基于多元線性回歸的養(yǎng)老床位市場(chǎng)需求規(guī)模預(yù)測(cè)分析計(jì)算案例目錄TOC\o"1-3"\h\u14560基于多元線性回歸的養(yǎng)老床位市場(chǎng)需求規(guī)模預(yù)測(cè)分析計(jì)算案例 1229021.1多元線性回歸概述 146761.2多元線性回歸模型的建立 2212131.3回歸診斷 6245681.4基于多元線性回歸的養(yǎng)老床位需求預(yù)測(cè) 9235881.5養(yǎng)老床位市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)總結(jié) 151.1多元線性回歸概述回歸分析是處理變量與之間的關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法和技術(shù)。本文所研究的變量之間的關(guān)系是指統(tǒng)計(jì)關(guān)系，即給定的值，的值無法確定，只能通過一定的概率分布來描述。于是，定義給定時(shí)的條件數(shù)學(xué)期望 （2-1）為隨機(jī)變量對(duì)的回歸函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量對(duì)的均值回歸函數(shù)。式（2-1）從平均意義上刻畫了變量，之間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在實(shí)際問題中，把稱為自變量或預(yù)測(cè)變量，稱為因變量或響應(yīng)變量。若要進(jìn)行預(yù)測(cè)，可利用，的觀察值，即樣本觀測(cè)值 （2-2）來建立一個(gè)函數(shù)，當(dāng)給定值后，便可通過此函數(shù)進(jìn)行響應(yīng)變量的預(yù)測(cè)。而多元線性回歸分析，則是以多個(gè)預(yù)測(cè)變量的最佳線性組合構(gòu)成的回歸方程來對(duì)響應(yīng)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)的回歸分析。一般來說來說，單個(gè)響應(yīng)變量與預(yù)測(cè)變量的線性回歸模型為如下形式： （2-3） （2-4）式中是個(gè)未知參數(shù)，為回歸常數(shù)，稱為回歸系數(shù)，是隨機(jī)誤差項(xiàng)。而線性指的是均值為未知參數(shù)的線性函數(shù)，但預(yù)測(cè)變量在模型中不一定是一階項(xiàng)。若將模型用的個(gè)觀測(cè)值和與之相聯(lián)系的諸值來表示時(shí)，則整個(gè)模型變?yōu)? （2-5）寫成矩陣形式為： （2-6）或 （2-7）為方便進(jìn)行模型的參數(shù)估計(jì)，對(duì)回歸方程式（2-6）做出如下基本假定：預(yù)測(cè)變量是確定性變量，不是隨機(jī)變量，且要求。這里，表明矩陣中的自變量列之間不相關(guān)，樣本量的個(gè)數(shù)大于預(yù)測(cè)變量的個(gè)數(shù)，是滿秩矩陣。隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值和等方差的性質(zhì)，即

（2-8）

該假定也被稱為高斯—馬爾科夫條件。正態(tài)分布的假定條件為：

（2-9）

對(duì)于多元線性回歸的矩陣模型式（2-7），此條件可寫為:

（2-10）

由上述假定和多元正態(tài)分布的性質(zhì)可知，隨機(jī)向量服從維正態(tài)分布，回歸模型式（2-7）的期望向量

（2-11）

（2-12）

因此

（2-13）

1.2多元線性回歸模型的建立1、養(yǎng)老床位需求指標(biāo)體系構(gòu)建本文以預(yù)測(cè)養(yǎng)老床位研究目標(biāo)，選擇與之相關(guān)的如下指標(biāo)，并從國(guó)家統(tǒng)計(jì)年鑒以及國(guó)家民政部統(tǒng)計(jì)公報(bào)中獲取數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。將響應(yīng)變量定義為養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)量，記作，以國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)、人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、城鎮(zhèn)居民人均可支配收入、人口出生率、人口死亡率、人口自然增長(zhǎng)率、老年兒童比例、老年撫養(yǎng)比、在職職工參加養(yǎng)老保險(xiǎn)人數(shù)、離退人員參加養(yǎng)老保險(xiǎn)人數(shù)、老年人口數(shù)、參加養(yǎng)老保險(xiǎn)人數(shù)、年末參加生育保險(xiǎn)人數(shù)、年末總?cè)丝?、性別比等變量作為預(yù)測(cè)變量，并選取各指標(biāo)從2006年到2019年的14組數(shù)據(jù)（見附錄）進(jìn)行回歸分析。現(xiàn)假設(shè)預(yù)測(cè)變量以及響應(yīng)變量均服從正態(tài)分布。且響應(yīng)變量的方差為常數(shù)，不隨預(yù)測(cè)變量的變化而變化，即滿足方差齊次性。在建立模型之時(shí)，首先對(duì)預(yù)測(cè)變量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，選出相關(guān)程度較高的指標(biāo)，如表2-1所示。 表2-1養(yǎng)老床位數(shù)影響指標(biāo)及符號(hào)說明指標(biāo)單位符號(hào)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)萬張國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值億元居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值元城鎮(zhèn)居民人均可支配收入元人口出生率人口死亡率人口自然增長(zhǎng)率老年兒童比例老年撫養(yǎng)比在職職工參加養(yǎng)老保險(xiǎn)人數(shù)萬人離退人員參加養(yǎng)老保險(xiǎn)人數(shù)萬人老年人口數(shù)萬人參加養(yǎng)老保險(xiǎn)人數(shù)萬人年末參加生育保險(xiǎn)人數(shù)萬人年末總?cè)丝谌f人性別比2、描述性統(tǒng)計(jì)分析通過2006年到2019年各指標(biāo)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出各個(gè)變量的極大極小值、均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度，如表2-2所示。 表2-2描述性分析結(jié)果極小值極大值均值標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度153.5775476.2071224.620190.033-1.703219438.5988528.9568987.3429240597.88440.213-0.99599.3105.9102.67141.745070.3350.386167387058141880.714317087.721380.171-1.05711759.542358.825865.17149788.979430.198-1.1460.10480.12950.1196640.0060249-1.3272.6630.06810.07160.0708430.0009835-1.1394.4470.03340.05860.0488210.0062589-1.3732.5180.40130.74930.5706360.1110607-0.144-1.0391117.813.4642861.2.068450.723-0.59714130.931177.522992.56435694.74322-0.15-1.3054635.412310.48020.71432564.127920.346-1.142104191760313329.35712298.823060.49-0.84818766.396753.963150.278631563.39412-0.514-1.7266458.921417.314773.20644786.56488-0.409-1.028131448140005135799.78572814.668940.009-1.2651.04451.06291.05290.0058760.625-0.82通過上表2-2可看出，從2006年到2019年，居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)、人口出生率、人口死亡率、人口自然增長(zhǎng)率、老年兒童比例、性別比的取值波動(dòng)程度較小。

