專題6.9平面向量的應用（重難點題型精講）1．平面幾何中的向量方法(1)用向量研究平面幾何問題的思想向量集數與形于一身，既有代數的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問題，就是將幾何的證明問題轉化為向量的運算問題，將“證”轉化為“算”，思路清晰，便于操作.(2)向量在平面幾何中常見的應用①證明線段平行或點共線問題，以及相似問題，常用向量共線定理：∥=-=0(≠0).

②證明線段垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：=0+=0.

③求夾角問題，利用夾角公式：==.

④求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=.(3)向量法解決平面幾何問題的“三步曲”2．向量在物理中的應用(1)力學問題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點，也可以沒有共同的作用點，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點的量.用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點上.(2)速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解，實質就是向量的加減法運算，而運動的疊加也用到向量的合成.(3)向量與功、動量

物理上力做功的實質是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質是向量的數量積.

①力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，即W=||||.功是一個實數,它可正,可負,也可為零.

②動量涉及物體的質量m，物體運動的速度，因此動量的計算是向量的數乘運算.【題型1用向量解決平面幾何中的平行問題】【方法點撥】用向量法解決平面幾何中的平行問題，一般來說有兩種方法.(1)普通向量法：利用向量的運算法則、運算律或性質計算，將平行問題進行轉化求解.(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，將幾何問題中的平行問題轉化為代數運算.【例1】在△ABC中，點M，N分別在線段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求證：MN//【變式1-1】在四邊形ABCD中，AB=DC，N，M是求證：CN=【變式1-2】如圖，已知AD,BE,CF是△ABC的三條高，且交于點O，DG⊥BE于點G，DH⊥CF于點H，求證：HG//【變式1-3】如圖所示，分別在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線和反向延長線上取點F和點E，使DF=BE.試用向量方法證明：四邊形AECF是平行四邊形.【題型2用向量解決平面幾何中的垂直問題】【方法點撥】用向量法解決平面幾何中的垂直問題，一般來說有兩種方法.(1)普通向量法：利用向量的運算法則、運算律或性質計算，有時可選取適當的基底(盡量用已知模或夾角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示.(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現向量的坐標化，將幾何問題中的垂直問題轉化為代數運算.【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AB的中點，F,G是AD,BC的三等分點（AF=23AD，BG=23(1)用a,b表示(2)如果a=43【變式2-1】用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對角線．求證：AC⊥BD．【變式2-2】如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F是BC的中點，求證：DE⊥AF.【變式2-3】如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為BC的中點，E是AB上的一點，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.【題型3利用向量求線段間的長度關系】【方法點撥】利用向量知識，結合具體條件，將平面幾何中的長度關系進行轉化求解.【例3】如圖，在?ABCD中，點E，F分別是AD，DC邊的中點，BE，BF分別與AC交于R，T兩點，你能發(fā)現AR，RT，TC之間的關系嗎？用向量方法證明你的結論.【變式3-1】在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，點E，F分別是BD，AC的中點，求證：【變式3-2】如圖，在△ABC中，點E為邊AB上一點，點F為線段AC延長線上一點，且BEAB=CFAC，連接EF交BC于點【變式3-3】如圖，在△OAB中，點C分OA為1:3，點D為OB中點，AD與BC交于P點，延長OP交AB于E，求證：AE=3EB.【題型4用向量解決夾角問題】【方法點撥】利用向量知識，結合具體條件，利用向量的夾角公式進行轉化求解.【例4】如圖，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【變式4-1】如圖，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，點D在BC上，且BD=2DC，點E是AC的中點，連接AD，BE相交于(1)求線段AD，BE的長；(2)求∠EOD的余弦值.【變式4-2】已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于點F，連接DF，求證：【變式4-3】已知梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，E為BC的中點，F為BD與AE的交點，(1)求λ和μ的值；(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA與BD【題型5用向量解決物理中的相關問題】【方法點撥】平面向量在物理的力學、運動學中應用廣泛，用向量處理這些問題時，先根據題意把物理中的相關量用有向線段表示，再利用向量加法的平行四邊形法則轉化為代數方程來計算.【例5】如圖，一滑輪組中有兩個定滑輪A，B，在從連接點O出發(fā)的三根繩的端點處，掛著3個重物，它們所受的重力分別為4N，4N和43【變式5-1】已知兩個力F1=5i+4j，F2=?2i+j，F1，F2作用于同一質點，使該質點從點(1)F1，F(2)F1，F2的合力【變式5-2】如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A點出發(fā)航行到河對岸，船航行速度的大小為|v1|=10km/h，水流速度的大小為|v(1)當cosθ(2)當船垂直到達對岸時，航行所需時間是否最短？為什么？【變式5-3】解決本節(jié)開始時的問題：在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被3根細繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個秤盤中放入質量為1kg的物品，在另一個秤盤中放入質量為1kg的砝碼，天平平衡.3根細繩通過秤盤分擔對物品的拉力（拉力分別為F1，F2，F3），若3根細繩兩兩之間的夾角均為π3，不考慮秤盤和細繩本身的質量，則F1【題型6向量與幾何最值】【方法點撥】根據具體條件，利用向量知識，將平面幾何中的最值問題進行轉化求解即可.【例6】如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點M，N．(1)若Q是BC的中點，求QM?(2)若P是平面上一點，且滿足2OP=λOB【變式6-1】在△ABC中，CA=6，AB=8，∠BAC=π2，D為邊(1)求AD?(2)若點P滿足CP=λCAλ∈R【變式6-2】梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，點(1)當點P是線段BC的中點時，求BC?(2)求PB?【變式6-3】如圖，E,F分別是矩形ABCD的邊CD和BC上的動點，且AB=2,AD=1.（1）若E,F都是中點，求EF→（2）若E,F都是中點，N是線段EF上的任意一點，求AN→（3）若∠EAF=45°，求AE→專題6.5平面向量的應用（重難點題型檢測）一．選擇題1．以A4,1，B1,5，C?3,2，D(0,?2)A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正方形2．在四邊形ABCD中，若AB+CD=A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形3．若平面上的三個力F1,F2,F3作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知F1=1N,A．7 B．7 C．102 4．已知△ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，點D在BC邊上且BD=13BC，則ADA．3 B．32 C．33 5．△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，點E滿足CE=215CA+15CB，直線CE與直線A．1010 B．31010 C．?6．在△ABC中，滿足AB⊥AC，M是BC的中點，若O是線段AM上任意一點，且AB=A．0 B．?32 C．?17．已知四邊形ABCD是矩形，AB=2AD，DF=λDC，BE=μBC，λ+μ=1，AE⊥AF，則A．533 B．539 C．6538．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60°,AB=2,AD=3,E為線段CD的中點，F為線段ABA．BC=B．若F為線段AB的中點，則λ+μ=1C．FC?FDD．μ的最大值比最小值大8二．多選題9．一物體受到3個力的作用，其中重力G的大小為4N，水平拉力F1的大小為3N，另一力F2未知，則（A．當該物體處于平衡狀態(tài)時，FB．當F2與F1方向相反，且FC．當物體所受合力為F1時，D．當F2=210．已知點A?2,1，B3,?2，C5,185A．AB//CD B．AB⊥ADC．AC=BD 11．在△ABC中，D，E分別是線段BC上的兩個三等分點（D，E兩點分別靠近B，C點），則下列說法正確的是（

