專題10.4古典概型大題專項(xiàng)訓(xùn)練1．從4名男同學(xué)、2名女同學(xué)中選出3人構(gòu)成一組．(1)該活動(dòng)包含了多少個(gè)基本事件？(2)抽出男同學(xué)比女同學(xué)多的概率是多少？【解題思路】（1）對(duì)6名同學(xué)編號(hào)，利用列舉法列出所有基本事件即可作答.（2）由（1），求出抽出男同學(xué)比女同學(xué)多的基本事件數(shù)，再利用古典概型計(jì)算作答.【解答過程】（1）4名男同學(xué)分別記為a1,a2,從4名男同學(xué)、2名女同學(xué)中選出3人的不同結(jié)果為：a1a2所以該活動(dòng)包含了20個(gè)基本事件.（2）由（1）知，抽出的男同學(xué)比女同學(xué)多的事件包含的基本事件有：a1a2所以抽出男同學(xué)比女同學(xué)多的概率P=162．一個(gè)袋中袋有5個(gè)形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個(gè)，編號(hào)分別為1，2；黑球有2個(gè)，編號(hào)分別為1，2；白球有一個(gè)，編號(hào)為1，現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取2個(gè)球．(1)求取出的2個(gè)球的顏色不相同的概率；(2)求取得的球中有1號(hào)球的概率．【解題思路】（1）先列舉出所有的基本事件，再找到取出的2個(gè)球的顏色不相同基本事件，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．（2）先列舉出所有的基本事件，再找到取得的球中有1號(hào)球的基本事件，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答過程】（1）從袋中一次隨機(jī)抽取2個(gè)球的基本情況有：（紅1，紅2)，（紅1，黑1)，（紅1，黑2)，（紅1，白1)，（紅2，黑1)，（紅2，黑2)，（紅2，白1)，（黑1，黑2)，（黑1，白1)，（黑2，白1)，共10種，取出的2個(gè)球的顏色不相同的基本事件有：（紅1，黑1)，（紅1，黑2)，（紅1，白1)，（紅2，黑1)，（紅2，黑2)，（紅2，白1)，（黑1，白1)，（黑2，白1)，共8種，故取出的2個(gè)球的顏色不相同的概率為810（2）取得的球中有1號(hào)球的基本事件有：（紅1，紅2)，（紅1，黑1)，（紅1，黑2)，（紅1，白1)，（紅2，黑1)，（紅2，白1)，（黑1，黑2)，（黑1，白1)，（黑2，白1)，共9種，故取得的球中有1號(hào)球的概率9103．由數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)中抽取一個(gè)，求：(1)所抽到數(shù)為偶數(shù)的概率；(2)所抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率；(3)所抽到數(shù)的個(gè)位和十位不相同的概率．【解題思路】運(yùn)用列舉法，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解（1）（2）（3）即可.【解答過程】（1）數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有11,12，13，所以所抽到數(shù)為偶數(shù)的概率816（2）數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有11,12，13，所以抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率516（3）數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有11,12，13，所以抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率12164．兩個(gè)口袋，每個(gè)袋中有3個(gè)大小質(zhì)地相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3.現(xiàn)分別從每一個(gè)袋中取一個(gè)小球，觀察其上標(biāo)的數(shù)字.(1)寫出試驗(yàn)樣本空間；(2)設(shè)事件A=“兩個(gè)小球都是奇數(shù)”，B＝“兩個(gè)小球的和為4”，求：①事件A的概率；②事件B的概率.【解題思路】（1）利用列舉法求得正確答案.（2）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得事件A,B的概率.【解答過程】（1）樣本空間如下：1,1,（2）①，事件A包括的基本事件為：1,1,1,3,所以PA②，事件B包括的基本事件為：1,3,2,2,所以PB5．為了提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，某校將舉行“‘象山杯’數(shù)學(xué)解題能力比賽”，每班派3人參加，某班級(jí)老師已經(jīng)確定2參賽名額，第3個(gè)參賽名額在甲，乙同學(xué)間產(chǎn)生，為了比較甲，乙兩人解答某種題型的能力，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)同學(xué)各10次之前該題型的解答結(jié)果如下：a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，其中a，a(1)若解答正確給該同學(xué)1分，否則記0分．試計(jì)算甲、乙兩人之前的成績的平均數(shù)和方差，并根據(jù)結(jié)果推薦誰參加比賽更合適；(2)若再安排甲、乙兩人解答一次該題型試題，試估計(jì)恰有一人解答正確的概率.【解題思路】（1）根據(jù)平均數(shù)與方差的公式分別計(jì)算甲、乙兩人的平均數(shù)與方程，進(jìn)而推薦人選；（2）利用古典概型的概率公式估計(jì)恰有一人正確的概率.【解答過程】（1）由已知得甲的平均數(shù)x甲=1×7+0×3乙的平均數(shù)x乙=1×8+0×2因?yàn)閤甲<x（2）由已知的10個(gè)結(jié)果中，恰有一人解答正確的結(jié)果是a,b，a,b，a,b所以恰有一人正確的概率為3106．