3、相關(guān)性分析通過相關(guān)分析探索各類養(yǎng)老床位總數(shù)與各自變量之間的相似度，如表2-3。 表2-3養(yǎng)老床位指標(biāo)體系相關(guān)系數(shù)指標(biāo)指標(biāo)0.9730.949-0.3020.9820.9740.9750.9800.965-0.2070.9370.5960.967-0.2930.9870.966-0.900當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大于0.8時(shí)，認(rèn)為這兩個(gè)變量之間高度相關(guān)。根據(jù)上表得知：養(yǎng)老床位數(shù)與居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)、人口出生率、人口死亡率、人口自然增長(zhǎng)率之間的相關(guān)性較弱，故、、、將指標(biāo)剔除。其余12個(gè)指標(biāo)與各類養(yǎng)老床位總數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值均大于0.8，因此，我們選擇根據(jù)剩余的12個(gè)指標(biāo)用于預(yù)測(cè)養(yǎng)老床位數(shù)。4、基于逐步回歸的養(yǎng)老床位需求預(yù)測(cè)對(duì)預(yù)測(cè)變量進(jìn)行初步篩選之后，我們運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)響應(yīng)變量與選擇出的預(yù)測(cè)變量構(gòu)建回歸模型。常見的多元線性回歸方法有前進(jìn)法、后退法以及逐步回歸法等。其中前進(jìn)法對(duì)于新預(yù)測(cè)變量的情況擬合效果較差，而后退法的計(jì)算量較大且不再接納剔除的變量，而逐步回歸法則是對(duì)前進(jìn)法和后退法進(jìn)行了揚(yáng)長(zhǎng)避短的改進(jìn)[7]。因此，我們采用逐步回歸法法建立回歸模型。對(duì)于逐步回歸法（Stepwise），其主要思路力圖選擇重要的預(yù)測(cè)量而不考慮所有可能性，而那一些作用不顯著的變量可能不會(huì)被引入模型。除此之外，已被納入模型的預(yù)測(cè)變量在引入新變量后也可能失去其重要性，從而將之從模型中剔除。依據(jù)逐步法的回歸原理及下表中所示數(shù)據(jù)，我們可以看出，在選取的這些因素當(dāng)中，只有人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、城鎮(zhèn)居民人均可支配收入和年末總?cè)丝谌齻€(gè)變量進(jìn)入了回歸模型，且多元線性回歸方程為： （2-14）圖2-1回歸過程中的統(tǒng)計(jì)量1.3回歸診斷1、共線性診斷

