時(shí)間序列分析基礎(chǔ)涂云東時(shí)間序列分析基礎(chǔ)?時(shí)間序列數(shù)據(jù)概述?時(shí)間序列基本概念?時(shí)間序列基本模型?時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法?

案例分析：

投資組合涂云東時(shí)間序列數(shù)據(jù)概述?

數(shù)據(jù)類型?

數(shù)據(jù)可視化?

數(shù)據(jù)來(lái)源?

數(shù)據(jù)特征?

數(shù)據(jù)預(yù)處理涂云東數(shù)據(jù)類型?橫截面數(shù)據(jù)：

同一時(shí)間點(diǎn)（或者時(shí)間范圍內(nèi)）

，

多個(gè)個(gè)體（國(guó)家、

地區(qū)、機(jī)構(gòu)或者個(gè)人）某一個(gè)或多個(gè)特征的觀測(cè)數(shù)據(jù)。–

北京大學(xué)2020級(jí)新生入學(xué)時(shí)的身高數(shù)據(jù)集等。?時(shí)間序列數(shù)據(jù)：

同一個(gè)體的一個(gè)或者多個(gè)特征在一系列的時(shí)間觀測(cè)

點(diǎn)上的數(shù)據(jù)。–

我國(guó)上證指數(shù)從2000年1月到2021年1月的月收益率數(shù)據(jù)等。?面板數(shù)據(jù)：

多個(gè)個(gè)體的一個(gè)（或多個(gè)）特征在一系列的時(shí)間觀測(cè)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集合。–

2001年到2020年全球所有國(guó)家和地區(qū)經(jīng)濟(jì)總量的數(shù)據(jù)等。涂云東圖：

中國(guó)消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)，

2002-2020

來(lái)源：

中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局圖：

中國(guó)國(guó)民人均收入和人均消費(fèi)，

2002-2019，

來(lái)源：

萬(wàn)得信息?

時(shí)序圖：

消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)?散點(diǎn)圖：

收入和消費(fèi)數(shù)據(jù)可視化涂云東圖：

上證指數(shù)股指回報(bào)率的密度圖來(lái)源：

雅虎財(cái)經(jīng)涂云東圖：

中國(guó)民用航空旅客量，

2005-2019

來(lái)源：

中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?季節(jié)圖：

航空旅客量?密度圖：

股指回報(bào)率數(shù)據(jù)可視化數(shù)據(jù)來(lái)源□

國(guó)家統(tǒng)計(jì)局：

中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局

(www.stats.g)公布了我國(guó)大量宏觀經(jīng)

濟(jì)數(shù)據(jù)，

如國(guó)民生產(chǎn)總值、消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)、進(jìn)出口、貨幣供應(yīng)量等?！?/p>

世界銀行：

世界銀行公開(kāi)數(shù)據(jù)庫(kù)

()列出了世界銀行

數(shù)據(jù)庫(kù)的七千多個(gè)指標(biāo)，

可以按照國(guó)家、指標(biāo)、專題和數(shù)據(jù)目錄瀏覽數(shù)據(jù)。□

經(jīng)合組織：

經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織

(w)匯編的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)涵蓋34個(gè)

成員國(guó)及選擇的其他一些國(guó)家，

既有這些國(guó)家的年度數(shù)據(jù)和歷史數(shù)據(jù)，也包括主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)，

如經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出、就業(yè)和通貨膨脹等?！?/p>

國(guó)際貨幣基金：

國(guó)際貨幣基金組織

()擁有全球超過(guò)170個(gè)國(guó)家的貨幣金融數(shù)據(jù)?！?/p>

數(shù)據(jù)庫(kù)：

萬(wàn)得信息

()、彭博咨詢

(www.bloomber)、CEIC數(shù)據(jù)庫(kù)

()、雅虎財(cái)經(jīng)

()等收集了大

量的各個(gè)行業(yè)數(shù)據(jù)。涂云東常見(jiàn)的數(shù)據(jù)特征涂云東?平穩(wěn)序列的取值在一

個(gè)較為固定的范圍內(nèi)，

圍繞著某一個(gè)水平值

（均值）波動(dòng)；?數(shù)據(jù)波動(dòng)的幅度（如

一段時(shí)間內(nèi)最大值和

最小值的差）一般不

隨時(shí)間發(fā)生變化。平穩(wěn)序列：

通貨膨脹率圖：

中國(guó)通貨膨脹率，2002-2020

來(lái)源:中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局涂云東非平穩(wěn)序列：

美國(guó)失業(yè)率?不符合平穩(wěn)序列特征

的序列都是非平穩(wěn)序

列。?非平穩(wěn)序列一般會(huì)具

有一個(gè)或多個(gè)下列特

征：

趨勢(shì)性、跳躍（結(jié)構(gòu)變化）

、周期

性、波動(dòng)幅度隨時(shí)間

變化等。圖：

美國(guó)失業(yè)率，2000-2020來(lái)源:美國(guó)聯(lián)邦儲(chǔ)備理事會(huì)涂云東?在非平穩(wěn)序列中，

有

一類數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的

趨勢(shì)性，但經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單

的（對(duì)數(shù)）差分變換，

即相鄰兩個(gè)數(shù)據(jù)（先

取對(duì)數(shù)再）取差，

得

到的新的序列符合平

穩(wěn)序列的特征。?這種類型的數(shù)據(jù)被稱

為差分平穩(wěn)序列。差分平穩(wěn)序列：

股價(jià)指數(shù)圖：

上證指數(shù)和股指回報(bào)率，2016-2021來(lái)源:雅虎財(cái)經(jīng)涂云東結(jié)構(gòu)變化：

中英匯率?

在非平穩(wěn)序列中，

有一類

數(shù)據(jù)的取值在某一個(gè)時(shí)間

點(diǎn)前后呈現(xiàn)出顯著不同的特征，

我們稱之為結(jié)構(gòu)變化。?

大量的宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)受到

經(jīng)濟(jì)政治事件、政策變化、技術(shù)革新等影響，

呈現(xiàn)出均值或方差跳躍、變量之

間關(guān)系發(fā)生結(jié)構(gòu)變化等特征。圖：

中英匯率，2016-2021來(lái)源:國(guó)際貨幣基金組織涂云東?大量的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)隨著

季節(jié)的變化而呈現(xiàn)出

周期性的特點(diǎn)，

例如

農(nóng)作物的生產(chǎn)、航空

旅客量、用電量等。?我國(guó)消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)

在每年的春節(jié)（1月或

者2月）達(dá)到最高，

次

高點(diǎn)是每年的9月，

最

低點(diǎn)是每年的7月。季節(jié)性：

消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)圖：

中國(guó)消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)的周期性，2002-2020來(lái)源:中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局涂云東?非平穩(wěn)時(shí)間序列之間

是否會(huì)存在相對(duì)穩(wěn)定

的關(guān)系呢？?消費(fèi)和收入數(shù)據(jù)之間，

展示出協(xié)同變化的均

衡特征，

即協(xié)整關(guān)系。?事實(shí)上，

大量的宏觀

經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)中的

非平穩(wěn)時(shí)間序列之間

都存在著協(xié)整關(guān)系。協(xié)整：

消費(fèi)和收入圖：

中國(guó)國(guó)民人均消費(fèi)和收入,1982-2019來(lái)源:萬(wàn)得信息涂云東?市場(chǎng)的波動(dòng)性（不確

定性）也會(huì)呈現(xiàn)出相

依性的特征，

反映出

市場(chǎng)不確定性在時(shí)間

上的傳導(dǎo)關(guān)系。?股指回報(bào)率的方差較

大的時(shí)候會(huì)持續(xù)一段

時(shí)間，

方差較小的時(shí)