）A．ABB．若F為AE的中點，則BFC．若AB?AC=0，AB=1，D．若AB+AC=312．如圖，已知扇形OAB的半徑為1，∠AOB=π2，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，且CD=1，點E為AB?A．OE?AB的最小值為0 B．EAC．EC?ED的最大值為1 D．三．填空題13．如圖，作用于同一點O的三個力F1，F2，F3處于平衡狀態(tài)，已知|F1|=1，|F2|=2，F114．已知兩點E,F分別是四邊形ABCD的邊AD,BC的中點，且AB=3，CD=2，∠ABC=45°，∠BCD=75°，則線段15．如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，BC=2BM，AC=3AN，線段AM，BN相交于點P，則∠MPN的余弦值為.16．如圖，在△ABC中，B=π3，AB=2，點M滿足AM=13AC，BM?AC=43，O四．解答題17．如圖所示，四邊形ABCD中，AB→=DC→，N，M是AD，BC上的點，且CN→=MA→.求證：18．如圖所示，若D是△ABC內的一點，且AB2-AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC.19．如圖，長江某地南北兩岸平行，江面的寬度d＝1km，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設游船在靜水中的航行速度v1的大小為v1=10km/h，水流速度v2的大小為v2=4km/h，設v1和v(1)當θ=120°時，判斷游船航行到北岸時的位置是在圖中A'(2)當cosθ多大時，游船能到達A20．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=3