某中學(xué)參加知識(shí)競(jìng)賽結(jié)束后，為了解競(jìng)賽成績情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取800名學(xué)生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖并估計(jì)這800名學(xué)生的平均成績；(2)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這800名學(xué)生中抽取容量為40的樣本，再從該樣本中成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少有1名學(xué)生成績不低于90分的概率.【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得成績落在60,70的頻率，從而可得這800名學(xué)生的平均成績；（2）根據(jù)分層抽樣確定成績?cè)?0,90內(nèi)的人數(shù)并標(biāo)記，成績?cè)?0,100內(nèi)的人數(shù)并標(biāo)記，根據(jù)古典概型列舉基本事件種數(shù)及所求事件種數(shù)，即可得概率值.【解答過程】（1）成績落在60,70的頻率為1?0.15+0.30+0.10+0.05補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖：這800名學(xué)生的平均成績約為；55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）；（2）抽取的40名學(xué)生中，成績?cè)?0,90內(nèi)的有800×0.1×40800=4（人），分別記為a1，a2，a3，a4，成績?cè)?0,100從這6人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有a1,a2，a1,a3，a1,a4，a1,b1，a1,b2，記事件A=“至少有1名學(xué)生成績不低于90分”，則A事件包含的基本事件有：a1,b1，a1,b2，a2,b1，所以所求概率為PA7．某地區(qū)有小學(xué)15所，中學(xué)10所，大學(xué)5所，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率.【解題思路】（1）根據(jù)分層抽樣的知識(shí)求得正確答案.（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.【解答過程】（1）從小學(xué)抽取6×1515+10+5=3從大學(xué)抽取6×5（2）小學(xué)的3所學(xué)校編號(hào)為1,2,3，中學(xué)的2所學(xué)校編號(hào)為4,5，大學(xué)的1所學(xué)校編號(hào)為6，從中隨機(jī)抽取2所學(xué)校，基本事件有：12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15種，其中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的是：12,13,23，從3種，所以抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率為3158．某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.(1)求應(yīng)從小學(xué)，中學(xué)，大學(xué)中分別抽取學(xué)校的數(shù)目；(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率.【解題思路】（1）根據(jù)分層抽樣的方法，得到分層抽樣的比例，即可求解從小學(xué)，中學(xué)，大學(xué)中分別抽取學(xué)校的數(shù)目；（2）列舉法列出從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所的所有可能性，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求得相應(yīng)的概率．【解答過程】（1）學(xué)?？倲?shù)為42所，所以分層抽樣的比例為642計(jì)算各類學(xué)校應(yīng)抽取的數(shù)目為：21×1故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3所、2所、1所.（2）3所小學(xué)分別記為a1,a2,應(yīng)抽取的2所學(xué)校的所有結(jié)果為：aa2設(shè)“抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)”作為事件A．其結(jié)果共有3種，所以概率為P(9．一個(gè)盒子中裝有四張卡片，每張卡片上寫有一個(gè)數(shù)字，數(shù)字分別是1，2，3，4，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片，每張卡片被抽到的概率相等．(1)若一次抽取三張卡片，求抽到的三張卡片上的數(shù)字之和大于8的概率；(2)若第一次抽一張卡片，放回后攪勻再抽取一張卡片，求兩次抽取中至少有一次抽到寫有數(shù)字2的卡片的概率．【解題思路】（1）先寫出三張卡片上的數(shù)字全部可能的結(jié)果，一一列舉出，把滿足數(shù)字之和大于8的找出來，由此求所抽取的三張卡片的數(shù)字之和大于8的概率．（2）列舉出每次抽1張，連續(xù)抽取兩張全部可能的基本結(jié)果，而滿足條件的事件是兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字2，從前面列舉出的結(jié)果中找出來，根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可得到所求答案．【解答過程】（1）設(shè)A表示事件“抽到的三張卡片上的數(shù)字之和大于8”，

∵任取三張卡片，三張卡片上的數(shù)字全部可能的結(jié)果是{1、2、3}，{1、2、4}，{1、3、4}，{2、3、4}共4個(gè)，其中數(shù)字之和大于8的是{2、3、4}，∴P(A)=1（2）設(shè)B表示事件“至少一次抽到2”，

∵每次抽1張，連續(xù)抽取兩張全部可能的結(jié)果有：（1、1），（1、2），（1、3），（1、4），（2、1），（2、2），（2、3），（2、4），（3、1），（3、2），（3、3），（3、4），（4、1），（4、2），（4、3），（4、4），共16個(gè)．

