2025年大學(xué)《密碼科學(xué)與技術(shù)-數(shù)論與代數(shù)基礎(chǔ)》考試備考試題及答案解析單位所屬部門：________姓名：________考場號(hào)：________考生號(hào)：________一、選擇題1.在數(shù)論中，下列哪個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)（）A.4B.6C.7D.8答案：C解析：素?cái)?shù)是指只有1和它本身兩個(gè)正因數(shù)的自然數(shù)。4可以被1、2、4整除，6可以被1、2、3、6整除，8可以被1、2、4、8整除，而7只能被1和7整除，因此7是素?cái)?shù)。2.下列哪個(gè)集合是整數(shù)集（）A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,-1,2,-2}C.{1,3,5,7,9}D.{2,4,6,8,10}答案：B解析：整數(shù)集包括所有正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零。選項(xiàng)A只包含正整數(shù)，選項(xiàng)C只包含奇數(shù)，選項(xiàng)D只包含偶數(shù)，只有選項(xiàng)B包含了正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零。3.在代數(shù)中，下列哪個(gè)運(yùn)算律是正確的（）A.a+(b-c)=(a+b)-cB.a+(b-c)=(a-b)+cC.a-(b-c)=(a-b)+cD.a-(b-c)=(a+b)-c答案：A解析：加法結(jié)合律表明，加數(shù)的順序不影響結(jié)果，即a+(b-c)等于(a+b)-c。4.下列哪個(gè)數(shù)是偶數(shù)（）A.15B.21C.22D.23答案：C解析：偶數(shù)是能夠被2整除的整數(shù)。15、21和23都是奇數(shù)，只有22能夠被2整除，因此22是偶數(shù)。5.在數(shù)論中，下列哪個(gè)數(shù)是合數(shù)（）A.11B.13C.14D.17答案：C解析：合數(shù)是指除了1和它本身之外還有其他因數(shù)的自然數(shù)。11、13和17都只能被1和它們本身整除，是素?cái)?shù)，而14可以被1、2、7、14整除，因此14是合數(shù)。6.下列哪個(gè)運(yùn)算律是錯(cuò)誤的（）A.a*(b+c)=a*b+a*cB.a*(b-c)=a*b-a*cC.(a+b)*c=a*c+b*cD.a*b=b*a答案：無解析：選項(xiàng)A、B、C和D都描述了正確的運(yùn)算律。選項(xiàng)A是乘法分配律，選項(xiàng)B是乘法對減法的分配律，選項(xiàng)C是乘法對加法的分配律，選項(xiàng)D是乘法交換律。所有選項(xiàng)都是正確的運(yùn)算律。7.在代數(shù)中，下列哪個(gè)方程有解（）A.x+5=10B.x-5=10C.x*5=10D.x/5=10答案：無解析：選項(xiàng)A、B、C和D中的方程都有解。選項(xiàng)A的解是x=5，選項(xiàng)B的解是x=15，選項(xiàng)C的解是x=2，選項(xiàng)D的解是x=50。8.下列哪個(gè)數(shù)是奇數(shù)（）A.18B.20C.24D.25答案：D解析：奇數(shù)是不能夠被2整除的整數(shù)。18、20和24都是偶數(shù)，只有25不能夠被2整除，因此25是奇數(shù)。9.在數(shù)論中，下列哪個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)（）A.9B.15C.19D.21答案：C解析：質(zhì)數(shù)是指只有1和它本身兩個(gè)正因數(shù)的自然數(shù)。9可以被1、3、9整除，15可以被1、3、5、15整除，21可以被1、3、7、21整除，而19只能被1和19整除，因此19是質(zhì)數(shù)。10.下列哪個(gè)集合是自然數(shù)集（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4,5}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5,6}答案：C解析：自然數(shù)集通常包括所有正整數(shù)和零。選項(xiàng)A和選項(xiàng)B只包含正整數(shù)，選項(xiàng)D只包含大于零的整數(shù)，只有選項(xiàng)C包含了所有正整數(shù)和零。