專題10.1隨機事件與概率（重難點題型精講）1．有限樣本空間(1)隨機試驗

我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：

①試驗可以在相同條件下重復進行；

②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；

③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果.

(2)有限樣本空間

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間.

一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點.如果一個隨機試驗有n個可能結果，，，，則稱樣本空間={，，，}為有限樣本空間.2．事件(1)隨機事件

一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A，B，C，表示.在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.

(2)必然事件

A作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件.

(3)不可能事件

空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件.3．事件的關系和運算(1)兩個事件的關系和運算事件的關系或運算含義符號表示圖形表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生并事件（和事件）A與B至少一個發(fā)生或交事件（積事件）A與B同時發(fā)生或互斥（互不相容）A與B不能同時發(fā)生互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生，(2)多個事件的和事件、積事件

類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.對于多個事件A，B，C，，A∪B∪C∪(或A+B+C+)發(fā)生當且僅當A，B，C，中至少一個發(fā)生，A∩B∩C∩(或ABC)發(fā)生當且僅當A，B，C，同時發(fā)生.4．樣本空間中樣本點的求法(1)列舉法

列舉法也稱枚舉法.對于一些情境比較簡單，樣本點個數(shù)不是很多的概率問題，計算時只需一一列舉，即可得出隨機事件所包含的樣本點.注意列舉時必須按一定順序，做到不重不漏.

(2)列表法

對于樣本點個數(shù)不是太多的情況，可以采用列表法.通常把對問題的思考分析歸結為“有序實數(shù)對”，以便更直接地得到樣本點個數(shù).列表法的優(yōu)點是準確、全面、不易遺漏，其中最常用的方法是坐標系法.(3)樹狀圖法

樹狀圖法適用于按順序排列的較復雜問題中樣本點個數(shù)的求解，是一種常用的方法.5．用集合觀點看事件間的關系符號概率角度集合角度必然事件全集不可能事件空集試驗的可能結果中的元素事件的子集的對立事件的補集事件A包含于事件B集合A是集合B的子集事件A等于事件B集合A等于集合B或事件A與事件B的并（和）事件集合A與B的并集或事件A與事件B的交（積）事件集合A與B的交集事件A與事件B互斥集合A與B的交集為空集，且事件A與事件B對立集合A與B互為補集6．古典概型(1)事件的概率

對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

(2)古典概型的定義

我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

(3)古典概型的判斷標準

一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性.并不是所有的試驗都是古典概型.

下列三類試驗都不是古典概型：

①樣本點(基本事件)個數(shù)有限，但非等可能;

②樣本點(基本事件)個數(shù)無限，但等可能；

③樣本點(基本事件)個數(shù)無限，也不等可能.7．古典概型的概率計算公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間A包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分別表示事件A和樣本空間包含的樣本點個數(shù).8．概率的基本性質性質1對任意的事件A，都有P（A）≥0.性質2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（）=1，P()=0.性質3如果事件A與事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）.推廣：如果事件A1，A2，…，Am．兩兩互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性質4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）=1P（A），P(A)=1P(B).性質5如果，那么P（A）≤P（B）.性質6設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P（）=P（A）＋P（B）P（）.【題型1事件的分類】【方法點撥】根據(jù)隨機事件、必然事件與不可能事件的定義，進行求解即可.【例1】以下事件是隨機事件的是（

）A．標準大氣壓下，水加熱到100°C，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長和寬分別為a,b的矩形，其面積為ab【解題思路】根據(jù)隨機事件的概念判斷即可【解答過程】解：A．標準大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；故本選項不符合題意；B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；故本選項符合題意；C．長和寬分別為a,b的矩形，其面積為D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根，是必然事件．故本選項不符合題意．故選：B．【變式1-1】下列四個事件：①明天上海的天氣有時有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解題思路】判斷選項中每個事件為隨機事件還是必然事件還是不可能事件，可得答案.【解答過程】由題意可知，①明天上海的天氣有時有雨為隨機事件；②東邊日出西邊日落為必然事件；③雞蛋里挑骨頭為不可能事件；④守株待兔為隨機事件，故必然事件有1個，故選：B.【變式1-2】下列事件中，是隨機事件的是（

）①經過有交通信號燈的路口，剛好是紅燈；②投擲2顆質地均勻的骰子，點數(shù)之和為14；③拋擲一枚質地均勻的硬幣，字朝上；④13個人中至少有2個人的生日在同一個月.A．①③ B．③④ C．①④ D．②③【解題思路】由隨機事件，不可能事件和必然事件的定義判斷即可.【解答過程】解：由題可知，①③可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機事件；對于②，骰子最大的點數(shù)為6，2顆骰子的點數(shù)之和不可能為14，故②是不可能事件；對于④，每年有12個月，13個人中至少有2個人的生日在同一個月，故④是必然事件.故選：A.【變式1-3】已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（