事件B包含的基本結(jié)果有（1、2），（2、2），（2、1），（2、3），（3、2），（2、4），（4、2），共7個(gè)基本結(jié)果．∴所求事件的概率為P(B)=710．袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4.(1)從袋中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)的概率;(2)從袋中每次摸出一球，有放回地摸兩次.甲、乙約定：若摸出的兩個(gè)球標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)，則甲勝，反之，則乙勝.你認(rèn)為此游戲是否公平?說明你的理由.【解題思路】（1）利用列舉法寫出樣本空間及事件的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式即可求解;（2）利用列舉法寫出樣本空間及事件的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式及概率進(jìn)行比較即可求解.【解答過程】（1）試驗(yàn)的樣本空間Ω=??{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}，共6個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件B，則B包含的樣本點(diǎn)為(1,2)，(1,4)，(2,3)，（2）試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)??,(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)??}，共有16個(gè)，設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件C，事件C包含的樣本點(diǎn)為(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8個(gè),故所求概率為P(C)=8所以甲、乙獲勝的概率是公平的.11．拋擲兩顆骰子，求：(1)點(diǎn)數(shù)之和是4的概率；(2)點(diǎn)數(shù)之和小于4的概率；(3)點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值為3的概率．【解題思路】（1）拋擲兩顆骰子，計(jì)算出總的基本事件，然后列出點(diǎn)數(shù)之和為4包含的基本事件，由此能求出點(diǎn)數(shù)之和為4的概率．（2）列出點(diǎn)數(shù)之和小于4的基本事件，由此能求出點(diǎn)數(shù)之和小于4的概率．（3）列出點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值為3的基本事件，由此能求出點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值為3的概率．【解答過程】（1）拋擲兩顆骰子，基本事件的總數(shù)n=6×6=36，點(diǎn)數(shù)之和為4包含的基本事件有：（1，3），（2，2），（3，1），共3個(gè)，所以點(diǎn)數(shù)之和為4的概率P=3（2）點(diǎn)數(shù)之和小于4的包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），共3個(gè)，所以點(diǎn)數(shù)之和小于4的概率P=3（3）點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值為3的基本事件有：（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6個(gè)，所以點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值為3的概率P=612．汽車業(yè)是碳排放量比較大的行業(yè)之一，歐盟規(guī)定，從2012年開始，將對(duì)二氧化碳排放量超過130g/km的M1型汽車進(jìn)行懲罰，某檢測(cè)單位對(duì)甲、乙兩類M甲80110120140150乙100120x100160經(jīng)測(cè)算發(fā)現(xiàn)，乙品牌M1型汽車二氧化碳排放量的平均值為（1）從被檢測(cè)的5輛甲類M1型品牌車中任取2輛，則至少有1輛二氧化碳排放量超過130（2）求表中x的值，并比較甲、乙兩品牌M1型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性．(s2=1n[(x【解題思路】（1）由古典概型概率公式可得所求概率.（2）分別求甲、乙兩品牌M1【解答過程】從被檢測(cè)的5輛甲品牌汽車任取2輛，共有10種不同的二氧化碳排放量結(jié)果：80,110,設(shè)“至少有1輛二氧化碳排放量超過130g/事件A包含7種不同結(jié)果：80,140,所以P（2）由題可知100+120+x+100+1605=120，所以又∵x甲=80+110+120+140+150s甲所以s甲13．某超市計(jì)劃購進(jìn)1000kg蘋果，采購員從供應(yīng)商提供的蘋果中隨機(jī)抽取了10箱（每箱20kg）統(tǒng)計(jì)每箱的爛果個(gè)數(shù)并繪制得到如下表格：第1箱第2箱第3箱第4箱第5箱第6箱第7箱第8箱第9箱第10箱爛果個(gè)數(shù)0001000011假設(shè)在一箱蘋果中沒有爛果，則該箱的價(jià)格為120元，若出現(xiàn)一個(gè)爛果，則該箱的價(jià)格為110元．(1)以樣本估計(jì)總體，試問采購員購進(jìn)1000kg蘋果需要多少元？(2)若采購員檢查完前3箱（即第1~3箱）蘋果后，從剩下的7箱中任選2箱，這2箱都沒有爛果，就按照每箱120元的價(jià)格購進(jìn)1000kg蘋果，求采購員按照這個(gè)價(jià)格采購蘋果的概率．【解題思路】(1)計(jì)算10箱蘋果的平均價(jià)格，利用樣本估計(jì)總體即可求解；(2)利用古典概率模型求解.