?yàn)椋?，所?7．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系求解，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式及題設(shè)分，兩種情況求解；（2）轉(zhuǎn)化問題為對(duì)任意的恒成立，進(jìn)而利用不等式組求得的最小值，即可求解.【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.由，正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，當(dāng)公比時(shí)，，，不滿足；當(dāng)公比，且時(shí)，，解得，此時(shí).綜上所述，.（2）由，，則，即對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列在第項(xiàng)取得最小值，則，解得，而，則，此時(shí)取得最小值，由于，即，則實(shí)數(shù)的最大值為.18．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面角得到點(diǎn)在平面上的射影為與的交點(diǎn)，從而平面；（2）根據(jù)正切值，不妨設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而利用線面角的正弦公式進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】（1）直線與平面所成的角分別為，故在平面上的射影為，故點(diǎn)在平面上的射影在上，同理可得點(diǎn)在平面上的射影在上，所以點(diǎn)在平面上的射影為與的交點(diǎn)，所以平面；（2）因?yàn)椋?，不妨設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，其中，則，，，，故，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則，故，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19．(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)數(shù)的區(qū)間符號(hào)確定單調(diào)性，進(jìn)而求最小值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)已知有是在上的兩個(gè)不同根，進(jìn)而得到，結(jié)合基本不等式有，利用導(dǎo)數(shù)證明，即可證結(jié)論；（3）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知得，進(jìn)而得且，則，利用三角形三邊關(guān)系縮小范圍，且并利用單調(diào)性求其范圍.【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，且，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單