2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)考點01集合4類常見考點全歸納了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系．理解集合間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．理解兩個集合的并集、交集與補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、交集與補集．4．能使用Venn圖表達集合間的基本關(guān)系與基本運算．考點一集合的概念考向1根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)考向2利用集合中元素的性質(zhì)求集合個數(shù)考向3根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)考向4集合的表示(列舉法、描述法)考點二集合間的基本關(guān)系考向1集合間基本關(guān)系的判定考向2（真）子集的列舉與個數(shù)的計算考向3根據(jù)子集、真子集的個數(shù)求參數(shù)考向4根據(jù)集合相等求參數(shù)考向5根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)考點三集合的基本運算考向1集合的運算考向2利用集合的運算求參數(shù)考點四Venn圖的應(yīng)用及創(chuàng)新性問題考向1Venn圖的應(yīng)用考向2集合新定義1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于和不屬于，分別用符號∈和表示．(3)集合的三種常用表示方法：列舉法、描述法和圖示法．(4)五個特定的數(shù)集的表示集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN*(或N＋)ZQR2．集合間的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B或(B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且xA，就稱集合A是集合B的真子集，記作ATB或(BTA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B．提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，有(2n－1)個真子集，有(2n－2)個非空真子集．3．集合的基本運算并集交集補集圖形表示集合表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}[常用結(jié)論]1．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A．2．一般地，對任意兩個有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．3．(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)；(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．考點一集合的概念考向1根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【典例】(2025·廣東深圳中學(xué)模擬)設(shè)集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，則a的值為()A．－1，2 B．－3C．－1，－3，2 D．－3，2【解析】集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，4∈A，∴a2－a＋2＝4或1－a＝4，當(dāng)a2－a＋2＝4時，a＝－1或a＝2，若a＝－1，則1－a＝2，不滿足集合中元素的互異性，故a≠－1；若a＝2，則集合A＝{2，4，－1}，滿足題意；當(dāng)1－a＝4時，a＝－3，a2－a＋2＝14，集合A＝{2，14，4}，滿足題意，綜上所述，a＝2或a＝－3．故選D．【鞏固訓(xùn)練】1．（24-25高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知集合，且，則．【答案】【分析】由，可得或，然后分情況求出的值，再利用集合中的元素的互異性判斷即可【詳解】由，可得或，由，解得，經(jīng)過驗證，不滿足條件，舍去.由，解得或，經(jīng)過驗證：不滿足條件，舍去.∴.故答案為：.2．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分類討論，根據(jù)題意列出關(guān)系式求解即可.【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性可得：，且.當(dāng)集合時，集合的最大元素為；當(dāng)集合時，集合的最大元素為；根據(jù)題意可得：集合的所有元素之和為.且或，解得：.故選：B.3．（24-25高三下·云南昭通·階段練習(xí)）設(shè)集合，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由元素與集合的關(guān)系求出參數(shù)，求解方程從而得到集合.【詳解】，所以，時，，解得或，即．故選：D．考向2利用集合中元素的性質(zhì)求集合個數(shù)【典例】(2024·江蘇南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則集合B的元素個數(shù)為________．