候也會(huì)持續(xù)一段時(shí)間。

該特征被稱為波動(dòng)率

聚集。波動(dòng)率聚集：

股指回報(bào)率圖：

上證指數(shù)股指回報(bào)率，2004-2020來(lái)源:雅虎財(cái)經(jīng)涂云東數(shù)據(jù)預(yù)處理?數(shù)據(jù)的預(yù)處理包括奇異值檢測(cè)、缺失值填補(bǔ)、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換、和數(shù)

據(jù)分解等。?常見(jiàn)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換包括Box-Cox變換。?時(shí)間序列數(shù)據(jù)按照其構(gòu)成的特征，

可以分解為趨勢(shì)性、季節(jié)性

和波動(dòng)性三個(gè)構(gòu)成部分

。常用的數(shù)據(jù)分解有X-13、ETS、STL等

。見(jiàn)Box等（2015）

，Box和Tiao（1975）

，Chen和Liu(1993）

，Hyndman和Athanasopoulos（2018）等。涂云東時(shí)間序列基本概念?

平穩(wěn)性?

遍歷性?

白噪聲?

鞅差過(guò)程?

相依性度量?

長(zhǎng)期協(xié)方差涂云東嚴(yán)平穩(wěn)和弱平穩(wěn)?涂云東遍歷性?涂云東白噪聲?涂云東鞅差過(guò)程?涂云東相依性度量?線性相關(guān)系數(shù)涂云東自相關(guān)函數(shù)(ACF)?涂云東樣本自相關(guān)函數(shù)

(SACF)

?涂云東白噪聲檢驗(yàn)涂云東?白噪聲檢驗(yàn)舉例?涂云東相依性度量?涂云東秩相關(guān)系數(shù)?涂云東?涂云東?涂云東相關(guān)性檢驗(yàn)舉例?涂云東長(zhǎng)期協(xié)方差的定義?涂云東長(zhǎng)期協(xié)方差的估計(jì)

?涂云東例

:長(zhǎng)期協(xié)方差和置信區(qū)間?涂云東?涂云東時(shí)間序列基本模型?

白噪聲?

滑動(dòng)平均模型?

自回歸模型?

自回歸滑動(dòng)平均模型涂云東白噪聲n=500,N(0,1)?涂云東滑動(dòng)平均模型?涂云東?

自回歸模型yt

=?十yt-1十Et涂云東自回歸滑動(dòng)平均?涂云東時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法?

均值預(yù)測(cè)法?

樸素預(yù)測(cè)法?

滑動(dòng)平均法?

指數(shù)平滑法?

模型預(yù)測(cè)法涂云東?涂云東?涂云東案例分析：

投資組合?涂云東案例分析：

投資組合?涂云東線性時(shí)間序列模型涂云東線性時(shí)間序列模型?線性時(shí)間序列模型?

自回歸模型?

滑動(dòng)平均模型?

自回歸滑動(dòng)平均模型?線性時(shí)間序列建模指南?案例分析：

中國(guó)消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)涂云東線性時(shí)間序列模型?涂云東自回歸模型?一階自回歸模型?二階自回歸模型?高階自回歸模型?

自回歸模型定階?

自回歸模型預(yù)測(cè)涂云東一階自回歸模型?涂云東二階自回歸模型?涂云東高階自回歸模型?涂云東自回歸模型定階的方法涂云東偏自相關(guān)系數(shù)法?涂云東?涂云東?涂云東信息準(zhǔn)則法?涂云東模型診斷法?涂云東?涂云東自回歸模型定階舉例?涂云東自回歸模型預(yù)測(cè)?涂云東滑動(dòng)平均模型?一階滑動(dòng)平均模型?二階滑動(dòng)平均模型?高階滑動(dòng)平均模型?

滑動(dòng)平均模型定階?

滑動(dòng)平均模型預(yù)測(cè)涂云東一階滑動(dòng)平均模型?涂云東二階滑動(dòng)平均模型?涂云東高階滑動(dòng)平均模型?涂云東滑動(dòng)平均模型定階的方法涂云東自相關(guān)系數(shù)法?涂云東自相關(guān)系數(shù)法?涂云東信息準(zhǔn)則法?涂云東模型診斷法?涂云東?涂云東?滑動(dòng)平均模型定階舉例涂云東?滑動(dòng)平均模型預(yù)測(cè)涂云東自回歸滑動(dòng)平均模型?簡(jiǎn)單自回歸滑動(dòng)平均模型?

自回歸滑動(dòng)平均模型定階?

自回歸滑動(dòng)平均模型預(yù)測(cè)涂云東簡(jiǎn)單自回歸滑動(dòng)平均模型?涂云東自回歸滑動(dòng)平均模型定階的方法涂云東拓展的自相關(guān)系數(shù)法?

由于ARMA模型的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)系數(shù)

都沒(méi)有截?cái)嗟奶卣鳎?/p>

這兩種方法都無(wú)法幫助我們定階

。下面介紹Tsay和Tiao（1984）提出的基于拓

展的（extended）

自相關(guān)系數(shù)（EACF）來(lái)定階的方法。?理論EACF值對(duì)應(yīng)的是一個(gè)雙向表格

。每一行對(duì)應(yīng)

AR的階，

每一列對(duì)應(yīng)MA的階

。表格中有三種符號(hào)

出現(xiàn)，X表示該處的EACF值不為零，O則表示該值為零，

而*則表示該值有可能為零或不為零。涂云東拓展的自相關(guān)系數(shù)法?涂云東拓展的自相關(guān)系數(shù)法?涂云東信息準(zhǔn)則法?涂云東模型診斷法?涂云東?涂云東自回歸滑動(dòng)平均模型定階舉例?涂云東自回歸滑動(dòng)平均模型預(yù)測(cè)?涂云東線性時(shí)間序列建模?線性時(shí)間序列建模思想?線性時(shí)間序列建模步驟涂云東線性時(shí)間序列建模思想?涂云東?涂云東線性時(shí)間序列建模步驟Box和Jenkins

(1976)涂云東涂云東案例分析：

中國(guó)消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)涂云東?我們選取了從1993年1月份到2020年12月份的中國(guó)CPI月度數(shù)據(jù)

（數(shù)據(jù)來(lái)源：

國(guó)家統(tǒng)計(jì)局）

。圖：

中國(guó)CPI月度數(shù)據(jù)，

1993/1-2020/12涂云東?首先我們進(jìn)行數(shù)據(jù)平穩(wěn)性處理，對(duì)數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)再

差分

。經(jīng)過(guò)處理后的數(shù)據(jù)的時(shí)間序列圖如左圖所示

。

由圖也可看出，

2000年后的數(shù)據(jù)沒(méi)有任何趨勢(shì)

性的特征。?我們?nèi)钥砂l(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)有一定的季節(jié)性特征

。于是，我們采用X-13對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行季節(jié)性處理，

去除了數(shù)據(jù)

中的季節(jié)性（右圖）

。圖：

季節(jié)處理后的中國(guó)CPI數(shù)據(jù)圖：

對(duì)數(shù)差分后的中國(guó)CPI數(shù)據(jù)涂云東?涂云東?為了比較模型的預(yù)測(cè)表現(xiàn)，

我們對(duì)中國(guó)CPI數(shù)據(jù)進(jìn)

行了二十期向前預(yù)測(cè)

。其中也包含了均值預(yù)測(cè)、樸素預(yù)測(cè)、滑動(dòng)平均和指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)結(jié)果。?這些模型的樣本外預(yù)測(cè)精度非常接近

?；瑒?dòng)平均

預(yù)測(cè)的偏差最小。AR，MA和ARMA模型的RMSE最??；

這些模型和均值預(yù)測(cè)的MAE最小，

且比樸

素預(yù)測(cè)明顯小。BiasRMSEMAEAR(5)0.100.400.29MA(3)0.100.400.29ARMA(2,2)0.100.400.29均值預(yù)測(cè)0.090.410.29樸素預(yù)測(cè)-0.170.430.40滑動(dòng)平均預(yù)測(cè)0.020.450.37指數(shù)平滑預(yù)測(cè)0.090.410.30表：

中國(guó)CPI數(shù)據(jù)的二十期向前預(yù)測(cè)精度涂云東單位根時(shí)間序列模型涂云東單位根時(shí)間序列模型?