11.若a和b是任意整數(shù)，下列哪個(gè)命題總是成立（）A.如果a|b，那么a|b^2B.如果a|b且b|c，那么a|cC.如果a|b且a|c，那么a|(b+c)D.如果a|b且a|c，那么a|b-c答案：A解析：若a|b，則存在整數(shù)k，使得b=ak。那么b^2=(ak)^2=a^2k^2，顯然a^2k^2是a的倍數(shù)，即a|b^2。選項(xiàng)B不一定成立，例如2|4且4|8，但2|8不成立。選項(xiàng)C不一定成立，例如2|4且2|6，但2|(4+6)即2|10不成立。選項(xiàng)D不一定成立，例如3|6且3|9，但3|(6-9)即3|-3不成立。12.在整數(shù)環(huán)Z中，下列哪個(gè)元素是單位元（）A.0B.1C.-1D.5答案：B解析：單位元是指存在一個(gè)元素b，使得a*b=b*a=1。在整數(shù)環(huán)Z中，只有1和-1滿足這個(gè)條件。1乘以任何整數(shù)都是其本身，-1乘以任何整數(shù)是其相反數(shù)，都等于1乘以其本身。但通常將1定義為單位元。0沒有逆元，不是單位元。5沒有逆元，不是單位元。13.下列哪個(gè)命題是數(shù)論中歐拉函數(shù)φ(n)的性質(zhì)（）A.φ(n)是n的因子B.φ(n)是n的倍數(shù)C.φ(n)≤nD.φ(n)=n-1答案：C解析：歐拉函數(shù)φ(n)表示小于n的正整數(shù)中與n互素的數(shù)的個(gè)數(shù)。因?yàn)樾∮趎的正整數(shù)總共有n-1個(gè)，而與n不互素的數(shù)不會(huì)超過φ(n)個(gè)，所以φ(n)必然小于或等于n-1。因此φ(n)≤n。φ(n)不一定是n的因子，也不一定是n的倍數(shù)，例如φ(10)=4，φ(10)不是10的因子也不是10的倍數(shù)。φ(n)只有在n為素?cái)?shù)時(shí)才等于n-1。14.如果p是素?cái)?shù)，則p^2是否也是素?cái)?shù)（）A.是B.否C.有時(shí)是，有時(shí)否D.無法確定答案：B解析：素?cái)?shù)是只有1和它本身兩個(gè)正因數(shù)的自然數(shù)。對于任何大于1的素?cái)?shù)p，p^2有三個(gè)正因數(shù)：1,p,p^2。因?yàn)閜^2不是1，也不是p^2本身（它是p的平方），所以p^2不是素?cái)?shù)。例如，2是素?cái)?shù)，但2^2=4不是素?cái)?shù)；3是素?cái)?shù)，但3^2=9不是素?cái)?shù)。15.下列哪個(gè)數(shù)是Mersenne數(shù)（）A.31B.127C.255D.1023答案：B解析：Mersenne數(shù)是指形式為2^p-1的數(shù)，其中p是素?cái)?shù)。選項(xiàng)A31=2^5-1，p=5是素?cái)?shù)，所以31是Mersenne數(shù)。選項(xiàng)B127=2^7-1，p=7是素?cái)?shù)，所以127是Mersenne數(shù)。選項(xiàng)C255=2^8-1，p=8不是素?cái)?shù)，所以255不是Mersenne數(shù)。選項(xiàng)D1023=2^10-1，p=10不是素?cái)?shù)，所以1023不是Mersenne數(shù)。16.下列哪個(gè)數(shù)是Fermat數(shù)（）A.17B.257C.65537D.65538答案：C解析：Fermat數(shù)是指形式為2^(2^n)+1的數(shù)，其中n是非負(fù)整數(shù)。選項(xiàng)A17不是2的冪次加1的形式。選項(xiàng)B257=2^8+1，不是2的2的冪次加1的形式。選項(xiàng)C65537=2^(2^4)+1，其中n=4是非負(fù)整數(shù)，所以65537是Fermat數(shù)。選項(xiàng)D65538不是2的冪次加1的形式。17.在群G中，下列哪個(gè)性質(zhì)是成立的（）A.存在唯一的左單位元B.對于任意元素a，其逆元a^-1可能不存在C.結(jié)合律不一定成立D.任意元素a和b，總有a*b=b*a答案：A解析：群的定義要求存在一個(gè)左單位元e，使得對于任意元素a，都有e*a=a。這樣的單位元e也是唯一的，否則會(huì)存在兩個(gè)單位元e1和e2，使得e1*e2=e1和e1*e2=e2，推導(dǎo)出e1=e2。所以群中存在唯一的左單位元（也是右單位元，即單位元）。