【解析】當(dāng)x＝1，y＝1，2，4時，x－y分別為0，－1，－3，均不能滿足x－y∈A，當(dāng)x＝2，y＝1時可滿足x－y＝1∈A，當(dāng)x＝2，y＝2時，x－y＝0，當(dāng)x＝2，y＝4時，x－y＝－2均不滿足x－y∈A，當(dāng)x＝4，y＝2時可滿足x－y＝2∈A，當(dāng)x＝4，y＝1時，x－y＝3，當(dāng)x＝4，y＝4時，x－y＝0均不滿足x－y∈A，所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2個．【鞏固訓(xùn)練】1．（24-25高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知集合，則的元素個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】C【分析】解一元二次不等式，找出其中的正整數(shù)即可得解.【詳解】解不等式得，包含的正整數(shù)有，故的元素個數(shù)為.故選：C.2．（24-25高二下·北京·期中）已知集合的子集B滿足：對任意x，，有，則集合B中元素個數(shù)的最大值是（

）A．506 B．507 C．1012 D．1013【答案】D【分析】假設(shè)B中的最大元素為2025，再將其余元素分組，再結(jié)合抽屜原理即可得解.【詳解】假設(shè)B中的最大元素為2025，將其余元素分組，，..，，共1012組，若B中元素多于1013個，由抽屜原理可知，必有兩個數(shù)在同一組，兩個數(shù)的和為2025，與條件矛盾.所以B中元素不能多于1013個.所以當(dāng)時，B中元素個數(shù)最多為.故選：D3．【多選】（24-25高一上·吉林長春·階段練習(xí)）非空集合A，B滿足，且中元素個數(shù)不大于1.定義集合，，則（

）A．集合A，B中元素個數(shù)之和為10或11 B．集合中元素個數(shù)最多為17C．集合中元素個數(shù)最多為18 D．集合中元素個數(shù)最多為9【答案】ACD【分析】用表示有限集的元素個數(shù),由題意，知非空集合滿足,,得到或，根據(jù)集合的定義利用分類討論結(jié)合舉反例及窮舉法對各選項逐一驗證即可.【詳解】用表示有限集的元素個數(shù),由題意，知非空集合滿足,,對于A，由，得或，因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故A正確；對于B，當(dāng)，，此時，則，故B不正確；對于C，∵中元素最大為，最小為，∴，，當(dāng)取等號時，必有，而2只能為，只能為，故，這與矛盾.所以，即的最大值為18，故C正確；對于D，∵非空，且，∴且中至少有1個元素不在中，∴，當(dāng)，時取等號，所以D正確.故選：ACD.考向3根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)【典例】（2024·吉林延邊·統(tǒng)考二模）已知集合的元素只有一個，則實數(shù)a的值為（

）A． B．0 C．或0 D．無解【答案】C【分析】集合有一個元素，即方程有一解，分，兩種情況討論，即可得解.【詳解】集合有一個元素，即方程有一解，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，有一解，則，解得：，綜上可得：或，故選：C.【鞏固訓(xùn)練】1．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知集合．(1)若中只有一個元素，求的值；(2)若中至多有一個元素，求的取值范圍；(3)若中至少有一個元素，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)或(3)【分析】（1）分和進行求解；（2）中至多含有一個元素，即中有一個元素或沒有元素，進行求解；（3）中至少有一個元素，即中有一個或兩個元素，進行求解.【詳解】（1）當(dāng)時，原方程變?yōu)?，此時，符合題意；當(dāng)時，方程為一元二次方程，，即，原方程的解為，符合題意．故當(dāng)或時，原方程只有一個解，此時中只有一個元素．（2）中至多含有一個元素，即中有一個元素或沒有元素．當(dāng)，即時，原方程無實數(shù)解．結(jié)合（1）知，當(dāng)或時中至多有一個元素．（3）中至少有一個元素，即中有一個或兩個元素，當(dāng)時，原方程變?yōu)?，此時，符合題意；當(dāng)時，方程為一元二次方程，由得．綜上可知當(dāng)時，中至少有一個元素．2．（24-25高一下·湖北黃石·階段練習(xí)）已知集合中至多有一個元素，則a的取值范圍是．【答案】或【詳解】對a分類討論，利用一元二次方程的解與判別式的關(guān)系即可得出．【分析】集合中至多有一個元素，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得，綜上所述，a的取值范圍是：或，故答案為：或．3．（24-25高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知集合恰有一個元素，則k的取值集合為【答案】【分析】根據(jù)給定條件，化方程為一元二次方程，再利用根的情況列式計算得解.【詳解】方程化為：，由已知集合只有一個元素，①，解得，此時方程的解為，符合題意；②是方程的一個根，此時，方程即為，此時方程的解為，符合題意；③是方程的一個根，此時，方程即為，此時方程的解為，符合題意；所以k的取值集合為.