）A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件B．事件“都是藍色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張藍色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件【解題思路】根據(jù)隨機事件、必然事件、不可能事件的定義判斷.【解答過程】袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，在A中，事件“都是紅色卡片”是隨機事件，故A正確；在B中，事件“都是藍色卡片”是不可能事件，故B正確；在C中，事件“至少有一張藍色卡片”是隨機事件，故C錯誤；在D中，事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件，故D正確．故選：C．【題型2事件與樣本空間】【方法點撥】求試驗的樣本空間主要是通過觀察、分析、模擬試驗，列舉出各個樣本點.對于樣本點個數(shù)的計算，要保證列舉出的試驗結果不重不漏.寫樣本空間時應注意兩大問題：一是抽取的方式是否為不放回抽??；二是試驗結果是否與順序有關.【例2】一個家庭有兩個小孩，則樣本空間為（

）A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}【解題思路】列舉出所有可能結果，由此可得樣本空間.【解答過程】兩個小孩的所有結果是：男男，男女，女男，女女，則所有樣本空間為{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．故選：C.【變式2-1】體育彩票搖獎時，將10個質地和大小完全相同，分別標有號碼0，1，2，…，9的球放入搖獎器中，經過充分攪拌后搖出一個球．記“搖到的球的號碼小于6”為事件A，則事件A包含的樣本點的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】根據(jù)樣本空間及樣本點的定義即可求解.【解答過程】由題意可知，事件A={0,1,2,3,4,5},共6個樣本點.故選：C.【變式2-2】先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗的樣本空間為（

）A．正面，反面B．｛正面，反面｝C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝【解題思路】利用列舉法可得答案【解答過程】解：先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗的樣本空間為｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝故選：D.【變式2-3】在試驗：連續(xù)射擊一個目標10次，觀察命中的次數(shù)中，事件A=“至少命中6次”，則下列說法正確的是A．樣本空間中共有10個樣本點B．事件A中有6個樣本點C．樣本點6在事件A內D．事件A中包含樣本點11【解題思路】連續(xù)射擊一個目標10次，可能全部脫靶，最好的情況是全部命中，故有11個樣本點；事件A={6,7,8,9,10}，由此判斷選項?！窘獯疬^程】樣本空間中有11個樣本點，故A錯；事件A中有5個樣本點，故B錯；樣本點中沒有11，故D錯.故選：C.【題型3事件的關系及運算】【方法點撥】根據(jù)事件之間的關系，結合具體問題，進行轉化求解.進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結果，必要時可列出全部的試驗結果進行分析.也可類比集合的關系和運算用Venn圖分析事件.【例3】設M，N為兩個隨機事件，如果M，N為互斥事件，那么（

）A．M∪N是必然事件 B．C．M與N一定為互斥事件 D．M與N一定不為互斥事件【解題思路】根據(jù)對立事件和互斥事件的定義，再借助維恩圖即可求解.【解答過程】因為M，N為互斥事件，則有以下兩種情況，如圖所示（第一種情況）（第二種情況）無論哪種情況，M∪N均是必然事件．故A正確．如果是第一種情況，M∪N不是必然事件，故B不正確，如果是第一種情況，M與N不一定為互斥事件，故C不正確，如果是第二種情況，M與【變式3-1】拋擲一枚骰子，“向上的面的點數(shù)是1或2”為事件A，“向上的面的點數(shù)是2或3”為事件B，則（

）A．A?B B．A=BC．A∪B表示向上的面的點數(shù)是1或2或3 D．A∩B表示向上的面的點數(shù)是1或2或3【解題思路】由題意，得到事件A，B所包含的基本事件，由此分析判斷即可．【解答過程】解：由題意可知，A={1，2}，B={2，3}，所以A∩B={2}，A∪B={1，2，3}，則A∪B表示向上的面的點數(shù)是1或2或3，故ABD錯誤，C正確．故選：C．【變式3-2】某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，那么互斥不對立的兩個事件是（