單位根舉例?

自回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷?

單位根檢驗(yàn)?案例分析：

S&P500指數(shù)涂云東單位根舉例?涂云東自回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷?涂云東自回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷?涂云東單位根檢驗(yàn)：

4種情形?涂云東單位根檢驗(yàn)

:

情形1?涂云東單位根檢驗(yàn)

:

分位數(shù)表涂云東單位根檢驗(yàn)

:Phillips-Perron方法?涂云東單位根檢驗(yàn)

:ADF方法?涂云東單位根檢驗(yàn)

:如何確定哪種情形？?

實(shí)際數(shù)據(jù)分析時(shí)，

如何從四種情形中選擇出適合數(shù)據(jù)特征

的情形進(jìn)行單位根檢驗(yàn)？?

如果我們有一個(gè)比較明確的生成數(shù)據(jù)的過(guò)程和需要檢驗(yàn)的假設(shè)，

那么則可以確定需要選擇的情形。?

如果沒(méi)有如上明確的指引，

一般的原則是：

選擇一個(gè)模型

和數(shù)據(jù)生成設(shè)定，

使它們?cè)谠僭O(shè)和備擇假設(shè)下都能夠比

較合理的刻畫(huà)數(shù)據(jù)的主要特征。?

特別地，

如果數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的時(shí)間趨勢(shì)，

則要考慮采用

情形4；

否則，

考慮采用情形2.涂云東?S&P500指數(shù)從2012年2月29日到2019年

12月31日的日度數(shù)據(jù)。?

序列呈現(xiàn)了一種線

性增長(zhǎng)的趨勢(shì)。?

ACF線性衰減且衰減

速度很慢

。這表明

數(shù)據(jù)中可能存在確

定（線性）趨勢(shì)項(xiàng)。單位根檢驗(yàn)舉例圖：

對(duì)數(shù)S&P500日度指數(shù)的時(shí)間序列圖和樣本自相關(guān)函數(shù)涂云東單位根檢驗(yàn)舉例?涂云東單位根檢驗(yàn)舉例?涂云東非線性時(shí)間序列模型涂云東非線性時(shí)間序列模型?

參數(shù)非線性時(shí)間序列模型?非參數(shù)時(shí)間序列模型?半?yún)?shù)時(shí)間序列模型?非線性檢驗(yàn)?案例分析：

美國(guó)失業(yè)率涂云東參數(shù)非線性時(shí)間序列模型?門限自回歸模型?

平滑轉(zhuǎn)換模型?馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型涂云東參數(shù)非線性時(shí)間序列模型?涂云東?涂云東?涂云東非參數(shù)時(shí)間序列模型?

核估計(jì)?

篩分估計(jì)涂云東非參數(shù)時(shí)間序列模型?涂云東核估計(jì)涂云東核函數(shù)?涂云東核回歸估計(jì)?涂云東窗寬選擇?涂云東核回歸舉例圖：

局部常數(shù)核回歸估計(jì)

和窗寬選擇?涂云東篩分估計(jì)涂云東篩分函數(shù)?涂云東篩分估計(jì)?涂云東圖：

篩分函數(shù)回歸估計(jì)結(jié)果涂云東篩分函數(shù)回歸舉例?半?yún)?shù)時(shí)間序列模型?部分線性模型?

單因子模型?

可加模型?

變系數(shù)模型涂云東半?yún)?shù)時(shí)間序列模型?非參數(shù)估計(jì)量的估計(jì)精度會(huì)隨著待估函數(shù)中自變量的維度的增加而下降，

也就是常說(shuō)的“維度的詛咒

”，

實(shí)際建模中通常會(huì)將參數(shù)模型和非參數(shù)模型結(jié)合，建立半?yún)?shù)模型。?靈活刻畫(huà)時(shí)間序列的非線性特征，

避免完全參數(shù)模

型的錯(cuò)誤設(shè)定，

又可以一定程度上降低待估函數(shù)的

維度。涂云東?涂云東?涂云東部分線性回歸模型舉例圖：

半?yún)?shù)（核、篩分）

回歸結(jié)果?涂云東非線性檢驗(yàn)?參數(shù)非線性檢驗(yàn)?非參數(shù)模型設(shè)定檢驗(yàn)涂云東參數(shù)非線性檢驗(yàn)涂云東RESET檢驗(yàn)?涂云東門限檢驗(yàn)?涂云東參數(shù)非線性檢驗(yàn)舉例?涂云東非參數(shù)模型設(shè)定檢驗(yàn)涂云東模型設(shè)定檢驗(yàn)?參數(shù)模型設(shè)定檢驗(yàn)需要設(shè)定具體的備擇假設(shè)模型，

其檢驗(yàn)功效依賴于備擇假設(shè)的具體形式，在備擇

假設(shè)不成立時(shí)可能會(huì)很低。?非參數(shù)模型設(shè)定檢驗(yàn)則不設(shè)定備擇假設(shè)下具體的

函數(shù)形式，

從而對(duì)更加廣泛的備擇假設(shè)具有檢驗(yàn)

功效。涂云東原假設(shè)和備擇假設(shè)

?涂云東基于L2距離的檢驗(yàn)?涂云東基于條件均值距離的檢驗(yàn)?涂云東自助抽樣檢驗(yàn)方法?涂云東自助抽樣檢驗(yàn)方法?涂云東自助抽樣檢驗(yàn)舉例?涂云東案例分析：美國(guó)失業(yè)率涂云東2024年6月9日144光

華

理

學(xué)ofmMaaGuamgh因思想而光華·

我們選取了美國(guó)失業(yè)率從1948年1月到2019年12月的月度數(shù)據(jù)(左

圖

)

?！?/p>

我們發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)有一定的季節(jié)性特征。于是，我們采用X-13對(duì)數(shù)據(jù)

進(jìn)行季節(jié)性處理，去除了數(shù)據(jù)中的季節(jié)性(右圖)。1950196019701980199020002010時(shí)間

時(shí)間圖：美國(guó)失業(yè)率數(shù)據(jù)時(shí)間序列圖：1948:1-2019:12圖：季節(jié)性調(diào)整后的美國(guó)失業(yè)率月度數(shù)據(jù)時(shí)間序列圖光華管理茲院

涂云東2024年6月9日

14519501960197019801990200020102020吳8◎寸因思想而光華失業(yè)率失業(yè)率GuamghmSchoo

ofMaagement·令xt代表季節(jié)調(diào)整后失業(yè)率的序列，用yt=△xt=Xt

一

Xt-1代表失業(yè)率的變化。·

擬合的線性模型ARMA(2,3):yt+0.7358yt-1-0.2038yt-2=et-1.8551et-1+1.0227et-1-0.1623et-3

··

門限效應(yīng)似然比檢驗(yàn)：對(duì)于p=2,.