故答案為：考向4集合的表示(列舉法、描述法)【典例1】【多選】（2024·全國·高三專題練習(xí)）下面說法中，正確的為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合的定義，表示方法及集合相等的條件逐個分析判斷【詳解】解：方程中x的取值范圍為R，所以，同理，所以A正確；表示直線上點的集合，而，所以，所以B錯誤；集合，都表示大于2的實數(shù)構(gòu)成的集合，所以C正確；由于集合的元素具有無序性，所以，所以D正確．故選：ACD．【典例2】（2024·高三課時練習(xí)）已知集合，用列舉法表示M＝______．【答案】【分析】由直接求解.【詳解】根據(jù)題意，應(yīng)該為6的因數(shù)，故可能取值為1，2，3，6，其對應(yīng)的值分別為：4，3，2，.又，所以的值分別為：4，3，2.故集合.故答案為：【鞏固訓(xùn)練】1．（25-26高一上·全國·課堂例題）不包含，0，1的實數(shù)集A滿足條件：若，則．如果，用列舉法表示集合A.【答案】【分析】利用迭代法，將所得的數(shù)依次代入，即可求解.【詳解】因為，所以．因為，所以．因為，所以．因為，所以．開始循環(huán)，綜上，．2．（24-25高一下·山西·開學(xué)考試）與集合相等的集合是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合描述法的定義，求出集合中的元素.【詳解】12的所以正因數(shù)有，所以.故選：B.3．（24-25高三下·上?！るA段練習(xí)）用列舉法表示集合為.【答案】【分析】由題可得為小于40的完全平方數(shù)，據(jù)此可得答案.【詳解】因，又，則為小于40的完全平方數(shù).則，從而.故答案為：考點二集合間的基本關(guān)系考向1集合間基本關(guān)系的判定【典例】(2024·江蘇南通三模)已知集合M＝xx=k+12，k∈A．M?N B．N?MC．M＝N D．M∩N＝?【解析】M＝xx=k+12N＝xx=k2因為2k＋1，k∈Z表示所有的奇數(shù)，而k＋2，k∈Z表示所有的整數(shù)，則M?N．故選A．【鞏固訓(xùn)練】1．（25-26高一上·全國·單元測試）給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由元素與集合、集合與集合的關(guān)系即可求解.【詳解】是有理數(shù)，所以，①正確；是實數(shù)，所以，②錯誤；中含有元素0，所以不是空集，③錯誤；自然數(shù)集真包含于整數(shù)集，所以，④正確．綜上，正確結(jié)論的個數(shù)為2．故選：B.2．（25-26高三上·云南·階段練習(xí)）若全集，，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得集合,進而進行集合的運算求得集合的補集，然后判定相關(guān)集合的包含關(guān)系是否成立.【詳解】集合，集合.因為全集（所有實數(shù)）,所以.選項A:?。ㄒ驗?，但（因為僅包含正實數(shù)），因此，，選項A錯誤；選項B:?。ó?dāng)時，)，但（因為)，因此，，選項B錯誤；選項C:，，對于任意，有，所以，因此，，選項C正確；選項D:，，取，但，所以，因此，，選項D錯誤.故選：C.3．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）給出下列關(guān)系：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由元素與集合關(guān)系，集合與集合關(guān)系逐個判斷即可.【詳解】顯然，，①③正確；集合中的元素為一個式子，集合中的元素為數(shù)，②錯誤在中，當(dāng)時，即有因此，④正確正確命題的個數(shù)是故選：C考向2（真）子集的列舉與個數(shù)的計算【典例】（2024·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合滿足，那么這樣的集合M的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系一一列舉出來即可.【詳解】因為，所以集合可以為：，共8個，故選：C.【鞏固訓(xùn)練】1．（24-25高二下·湖北荊州·期末）已知集合，則在的所有子集中，恰有2個元素的集合個數(shù)為（

）A．3 B．6 C．10 D．15【答案】A【分析】根據(jù)交集求出，再根據(jù)題意求解即可.【詳解】因為，所以，在的所有子集中，恰有2個元素的集合為，，.故選：A.2．（25-26高一上·全國·單元測試）若，，則稱集合為幸福集合．對集合的所有非空子集，下列敘述正確的是（

）A．幸福集合個數(shù)為8 B．含的幸福集合個數(shù)為4C．不含1的幸福集合個數(shù)為4 D．元素個數(shù)為3的幸福集合有2個【答案】BD【分析】求出集合所有非空子集中“幸福關(guān)系”個數(shù)逐項判斷可得答案.【詳解】具有“幸福關(guān)系”的元素組有：1；，2；三組．含一組的幸福集合有，，，共3個；含兩組的幸福集合有，，，共3個；含三組的幸福集合有，共1個，所以的非空子集中幸福集合的個數(shù)為，故A錯誤；其中含的幸福集合個數(shù)為4，不含1的幸福集合個數(shù)為3，故B正確C錯誤；元素個數(shù)為3的幸福集合有2個，故D正確.故選：BD.3．（24-25高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)集合滿足ü，則滿足條件的有個．【答案】7【分析】根據(jù)子集和真子集的概念求解即可.【詳解】由題意可知，集合中一定包含元素,且是的真子集，所以或或或或或或，即滿足條件的集合有7個.故答案為：7.考向3根據(jù)子集、真子集的個數(shù)求參數(shù)【典例】若集合有且僅有兩個子集，則實數(shù)的值是__________.