）A．恰有1名女生與恰有2名女生 B．至多有1名女生與全是男生C．至多有1名男生與全是男生 D．至少有1名女生與至多有1名男生【解題思路】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念對選項逐一分析，由此選出正確選項．【解答過程】“從中任選2名同學參加演講比賽”所包含的基本情況有：兩男、兩女、一男一女．恰有1名女生與恰有2名女生是互斥且不對立的兩個事件，故A正確；至多有1名女生與全是男生不是互斥事件，故B錯誤；至多有1名男生與全是男生既互斥又對立，故C錯誤；至少有1名女生與至多有1名男生不是互斥事件，故D錯誤．故選：A．【變式3-3】某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設A={2名全是男生}，B={2名全是女生}，C={恰有一名男生}，D={至少有一名男生}，則下列關系不正確的是（

）A．A?D B．B∩D=? C．A∪C=D D．A∪B=B∪D【解題思路】根據(jù)至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，則A?D，A∪C=D，可判斷A,C;事件B與D是互斥事件,判斷B;A∪B表示的是2名全是男生或2名全是女生，B∪D表示至少有一名男生，由此判斷D.【解答過程】至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，故A?D，A∪C=D，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故B∩D=?，故B正確，A∪B表示的是2名全是男生或2名全是女生，B∪D表示2名全是女生或名至少有一名男生，故A∪B≠B∪D，D錯誤，故選：D.【題型4古典概型的判斷及其概率的求解】【方法點撥】第一步，閱讀題目，判斷試驗是否是古典概型；第二步，計算樣本空間中的樣本點個數(shù)n；第三步，計算所求事件A包含的樣本點個數(shù)k；第四步，計算所求事件A的概率，.【例4】為培養(yǎng)學生“愛讀書?讀好書?普讀書”的良好習慣，某校創(chuàng)建了人文社科類?文學類?自然科學類三個讀書社團．甲?乙兩位同學各自參加其中一個社團，每位同學參加各個社團的可能性相同，則這兩位同學恰好參加同一個社團的概率為（

）A．13 B．12 C．23【解題思路】根據(jù)古典概型公式即可求解.【解答過程】記人文社科類?文學類?自然科學類三個讀書社團分別為a,b,c，則甲?乙兩位同學各自參加其中一個社團的基本事件有a,a,而這兩位同學恰好參加同一個社團包含的基本事件有a,a,故這兩位同學恰好參加同一個社團的概率P=3【變式4-1】隨機擲兩枚質地均勻的骰子，它們“向上的點數(shù)之和不超過5”的概率記為p1”，“向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”的概率記為p2，“向上的點數(shù)之積為偶數(shù)”的概率記為p3A．p1<p2<p3 B．【解題思路】用列舉法結合古典概型的公式求出p1，p2，【解答過程】把隨機擲兩枚骰子的所有可能結果列表如下：1,62,63,64,65,66,61,52,53,54,55,56,51,42,43,44,45,46,41,32,33,34,35,36,31,22,23,24,25,26,21,12,13,14,15,16,1共有36種等可能的結果，其中“向上的點數(shù)之和不超過5”的有10種情況，“向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”的有18種情況，“向上的點數(shù)之積為偶數(shù)”的有27種情況，所以“向上的點數(shù)之和不超過5”的概率p1“向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”的概率p2“向上的點數(shù)之積為偶數(shù)”的概率p3因為518<1【變式4-2】如圖，這是第24屆國際數(shù)學家大會會標的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的.現(xiàn)用紅色和藍色給這4個三角形區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（

）A．18 B．14 C．13【解題思路】根據(jù)古典概型概率的計算公式即可求解.【解答過程】將四塊三角形區(qū)域編號如下，由題意可得總的涂色方法有24=16種，若相鄰的區(qū)域所涂顏色不同，即12同色，34同色，故符合條件的涂色方法有2種，故所求概率【變式4-3】現(xiàn)有6個大小相同?質地均勻的小球，球上標有數(shù)字1，3，3，4，5，6.從這6個小球中隨機取出兩個球，如果已經知道取出的球中有數(shù)字3.則所取出的兩個小球上數(shù)字都是3的概率為（