【解答過程】（1）由表可知，這10箱蘋果中，沒有爛果的有7箱，出現(xiàn)一個(gè)爛果的有3箱，所以這10箱蘋果的價(jià)格為120×7+110×3=1170元，故采購員共1000kg蘋果需要1170×1000（2）設(shè)第ii=4,5,6,7,8,9,10箱分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，（其中A，F(xiàn)，G這3箱有一個(gè)爛果），從7箱中任選2箱，所有的情況為A,B，A,C，A,D，A,E，A,F，A,G，B,C，B,D，B,E，B,F，B,G，C,D，C,E，C,F，C,G，D,E，D,F，D,G，E,F，E,G，F(xiàn),G，共21種，其中沒有A，F(xiàn)，G的有6種情況，故采購員按照這個(gè)價(jià)格采購蘋果的概率為62114．已知函數(shù)f(x)=ax2?bx?1，集合P={1,2,3,4},Q={2,4,6,8}，若分別從集合P，Q中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a和b(1)記事件A為“函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為1,+∞”，求事件(2)記事件B為“方程fx=2有4個(gè)根”，求事件【解題思路】（1）列舉樣本空間所有的樣本點(diǎn)，依題意有b=2a，列舉滿足條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算；（2）依題意有b2【解答過程】（1）由題知a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,6,8}，所以，數(shù)對(duì)(a,b)的可能取值為：(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共16對(duì)．若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞)，則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=所以，滿足條件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)，共4對(duì)，所以，事件A的概率為P(A)=（2）因?yàn)閍>0，二次函數(shù)開口向上，所以，方程|f(x)|=2有4個(gè)根，即為f(x)=2和f(x)=?2各有2個(gè)根，所以，二次函數(shù)f(x)=ax2?bx?1所以?4a?b24a滿足條件的基本事件有：(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8)，共11對(duì)，所以，事件B的概率P(B)=1115．袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中紅色小球1個(gè)，黃色小球1個(gè)，藍(lán)色小球n個(gè)，從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，設(shè)取到藍(lán)色小球?yàn)槭录﨧，且事件M發(fā)生的概率是12(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，若每次取到紅色小球得0分，取到黃色小球得1分，取到藍(lán)色小球得2分，設(shè)第一次取出小球后得分為a，第二次取出小球后得分為b，記事件N為“a+b=2”，求事件N發(fā)生的概率.【解題思路】（1）袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共有n+2個(gè)結(jié)果，得到PM（2）紅色小球記為A，黃色的小球記為B，藍(lán)色小球記為C1，C【解答過程】（1）由題意，從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共有n+2個(gè)結(jié)果，每個(gè)結(jié)果可能性相同，其中事件M發(fā)生有n種結(jié)果，所以PM=n（2）把紅色小球記為A；黃色的小球記為B；藍(lán)色小球記為C1，C則兩次不放回地取出小球的組合情況可用表格表示為ABCCA×A,BA,A,BB,A×B,B,CCC×CCCCC×共12個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件N包含的樣本點(diǎn)有A,C1，A,C2，所以PN16．2022年下半年，我國新冠肺炎疫情“多點(diǎn)散發(fā)”的特點(diǎn)愈加明顯，為了有效阻斷疫情的快速傳播，全國各地均提供了生活必需品線上采購服務(wù)，某地區(qū)為了更好的做好此項(xiàng)工作，高質(zhì)量服務(wù)于百姓生活，對(duì)愛好線上采購生活必需品的人員進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位線上采購愛好者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計(jì)該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間20,70的概率；(3)工作人員為了確定20歲以下和80歲以上是否具有主動(dòng)性和代表性，在參與調(diào)查的100位線上采購愛好者中20歲以下和80歲以上人員中抽取兩名進(jìn)行電話訪問，求被訪問者恰有一名是80歲以上的概率．【解題思路】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)的方法計(jì)算即可；（2）由這100位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間20,70的頻率估計(jì)概率；（3）由列舉法結(jié)合概率公式求解即可.【解答過程】（1）該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡為5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9≈48（歲）（2）這100位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間20,70的頻率為0.012+0.017+0.023+0.02+0.017×10=0.89故估計(jì)該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間20,70的概率0.89.（3）參與調(diào)查的100位線上采購愛好者中20歲以下的人數(shù)為0.03×100=3人，記為1,2,3；80歲以上的人數(shù)為0.02×100=2人，記為a,b.