…,6,線性假設(shè)AR(p)

均

被拒絕。因此我們拒絕線性的原假設(shè)，而需要考慮一些非

線性的模型。光Gungh

o管lof

g2024年6月9日因思想而光華涂云東146·

單門限自回歸模型：滯后階數(shù)d=6,且估計(jì)的門限值為-0.1088。該門

限值將整個(gè)模型時(shí)間段分成了兩部分，其中在前半部分?jǐn)M合的AR模型

的階數(shù)為4,后半部分則為10。·

馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型：AR階數(shù)和單門限自回歸模型一致。·

核回歸模型：考慮四階滯后項(xiàng)，選用Gaussian

核函數(shù)來(lái)進(jìn)行局部線性

回歸估計(jì)，其中窗寬是通過(guò)交叉驗(yàn)證法選擇的。·

篩分回歸模型：我們令yt-1為自變量。選用多項(xiàng)式空間，其中選用基

函數(shù)的階數(shù)是通過(guò)廣義交叉驗(yàn)證選取的，最終選擇使得GCV

達(dá)到最小

的階數(shù)為：kGcv=5。光華管理芒院 Guamghu

School

of

Masagement2024年6月9日因思想而光華涂云東147·

為了比較模型的預(yù)測(cè)表現(xiàn)，我們對(duì)美國(guó)失業(yè)率數(shù)

據(jù)進(jìn)行了二十期向前預(yù)測(cè)。·

就Bias而言，幾種模型的平均誤差都相對(duì)較小，只

有Markov

模型稍微有所偏差；就RMSE

和MAE

而言，

SETAR和核回歸表現(xiàn)較好，

Markov和篩分回歸表現(xiàn)次之，線性ARMA模型表現(xiàn)最差。BiasRMSEMAEARMA-0.0010.0990.080SETAR-0.0020.0630.047Markov-0.0150.0890.066Kernel-0.0020.0660.048Sieve-0.0040.0790.063表：美國(guó)失業(yè)率的預(yù)測(cè)精度光華管理學(xué)院

涂云東

2024年6月9日

148因思想而光華Guamghm

Schoo

ofMaagement協(xié)整時(shí)間序列模型n

s

f理Ma

m

涂云東2024年6月9日149因思想而光華協(xié)整時(shí)間序列模型·

虛假回歸·

協(xié)整模型·

平衡回歸·

非線性協(xié)整模型·

案例分析：多只股票的協(xié)整分析

華

ssh2024年6月9日因思想而光華涂云東150虛假回歸·

虛假回歸的發(fā)現(xiàn)·

虛假回歸的特征

華

ssh2024年6月9日因思想而光華涂云東151虛假回歸的發(fā)現(xiàn)·Granger

和Newbold(1974)生成兩個(gè)獨(dú)立的單位根過(guò)程yt=yt-1+vt,Xt=Xt-1+Wt,t=1,.

…

,T,其中vt和wt

為獨(dú)立同分布的N(0,1)且相互獨(dú)立。

初始值xo=yo

=100,

樣本量T=50。·

他們進(jìn)而考慮了線性回歸yt=a+βxt+ùt,t=1,…,T.其中，

a和β為最小二乘估計(jì)量?！?/p>

檢驗(yàn)原假設(shè)H?:β=0,

計(jì)算統(tǒng)計(jì)量在100次模擬實(shí)驗(yàn)中的頻率分布。按照傳統(tǒng)的t檢驗(yàn)，當(dāng)S>

1.96時(shí)，在顯著性水平5%下拒絕原假設(shè)。光華管理長(zhǎng)院Guanghscutef

Mansgment2024年6月9日因思想而光華涂云東152表：S值的頻數(shù)分布表·

由上表可知，100次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，至少有77次原假設(shè)

被拒絕。即兩個(gè)獨(dú)立的單位根過(guò)程進(jìn)行線性回歸，有77%的可能性發(fā)現(xiàn)它們之間存在顯著的線性關(guān)系?！?/p>

兩個(gè)獨(dú)立的單位根過(guò)程在線性回歸中被發(fā)現(xiàn)存在顯

著相關(guān)性的現(xiàn)象，被稱為虛假(偽)回歸?！?/p>

偽回歸現(xiàn)象在單位根的非線性回歸中同樣被發(fā)現(xiàn)，

見(jiàn)Phillips(2009),Tu

和Wang(2022)

。

在近似單

位根過(guò)程的回歸中也被發(fā)現(xiàn)，見(jiàn)Chen和Tu(2019),Lin和Tu(2020)以及其中所回顧的文獻(xiàn)。S0-11-22-33-44-55-66-77-8頻數(shù)1310111318885S8-99-1010-1111-1212-1313-1414-1515-16頻數(shù)33150101

華

ssh因思想而光華虛假回歸的特征·Granger

和Newbold(1974)發(fā)現(xiàn)虛假回歸的主要特征有：(i)t

值非常大并呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)顯著;(ii)

最小二乘估計(jì)量β收斂到一個(gè)隨機(jī)變量；(iii)回

歸

的R2

特別大，非常接近1;(iv)回歸的殘差存在較強(qiáng)的序列相依性，接近單位根過(guò)程

(Durbin-Watson

統(tǒng)計(jì)量接近0)?！?/p>

直到12年后，Phillips(1986)從理論上解釋了虛假回歸的現(xiàn)象，

并證明只要兩個(gè)單位根不存在協(xié)整(Engle和Granger,1982),

則它們之間的回歸都是虛假回歸。·

其它虛假回歸現(xiàn)象的理論探討見(jiàn)Phillips(2009),Chen和Tu(2019),Lin和Tu(2020),Tu

和Wang(2022)

等。涂云東

2024年6月9日154華ssc因思想而光華(c)R2;

(d)DW

統(tǒng)計(jì)量.圖：500次模擬實(shí)驗(yàn)的核密度估計(jì)和直方圖，樣本量T=100光

華

管

理

院涂云東

2024年6月9日155-11.0(a)β;

(b)t

值；0

00

4

0

6

0.8OL

乙

o因

思

想

而

光

華分

布

密

度Guanghscdef

Mansgmcnt分布密度犀

華分

布

密

度-2021協(xié)整模型·

協(xié)整的定義·

協(xié)整的誤差修正表示·

協(xié)整的檢驗(yàn)涂云東

2024年6月9日156

華

ssh因思想而光華協(xié)整的定義·

一

個(gè)n×1

向量時(shí)間序列yt

是協(xié)整的，當(dāng)它的每

一個(gè)子序列都是單位根過(guò)程，且存在非零的向量

a∈Rn,

使得線性組合aTyt

是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。此

時(shí)

，a被稱為協(xié)整向量?！?/p>

考慮兩個(gè)時(shí)間序列y?t=Yy2t+U?t,y?t=y2,t-1+U?t,Y≠0,其中u1t和u?t

為兩個(gè)不相關(guān)的白噪聲序列。易見(jiàn)，y1t=y1,t-1-U1,t-1+U1t+γuzt

和y?t

均為單位根過(guò)程，且它們的線性組合y1t-Yy?t=U1t

是

平穩(wěn)的。因此，y

t=(y1t,y?t)

是協(xié)整的，協(xié)整向

量為aT=(1,-γ)。涂云東

2024年6月9日157

華管理

efd因思想而光華Oy?Y?號(hào)品050100

150

200·

它們生成的時(shí)間序列圖如上圖所示(γ=1)。由圖可見(jiàn)，兩個(gè)序列各自有非常明顯的隨機(jī)趨勢(shì)，但是兩個(gè)序列呈現(xiàn)出共同的(相似的)隨機(jī)趨勢(shì)，

彼此“手拉手”的隨機(jī)增長(zhǎng)。涂云東2024年6月9日

158

華

sch因思想而光華·

如果yt的元素個(gè)數(shù)多于2

(n>2),

則可能存在

兩個(gè)n×1

向量a?和

a?