）A．15 B．16 C．19【解題思路】列出事件所含基本事件，根據(jù)古典概型求解即可.【解答過程】任取兩個小球，則出的球中有數(shù)字3的事件有(1,3),(1,3),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,4),(3,5),(3,6)，共9個基本事件，其中所取出的兩個小球上數(shù)字都是3的基本事件共1個，所以所取出的兩個小球上數(shù)字都是3的概率P=1【題型5概率的基本性質的應用】【方法點撥】根據(jù)具體問題，準確表示事件，分析事件之間的關系，結合概率的基本性質，計算概率.【例5】若事件A,B為兩個互斥事件，且PA>0,PB①P②P③P④PA．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【解題思路】根據(jù)互斥事件的含義可判斷①；根據(jù)題意可知B?A，從而判斷②；根據(jù)概率的性質可判斷③④【解答過程】∵事件A,B為兩個互斥事件，A∩B=?，∴P(AB)=0，故①正確；∵事件A,B為兩個互斥事件，則B?A，∴PABP(A∪BP(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=P(A)+P(B)，故④正確，綜上，①③④正確，故選：A．【變式5-1】已知隨機事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，則P(A+B)=（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【解題思路】由對立事件概率關系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計算公式求P(A+B).【解答過程】因為P(C)=0.6，事件B與C對立，所以P(B)=0.4，又P(A)=0.3，A與B互斥，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.故選：C.【變式5-2】若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且PA=2?a，PB=4a?5，則實數(shù)A．54,2 B．54,32【解題思路】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性質列式即可作答.【解答過程】因隨機事件A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)=3a?3，依題意及概率的性質得0<P(A)<10<P(B)<10<P(A+B)≤1，即0<2?a<10<4a?5<1所以實數(shù)a的取值范圍是54【變式5-3】袋子中有5個質地完全相同的球，其中2個白球，3個是紅球，從中不放回地依次隨機摸出兩個球，記A=第一次摸到紅球”，B=“第二次摸到紅球”，則以下說法正確的是（