從這三名中抽取兩名進(jìn)行電話訪問，所有情況如下：1,2,其中被訪問者恰有一名是80歲以上的情況分別為1,a,則被訪問者恰有一名是80歲以上的概率為61017．某中學(xué)為研究本校高一學(xué)生市聯(lián)考的語文成績，隨機(jī)抽取了100位同學(xué)的語文成績作為樣本，按分組80,90，90,100，100,110，110,120，120,130，130,140，140,150整理后得到如下頻率分布直方圖.(1)求圖中x的值；(2)請(qǐng)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)本次聯(lián)考該校語文平均成績（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(3)用分層隨機(jī)抽樣的方法，從樣本內(nèi)語文成績?cè)?30,140，140,150的兩組學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人語文成績?cè)?30,140的概率.【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形面積和為1，求得x；（2）用每一組區(qū)間的中點(diǎn)值代替該組數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)；（3）計(jì)算分層抽樣每層抽取人數(shù)，列出所有選出2人的基本事件，求出概率.【解答過程】（1）由頻率分布直方可知，0.012+0.022+0.028+0.018+x+0.008+0.002×10=1，解得x=0.01（2）由圖可知，語文成績?cè)?0,90，90,100，100,110，110,120，120,130，130,140，140,150的頻率分別為0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，設(shè)樣本數(shù)據(jù)中語文平均成績?yōu)閤，則x=85+10×0.22+20×0.28+30×0.18+40×0.10+50×0.08+60×0.02=85+2.2+5.6+5.4+4+4+1.2=107.4，故估計(jì)本次聯(lián)考該校語文平均成績?yōu)?07.4分；（3）由題知，樣本內(nèi)語文成績?cè)?30,140，140,150的學(xué)生分別有8名和2名，按分層隨機(jī)抽樣抽取的5名學(xué)生中，分?jǐn)?shù)在130,140的學(xué)生有4名，記為A，B，C，D，在140,150的學(xué)生有1名，記為e，從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，所有的情況有10種：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，其中恰有一人語文成績?cè)?30,140的有4種：Ae，Be，Ce，De，則這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，恰有一人語文成績?cè)?30,140的概率為P=418．某工廠生產(chǎn)的每件產(chǎn)品所用原材料的質(zhì)量m（單位：千克）是一定值，每件產(chǎn)品的價(jià)格是以長度（單位：米）計(jì)算的，產(chǎn)品越長也就越細(xì)，要求工人的技術(shù)水平越高，產(chǎn)品價(jià)格也就越高，但市場(chǎng)對(duì)各種長度的產(chǎn)品都有需求.為了預(yù)測(cè)市場(chǎng)需求并合理安排生產(chǎn)任務(wù)，查閱以往售出的產(chǎn)品的長度，隨機(jī)抽取了300件產(chǎn)品，并將得到的數(shù)據(jù)按如下方式分為9組：10,15、15,20、?、50,55，繪制成如下的頻率分布直方圖：工廠今年一月份按頻率分布直方圖提供的數(shù)據(jù)生產(chǎn)了300件產(chǎn)品.(1)求今年一月份生產(chǎn)的產(chǎn)品長度在25,40的件數(shù)；(2)現(xiàn)從25,30和30,35兩組產(chǎn)品中以分層抽樣的方式抽取7件產(chǎn)品，客戶在這7件產(chǎn)品中再隨機(jī)抽取2件，求這2件產(chǎn)品在25,30和30,35兩組中各有1件的概率.【解題思路】（1）將產(chǎn)品長度在25,40的頻率乘以300可得結(jié)果；（2）分析可知，在25,30的產(chǎn)品有3（件），設(shè)編號(hào)分別為a、b、c，在30,35的產(chǎn)品有4（件），編號(hào)分別為A、B、C、D，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可得，產(chǎn)品長度在25,40的有300×0.03+0.04+0.034（2）由題可知，按分層抽樣抽取的7件產(chǎn)品中，在25,30的產(chǎn)品有0.030.03+0.04×7=3（件），設(shè)編號(hào)分別為a、b在30,35的產(chǎn)品有0.040.03+0.04×7=4（件），編號(hào)分別為A、B、C、則在7件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，所有的基本事件有：a,b、a,c、a,A、a,B、a,C、a,D、b,c、b,A、b,B、b,C、b,D、c,A、c,B、c,C、c,D、A,B、A,C、A,D、B,C、B,D、C,D，共有21個(gè)基本事件，其中事件“抽到的2件產(chǎn)品在25,30和30,35兩組中各有1件”所包含的基本事件有：a,A、a,B、a,C、a,D、b,A、b,B、b,C、b,D、c,A、c,B、c,C、c,D，共12個(gè)基本事件，故所求概率為P=1219．開學(xué)初某校進(jìn)行了一次摸底考試，物理老師為了了解自己所教的班級(jí)參加本次考試的物理成績的情況，從參考的本班同學(xué)中隨機(jī)抽取n名學(xué)生的物理成績（滿分100分）作為樣本，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，已知抽取的學(xué)生中成績?cè)?0,60內(nèi)的有3人．(1)求n的值；(2)已知抽取的n名參考學(xué)生中，在90,100的人中，女生有甲、乙兩人，現(xiàn)從90,100的人中隨機(jī)抽取2人參加物理競(jìng)賽，求女學(xué)生甲被抽到的概率．