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，群的定義要求每個(gè)元素都有逆元。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，結(jié)合律是群的定義的一部分。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，結(jié)合律不保證乘法交換律。18.在環(huán)R中，下列哪個(gè)條件是R為整環(huán)的必要條件（）A.R中有乘法單位元B.R中消去律成立C.R中沒有零因子D.R是交換環(huán)答案：C解析：整環(huán)是指有乘法單位元、無零因子、且乘法對加法distributive的環(huán)。其中“無零因子”是指如果ab=0，則a=0或b=0。這個(gè)條件是整環(huán)的必要條件。有乘法單位元（選項(xiàng)A）和交換環(huán)（選項(xiàng)D）以及消去律成立（選項(xiàng)B）都是整環(huán)的性質(zhì)，但無零因子是定義中的核心要求之一。如果存在零因子，則消去律不成立，因此無零因子是消去律成立的必要條件，也是整環(huán)的必要條件。19.在有限域GF(p)中，元素a的階是指（）A.使得a^k=1的最小正整數(shù)kB.使得a^k=0的最小正整數(shù)kC.a的所有正整數(shù)冪的集合D.a與域中其他所有元素的乘法映射答案：A解析：在有限域GF(p)中，對于非零元素a，其階是指滿足a^k=1的最小正整數(shù)k。這個(gè)k是p-1的因子。域中的乘法是可逆的，所以這個(gè)等式一定有解，并且解的最小正整數(shù)存在且唯一。20.在域F上的多項(xiàng)式環(huán)F[x]中，下列哪個(gè)命題是正確的（）A.每個(gè)非零多項(xiàng)式都有無窮多個(gè)根B.每個(gè)非零多項(xiàng)式都至少有一個(gè)根C.每個(gè)次數(shù)大于0的多項(xiàng)式都有唯一的多項(xiàng)式根D.次數(shù)小于等于0的多項(xiàng)式一定有根答案：B解析：根據(jù)代數(shù)基本定理的推論（在有限特征域上，根據(jù)哈塞定理等），在有限域GF(p)上的多項(xiàng)式環(huán)GF(p)[x]中，每個(gè)非零多項(xiàng)式都有根。雖然代數(shù)基本定理通常在復(fù)數(shù)域上敘述，但其思想在有限域上同樣適用。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，只有零多項(xiàng)式才有無窮多個(gè)根。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，每個(gè)次數(shù)大于0的多項(xiàng)式在有限域上至多有其次數(shù)的根。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，零次多項(xiàng)式（常數(shù)多項(xiàng)式）只有當(dāng)系數(shù)為0時(shí)才有根（即域中所有元素都是根），否則沒有根。二、多選題1.下列哪些數(shù)是素?cái)?shù)（）A.2B.3C.4D.5E.6答案：ABD解析：素?cái)?shù)是指只有1和它本身兩個(gè)正因數(shù)的自然數(shù)。2、3和5都只能被1和它們本身整除，是素?cái)?shù)。4可以被1、2、4整除，6可以被1、2、3、6整除，因此4和6不是素?cái)?shù)。2.下列哪些性質(zhì)屬于整數(shù)環(huán)Z（）A.封閉性（加法和乘法）B.交換律（加法和乘法）C.結(jié)合律（加法和乘法）D.分配律（加法對乘法）E.存在乘法單位元答案：ABCDE解析：整數(shù)環(huán)Z滿足所有環(huán)的定義性質(zhì)。它對于加法和乘法是封閉的（A），加法和乘法都滿足交換律（B），加法和乘法都滿足結(jié)合律（C），加法對乘法滿足分配律（D），并且存在乘法單位元1（E）。3.下列哪些命題關(guān)于最大公約數(shù)（gcd）和最小公倍數(shù)（lcm）是正確的（）A.gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*bB.gcd(a,b)≥1，當(dāng)a,b不全為0時(shí)C.lcm(a,b)=|a*b|/gcd(a,b)D.gcd(a,b)+lcm(a,b)=a+bE.如果a|b，則gcd(a,b)=a答案：ABCE解析：gcd和lcm的基本性質(zhì)包括A（乘法關(guān)系）、B（非零整數(shù)gcd至少為1）、C（計(jì)算lcm的公式）。