）A．P(A)+P(B)=P(A∩B) B．P(A)?P(B)=P(A∪B)C．P(A)=P(B) D．P(A∪B)+P(A∩B)<1【解題思路】利用古典概型概率公式求出P(A),P(B),P(A∩B)，即可判斷A、C；利用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(A∩B)求出P(A∪B)，即可判斷B、D.【解答過程】P(A)=35,P(B)=P(A∩B)=3×25×4=P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(A∩B)=35+P(A∪B)+P(A∩B)=3【題型6古典概型與其他知識的綜合】【方法點撥】對于古典概型與其他知識的綜合問題，解題的關鍵是求出所求事件包含的樣本點的個數(shù).找出滿足條件的情況，從而確定樣本點的個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式求解即可.【例6】今年5月底，中央開始鼓勵“地攤經濟”，地攤在全國遍地開花．某地政府組織調研本地地攤經濟，隨機選取100名地攤攤主了解他們每月的收入情況，并按收入（單位：千元）將攤主分成六個組5,10，10,15，15,20，20,25，25,30，30,35，得到下面收入頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中t的值，并估計每月每名地攤攤主收入的眾數(shù)和中位數(shù)（單位：千元）；(2)已知從收入在10,20的地攤攤主中用分層抽樣抽取5人，現(xiàn)從這5人中隨機抽取2人，求抽取的2人收入都來自15,20的概率．【解題思路】（1）由頻率分布直方圖中所有長方形的面積和為1，列方程可求出t的值，利用中位數(shù)兩邊的頻率相同可求出中位數(shù)，平均數(shù)等于各組中點值乘以對應的頻率，再把所有的積加起來可得平均數(shù)；（2）利用分層抽樣的比例求出10,15和15,20的人數(shù)，然后利用列舉法把所有情況列出來，再利用古典概型的概率公式求解即可.【解答過程】（1）每月每名地攤攤主收入的眾數(shù)為：22.5(千元)由0.02+0.02+0.03+0.08+t+0.01×5=1，則t=0.04由0.02+0.02+0.03×5=0.35，由0.5?0.35則中位數(shù)為20+1.875=21.875(千元)，（2）由分層抽樣可知10,15應抽取2人記為1，2，15,20應抽取3人記為a，b，c，則從這5人中抽取2人的所有情況有：1,2,1,a,1,b,1,c,2,a,【變式6-1】全世界人們越來越關注環(huán)境保護問題，某監(jiān)測站點于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：空氣質量指數(shù)(μg/0,5050,100100,150150,200200,250空氣質量等級空氣優(yōu)空氣良輕度污染中度污染重度污染天數(shù)2040m105(1)根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖；(2)在空氣質量指數(shù)分別屬于50,100和150,200監(jiān)測數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，再從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.【解題思路】(1)根據(jù)頻率的定義可求得n，從而求得m，進一步計算每組的頻率，從而完成頻率分布直方圖；(2)根據(jù)分層抽樣的定義可以確定空氣質量指數(shù)為[50,100)和[150,200)的監(jiān)測天數(shù)中分別抽取4天和1天，再根據(jù)古典概率模型計算公式即可求解.【解答過程】（1）因為0.004×50=20n，解得因為20+40+m+10+5=100，解得m=25，40100×50=0.008，25100×50=0.005，完成頻率分布直方圖如圖：（2）空氣質量指數(shù)為[50,100)和[150,200)的監(jiān)測天數(shù)中分別抽取4天和1天，在所抽取的5天中，將空氣質量指數(shù)為[50,100)的4天分別記為a,b,c,d，將空氣質量指數(shù)為[150,200)的1天記為e．從中任取2天的基本事件分別為(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10天，其中事件A“兩天空氣都為良”包含的基本事件為(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共6天，所以事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率P=6【變式6-2】公司檢測一批產品的質量情況，共計1000件，將其質量指標值統(tǒng)計如下所示.(1)求a的值以及這批產品質量指標的平均值x以及方差s2(2)若按照分層抽樣的方法在質量指標值為185,205的產品中隨機抽取5件，再從這5件中任取3件，求至少有2件產品的質量指標在195,205的概率.【解題思路】（1）根據(jù)頻率和為1計算得到a=0.002，根據(jù)公式計算平均值和方差即可.（2）根據(jù)分層抽樣的比例關系得到各層的個數(shù)，列舉出所有情況，統(tǒng)計滿足條件的情況，得到概率.【解答過程】（1）10a+0.009+0.022+0.033+0.024+0.008+a=1，解得x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200s2=170?200（2）由分層抽樣可知，質量指標在185,195的產品中抽5×220550=2在195,205的產品中抽3個，記為1,2,3，則任取3個，所有的情況為A,B,1,A,B,2,其中滿足條件的為A,1,2,A,1,3,故所求概率P=7【變式6-3】某電視臺為宣傳本省，隨機對本省內15~65歲的人群抽取了n人，回答問題“本省內著名旅游景點有哪些”統(tǒng)計結果如圖表所示組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第1組15,25a0.5第2組25,3518x第3組35,45b0.9第4組45,5590.36第5組55,653y(1)分別求出a、b、x、y的值；(2)從第2?3?4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，并從這6人中隨機抽取2人，求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率.(3)求出直方圖中，前三組（第1?2?3組）的平均年齡數(shù)（結果保留一位小數(shù)）？【解題思路】（1）先算出第4組的總人數(shù)，再根據(jù)頻率分布直方圖得到第4組的頻率，從而可計算總人數(shù)n，最后計算出相應組人數(shù)后利用統(tǒng)計結果表可得a,b,x,y的值；（2）先利用分層抽樣求得第2、3、4組抽取的人數(shù)，再利用列舉法及古典概型概率的求法即可得解；（3）利用頻率分布直方圖平均數(shù)的求法即可求得所求.【解答過程】（1）由頻率表中第4組數(shù)據(jù)可知，第4組總人數(shù)為90.36再結合頻率分布直方圖可知n=250.025×10=100b=100×0.03×10×0.9=27，x=18100×0.02×10=（2）由（1）可知第2、3、4組回答正確的共有18+b+9=54人，所以利用分層抽樣在54人中抽取6人，第2組抽取1854×6=2（人），記為第3組抽取2754×6=3（人），記為r,s,t；第4組抽取954所以從6人隨機抽取2人的基本事件有mn,mr,ms,mt,mc,nr,ns,nt,nc,rs,rt,rc,st,sc,tc，共15件，其中所抽取的人中恰好沒有第3組的人（記為事件M）的基本事件有mn,mc,nc，共3件，所以PM=3（3）根據(jù)題意，得前三組（第1?2?3組）的頻率為0.01×10+0.02×10+0.03×10=0.6，所以前三組（第1?2?3組）的平均年齡數(shù)0.01×100.6專題10.1隨機事件與概率（重難點題型檢測）一．單選題1．連續(xù)擲一顆篩子兩次，以下是必然事件的是（

）A．點數(shù)和為偶數(shù) B．至少出現(xiàn)一次點數(shù)為偶數(shù)C．點數(shù)和不小于2 D．點數(shù)和為奇數(shù)【解題思路】根據(jù)必然事件的定義對選項一一分析即可.【解答過程】連續(xù)擲一顆篩子兩次，兩次事件相互獨立，各自的可能都為1,2,3,4,5,6，對于A：若兩次點數(shù)分別為1，2，則和為奇數(shù)，故A錯誤；對于B：若兩次點數(shù)分別為1，3，則都為奇數(shù)，故B錯誤；對于C：兩次點數(shù)最小都為1，則和不小于2，故C正確；對于D：若兩次點數(shù)分別為1，3，則和為偶數(shù)，故D錯誤；故選：C.2．一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則該試驗的樣本空間所包含的基本事件的個數(shù)為（