【解題思路】（1）利用直方圖可得到成績?cè)?0,60內(nèi)的頻率，結(jié)合頻數(shù)即可求解；（2）先計(jì)算出成績?cè)?0,100的人數(shù)，然后列舉出抽取2人的總情況和甲被抽到的情況，利用古典概型進(jìn)行求解即可【解答過程】（1）由頻率分布直方圖知，成績?cè)?0,60內(nèi)的頻率為1?0.0400+0.0300+0.0125+0.0100×10=0.075．因?yàn)槌煽冊(cè)?0,60內(nèi)的頻數(shù)為3，所以抽取的樣本容量（2）由頻率分布直方圖知，抽取的學(xué)生中成績?cè)?0,100的人數(shù)為0.0100×10×40=4，因?yàn)橛屑?、乙兩名女生，所以有兩名男生．用丙，丁表示兩名男生，?人中任取2人的所有情況為甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6種，其中女學(xué)生甲被抽到的情況共3種．所以隨機(jī)抽取2人參加物理競(jìng)賽，其中女學(xué)生甲被抽到的概率為3620．某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動(dòng)，按年齡分組：第1組25,30，第2組30,35，第3組35,40，第4組40,45，第5組45,50，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)下表是年齡的頻率分布表，求正整數(shù)a，b的值．區(qū)間25,3030,3535,4040,4545,50人數(shù)5050a150b(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，年齡在第1，2，3組抽取的員工的人數(shù)分別是多少？(3)在（2）的前提下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，求至少有1人年齡在第3組的概率．【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求頻率，即可求出a,b的值；（2）利用樣本容量比總?cè)萘康谋壤?jì)算即可；（3）利用列舉法寫出從6人中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件，.分別計(jì)算總個(gè)數(shù)與至少有1人在第3組的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式即可求解.【解答過程】（1）依題意，由頻率分布直方圖可得，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50.（2）因?yàn)榈?，2，3組一共有：50+50+200=300人，利用分層抽樣在300名員工中抽取6名員工，則每組抽取的人數(shù)分別為：第1組的人數(shù)為6×50300=1第3組的人數(shù)為6×200（3）設(shè)第1組的1位員工為A，第2組的1位員工為B，第3組的4位員工為：C1則從6位員工中抽取2人的基本事件有：A,B,B,C1,共15種可能，其中2人年齡都不在第3組的有：A,B一種可能，所以在（2）的前提下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，至少有1人年齡在第3組的概率為：15?11521．某校為增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，普及環(huán)保知識(shí)，在全校范圍內(nèi)組織了一次有關(guān)環(huán)保知識(shí)的競(jìng)賽.現(xiàn)從參賽的所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取200人的成績（滿分為100分）作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該校此次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績的第50百分位數(shù)；(2)在該樣本中，若采用分層抽樣的方法，從成績低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，查看他們的答題情況，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查分析，求這2人中至少有1人成績?cè)?0,70內(nèi)的概率.【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為1計(jì)算a，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算公式計(jì)算第50百分位數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣確定各區(qū)間人數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算概率.【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可得，0.006+0.012+0.018×2+0.021+a×10=1則a=0.025，前3組的頻率和為0.006+0.012+0.018×10=0.36第4組頻率為0.25，所以第50百分位數(shù)位于第4組70,80內(nèi)，記第50百分位數(shù)為x，則x?7010=0.5?0.36即第50百分位數(shù)為75.6；（2）由頻率分布直方圖可知，成績?cè)?0,50,50,60,采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的6人，成績?cè)?0,50內(nèi)的有1人，記為A，成績?cè)?0,60內(nèi)的有2人，記為B1?B2，成績?cè)趧t從成績?cè)?0,70內(nèi)的6人隨機(jī)抽取2人，共有：AB1?AB2人中至少有1人成績?cè)?0,70內(nèi)，共有：AC1?AC記事件A=“2人中至少有1人成績?cè)?0,70內(nèi)”，則PA22．為保護(hù)學(xué)生視力，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部于2021年1月15日下發(fā)文件《關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通知》，對(duì)中小學(xué)生的手機(jī)使用和管理作出了規(guī)定．