【答案】【分析】通過集合有且僅有兩個子集，可知集合中只有一個元素，根據(jù)二次項系數(shù)是否為分類討論.【詳解】由集合有且僅有兩個子集，得中只有一個元素.當(dāng)即時，，符合題意.當(dāng)即時，解得.故答案為：【鞏固訓(xùn)練】1．（23-24高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知集合恰有3個非空子集，則a的值可能為（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【分析】根據(jù)題意可知集合A有2個元素，結(jié)合一元二次方程的判別式即可求得答案.【詳解】因為集合A恰有3個非空子集，所以集合A有2個元素，則有兩個不相等的實數(shù)解，則，解得，結(jié)合選項可知a的值可能為，故選：ABC．2．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15個真子集，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)真子集的個數(shù)得，即可求解.【詳解】因為集合有15個真子集，所以集合中包含4個元素，所以，所以，則實數(shù)的取值范圍為．故答案為：3．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎c的集合，，若有且僅有個子集，則的值是【答案】【分析】根據(jù)條件得，再利用子集的個數(shù)得，即可求解.【詳解】因為，又有且僅有個子集，所以有兩個元素，則，若時，，此時滿足題意，若，則，此時違反互異性，所以，故答案為：考向4根據(jù)集合相等求參數(shù)【典例】（2024·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)，可得兩集合元素全部相等，分別求和，再根據(jù)集合元素的互異性可確定，的值，進而得出答案.【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A【鞏固訓(xùn)練】1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若，，，且，求的值．【答案】或．【分析】分類討論的取值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)化簡集合，即可根據(jù)兩集合相等的充要條件列方程求解.【詳解】由于，所以，當(dāng)時，，若，則，解得，當(dāng)時，，若，則，此時不存在，當(dāng)時，，若，則，解得綜上可得或．2．（25-26高一上·全國·單元測試）已知，，若集合，則的值為．【答案】【分析】由兩集合相等及分式的分母不為0可求出n，再利用集合相等和互異性求m，代入計算即可.【詳解】因為，，所以，故，所以解得或．當(dāng)時，不滿足集合元素的互異性，當(dāng)時，集合為，符合條件.所以．故答案為：3．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）若由組成的集合與由組成的集合相等，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到和且，求得，的值，將其代入，進行計算求值，即可得到答案.【詳解】由題意知，集合，可得，所以，此時，則且，所以，所以．故答案為：.考向5根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【典例】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B?A，則實數(shù)m的取值范圍是________．【解析】∵B?A，∴①當(dāng)B＝?時，2m－1>m＋1，解得m>2；②當(dāng)B≠?時，2m?1≤m+1，2m?1≥綜上，實數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞)．]【變式1】在本例中，若把B?A改為BTA，則實數(shù)m的取值范圍是________．【解析】∵BTA，∴①當(dāng)B＝?時，2m－1>m＋1，所以m>2；②當(dāng)B≠?時，2m?1或2m?1≤m+1，2m?1>?3，綜上，實數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞)．【變式2】本例中若把B?A改為A?B，則實數(shù)m的取值范圍是________．由A?B可知2m?1≤?3，m+1≥已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等直觀表示解決這類問題的過程，特別注意端點值的取舍，“＝”加不加．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．【鞏固訓(xùn)練】1．（廣東省部分學(xué)校2026屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，利用集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，，且，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.2．（25-26高一上·全國·單元測試）已知集合，，若為的真子集，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分集合是否是空集進行討論即可求解.【詳解】當(dāng)時，滿足為的真子集，此時，解得.當(dāng)時，則或解得.綜上，，即m的取值范圍是.