）A．6 B．9 C．12 D．16【解題思路】樣本數(shù)量少，可以通過列舉法.【解答過程】解：由題意，該試驗的樣本空間所包含的基本事件有：1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4共6個，故選：A．3．有下列說法：（1）某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結果都是出現(xiàn)6點，他認為這枚骰子的質地是均勻的．（2）某地氣象局預報，明天本地下雨概率為70%，由此認為明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨．（3）拋擲一枚質地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣，都出現(xiàn)反面的概率是14（4）圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，認為一定有一次會摸到黑子．其中正確的個數(shù)為（

）A．0 B．2 C．3 D．1【解題思路】某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結果都是一樣，這枚骰子的質地可能是不均勻的；天氣預報中下雨的概率是指要下雨的把握有多大；根據(jù)事件的隨機性，圍棋盒里棋子有放回抽樣，不一定有一次會摸到黑子.【解答過程】由題意得：某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結果都是出現(xiàn)6點，這枚骰子的質地可能是不均勻的，故（1）不正確；某地氣象局預報，明天本地下雨概率為70%，是指要下雨的把握有多大，故（2）不正確；拋擲一枚質地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣，都出現(xiàn)反面的概率是14圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，不一定有一次會摸到黑子．（4）不正確．綜上可知，有1個說法是正確的，故選：D．4．已知一個古典概型的樣本空間Ω和事件A和B，其中n(Ω)=12，n(A)=6，n(B)=4，n(A∪B)=8，那么下列事件概率錯誤的是（

）A．P(AB)=16 C．P(AB)=1【解題思路】運用古典概型概率計算公式分別計算出相應事件的概率即可作出判斷.【解答過程】對于選項A：n(AB)=n(A)+n(B)?n(A∪B)=6+4?8=2，所以P(AB)=n(AB)n(Ω)=對于選項C：n(AB)=n(B)?n(AB)=4?2=2，所以對于選項D：n(AB)=n(Ω)?n(A∪B)=12?8=4故選：D.5．為防控新冠疫情，很多公共場所要求進入的人必須佩戴口罩．現(xiàn)有人在一次外出時需要從藍、白、紅、黑、綠5種顏色各1只的口罩中隨機選3只不同顏色的口罩，則藍、白口罩同時被選中的概率為（

）A．310 B．57 C．35【解題思路】先列舉基本事件，再利用古典概型的概率公式求解.【解答過程】從藍、白、紅、黑、綠5種顏色的口罩中選3只不同顏色的口罩，基本事件列舉如下：（藍白紅），（藍白黑），（藍白綠），（藍紅黑），（藍紅綠），（藍黑綠），（白紅黑），（白紅綠），（白黑綠），（紅黑綠），共有10個基本事件，其中藍、白口罩同時被選中的基本事件有（藍白紅），（藍白黑），（藍白綠），共含3個基本事件，所以藍、白口罩同時被選中的概率為3106．拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：Ai=“向上的點數(shù)為i”，其中i=1,2,3,4,5,6，B=“向上的點數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（A．A1?B B．A2+B=Ω C．A3與B互斥 【解題思路】對于選項中的事件，分別寫出對應的基本事件構成的集合，依次分析，即可【解答過程】對于A，A1=2,3,4,5,6，B=2,4,6對于B，A2對于C，A3與B對于D，A4=4，B=1,3,57．在一次隨機試驗中，其中3個事件A1,AA．A1+A2與A3C．P(A2∪【解題思路】結合已知條件可知，事件A1【解答過程】由已知條件可知，一次隨機試驗中產生的事件可能不止事件A1故P(AP(A2∪故選：D.8．甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設事件A=“甲擊中靶”，事件B=“乙擊中靶”，事件E=“靶未被擊中”，事件F=“靶被擊中”，事件G=“恰一人擊中靶”，對下列關系式（A表示A的對立事件，B表示B的對立事件）：①E=AB，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=AB+AB，⑥PFA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)事件關系，靶為被擊中即甲乙均未擊中；靶被擊中即至少一人擊中，分為恰有一人擊中或兩人都擊中，依次判定即可.【解答過程】由題可得：①E=AB，正確；②事件F=“靶被擊中”，AB表示甲乙同時擊中，F(xiàn)=AB+AB+AB，所以②錯誤；③F=A+B，正確，④A+B表示靶被擊中，所以④錯誤；⑤G=AB+AB，正確；⑥E,F互為對立事件，P(F)=1?P(E)故選：B.二．多選題9．在10名學生中，男生有x人．現(xiàn)從這10名學生中任選6人去參加某項活動，有下列事件：①至少有一個女生；②5個男生，1個女生；③3個男生，3個女生．若要使①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機事件，則x的值可能為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】由不可能事件、必然事件和隨機事件的概念可確定x的范圍，進而得到結果.【解答過程】若②為不可能事件，則男生人數(shù)少于5，則同時可保證①為必然事件；若③為隨機事件，則男生人數(shù)不少于3；∴x=3或x=4.故選：BC.10．在一個試驗模型中，設A表示一個隨機事件，A表示A的對立事件.以下結論正確的是（