某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間”．從該校中隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，得到如下統(tǒng)計(jì)表：時(shí)間t0,1212,2424,3636,4848,6060,72人數(shù)1036341064(1)估計(jì)該校學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)用分層抽樣的方法從使用手機(jī)時(shí)間在48,60和60,72的兩組學(xué)生中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自不同組的概率．【解題思路】（1）將每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)組的頻率，再將所得結(jié)果全部相加可得出該校學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間的平均數(shù)；（2）分析可知抽取的5人在48,60組的有3人，記為a、b、c，在60,72組的有2人，記為A、B，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【解答過程】（1）解：由題意得，隨機(jī)選取的該校這100名學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間的平均數(shù)為x=6×所以估計(jì)該校學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間的平均數(shù)為27.36min（2）解：由分層抽樣的方法知，抽取的5人在48,60組的有3人，記為a、b、c，在60,72組的有2人，記為A、B，從5人中抽取2人的所有基本事件：ab、ac、aA、aB、bc、bA、bB、cA、cB、AB，共10個(gè)，來自不同組的基本事件：aA、aB、bA、bB、cA、cB，共6個(gè)，故所求概率P=623．某學(xué)生社團(tuán)為了解本校學(xué)生喜歡球類運(yùn)動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，要求每位學(xué)生只能填寫一種自己喜歡的球類運(yùn)動(dòng)，并將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表提供的信息，解答下列問題：(1)則參加調(diào)查的人數(shù)共有__________人；在扇形圖中，m=__________；將條形圖補(bǔ)充完整；（不需要寫過程）(2)該社團(tuán)計(jì)劃從籃球?足球和乒乓球中，隨機(jī)抽取兩種球類組織比賽，請(qǐng)用樹狀圖或列表法，求抽取到的兩種球類恰好是“籃球”和“足球”的概率．【解題思路】（1）首先根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，用喜歡籃球的人數(shù)除以它占參加調(diào)查人數(shù)的百分比，求出參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)；然后再扇形圖中，利用百分比和為100%，即可求得m【解答過程】（1）因?yàn)?4040在扇形圖中，10%+40%（2）由題可知，抽取的兩種球類可能為：籃球足球乒乓球籃球/籃球、足球籃球、乒乓球足球足球、籃球/足球、乒乓球乒乓球乒乓球、籃球乒乓球、足球/所以，抽取到的兩種球類恰好是“籃球”和“足球”的概率P=224．2022年卡塔爾世界杯足球賽于11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)舉辦，這是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行?也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，備受矚目，一時(shí)間掀起了國內(nèi)外的足球熱潮，某機(jī)構(gòu)為了解球迷對(duì)足球的喜愛，為此進(jìn)行了調(diào)查.現(xiàn)從球迷中隨機(jī)選出100人作為樣本，并將這100人按年齡分組：第1組[20,30)，第2組[30,40)，第3組[[40,50)，第4組[50,60)，第5組[60,70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求樣本中數(shù)據(jù)落在[50,60)的頻率(2)求樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)；(3)若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從[20,30)和[60,70]兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2入進(jìn)行座談，求抽取的2人中至少有1人的年齡在[20,30)組的概率.【解題思路】（1）根據(jù)概率和為1即可求解；（2）先判斷出第50百分位數(shù)落在第四組，套公式求解；（3）利用古典概型的概率公式求解.【解答過程】（1）依題意，樣本中數(shù)據(jù)落在[50,60)的頻率為：1?（2）樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)落在第四組，且第50百分位數(shù)為50+0.5?（3）20,30與60,70兩組的頻率之比為1:2.現(xiàn)從20,30和60,70兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，則20,30組抽取2人，記為a,b；60,70組抽取4人，記為1,2,3,4.所有可能的情況為a,ba,1其中至少有1人的年齡在20,30的情況有a,ba,1記“抽取的2人中至少有1人的年齡在20,30組”為事件A，則PA25．