選項(xiàng)D不正確，除非a和b互質(zhì)。選項(xiàng)E不正確，除非a和b中有一個(gè)是0，或者b是a的倍數(shù)且a不為0（此時(shí)gcd(a,b)=b）。4.下列哪些數(shù)是Mersenne數(shù)（）A.3B.7C.15D.31E.127答案：ABDE解析：Mersenne數(shù)是指形式為2^p-1的數(shù)，其中p是素?cái)?shù)。對于p=2，2^2-1=3。對于p=3，2^3-1=7。對于p=5，2^5-1=31。對于p=7，2^7-1=127。對于p=4，2^4-1=15，但4不是素?cái)?shù)。因此15不是Mersenne數(shù)。5.下列哪些運(yùn)算律在域中成立（）A.加法交換律B.加法結(jié)合律C.乘法交換律D.乘法結(jié)合律E.加法對乘法的分配律答案：ABCDE解析：域是具有加法和乘法兩種運(yùn)算的交換環(huán)，其中乘法還要求存在單位元且除法（除零外）存在。因此域滿足加法交換律（A）、加法結(jié)合律（B）、乘法交換律（C）、乘法結(jié)合律（D）以及加法對乘法的分配律（E）。6.下列哪些集合對于加法構(gòu)成阿貝爾群（）A.整數(shù)集ZB.有理數(shù)集QC.有理數(shù)集Q*D.實(shí)數(shù)集RE.復(fù)數(shù)集C答案：ABDE解析：整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R和復(fù)數(shù)集C對于加法都構(gòu)成阿貝爾群。有理數(shù)集Q*是指非零有理數(shù)集，對于乘法構(gòu)成阿貝爾群，但對于加法，它包含零元素，且對于加法不構(gòu)成群（例如沒有加法逆元-0不存在）。注意題目問的是加法。7.在有限域GF(p)中，下列哪些命題是正確的（）A.域中的元素個(gè)數(shù)是pB.域中的每個(gè)非零元素都有乘法逆元C.域中的運(yùn)算是模p加法和乘法D.p必須是一個(gè)質(zhì)數(shù)E.域中的加法單位元是0答案：ABDE解析：有限域通常指特征為p的域，其中p是質(zhì)數(shù)（D）。域的元素個(gè)數(shù)是p（A），加法單位元是0（E），每個(gè)非零元素都有乘法逆元（B）。運(yùn)算是在模p下定義的，但加法單位元是0，乘法單位元是1，乘法逆元是相對于乘法而言的，不是模p逆元（模p逆元是加法逆元）。題目描述的GF(p)確實(shí)要求p是質(zhì)數(shù)。8.下列哪些是環(huán)的定義性質(zhì)（）A.對加法構(gòu)成交換群B.對乘法構(gòu)成半群C.滿足加法對乘法的分配律D.乘法滿足交換律E.存在乘法單位元答案：ABC解析：環(huán)的定義要求對加法構(gòu)成交換群（A），對乘法構(gòu)成半群（B，即封閉且滿足結(jié)合律），并且滿足加法對乘法的分配律（C）。乘法交換律（D）和乘法單位元（E）是整環(huán)或域的性質(zhì)，不是一般環(huán)的性質(zhì)。9.下列哪些關(guān)于多項(xiàng)式的說法是正確的（）A.零次多項(xiàng)式只有一個(gè)B.非零多項(xiàng)式的次數(shù)是其最高次項(xiàng)的次數(shù)C.兩個(gè)多項(xiàng)式相等的充分必要條件是同次項(xiàng)系數(shù)相等D.多項(xiàng)式的根是指使多項(xiàng)式值為零的元素E.次數(shù)小于n的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合對于多項(xiàng)式加法和乘法構(gòu)成環(huán)答案：BCDE解析：零次多項(xiàng)式是常數(shù)多項(xiàng)式，它只有一個(gè)，即f(x)=c，c≠0（A錯(cuò)誤，因?yàn)閒(x)=0是零次多項(xiàng)式但不是唯一的）。非零多項(xiàng)式的次數(shù)是其最高次項(xiàng)非零系數(shù)項(xiàng)的次數(shù)（B正確）。兩個(gè)多項(xiàng)式相等的充分必要條件是同次項(xiàng)系數(shù)相等（C正確）。多項(xiàng)式的根是指使多項(xiàng)式值為零的元素（D正確）。次數(shù)小于n的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合對于多項(xiàng)式加法和乘法構(gòu)成整環(huán)（E正確，因?yàn)樗鼭M足環(huán)的定義，且通常無零因子）。10.下列哪些是同余式的基本性質(zhì)（）A.