專題7.2復(fù)數(shù)的四則運算（重難點題型精講）1．復(fù)數(shù)的加法運算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運算律

對任意,,∈C，有

①交換律：+=+；

②結(jié)合律：(+)+=+(+).(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對應(yīng)的向量.2．復(fù)數(shù)的減法運算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個復(fù)數(shù)的差-對應(yīng)的向量是-，即向量.如果作=，那么點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是-(如圖所示).

這說明兩個向量與的差就是與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)的乘法運算(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)乘法的運算律對于任意,,∈C，有

①交換律：=；

②結(jié)合律：()=()；

③分配律：(+)=+.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立.即對于任意復(fù)數(shù)z，,和正整數(shù)m,n，有=，=，=.4．復(fù)數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).5．|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義

設(shè)復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是(a,b)，(c,d)，則|???????|=，又復(fù)數(shù)-=(a-c)+(b-d)i，則|-|=.

故|???????|=|-|，即|-|表示復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點之間的距離.6．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當(dāng)>0時，方程有兩個不相等的實根，=；

當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實根==-；

當(dāng)<0時，方程有兩個虛根=，=，且兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).7．復(fù)數(shù)運算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見運算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【題型1復(fù)數(shù)的加、減運算】【方法點撥】兩個復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個復(fù)數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減).復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，兩個復(fù)數(shù)相減，也可以看成是加上這個復(fù)數(shù)的相反數(shù).當(dāng)多個復(fù)數(shù)相加(減)時，可將這些復(fù)數(shù)的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減).【例1】已知z1=1+i，z2=2?2A．4 B．5+3i C．4?3i 【變式1-1】若z?3+5i=8?2i，則zA．5?3i B．11?7i C．8+7i【變式1-2】1+i+?2+2A．?1+3i B．1+i C．?1+i【變式1-3】若復(fù)數(shù)z滿足2z+z+3z?A．12+1C．2+2i D．【題型2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】【方法點撥】(1)向量加、減運算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的依據(jù).(2)利用向量的加法“首尾相接”和減法“指向被減向量”的特點，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應(yīng)的復(fù)數(shù).【例2】在復(fù)平面內(nèi)，O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【變式2-1】在平行四邊形ABCD中，若A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為（

）A．5 B．5 C．25 D．10【變式2-2】如圖在復(fù)平面上，一個正方形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,?2+i,0，那么這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）．A．3+i B．3?i C．1?3i D．?1+3i【變式2-3】如圖，設(shè)向量OP，PQ，OQ所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【題型3復(fù)數(shù)的乘除運算】【方法點撥】(1)復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結(jié)果中要將換成-1，并將實部、虛部分別合并.(2)復(fù)數(shù)的除法法則在實際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用分母“實數(shù)化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母成為實數(shù)，再計算.【例3】已知z1+i=7+5i，則A．6?i B．6+i C．3?2i【變式3-1】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為(?1,1)，則z1+i=A．?1+i B．?1?i C．i 【變式3-2】已知復(fù)數(shù)z=?1+2i（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為z，則z?iA．-2-i B．-2+i C．2?i D．【變式3-3】已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=4+3iA．3+3i B．3?3i C．?3+3i【題型4虛數(shù)單位i的冪運算的周期性】【方法點撥】根據(jù)虛數(shù)單位i的冪運算的周期性，進(jìn)行求解即可.【例4】已知i為虛數(shù)單位，則i20231?iA．?12+12i B．1【變式4-1】i2022=（A．?1 B．1 C．?i D．【變式4-2】設(shè)i是虛數(shù)單位，則i+i2A．i+1 B．i?1 C．i【變式4-3】1+i1?iA．i B．?i C．22005 【題型5解復(fù)數(shù)方程】【方法點撥】實系數(shù)一元二次方程的虛根是成對出現(xiàn)的，即若復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R，b≠0)是實系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復(fù)數(shù)a-bi是該方程的另一根，據(jù)此進(jìn)行求解即可.【例5】已知復(fù)數(shù)1+i是關(guān)于x的方程x2+mx+2=0的一個根，則實數(shù)mA．?2 B．2 C．?4 D．4【變式5-1】已知復(fù)數(shù)1+i（i為虛數(shù)單位）為實系數(shù)方程x2+px+q=0的一根，則p+q=（A．4 B．2 C．0 D．?2【變式5-2】已知ω是方程x2+x+1=0的虛數(shù)根，則1+ω+ωA．0 B．±1 C．12±3【變式5-3】若1+2i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2A．b=2，c=3 B．b=2，c=?C．b=?2，c=?3 D．b=?2，【題型6四則運算下的復(fù)數(shù)概念】【方法點撥】先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則進(jìn)行化簡復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，進(jìn)行求解即可.【例6】已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，1+z1+i是實數(shù)，則z=A．－i B．i C．－2i D．2i【變式6-1】已知復(fù)數(shù)z滿足3+iz=4?2i，則復(fù)數(shù)zA．1?i B．1+i C．2+i【變式6-2】若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z1+i=3+4iA．?3 B．3 C．?2 D．2【變式6-3】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=2i?2A．位于第一象限B．對應(yīng)的點為(2,?2)C．zD．是純虛數(shù)專題7.2復(fù)數(shù)的四則運算（重難點題型檢測）一．選擇題1．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，有下列命題：①?1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復(fù)數(shù)a+bia,b∈R是某一元二次方程的根，則a?bi一定是方程的另一個根；④若z為純虛數(shù)i，則A．3 B．2 C．0 D．12．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為1,?2，則z?2z=（A．?1?6i B．C．1?6i D．3．已知復(fù)數(shù)z=1+3i3?mim∈A．3 B．1 C．?1 D．?34．若復(fù)數(shù)z滿足z1+i=2i，則A．45 B．42 C．255．已知z=1+i1?i?A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．已知復(fù)數(shù)1?i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0p,q∈RA．4 B．5 C．22 D．7．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i8．設(shè)fx=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知關(guān)于x的方程fx=xA．方程只有虛根解，其中兩個是純虛根B．可能方程有四個實數(shù)根的解C．可能有兩個實數(shù)根，兩個純虛數(shù)根D．可能方程沒有純虛數(shù)根的解二．多選題9．已知復(fù)數(shù)z=?1+2iiA．z=2?i B．C．z=5 10．在復(fù)平面內(nèi)有一個平行四邊形OABC，點O為坐標(biāo)原點，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1=1+i，點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2=1+2i，點A．點C位于第二象限 B．z1+z3=z11．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1=a?2iA．zB．zC．若2z1D．若z2=?12．已知復(fù)數(shù)z1,z2是關(guān)于x的方程A．z1=z2 B．z1z2∈R三．填空題13．已知復(fù)數(shù)z=i+i2+i14．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若向量OA，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1?i，?1+2i，則向量CD對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.15．已知m是實數(shù)，關(guān)于x的方程x2?m+2x+m2+3m+1=0的兩個虛數(shù)根為z116．以下四個命題中所有真命題的序號是．（1）若z1、z2∈（2）若z1、z2∈（3）若z1、z2∈C，z1（4）若z1、z2∈C，z1四．解答題17．計算：(1