）A．P(A)=P(A) B．P(A+A)=1 C．若P(A)=1，則【解題思路】根據(jù)對立事件及其概率關系A+A=Ω，即【解答過程】選項A，由對立事件的性質P(A)+P(A)=1,由對立事件的概念得A+A=Ω，即由對立事件的性質P(A)+P(A)=1知，P(A)=1?P(A)，故若由對立事件的概念得AA=?，即11．一個盒子中裝有5支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品，大小質地完全相同，若從中隨機取出3支，則與事件“取出1支一等品和2支二等品”互斥的事件有（

）A．取出的3支筆中，至少2支一等品 B．取出的3支筆中，至多1支二等品C．取出的3支筆中，既有一等品也有二等品 D．取出的3支筆中，沒有二等品【解題思路】根據(jù)互斥事件的定義逐項檢驗即可求解【解答過程】對于A，事件“取出的3支筆中，至少2支一等品”包括2支一等品和1支二等品，3支一等品兩種結果，與事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同時發(fā)生，它們是互斥事件，故A正確；對于B，事件“取出的3支筆中，至多1支二等品”包括2支一等品和1支二等品，3支一等品兩種結果，與事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同時發(fā)生，它們是互斥事件，故B正確；對于C，事件“取出的3支筆中，既有一等品也有二等品”包括1支一等品和2支二等品，2支一等品和1支二等品兩種結果，與事件“取出1支一等品和2支二等品”可能同時發(fā)生，它們不是互斥事件，故C不正確；對于D，事件“取出的3支筆中，沒有二等品”指3支一等品，與事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同時發(fā)生，它們是互斥事件，故D正確；故選：ABD.12．某次智力競賽的一道多項選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得10分，部分選對的得5分，有選錯的得0分.”已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學都不會做，下列表述正確的是（