使得

aTyt

和

a2yt

都是

平穩(wěn)的，其中a1

和a?

是線性獨(dú)立的，即不存在標(biāo)

量b

使得a?=ba?

。

一般地，可能存在h(<n)

線

性獨(dú)立的

n×1向量A=(a?,…,ah)使得ATyt

成

為h×1維的平穩(wěn)向量?！?/p>

如果存在h×n

矩陣AT,

它的行向量是線性獨(dú)立

的，且ATyt

是

h×1平穩(wěn)向量。如果對(duì)任意一個(gè)

向量cT,

它與AT的行線性獨(dú)立，則cTyt

是一個(gè)非

平穩(wěn)的序列，則yt的元素剛好構(gòu)成h個(gè)協(xié)整關(guān)系，

且(a?…a

h)構(gòu)成協(xié)整向量空間的基

(basis)。光華管理芒院涂云東

2024年6月9日159GuanghscuterMansgment因思想而光華Granger誤差修正表示·

考慮兩個(gè)時(shí)間序列y?t=Yy?t+U1t,Y2t=y2,t-1+U?t,γ≠0,其

中U1t和U?

t

為兩個(gè)不相關(guān)的白噪聲序列?！?/p>

在

上

例中

，y?t

=y1,t-1-U1,t-1+U1t+γu?t和y?t

均

為

單

位根過(guò)程，且它們的線性組合y1t-Yy?t=

U1t是平穩(wěn)的。對(duì)于單位根過(guò)程，我們易知差分序列△y?t,△y?t

是平穩(wěn)過(guò)程。·

如果需要對(duì)這兩個(gè)平穩(wěn)序列進(jìn)行建模，按照Wold

分解定理，

則有其滑動(dòng)平均表示其中ε2t=U?t,E1t

三

Yuzt

+U1t

為白噪聲序列，分別為采用滯

后

的y1t,y?t預(yù)測(cè)未來(lái)的誤差。涂云東2024年6月9日

160光華管理長(zhǎng)院Guanghscutef

Mansgment因思想而光華·

如果差分序列存在一個(gè)VAR表示，則有Φ(B)△yt=t,其中Φ(B)=[Ψ(B)

]-1

。然而，Ψ(z)存在一個(gè)根是1,·

因此，Ψ(z)的逆不存在，從而不存在△yt的一個(gè)

VAR表示?！み@是什么原因呢?需要注意的是，上例中的y?t包

含了對(duì)y?t

具有預(yù)測(cè)力的協(xié)整信息，而這些信息在

差分后的序列△yt

的自回歸表示中并不能被反映

出

來(lái)

。涂云東

2024年6月9日161

華

sch因思想而光華其中Zt=y?t-Yy?t,E1t=Yuzt+U1t,E?t=U?to·

上述表示表明，對(duì)存在協(xié)整關(guān)系的VAR系統(tǒng)yt,其差分序

列△

yt

的VAR

表示中，需要加入序列的滯后項(xiàng)yt-1,才

能

夠充分的解釋△yt。

而這些滯后項(xiàng)將以平穩(wěn)變量Zt-1的

形

式出現(xiàn)，來(lái)體現(xiàn)yt-1的線性協(xié)整組合對(duì)差分序列的可預(yù)測(cè)

力?！t-1被稱之為誤差修正項(xiàng)(error

correction

term),

它刻畫(huà)

的是協(xié)整關(guān)系對(duì)預(yù)測(cè)差分序列的影響。該表示被稱之為協(xié)

整

的Granger

誤差修正表示。涂云東

2024年6月9日

162·利用U1,t-1=y?

,t-1

-Yy2,t-1,

可得Guang光華h

管

sc

M因思想而光華協(xié)整檢驗(yàn)涂云東

2024年6月9日163

華

ssh因思想而光華給定協(xié)整向量下的協(xié)整檢驗(yàn)·

當(dāng)協(xié)整向量a

給定時(shí)，協(xié)整檢驗(yàn)可以利用單位根檢

驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)?！ぴ摲椒ň唧w可以分兩步進(jìn)行?！?/p>

第1步：采用單位根檢驗(yàn)，如ADF

檢驗(yàn)等，檢驗(yàn)yt中

的每一個(gè)序列是否為單位根序列。如果是，則進(jìn)入

第2步；否則，協(xié)整不存在?！?/p>

第2步：對(duì)序列Zt=aTy

t

進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。若存在

單位根，則協(xié)整不存在；否則yt存在協(xié)整，且協(xié)整

向

量

為a。涂云東

2024年6月9日

164華ssc因思想而光華協(xié)整向量未知時(shí)的協(xié)整檢驗(yàn)·

如果協(xié)整向量未知，則首先需要估計(jì)協(xié)整

向量，然后再檢驗(yàn)協(xié)整是否存在?！?/p>

估計(jì)協(xié)整向量的方法：i)

最小二乘法；

(ii)極大似然法?！?/p>

協(xié)整檢驗(yàn)的方法將根據(jù)協(xié)整向量估計(jì)的方

法進(jìn)行構(gòu)造。涂云東

2024年6月9日165華ssc因思想而光華協(xié)整的最小二乘估計(jì)·

當(dāng)h=1

時(shí)：若存在唯一協(xié)整向量a∈Rn,

使得Zt=aTyt平穩(wěn)，協(xié)整向量a

可以通過(guò)最小化

T-

1∑z2=T-

1∑(aTyt)2來(lái)估計(jì)。同時(shí)為了可識(shí)別性，可以對(duì)a

進(jìn)行正則化，如某一個(gè)元素標(biāo)準(zhǔn)化為1或者||a||=1。·

當(dāng)h>1

時(shí)：如果多于一個(gè)協(xié)整關(guān)系，最小二乘估計(jì)將會(huì)估

計(jì)哪一個(gè)協(xié)整關(guān)系呢?從而在眾多協(xié)整關(guān)系中，最小二乘

法將會(huì)選擇同所有解釋變量的其它單位根組合正交的協(xié)整

關(guān)系，并且其方差最小。·

上述最小二乘估計(jì)量均以速度T超相合。涂云東

2024年6月9日166h華s管chdof因思想而光華基于最小二乘的協(xié)整檢驗(yàn)·

當(dāng)h=0

時(shí)：如果沒(méi)有協(xié)整關(guān)系，則最小二乘

法估計(jì)的是偽回歸。此時(shí)，最小二乘估計(jì)得到

的殘差

ùt

將會(huì)是單位根過(guò)程。該性質(zhì)可以幫助

我們來(lái)構(gòu)造協(xié)整的檢驗(yàn)。如果不存在協(xié)整，則

ùt對(duì)ùt-1

的回歸會(huì)得到一個(gè)接近1的系數(shù)估計(jì)