在2022年9月貴陽市疫情防控期間，某學(xué)校高一學(xué)生居家學(xué)習(xí)，為了解學(xué)生的自主學(xué)習(xí)狀況，隨機(jī)抽取了該年級(jí)40名學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)上問卷調(diào)查，獲得了他們一周（五天）平均每天白主學(xué)習(xí)時(shí)間的數(shù)據(jù)（單位：分鐘），并分組整理得到如下頻率分布表：組別分組頻數(shù)頻率A180,21040.1A210,24010sA240,270n0.3A270,30080.2A300,330mt(1)學(xué)校要進(jìn)一步研究學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間與學(xué)業(yè)成績的相關(guān)性，在這5組內(nèi)的40名學(xué)生中，用分層抽樣的方法再選取20人進(jìn)行對(duì)照研究，求從A5(2)在（1）的條件下，從A1組和A4組所抽取的學(xué)生中再隨機(jī)抽取兩人做一個(gè)心理測(cè)試，求所抽兩人中至少有一人來自于【解題思路】（1）首先利用分層抽樣的特點(diǎn)及表中數(shù)據(jù)求出s,t,m的值，則可求出從A5（2）分別求出在從A5和A【解答過程】（1）由已知得s=1040=0.25因此m=40×0.15=6,利用分層抽樣,設(shè)從A5組所抽人數(shù)為x,則有20所以從A5（2）由(1)知,在A1組中抽取的人數(shù)為20×0.1=2,在A4組中抽取的人數(shù)為記從A1組中抽取的學(xué)生為a1,a2從這6人中抽取2人的所有基本事件有:a1a2共有15個(gè)基本事件,滿足條件的結(jié)果為a1共有9個(gè)基本事件,所以所求概率為:P=9即所抽兩人中至少有一人來自于A1組的概率為326．從某臺(tái)機(jī)器一天產(chǎn)出的零件中，隨機(jī)抽取10件作為樣本，測(cè)得其質(zhì)量如下（單位：克）：10.5,9.9,9.4,10.7,10.0,9.6,10.8,10.1,9.7,9.3，記樣本均值為x，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s.(1)求x,s(2)將質(zhì)量在區(qū)間x?s,①估計(jì)這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件的一等品率；②從樣本中的一等品中隨機(jī)抽取2件，求這兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對(duì)值不超過0.3克的概率P.【解題思路】（1）由平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式求解；（2）由列舉法結(jié)合概率公式得出①②.【解答過程】（1）xs+10.8?102+（2）①x?s,x+s=9.5,10.5，質(zhì)量在區(qū)間9.5,10.5②從5件一等品中，抽取2件，分別為9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，10.0,10.1,10.0,9.7,27．一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球.(1)求第二次取到紅球的概率；(2)求兩次取到的球顏色相同的概率；(3)如果袋中裝的是4個(gè)紅球，n個(gè)綠球，已知取出的2個(gè)球都是紅球的概率為25，那么n【解題思路】（1）先求出從10個(gè)球中不放回地隨機(jī)取出2個(gè)的不同取法數(shù)，再求出第二次取到紅球的不同取法數(shù)，然后求概率即可；（2）結(jié)合（1）求解即可；（3）由取出的2個(gè)球都是紅球的概率求出基本事件的個(gè)數(shù)，然后再求解即可.【解答過程】（1）從10個(gè)球中不放回地隨機(jī)取出2個(gè)共有10×9=90（種）可能，即nΩ設(shè)事件A=“兩次取出的都是紅球”，則nA設(shè)事件B=“第一次取出紅球，第二次取出綠球”，則nB設(shè)事件C=“第一次取出綠球，第二次取出紅球”，則nC設(shè)事件D=“兩次取出的都是綠球”，則nD因?yàn)槭录嗀,B,C,D兩兩互斥，所以P（第二次取到紅球）=PA∪C（2）由（1）得，P（兩次取到的球顏色相同）=PA∪D（3）結(jié)合（1）中事件，可得nA=4×3=12，因?yàn)镻A所以nΩ=nA×5故n=2.28．某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績的折線圖（如下）．(1)體育成績大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”．已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生，試估計(jì)高一全年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；(2)為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體有成績?cè)?0,50和60,70的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，恰有1人體育成績?cè)?0,70的概率；(3)假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在70,80，80,90，90,100三組中，其中a，b，c∈N．當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最小時(shí)，寫出a，b，c【解題思路】（1）根據(jù)折線圖求出樣本中體育成績大于或等于70分的學(xué)生數(shù)，從而得到相應(yīng)的比例，估計(jì)出高一全年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；（2）利用列舉法求出古典概型的概率；（3）先分析出a=79,c=90，再列出方差s2=6b2?1014b+43386【解答過程】（1）由折線圖，樣本中體育成績大于或等于70分的學(xué)生有40?2?6?2=30人，所以該校高一年級(jí)學(xué)生中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約為1000×30（2）成績?cè)?0,50有2名學(xué)生，設(shè)為1,2；60,70有2名學(xué)生，設(shè)為A,B，故抽取2名學(xué)生的情況有：1,2,其中恰有1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