若a≡b(modm)，則a+c≡b+c(modm)B.若a≡b(modm)，則a-c≡b-c(modm)C.若a≡b(modm)，則ac≡bc(modm)D.若a≡b(modm)，則a^k≡b^k(modm)，對于任意正整數(shù)kE.若a≡b(modm)，且c≡d(modm)，則a+c≡b+d(modm)答案：ABCDE解析：同余式滿足加法、減法、乘法、乘方（對正整數(shù)指數(shù)）以及乘法單位元下的自反性等基本性質(zhì)。選項(xiàng)A、B、C、D、E都描述了同余式的正確性質(zhì)。11.下列哪些是素?cái)?shù)的性質(zhì)（）A.素?cái)?shù)大于1B.素?cái)?shù)只有兩個(gè)正因數(shù)C.素?cái)?shù)都是奇數(shù)D.2是唯一的偶數(shù)素?cái)?shù)E.任何合數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積答案：ABD解析：素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）定義為大于1的自然數(shù)，且除了1和它本身以外沒有其他因數(shù)（A正確，B正確）。2是唯一的偶數(shù)素?cái)?shù)，因?yàn)樗衅渌紨?shù)都有至少三個(gè)因數(shù)（1,2,它本身）（D正確）。雖然很多合數(shù)可以表示為素?cái)?shù)的乘積（如合數(shù)分解定理），但并非所有合數(shù)都可以這樣表示，例如4=2*2，但5=2*2+1，不是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積（E錯(cuò)誤）。素?cái)?shù)可以是奇數(shù)，例如3,5,7等，但2是唯一的偶數(shù)素?cái)?shù)（C錯(cuò)誤，因?yàn)椤岸际恰边^于絕對）。12.下列哪些關(guān)于最大公約數(shù)（gcd）和最小公倍數(shù)（lcm）的命題是正確的（）A.gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*bB.gcd(a,b)≥1，當(dāng)a,b不全為0時(shí)C.lcm(a,b)=|a*b|/gcd(a,b)D.gcd(a,b)+lcm(a,b)=a+bE.如果a|b，則gcd(a,b)=a答案：ABC解析：gcd和lcm的基本性質(zhì)包括：A（乘法關(guān)系，gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b），B（非零整數(shù)gcd至少為1），C（計(jì)算lcm的公式，lcm(a,b)=|a*b|/gcd(a,b)）。選項(xiàng)D不正確，除非a和b互質(zhì)（gcd(a,b)=1）。選項(xiàng)E不正確，除非a和b中有一個(gè)是0，或者b是a的倍數(shù)且a不為0（此時(shí)gcd(a,b)=b，而不是a）。如果a=0，則gcd(0,b)=|b|，lcm(0,b)未定義或視為0，a*b=0，公式A也成立，但E描述的情況不普適。13.下列哪些集合對于加法構(gòu)成群（）A.整數(shù)集ZB.有理數(shù)集QC.有理數(shù)集Q*D.實(shí)數(shù)集RE.復(fù)數(shù)集C答案：ABDE解析：群的定義要求封閉性、存在單位元、存在逆元以及結(jié)合律。加法運(yùn)算在整數(shù)集Z（A）、有理數(shù)集Q（B）、實(shí)數(shù)集R（D）和復(fù)數(shù)集C（E）中都是封閉的、存在加法單位元0、每個(gè)元素a的加法逆元是-a，并且加法滿足結(jié)合律。有理數(shù)集Q*是指非零有理數(shù)集，對于乘法構(gòu)成群，但對于加法，它包含零元素，且沒有加法逆元（例如-0不存在），所以不構(gòu)成加法群（C錯(cuò)誤）。14.下列哪些是環(huán)的定義性質(zhì)（）A.對加法構(gòu)成交換群B.對乘法構(gòu)成半群C.滿足加法對乘法的分配律D.乘法滿足交換律E.存在乘法單位元答案：ABC解析：環(huán)的定義要求對加法構(gòu)成交換群（A），對乘法構(gòu)成半群（B，即封閉且滿足結(jié)合律），并且滿足加法對乘法的分配律（C）。乘法交換律（D）和乘法單位元（E）是整環(huán)或域的性質(zhì)，不是一般環(huán)的性質(zhì)。任何環(huán)都至少包含一個(gè)加法單位元（零元），但未必有乘法單位元。15.