值；否則，該回歸系數(shù)應(yīng)該顯著的小于1?！hillips

和Ouliaris(1990)

正是利用該思想來(lái)進(jìn)

行協(xié)整的檢驗(yàn)。他們首先采用最小二乘法估計(jì)

回歸方程y1t=α+Y2y2t+Y3y3t+…+YnYnt+Ut,·

然后利用得到的殘差

ùt來(lái)構(gòu)造單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)D

拾

臉

紜

社

是式

Dhillin。Do

的

華

sch因思想而光華·

這

些

統(tǒng)

計(jì)

量

的

構(gòu)

造同

第

3

章

介

紹

的

對(duì)

于

觀

測(cè)

序

列

單

位

根

檢

驗(yàn)相同，不同的是它們的極限分布。該檢驗(yàn)分三種情形來(lái)進(jìn)

行

?！?/p>

情

形

1估計(jì)協(xié)整回歸：y1t=Y?y?t+…+YnYnt+Ut,數(shù)據(jù)生成過(guò)程：△yt=∑

Ψsεt-s

··

情形2估計(jì)協(xié)整回歸：

y?t=α+Y?y?t+…+YnYnt+ut,數(shù)據(jù)生成過(guò)程：△

yt=

∑sεt-s

··

情形3估計(jì)協(xié)整回歸：y1t=α+Y?y?t+…+YnYnt

+Ut,數(shù)據(jù)生成過(guò)程：△yt=∑Ψsεt-s+δ,δ=(δ1

…,δn),

其中δ2,…δn

至少1個(gè)非零。·

在三種情形下，三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的極限分布不同，且比較復(fù)雜。涂云東

2024年6月9日

168光華管理長(zhǎng)院Guanghscutef

Mansgment因思想而光華回歸中變量

的

數(shù)

量

(

不

包含趨勢(shì)項(xiàng)

或者截距項(xiàng)樣

本

量T(

T

-

1

(

p

-

1

)

的

下

分

位

數(shù)0.0100.0250.0500.0750.1000.1250.150情

形

11500-22.8-18.9-15.6-13.8-12.5-11.6-10.72500-29.3-25.2-21.5-19.6-18.2-17.0-16.03500-36.2-31.5-27.9-35.5-23.9-22.6-21.54500-42.9-37.5-33.5-30.9-28.9-27.4-26.25500-48.5-42.5-38.1-33.8-33.8-32.3-30.9情形21500-28.3-23.8-20.5-18.5-17.0-15.9-14.92500-34.2-29.7-26.1-23.9-22.2-21.0-19.93500-41.1-35.7-32.1-29.5-27.6-26.2-25.14500-47.5-41.6-37.2-34.7-32.7-31.2-29.95500-52.2-46.5-41.9-39.1-37.0-35.5-34.2情形31500-28.9-24.8-21.5--18.1--2500-35.4-30.8-27.1-24.8-23.2-21.8-20.83500-40.3-36.1-32.2-29.7-27.8-26.5-25.34500-47.4-42.6-37.7-35.0-33.2-31.7-30.35500-53.6-47.1-42.5-39.7-37.7-36.0-34.6表：對(duì)偽回歸殘差做Phillips-PerronZρ

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值涂云東

2024年6月9日169光華管理芒院Guangh

scdefMansgment因思想而光華·

令yt

表示n×1向量，它服從VAR(p)

模型Δyt=ζ?△yt-1+…+ζp-1△yt-p+1+α+ζoyt-1+Et,其中E(εt)=0,E(εtεt)=Ω。

若每

一個(gè)y

it都

是I(1),但h

個(gè)

yt的線性組合是平穩(wěn)的，

則有

ζo=-BAT,

其中B是

n×h矩

陣

，AT

是

h×n矩陣?！?duì)于yt

觀測(cè)y-p+1

…

,yT,若εt滿足正態(tài)分布，則在給定(y-p+1,…,yo)下

，

(y?…,yT)

的對(duì)數(shù)條件似然函數(shù)為協(xié)整的極大似然估計(jì)涂云東

2024年6月9日

170h華管

m因思想而光華·

極大似然估計(jì)可以按照下述三個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)：·

第1步：計(jì)算輔助回歸①采用OLS

估

計(jì)(p-1)

階VAR△yt=

允o+?

△yt-1+?△yt-2+…+p-1△yt-p+1+ùt,其

中i表示n×nOLS系數(shù)矩陣估計(jì)，

üt表

示n×1殘差向量。②

采

用OLS

估計(jì)回歸方程Yt-1=θ+R?

△yt-1+?Δyt-2+…+采p-1△yt-p+1+Dt,其中vt表

示

n×1

殘差向量。·

第2步：計(jì)算典型相關(guān)系數(shù)①計(jì)算OLS

估計(jì)殘差ut

和t的樣本方差-協(xié)方差矩陣②計(jì)

算

矩陣-12vu2-12uv

的特征值。記特征值為λ1>

…

>λn,即為ùt和Vt的典型相關(guān)系數(shù)。涂云東

2024年6月9日

171Guang光華h

管

sc

M因思想而光華ùt,·

第3步：計(jì)算參數(shù)的極大似然估計(jì)記n×1

維向量a?

,…,an

為矩陣2-↓2vu2-12uv

的特征向

量中對(duì)應(yīng)于前h

個(gè)最大特征值的特征向量，且滿足標(biāo)準(zhǔn)

化ai2vvai=1

。

則

有A

的估計(jì)為A=[a1…,ah],ζo的估計(jì)為ζ。=

uvAAT,ζi

的估計(jì)為ζi=i-oi,α

的

估

計(jì)

為α=允o-ζ?θ,Ω的估計(jì)為·

在

有h

個(gè)協(xié)整關(guān)系約束下，對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大值為L(zhǎng)*=-(Tn/2)log(2π)-(Tn/2)-(T/2)log|2uul涂云東2024年6月9日

172光華管理長(zhǎng)院因思想而光華基于極大似然的協(xié)整檢驗(yàn)·

我們考慮檢驗(yàn)在n×1維向量yt

中

存

在h個(gè)協(xié)整關(guān)系，即H?:yt

中存在h

個(gè)協(xié)整關(guān)系；HA1:yt

中

存

在n

個(gè)協(xié)整關(guān)系?！?/p>

在H?下，有

ζo=-BAT,且似然函數(shù)的最大值為·在HA1下，yt的任意線性組合都是平穩(wěn)的，從而對(duì)

ζo沒(méi)有任何約束。

此時(shí)，似然函數(shù)的最大值為來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。涂云東

2024年6月9日

173·

按照似然比檢驗(yàn)的構(gòu)造方式，可以使用如下跡

(trace)

統(tǒng)計(jì)量光Guan華gh管sde理fMangm芒ent

院因思想而光華·

可以

使

用

如

下

特

征

值

(eigenvalue)

統(tǒng)計(jì)量2(L??*—L?*)=-Tlog(1—λ??+1)來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。·

跡檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和特征值檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布都是非標(biāo)準(zhǔn)的，且依賴

于下面三種不同的情形：一

情形1:α=0,且在輔助回歸中不包含常數(shù)項(xiàng)

(yt

沒(méi)有確定時(shí)間趨

勢(shì)

)