）A．甲同學僅隨機選一個選項，能得5分的概率是1B．乙同學僅隨機選兩個選項，能得10分的概率是1C．丙同學隨機選擇選項，能得分的概率是1D．丁同學隨機至少選擇兩個選項，能得分的概率是1【解題思路】對各項中的隨機事件，計算出基本事件的總數(shù)和隨機事件中含有的基本事件的個數(shù)，再計算出相應的概率后可得正確的選項.【解答過程】甲同學僅隨機選一個選項，共有4個基本事件，分別為A,隨機事件“若能得5分”中有基本事件C,D，故“能得5分”的概率為乙同學僅隨機選兩個選項，共有6個基本事件，分別為：A,B,隨機事件“能得10分”中有基本事件C,D，故“能得10分”的概率為16丙同學隨機選擇選項（丙至少選擇一項），由A、B中的分析可知共有基本事件15種，分別為：選擇一項：A,選擇兩項：A,B,選擇三項或全選：A,B,C,A,B,D,隨機事件“能得分”中有基本事件C,D,丁同學隨機至少選擇兩個選項，由C的分析可知：共有基本事件11個，隨機事件“能得分”中有基本事件C,D，故“能得分”的概率為111三．填空題13．從裝有標號為1、2、3、4的四個球的袋子中任取兩球，觀察取出兩個球的標號和，則此隨機現(xiàn)象的樣本空間是3,4,5,6,7.【解題思路】根據(jù)題意列舉出任取兩球的結果，從而得到兩個球的標號和，進而得解.【解答過程】因為從裝有標號為1、2、3、4的四個球的袋子中任取兩球的結果有1,2,1,3,所以該隨機現(xiàn)象的樣本空間是3,4,5,6,7.故答案為：3,4,5,6,7.14．已知事件A、B互斥，PA∪B=35，且PA=2P【解題思路】由已知事件A、B互斥，且PA=2PB進而根據(jù)對立事件概率公式得到答案.【解答過程】解：∵事件A、B互斥，且PA=2PB，∴解得PB=15,15．在拋擲一顆骰子（一種正方體玩具，六個面分別標有1,2,3,4,5,6字樣）的試驗中，事件A表示“不大于3的奇數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于4的點數(shù)出現(xiàn)”，則事件A+B的概率為56【解題思路】根據(jù)給定條件利用古典概率公式求出事件A和B的概率即可計算作答.【解答過程】依題意，拋擲一顆骰子的試驗有6個不同的結果，它們等可能，其中事件A有2個結果，事件B有3結果，于是有P(A)=26=13，P(B)=所以事件A+B的概率為56.故答案為：16．第14屆國際數(shù)學教有大會（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海舉辦，已知張老師和李老師都在7天中隨機選擇了連續(xù)的3天參會，則兩位老師所選的日期恰好都不相同的概率為625【解題思路】先確定隨機試驗張老師和李老師各在7天中隨機選擇了連續(xù)的3天參會的基本事件數(shù)，再確定事件兩位老師所選的日期恰好都不相同所包含的基本事件數(shù)，由古典概型概率公式求事件兩位老師所選的日期恰好都不相同的概率.【解答過程】因為張老師在7天中隨機選擇連續(xù)的3天參會共有5種選法，即12,13,14，13,14,15，14,15,16，15,16,17，16,17,18，所以隨機試驗張老師和李老師各在7天中隨機選擇連續(xù)的3天參會的基本事件數(shù)為25，其中兩位老師所選的日期恰好都不相同選法有：張老師選12,13,14，李老師選15,16,17或16,17,18，張老師選13,14,15，李老師選16,17,18，張老師選15,16,17，李老師選12,13,14，張老師選16,17,18，李老師選12,13,14或13,14,15，即事件兩位老師所選的日期恰好都不相同包含6個基本事件，所以事件兩位老師所選的日期恰好都不相同的概率P=6故答案為：625四．解答題17．從含有5件次品的100件產品中任取3件，觀察其中的次品數(shù)．(1)選擇合適的表示方法寫出樣本空間；(2)記事件A：“取到的3件產品中沒有次品”，寫出A包含的樣本點；(3)說明事件B=0,1【解題思路】（1）用0，1，2，3表示抽取的3件產品中次品的件數(shù)，進而得到樣本空間；（2）依據(jù)用0，1，2，3表示抽取的3件產品中次品的件數(shù)，進而寫出A包含的樣本點；（3）依據(jù)用0，1，2，3表示抽取的3件產品中次品的件數(shù)，進而得到事件B=0,1【解答過程】（1）用0，1，2，3表示抽取的3件產品中次品的件數(shù)，則有樣本空間Ω={0,1,2,3}（2）事件A中包含的樣本點為0．（3）B={0,1}表示的實際意義是抽取的3件產品中沒有次品或只有一件次品．18．指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機事件．(1)如果a、b都是實數(shù)，那么a+b=b+a；(2)從分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼玫?號簽；(3)某人投籃5次，投中6次；(4)某電話總機在60秒內接到至少15次呼叫；(5)在標準大氣壓下，水的溫度達到50℃時沸騰．【解題思路】由題意結合必然事件、不可能事件、隨機事件的定義，即可作出判斷.【解答過程】（1）如果a、b都是實數(shù)，那么a+b=b+a,是必然事件；（2）從分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼赡艿玫?號簽，也可能是其它號簽，故為隨機事件；（3）某人投籃5次，投中6次，是不可能事件；（4）某電話總機在60秒內接到至少15次呼叫，是隨機事件；（5）在標準大氣壓下，水的溫度達到50℃時是不可能沸騰的，故為不可能事件.19．把標號為1、2、3、4的四張卡片分給甲、乙、丙、丁四個人，每人一張．設A：甲分得1號卡片；B：乙分得1號卡片．(1)求A∩B、A∪B；(2)A與B是否為互斥事件？是否為對立事件？若不是對立事件，分別寫出A與B的對立事件．【解題思路】（1）根據(jù)A∩B、A∪B直接理解判斷即可;（2）由互斥事件和對立事件的概念即可判斷.【解答過程】(1)根據(jù)題意，事件A和事件B不可能同時發(fā)生，所以A∩B是不可能事件，即A∩B=?；A∪B={甲分得1號卡，乙分得1號卡}；(2)由（1）可知事件A和事件B不可能同時發(fā)生，所以事件A和事件B是互斥事件，又因為事件A和事件B可以都不發(fā)生，如甲分得2號卡片，同時乙分得3號卡片，所以事件A和事件B不是對立事件，事件A的對立事件A為“甲未分得1號卡片”，事件B的對立事件B為“乙未分得1號卡片”.20．已知n是一個三位正整數(shù)，若n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）．現(xiàn)要從甲、乙兩名同學中選出人參加某市組織的數(shù)學競賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學競賽；否則，乙參加數(shù)學競賽．(1)由1，2，3，4，5，6可組成多少個“三位遞增數(shù)”？分別用樹狀圖法和列