基于分數(shù)階趨近律的機械臂滑模控制分析案例目錄TOC\o"1-3"\h\u18638基于分數(shù)階趨近律的機械臂滑?？刂品治霭咐?1239181.1分數(shù)階微積分的定義與性質(zhì) 113931.2控制器的設(shè)計 2115061.2.1分數(shù)階滑模控制器設(shè)計 292841.2.2可達性與存在性證明 3203471.4Matlab仿真實驗 4190131.5仿真結(jié)果對比 6分數(shù)階微積分是指，微積分的階次可以是任意的或者說是分數(shù)的，而不僅僅局限于整數(shù)階。整數(shù)階是分數(shù)階的一種特殊情況。分數(shù)階在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用大致可以分為被控系統(tǒng)模型的分數(shù)階和控制器的分數(shù)階。使用分數(shù)階表示系統(tǒng)模型更加準確，但是只能用分數(shù)階控制器來進行控制。分數(shù)階控制器既可以用于整數(shù)階模型，也可以用于分數(shù)階模型。本文主要針對分數(shù)階控制器進行設(shè)計，將分數(shù)階控制器應(yīng)用到整數(shù)階模型中。1.1分數(shù)階微積分的定義與性質(zhì)在分數(shù)階微積分學(xué)中，分數(shù)階微積分有多種表示形式。目前存在并被廣泛研究的主要有以下四種：（1）分數(shù)階積分公式 (6-1)其中，為分數(shù)階算子。（2）分數(shù)階微積分 (6-2)（3）分數(shù)階微積分公式 (6-3)（4）分數(shù)階微分 (6-4)其中，分數(shù)階微分定義更適用于分數(shù)階微分方程初值問題的描述。因此，本文的分數(shù)階趨近律采用分數(shù)階微分的定義。經(jīng)過長時間的研究，分數(shù)階微積分學(xué)內(nèi)容得到了充實，也總結(jié)出有和整數(shù)階微積分相類似的一些基本性質(zhì)。分數(shù)階算子的基本性質(zhì)具體闡述如下：性質(zhì)1：當分數(shù)階算子中的時，分數(shù)階微積分即為整數(shù)階微積分，并且滿足。性質(zhì)2：具有線性的性質(zhì)。即當時，滿足公式(6-4) (6-5)性質(zhì)3：滿足疊加關(guān)系和交換律。具體描述為公式(6-5) (6-6)1.2控制器的設(shè)計1.2.1分數(shù)階滑模控制器設(shè)計設(shè)表示任務(wù)空間期望位置坐標向量，則定義機械臂的跟蹤誤差如公式(4-9)所示： (6-7)設(shè)計滑模面為 (6-8)設(shè)置分數(shù)階趨近律為 (6-9)其中，表示分數(shù)階的微積分算子,，為正定對角矩陣，且，，，，。將式(6-7)兩側(cè)求階導(dǎo)數(shù)，可得 (6-10)根據(jù)1.1章中有關(guān)分數(shù)階算子的性質(zhì)描述，基于性質(zhì)3，可得公式(6-11) (6-11)基于性質(zhì)2，可對公式(6-12)進行近一步運算簡化，可得公式(6-13) (6-12)因此，控制律就有了三個可調(diào)參數(shù)。1.2.2可達性與存在性證明選取Lyapunov函數(shù)如式(5-14)所示： (6-10)由式(6-10)可知，。則： (6-11)利用取且，則： (6-12)此時，系統(tǒng)可以在有限時間內(nèi)收斂到滑模面。當滿足時，，選取Lyapunov函數(shù)如式(4-17)所示： (6-13)可得 (6-14)則機械臂跟蹤誤差漸近穩(wěn)定。證畢。1.4Matlab仿真實驗機械臂系統(tǒng)參數(shù)選取同5.3章節(jié)，即，，，，。機械臂參數(shù)的標稱值如下：，，，。外界干擾取為。設(shè)在任務(wù)空間中機械臂末端期望軌跡如式(6-15)所示，同5.3章節(jié)： (6-15)機械臂末端沿方向和方向的初始位置和初始速度如式(6-16)所示： (6-16)設(shè)控制器參數(shù)如式(4-37)所示： (6-17) MATLAB仿真結(jié)果如圖6-1~6-3所示：圖6-1機械臂末端沿x、y向軌跡跟蹤圖6-2機械臂、方向跟蹤誤差從圖6-1~圖6-2中可以看出，在滑?？刂破鞴?6-9)作用下，機械臂末端可以從任意的初始位置對期望軌跡進行精準跟蹤。由圖6-2可知，在1s之前，跟蹤誤差已經(jīng)漸近收斂到0。且當機械臂系統(tǒng)達到穩(wěn)定后，系統(tǒng)狀態(tài)沒有再發(fā)生較大波動。系統(tǒng)輸入力矩如圖6-3所示：圖6-3機械臂兩連桿關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩從圖6-3可以看出，在引入分數(shù)階以后，機械臂兩連桿關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，即控制器的輸出抖振問題已有了明顯的改善。1.5仿真結(jié)果對比將兩次仿真所所得到的結(jié)果圖繪制到同一坐標系內(nèi)，如圖6-4~圖6-6。圖6-4機械臂、方向跟蹤誤差圖6-5機械臂兩連桿關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩由圖6-4可知，盡管在兩種趨近律的作用下系統(tǒng)的跟蹤誤差都能漸進趨于0，但是相較于整數(shù)階趨近律而言，分數(shù)階趨近律能使系統(tǒng)誤差的收斂速度更快，有更好的控制效果。圖6-5為整數(shù)階滑?？刂破髋c分數(shù)階滑