。一

情形2:α=Bμ1,μ1=Ezt,Zt=

ATyt,

且輔助回歸中常數(shù)項(xiàng)不受任何

約

束(yt

沒(méi)有確定時(shí)間趨勢(shì))。一

情形3:α

-

Bμ1中至少1個(gè)非零(yt

至少

一個(gè)元素有確定時(shí)間趨勢(shì))?！?/p>

檢驗(yàn)的分位數(shù)可以通過(guò)查表得到。涂云東

2024年6月9日

174·

我們也可以考慮如下備擇假設(shè)HA2:yt

中

存

在h+1

個(gè)協(xié)整關(guān)系?！?/p>

在HA2

下，似然函數(shù)的最大值為光Guang華Sc管haate理fMans

t院因思想而光華·

平衡回歸的構(gòu)造·

平衡回歸的性質(zhì)涂云東

2024年6月9日175平衡回歸光Guang華hscdef

管

g因思想而光華·

單位根過(guò)程的虛假回歸會(huì)導(dǎo)致回歸估計(jì)的系數(shù)不

相合。單位根過(guò)程在存在協(xié)整的情況下，回歸系

數(shù)估計(jì)是超相合的。這也就使得我們?cè)趯?shí)際數(shù)據(jù)

分析時(shí)，需要對(duì)涉及單位根的回歸進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)?！?/p>

然而，對(duì)協(xié)整的檢驗(yàn)同樣存在犯第一類錯(cuò)誤或第

二類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。這使得協(xié)整檢驗(yàn)之后，對(duì)單位

根變量之間的回歸估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)推斷變得異常復(fù)

雜。·

平衡回歸(balanced

regression)能夠?qū)ψ兞康年P(guān)系

進(jìn)行穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)推斷，避免做是否協(xié)整的預(yù)檢驗(yàn)(pretest)

。涂云東

2024年6月9日176平衡回歸的構(gòu)造h華scdef管因思想而光華·

對(duì)

變

量yt

和Xt,考慮如下兩個(gè)回歸模型M1:yt=α+βxt+ut;M2:△yt=α+β△xt+Ut.·

當(dāng)yt

和xt

均為平穩(wěn)變量時(shí)，基于模型M1的OLS估計(jì)量都是

√T相合的?！?/p>

當(dāng)yt和xt均為非平穩(wěn)單位根變量時(shí)，基于M1的OLS

估計(jì)量

的性質(zhì)取決于yt和xt是否是協(xié)整的。如果它們是協(xié)整的，則有β的OLS估計(jì)量是T相合的；否則(偽回歸),它會(huì)隨

著樣本量的增加而收斂到一個(gè)隨機(jī)變量，無(wú)法相合估計(jì)yt

和xt的真實(shí)關(guān)系(無(wú)論它們是否存在相關(guān)性)?！2是對(duì)單位根過(guò)程的一個(gè)常見(jiàn)處理方法，先差分得到平

穩(wěn)序列，然后再考慮回歸。然而，M2

在yt

和xt

是協(xié)整的情

形下是一個(gè)錯(cuò)誤設(shè)定的模型，因?yàn)閬G掉了誤差修正項(xiàng)Zt=yt-βxt

。

因此

，M2中OLS

估計(jì)量一般不是有效的。涂云東

2024年6月9日177s

nt院Mans理cdef管因思想而光華·yt

和xt定是M3:△yt=α+β△xt+λ(yt-1-βxt-1)+Ut.其中，β是基于M1

的協(xié)整估計(jì)量，故該方法需要分兩步進(jìn)行?！?/p>

另外，可建立平衡回歸模型M4:yt=α+βxt+Yyt-1+δxt-1+Ut.模

型M4

出

現(xiàn)

在Hamilton(1994,pp.561),作為偽回歸的

一

個(gè)處理方法。其相關(guān)的理論結(jié)果最早出現(xiàn)于Choi(1993)。該模型通過(guò)添加解釋變量和被解釋變量的滯后項(xiàng)，使得模型

中yt和xt的時(shí)間序列相依性各自保持平衡，因此而得名平衡

回歸(Ren,Tu

和Yi,2019;Chen和Tu,2019;Lin和Tu,2020)。涂云東2024年6月9日

178是協(xié)整的情形下，正確的模型(誤差修正模型)設(shè)光Guang華s管cdefM

m長(zhǎng)ent

院因思想而光華·

當(dāng)xt是單位根時(shí)，

M4

和M3中的β估計(jì)量的極限性質(zhì)漸近等

價(jià)?！?/p>

但

當(dāng)xt

是近似單位根(xt=PnXt-1+Wt,且回

歸為偽回歸時(shí)，模型M4中的β估計(jì)量是相合的，而模型M2

中的β估計(jì)量卻不是相合的(Ch

en和Tu,2019;Lin

和Tu,2020)。·M4中的OLS

估計(jì)量在偽回歸和協(xié)整回歸兩種情形下，均具

有標(biāo)準(zhǔn)漸近分布性質(zhì)：

√T

相合性和漸近正態(tài)性。因此，t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。具體理論見(jiàn)Lin和Tu涂云東

Ren,2?2T

和Yi(2019)

將平衡回歸應(yīng)用到股指預(yù)平衡回歸的性質(zhì)光

華

2

0

2

0

)因思想而光華·

參數(shù)非線性協(xié)整模型·

非參數(shù)協(xié)整模型·

半?yún)?shù)協(xié)整模型·

變系數(shù)協(xié)整模型2024年6月9日

180非線性協(xié)整模型光Guang華hscdef

管

g因思想而光華涂云東·G

ranger(1991)提出了非線性協(xié)整模型可能存在的三種形式。·Park

和Phillips(2001)考慮了解釋變量為單位根情形下的參數(shù)非

線性回歸模型yt=f(xt,θ)+ut,其中，f

為已知非線性函數(shù)(如二次函數(shù)),θ為未知參數(shù)?！ark

和Phillips(2001)討論了非線性最小二乘估計(jì)量θ=argmin的極限分布性質(zhì)?！in

和Tu(20

20)

考慮了變換線性協(xié)整模型A(yt,θ)=xtβ+ut,其中，A為已知嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)(如Box-Cox變換函數(shù)A(y,θ)=

當(dāng)θ≠0;A(y,θ)=logy,當(dāng)θ=0),θ和β為未知參數(shù)，xt

是

一個(gè)多維的單位根過(guò)程。2024年6月9日

181參數(shù)非線性協(xié)整模型h華scdef管因思想而光華涂云東·Wang

和Phillips(2009)

考慮了非參數(shù)協(xié)整模型yt=f(xt)+ut.其中，xt

是單位根過(guò)程，

f

是未知的平滑函數(shù)。針對(duì)核估計(jì)量其中k(·)

為核函數(shù)，

h為窗寬，他們建立了其極限分布性質(zhì)?！ang

和Phillips(2016)進(jìn)一步考慮了上述估計(jì)量在存在內(nèi)生性

情形下的理論性質(zhì)?！ang(2015)考慮了解釋變量同時(shí)包含單位根和平穩(wěn)變量時(shí)，

Nadaraya-Watson估計(jì)量的性質(zhì)?！

u,Liang和Wang(2022)考慮了包含平穩(wěn)變量的分位數(shù)協(xié)整回

歸中，未知函數(shù)的Nadaraya-Watson估計(jì)量的性質(zhì)。非參數(shù)協(xié)整模型2024年6月9日

182h華scdef管因思想而光華涂云東·Dong

等(2016)考慮了半?yún)?shù)單因子協(xié)整模型

yt=f(x'β)+ut,其中xt是一個(gè)多維的單位根過(guò)程，β為未知向量參數(shù)，f

是

未

知的平滑函數(shù)?！in,Tu

和Yao(2020)考慮了半?yún)?shù)變換協(xié)整模型A(yt,θ)=f(xt)+Ut,其中，A為已知嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)(如Box-Cox