下列哪些關(guān)于多項(xiàng)式的說法是正確的（）A.零次多項(xiàng)式只有一個(gè)B.非零多項(xiàng)式的次數(shù)是其最高次項(xiàng)的次數(shù)C.兩個(gè)多項(xiàng)式相等的充分必要條件是同次項(xiàng)系數(shù)相等D.多項(xiàng)式的根是指使多項(xiàng)式值為零的元素E.次數(shù)小于n的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合對于多項(xiàng)式加法和乘法構(gòu)成環(huán)答案：BCDE解析：零次多項(xiàng)式是常數(shù)多項(xiàng)式，它只有一個(gè)，即f(x)=c，c≠0（A錯(cuò)誤，因?yàn)閒(x)=0是零次多項(xiàng)式但不是唯一的）。非零多項(xiàng)式的次數(shù)是其最高次項(xiàng)非零系數(shù)項(xiàng)的次數(shù)（B正確）。兩個(gè)多項(xiàng)式相等的充分必要條件是同次項(xiàng)系數(shù)相等（C正確）。多項(xiàng)式的根是指使多項(xiàng)式值為零的元素（D正確）。次數(shù)小于n的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合對于多項(xiàng)式加法和乘法構(gòu)成整環(huán)（E正確，因?yàn)樗鼭M足環(huán)的定義，且通常無零因子）。16.下列哪些是同余式的基本性質(zhì)（）A.若a≡b(modm)，則a+c≡b+c(modm)B.若a≡b(modm)，則a-c≡b-c(modm)C.若a≡b(modm)，則ac≡bc(modm)D.若a≡b(modm)，則a^k≡b^k(modm)，對于任意正整數(shù)kE.若a≡b(modm)，且c≡d(modm)，則a+c≡b+d(modm)答案：ABCDE解析：同余式滿足加法、減法、乘法、乘方（對正整數(shù)指數(shù)）以及乘法單位元下的自反性等基本性質(zhì)。選項(xiàng)A、B、C、D、E都描述了同余式的正確性質(zhì)。17.下列哪些數(shù)是Mersenne數(shù)（）A.3B.7C.15D.31E.127答案：ABDE解析：Mersenne數(shù)是指形式為2^p-1的數(shù)，其中p是素?cái)?shù)。對于p=2，2^2-1=3。對于p=3，2^3-1=7。對于p=5，2^5-1=31。對于p=7，2^7-1=127。對于p=4，2^4-1=15，但4不是素?cái)?shù)。因此15不是Mersenne數(shù)。18.下列哪些是域的定義性質(zhì)（）A.對加法構(gòu)成交換群B.對乘法構(gòu)成交換群（除零元外）C.滿足加法對乘法的分配律D.乘法滿足交換律E.存在乘法單位元答案：ABCDE解析：域是具有加法和乘法兩種運(yùn)算的交換環(huán)，其中乘法還要求存在單位元且除法（除零外）存在。因此域滿足：對加法構(gòu)成交換群（A），對乘法構(gòu)成交換群（B，通常指非零元素構(gòu)成交換群），滿足加法對乘法的分配律（C），乘法滿足交換律（D），存在乘法單位元（E）。19.下列哪些關(guān)于多項(xiàng)式根的說法是正確的（）A.零次多項(xiàng)式f(x)=c（c≠0）沒有根B.零次多項(xiàng)式f(x)=c（c=0）有無數(shù)個(gè)根C.次數(shù)大于0的多項(xiàng)式在有限域GF(p)上至少有一個(gè)根D.次數(shù)大于0的多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域R上至少有一個(gè)根E.多項(xiàng)式的根的個(gè)數(shù)等于其次數(shù)答案：BCE解析：零次多項(xiàng)式f(x)=c（c≠0）恒不為零，因此沒有根（A錯(cuò)誤）。零次多項(xiàng)式f(x)=c（c=0）即f(x)=0，對于任何x都滿足f(x)=0，因此有無數(shù)個(gè)根（B正確）。根據(jù)有限域上的代數(shù)基本定理（或其推論），在有限域GF(p)上，每個(gè)次數(shù)大于0的多項(xiàng)式都有根（C正確）。在實(shí)數(shù)域R上，并非每個(gè)次數(shù)大于0的多項(xiàng)式都有根，例如f(x)=x^2+1在R上沒有根（D錯(cuò)誤）。多項(xiàng)式的根的個(gè)數(shù)（計(jì)重?cái)?shù)）等于其次數(shù)（根據(jù)代數(shù)基本定理），但題目問的是“哪些關(guān)于...