故選：C.3．（25-26高一上·全國·單元測試）已知，，若，則的取值范圍為．【答案】【分析】由，可得，進而結(jié)合，討論求解即可．【詳解】由，可得，若，即，則，符合題意；若，則，此時要使，則解得，因此．綜上，的取值范圍為．故答案為：．考點三集合的基本運算考向1集合的運算【典例1】(1)(2025·八省聯(lián)考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，則A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{0，1} D．{－1，0，1，4}(2)(2024·全國甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x∈A}，則?A(A∩B)＝()A．1，4，9C．1，2，3(3)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4，6，7}，則A∪B＝________．【解析】(1)由題意知，A∩B＝{0，1}．故選C．(2)因為A＝1，2，3，4，5，所以B＝1，4，9，?AA∩B＝2，(3)由已知條件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，畫出Venn圖如圖所示．由圖可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．【典例2】（2024·黑龍江哈爾濱·哈九中?？级＃┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因為，由可得，解得，則，因此，.故選：D.【鞏固訓(xùn)練】1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式可化簡集合B，然后由交集定義可得答案.【詳解】因為集合，，且，所以．故選：C．2．（25-26高三上·重慶·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得集合，結(jié)合基本并集的概念與運算，即可求解.【詳解】由集合，又由集合，可得.故選：B.3．（24-25高一下·安徽安慶·期末）若全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)補集、交集運算求解即可.【詳解】依題意，，故.故選：C考向2利用集合的運算求參數(shù)【典例1】（2024·高三課時練習(xí)）已知全集為，集合，，若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】.【分析】由可得，由此列出不等式求出的取值范圍．【詳解】若，則，∵，，∴，解得，∴實數(shù)的取值范圍是.【典例2】已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．(－∞，－2]C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4]【解析】集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤?a2，由A∪B＝B可得可知－a2≥2，即a≤解決集合運算問題的注意點(1)看元素構(gòu)成，集合中元素是數(shù)還是有序數(shù)對，是函數(shù)的自變量還是函數(shù)值．(2)對集合進行化簡，即解不等式，解方程，求定義域、值域等，通過化簡可以使問題變得簡單明了．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，集合運算常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸和Venn圖．(4)端點值驗證．【鞏固訓(xùn)練】1．（22-23高二下·黑龍江雞西·期中）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式，求解出集合，再討論的范圍，解出集合，結(jié)合，最后得出的范圍.【詳解】由，得到，則；當(dāng)時，則，此時，當(dāng)時，由，解得或，此時，當(dāng)時，由，解得或，因為，則；綜上所述，.故選：C.2．（22-23高一上·四川廣安·階段練習(xí)）已知集合或，，若，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】因為，且，所以，解得，即.故選：D3．（24-25高一上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知或，，若，則m的取值范圍是.【答案】【分析】求出，由建立不等式即可得解.【詳解】由或，可得，因為，，所以且，解得，故答案為：考點四Venn圖的應(yīng)用及創(chuàng)新性問題考向1Venn圖的應(yīng)用【典例1】（2024·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖象可知陰影部分對應(yīng)的集合為且，根據(jù)集合和集合即可求出結(jié)果.【詳解】因為，易知圖中陰影部分對應(yīng)的集合為且，選項D正確，故選：D【典例2】某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有________人．【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人構(gòu)成的集合分別為A，B，C，同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖．由全班共36名同學(xué)可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人．【鞏固訓(xùn)練】1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）某寺院有甲、乙、丙三口銅鐘．甲鐘每4秒敲響一聲，乙鐘每5秒敲響一聲，丙鐘每6秒敲響一聲．新年到來時，三口鐘同時敲響并且同時停敲，某人共聽到365聲鐘響．若在此期間，甲、乙、丙三口鐘敲響的次數(shù)分別，則（