變換函數(shù)

當(dāng)θ≠0;A(y,θ)=logy,

當(dāng)θ

=

0

)

,θ

為

未

知

參數(shù)，xt

是一個(gè)一維的單位根過(guò)程，f

是未知的平滑函數(shù)。2024年6月9日

183半?yún)?shù)協(xié)整模型光Guang華s管cdefM

長(zhǎng)ment院

涂云東因思想而光華·Xiao(2009)

考慮了協(xié)整向量受到平穩(wěn)變量影響的變系數(shù)

協(xié)整模型yt=β(zt)'xt+ut,其中xt是單位根過(guò)程，Zt為平穩(wěn)變量?！ai,L

i和Park(2009)

允

許xt中同時(shí)包含單位根和平穩(wěn)變

量?！un,Cai和Li(2013

)考慮了xt和Zt同時(shí)是單位根過(guò)程的情形。·Phillips,Li

和Gao(2017),Li,Phillips

和Gao(2020)考

慮

了Zt=t/T

時(shí)的統(tǒng)計(jì)推斷。·Tu

和Wang(2021)考慮了擾動(dòng)項(xiàng)Ut為單位根時(shí)的虛假回歸

以及基于變系數(shù)平衡模型的穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)推斷。2024年6月9日

184變系數(shù)協(xié)整模型光Guang華s管cdefM

長(zhǎng)ment院

涂云東因思想而光華·

考慮在紐約證券交易所交易的兩只股票。

這兩家公司分

別是澳大利亞的

Billiton

Ltd.和巴西的

Vale

S.A.,

其股票代

碼分別為BHP

和

VALE

。兩家跨國(guó)公司都屬于自然資源行

業(yè)，面臨相似的風(fēng)險(xiǎn)因素。這兩只股票的每日價(jià)格數(shù)據(jù)來(lái)

自雅虎財(cái)經(jīng)。(◎一

BHP4

-

·VALE寸◎20022003200420052006時(shí)間圖：對(duì)數(shù)處理后BHP和VALE的時(shí)間序列圖2024年6月9日

185案例分析光Guang華hscdef管

g

涂云東因思想而光華·

考慮

一

個(gè)簡(jiǎn)單的線性回歸模型P?t=βo+β1P?t+Wt,其中Wt是回歸的殘差序列擬合的結(jié)果具體如下：P?t=1.804+0.729

pzt+Wt,

0w=0.0426.·

為了進(jìn)

一

步驗(yàn)證Wt的平穩(wěn)性，我們擬合了

一個(gè)ARMA(1,1)模型。

Wt=0.926wt-1+et-0.101et-1·我

們

對(duì)Wt做了ADF

檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為-4.958,相應(yīng)的p

值

為

0

.01,所以在5%顯著性水平下拒絕單位根的原假設(shè)，說(shuō)明Wt

是

平穩(wěn)的?！?/p>

令xt=(p?t,P?t)。

我們對(duì)xt做了似然比檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)xt是協(xié)整的。

接下來(lái)，我們用最大似然法去估計(jì)誤差修正模型。估計(jì)結(jié)果如

下：·

我們知道均衡序列wt=P?t-0.738p

zt,是一個(gè)均值為1.79的平

穩(wěn)時(shí)間序列。配對(duì)交易的參數(shù)γ的估計(jì)值為0.738。涂云東

2024年6月9日

186案例分析光Guang華sc管defM理ansg

ent院因思想而光華·

均衡序列Wt

的標(biāo)準(zhǔn)差為0.0428,我們選擇△=0.043,它比

Wt的標(biāo)準(zhǔn)差稍微大一點(diǎn)?！?/p>

在圖中有三條橫線，分別是μw,μw-0

.043,μw+0.043,后兩個(gè)的值作為配對(duì)交易的邊界值。20022003

2004

2005

2006時(shí)間圖：均衡序列Wt以及其配對(duì)交易的臨界值案例分析涂云東

2024年6月9日1871

6

1

8

1.9光華管理院因思想而光華GuanghscdefMansgmcnt波動(dòng)率模型光華管理學(xué)院涂云東2024年6月9日188Gughuaschoot

or

Mamagement因思想而光華波動(dòng)率模型·

自回歸條件異方差模型·廣義自回歸條件異方差模型·

其它條件異方差模型·

多元波動(dòng)率模型·

案例分析：股票波動(dòng)率涂云東2024年6月9日189

ang華huSch管oolof

e因思想而光華自回歸條件異方差模型·ARCH模型及性質(zhì)·ARCH模型的估計(jì)●檢驗(yàn)ARCH效應(yīng)·ARCH模型建模步驟涂云東2024年6月9日190

ang華huSch管oolof

e因思想而光華ARCH模型及性質(zhì)·AR(p)過(guò)程，yt=C+中1Yt-1+

…+中pyt-p+Ut,其中ut

是白噪聲序列，滿足Eut=0,E(u2)=σ2

.·

在AR(p)模型中，

yt的無(wú)條件方差不隨時(shí)間變化，但是它的

條件方差可能隨時(shí)間變化?！?/p>

金融時(shí)間序列中常?？梢钥吹讲▌?dòng)率聚集(volatilityclustering)

的現(xiàn)象、厚尾的特征。如何刻畫(huà)這些特征，對(duì)

條件方差進(jìn)行建模預(yù)測(cè)?一

方面，條件方差的預(yù)測(cè)可以幫

助刻畫(huà)條件均值預(yù)測(cè)的不確定性；另一方面，條件方差也

是期權(quán)定價(jià)(Black-Scholesoptionpricingformula)中的重要

因素?！?/p>

為此，Engle(1982)提出了自回歸條件異方差(autoregressiveconditional

heteroskedastic,簡(jiǎn)稱ARCH)

模型。涂云東2024年6月9日191g

S

t

Ma因思想而光華滿足上述過(guò)程的白噪聲Ut被

稱

為ARCH(m)

過(guò)

程(Engle,1982)?！?/p>

由

于

不能取負(fù)值，這要求Wt≥-

αo>0,且αj≠0,j=2,…,m.·

對(duì)

于ARCH(1)模型，等價(jià)的表示為ARCH模型及性質(zhì)●考慮其中wt

是白噪聲，

O·易

得其

中vt

為獨(dú)立同分布的均值為0方差為1的白噪聲。涂云東

2024年6月9日192·

不妨假設(shè)vt～N為其峰度光華管理學(xué)院Gughua

schoot

or

Mamagement因思想而光華ARCH模型的估計(jì)·當(dāng)vt為正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，Engle(1982)考慮了ARCH

模型

的極大似然估計(jì)?！ぎ?dāng)vt為非正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，極大似然估計(jì)也可以類似的構(gòu)

造。例如，Bollerslev(1987)

考慮了vt

為t

分布的情形，Nelson(1991)考慮了vt為廣義指數(shù)分布時(shí)的情形。Bollerslev和Wooldridge(1992)

考慮了偽(quasi)極大似然

量在一定條件下仍然是相合估計(jì)?！ich等(1991)采用廣義矩估計(jì)法

(GMM)

來(lái)估計(jì)ARCH模型的參數(shù)，并同極大似然估計(jì)進(jìn)行了對(duì)比。