的說法是正確的”，B和C是正確的說法（E錯(cuò)誤，因?yàn)樾枰f明是在特定域上，且未考慮重?cái)?shù)）。20.下列哪些運(yùn)算律在域中成立（）A.加法交換律B.加法結(jié)合律C.乘法交換律D.乘法結(jié)合律E.加法對乘法的分配律答案：ABCDE解析：域是具有加法和乘法兩種運(yùn)算的交換環(huán)，其中乘法還要求存在單位元且除法（除零外）存在。因此域滿足：加法交換律（A）、加法結(jié)合律（B）、乘法交換律（C）、乘法結(jié)合律（D）以及加法對乘法的分配律（E）。三、判斷題1.素?cái)?shù)是指只有1和它本身兩個(gè)正因數(shù)的自然數(shù)，且素?cái)?shù)必須大于1。（）答案：正確解析：根據(jù)素?cái)?shù)的定義，素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）是在大于1的自然數(shù)中，只有1和它本身兩個(gè)正因數(shù)的數(shù)。因此，素?cái)?shù)必須大于1，1本身不被視為素?cái)?shù)。2.任何合數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。（）答案：錯(cuò)誤解析：合數(shù)是指大于1且有除了1和它本身以外其他因數(shù)的自然數(shù)。雖然很多合數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積（例如4=2*2，6=2*3），但并非所有合數(shù)都可以這樣表示。例如，9=3*3，它表示為兩個(gè)相同素?cái)?shù)的乘積；又如15=3*5，表示為兩個(gè)不同素?cái)?shù)的乘積。然而，存在合數(shù)無法表示為兩個(gè)不同素?cái)?shù)的乘積，例如21=3*7，或者某些更復(fù)雜的合數(shù)，它們只能分解為素?cái)?shù)的冪次乘積，或者本身就是素?cái)?shù)的平方。因此，該命題過于絕對，是錯(cuò)誤的。3.在有限域GF(p)中，p必須是一個(gè)質(zhì)數(shù)。（）答案：正確解析：有限域（也稱伽羅瓦域）GF(p)的定義要求其特征為p，而p必須是質(zhì)數(shù)。這是因?yàn)橹挥挟?dāng)p是質(zhì)數(shù)時(shí)，整數(shù)模p的剩余類才能構(gòu)成一個(gè)具有乘法逆元的有限交換群，這是有限域構(gòu)造的基礎(chǔ)。4.如果a|b且b|c，則a|c。（）答案：正確解析：根據(jù)整除的定義，若a|b，則存在整數(shù)k1，使得b=a*k1；若b|c，則存在整數(shù)k2，使得c=b*k2。將b的表達(dá)式代入c的表達(dá)式中，得到c=(a*k1)*k2=a*(k1*k2)。因?yàn)閗1*k2是整數(shù)，所以a|c。5.在域中，加法滿足交換律和結(jié)合律，乘法也滿足交換律和結(jié)合律。（）答案：正確解析：域是具有兩種運(yùn)算（加法和乘法）的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它滿足環(huán)的所有性質(zhì)，并且乘法還滿足交換律和存在乘法單位元。環(huán)的性質(zhì)包括加法交換律、加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律以及加法對乘法的分配律。因此，在域中，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律。6.多項(xiàng)式的根是指使多項(xiàng)式值為零的變量。（）答案：錯(cuò)誤解析：多項(xiàng)式的根是指使多項(xiàng)式的值為零的元素，這個(gè)元素通常是在某個(gè)數(shù)域（如整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)或有限域中的元素）中定義的，而不是僅僅指變量。例如，在實(shí)數(shù)域中，x=2是多項(xiàng)式f(x)=x^2-4的根，因?yàn)閒(2)=2^2-4=0。7.整數(shù)環(huán)Z對于乘法是封閉的。（）答案：正確解析：整數(shù)環(huán)Z是指所有整數(shù)的集合，對于加法、減法和乘法都是封閉的。這意味著對于任意兩個(gè)整數(shù)a和b，a*b仍然是整數(shù)。8.任何數(shù)都可以寫成兩個(gè)平方和的形式。（）答案：錯(cuò)誤解析：根據(jù)數(shù)論中的一個(gè)經(jīng)典定理（拉格朗日四平方和定理的推廣）