）A．365 B．256 C．484 D．516【答案】C【分析】根據(jù)題意分析，結(jié)合容斥原理求解即可.【詳解】設(shè)敲鐘持續(xù)的時間為秒，則甲乙丙鐘敲響次數(shù)分別為，，，由于甲乙敲響周期的最小公倍數(shù)為20，則甲乙同時敲響次數(shù)為，由于甲丙敲響周期的最小公倍數(shù)為12，則甲丙同時敲響次數(shù)為，由于乙丙敲響周期的最小公倍數(shù)為30，則乙丙同時敲響次數(shù)為，由于甲乙丙敲響周期的最小公倍數(shù)為60，則甲乙丙同時敲響次數(shù)為，由容斥原理易知，解得，則．故選：C．2．（2025高一上·全國·專題練習(xí)）某校高一四班學(xué)生46人，寒假參加體育訓(xùn)練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊24人，足球排球都參加的有12人，足球游泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，問：三項都參加的學(xué)生數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)參加各類活動的學(xué)生的集合，找出各類運動的人數(shù)，然后結(jié)合題意列方程求解即可.【詳解】設(shè)集合參加足球隊的學(xué)生，集合參加排球隊的學(xué)生，集合參加游泳隊的學(xué)生，則，，設(shè)三項都參加的有人，即，，所以由即，解得，三項都參加的有4人，故選：C.3．（24-25高二下·新疆烏魯木齊·期末）設(shè)全集，集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合韋恩圖求出集合.【詳解】全集，集合，則，，由韋恩圖得.故選：A考向2集合新定義【典例】定義兩集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x?N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，則A－A?B的子集個數(shù)為()A．2 B．4C．8 D．16【解析】因為A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}，所以A－A?B＝3，5，有2個元素，則A－(A－B)的子集個數(shù)是2【鞏固訓(xùn)練】1．（2025高一·全國·專題練習(xí)）設(shè)集合，在上定義運算“·”為：，其中，.那么滿足條件的有序數(shù)對共有（

）A．12個 B．8個 C．6個 D．4個【答案】A【分析】結(jié)合集合新定義得，去絕對值結(jié)合的取值范圍分類討論即可求解.【詳解】由已知得，故，化簡得.當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.綜上，滿足條件的有序數(shù)對共有12對.故選：A.2．（25-26高一上·全國·單元測試）已知非空集合滿足以下四個條件：①；②；③中的元素個數(shù)不是中的元素；④中的元素個數(shù)不是中的元素．則有序集合對的個數(shù)是．【答案】10【分析】根據(jù)題意，得到集合中元素個數(shù)的情況，根據(jù)這幾種情況分別討論，即可得出結(jié)果；【詳解】當(dāng)集合中有1個元素時，集合中有5個元素，，，所以，此時，有序集合對為1個；當(dāng)集合中有2個元素時，集合中有4個元素，，，所以，此時，，，，共四種情況，對應(yīng)的，，，，有序集合對為4個；當(dāng)集合中有3個元素時，集合中也有3個元素，，，不符合題意；當(dāng)集合中有4個元素時，集合中有2個元素，，，故，，此時，，，，共四種情況，對應(yīng)的，，，，有序集合對為4個；當(dāng)集合中有5個元素時，集合中有1個元素，此時，故，此時，有序集合對為1個．綜上，滿足題意的有序集合對共有（個）．故答案為：103．【多選】（25-26高一上·全國·單元測試）設(shè)集合為實數(shù)集的非空子集．若對任意，都有，，，則稱為封閉集．以下結(jié)論正確的有（

）A．為封閉集B．若為封閉集，則一定有C．若為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集D．存在集合，不為封閉集【答案】ABD【分析】對于A，設(shè)，，根據(jù)運算可驗證，，；對于B，易得時，；對于CD，可舉特例說明；【詳解】對于A，設(shè)，，其中，，，，則，，，；，，，；，，，．綜上，為封閉集，故A正確；對于B，若為封閉集，則對任意，，，取，得，即，故B正確；對于C，取封閉集，當(dāng)時，滿足條件，但，不是封閉集，故C錯誤．對于D，取，，不為封閉集，故D正確；故選：ABD.一、單選題1．已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】求解一元二次方程，得，易知.因為，所以根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個數(shù)，即有個，故選D.【點評】本題考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本題在求集合個數(shù)時，也可采用列舉法.列出集合的所有可能情況，再數(shù)個數(shù)即可.來年要注意集合的交集運算，考查頻度極高.二、填空題2．用符號“”或“”填空：0N；N；0.5Z；Z；Q；R.【答案】【解析】根據(jù)自然數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，實數(shù)的定義即可判斷.【詳解】是自然數(shù)，則；不是自然數(shù)，則；不是整數(shù)，則；是有理數(shù)，則；是無理數(shù)，則故答案為：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【點睛】本題主要考查了元素與集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3．若集合P={x|3<x≤22}，非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5}，則能使Q?(P∩Q)成立的所有實數(shù)a的取值集合為.【答案】【分析】由能使成立，根據(jù)集合的運算，得到，結(jié)合集合的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，能使成立，可得，即，則滿足，解得，即實數(shù)的取值集合為.答案：.【點睛】本題主要考查了集合的基本運算，以及利用集合的包含關(guān)系求解參數(shù)問題，其中解答中把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，列出不等式組是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.4．規(guī)定與