若預(yù)測(cè)變量數(shù)值矩陣不滿秩，則會(huì)產(chǎn)生共線性。而多重共線性大體可分為兩類，一類是預(yù)測(cè)變量矩陣的列向量間存在近似線性相關(guān)，則，利用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)時(shí)，觀測(cè)誤差的波動(dòng)性變大；而另一類是預(yù)測(cè)變量之間存在某種相關(guān)關(guān)系，利用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)時(shí)，估計(jì)量的波動(dòng)性較大[19]。而多重共線性的判斷方法大致有三種，其一，可計(jì)算預(yù)測(cè)變量之間的相關(guān)系數(shù)，若相關(guān)系數(shù)的值都較高，則存在較嚴(yán)重的多重共線性，其二，考察可決系數(shù)[19]和檢驗(yàn)的數(shù)值，若某一方程存在較高的可決系數(shù)，而各個(gè)回歸系數(shù)的檢驗(yàn)大都在統(tǒng)計(jì)上不顯著，就可能存在嚴(yán)重的多重共線性[19]，其三，計(jì)算方差膨脹因子，預(yù)測(cè)變量的方差膨脹因子記為，即 （2-15）式中，是以為因變量對(duì)其他預(yù)測(cè)變量回歸的可決系數(shù)。若，則表明，可認(rèn)為存在多重共線性，其四，特征根判定法，其基本原理是矩陣行列式的值等于其特征根的積[7]，因此當(dāng)時(shí)，矩陣至少有一個(gè)特征根約為零，從而回歸設(shè)計(jì)矩陣的列向量存在近似線性相關(guān)（即多重共線性）。對(duì)多重共線性的處理方法主要有兩種，一種是設(shè)法找出引起多重共線性的預(yù)測(cè)變量，將其剔除以消除多重共線性。另一種是通過變量定義參數(shù)估計(jì)方法的選取來克服，以減輕多重共線性。在此次建立的模型（2-14）中，采用方差膨脹因子法，可知人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、城鎮(zhèn)居民人均可支配收入和年末總?cè)丝诘闹刀歼h(yuǎn)大于10。因此考慮先將值最大的城鎮(zhèn)居民人均可支配收入剔除，此時(shí)的納入模型的預(yù)測(cè)變量與的值相等但仍遠(yuǎn)大10。而預(yù)測(cè)變量的檢驗(yàn)的值較大，故而考慮將其剔除。最后只有變量年末總?cè)丝诩{入模型，此時(shí)模型中的值小于1，且各參數(shù)都通過了檢驗(yàn)，因此將響應(yīng)變量與預(yù)測(cè)變量重新建立回歸方程，如圖2-1所示。從表2-5可得回歸方程為： （2-16）2、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

對(duì)于回歸方程的顯著性，此處采用檢驗(yàn)，故而其檢驗(yàn)的基本步驟為：（1）作出假設(shè)。 原假設(shè)； 備擇假設(shè)（2）在原假設(shè)成立的條件下，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F。 （2-17）（3）將計(jì)算統(tǒng)計(jì)量與臨界值進(jìn)行比較，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策。對(duì)于原假設(shè)，根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量。給定顯著性水平，通過查詢分布表得臨界值。當(dāng)時(shí)，拒絕，則認(rèn)為回歸方程顯著成立；當(dāng)時(shí)，接受，則認(rèn)為回歸方程無顯著意義。又或可通過值進(jìn)行檢驗(yàn)，若，拒絕，則認(rèn)為回歸方程顯著成立。在模型（2-16）中，利用統(tǒng)計(jì)軟件做方差分析，得方差分析表，如表2-2所示，顯然值（近似值），由此可得回歸方程顯著成立。圖2-2方差分析表 3、回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

若回歸方程顯著成立，說明整體上預(yù)測(cè)變量對(duì)響應(yīng)變量的影響是顯著的，但并不意味著每個(gè)預(yù)測(cè)變量對(duì)響應(yīng)變量的影響都是重要的。若某個(gè)預(yù)測(cè)變量對(duì)響應(yīng)變量的影響并不顯著，則可從回歸模型中將其剔除，重新建立回歸方程，以便于更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)與分析。因此還要對(duì)回歸系數(shù)是否顯著進(jìn)行檢驗(yàn)，此處采取檢驗(yàn)法。具體來說，對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，具體步驟如下：

（1）提出檢驗(yàn) 原假設(shè) 備擇假設(shè)（2）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 （2-18）當(dāng)成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量。其中，為的標(biāo)準(zhǔn)差，為自變量個(gè)數(shù)。（3）給定顯著性水平，通過查詢分布表，得臨界值（4）若，則拒絕，接受，即認(rèn)為顯著不為零。若，則接受，即認(rèn)為顯著為零。而對(duì)于模型（2-16），從表中可看出，回歸系數(shù)的值都是大于，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為預(yù)測(cè)變量與響應(yīng)變量的關(guān)系顯著，這表明預(yù)測(cè)效果不錯(cuò)。另一方面，檢驗(yàn)的值也都近似為0.000。綜上，對(duì)于模型（2-16）的回歸系數(shù)是顯著的。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)為檢驗(yàn)回歸方程與樣本擬合值的擬合效果，可采取擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法。對(duì)于多元回歸方程，其樣本決定系數(shù)為復(fù)決定系數(shù)或多重決定系數(shù)，用表示，簡(jiǎn)記為，即 （2-19）根據(jù)，則有 （2-20）故作為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的檢驗(yàn)指標(biāo)：越大，表示回歸方程與樣本擬合得越好；反之，回歸方程與樣本值擬合得越差。但在使用時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)的大小與模型中的預(yù)測(cè)變量的數(shù)目有關(guān)，隨著模型中變量個(gè)數(shù)的增多，值不斷增大，致使殘差自由度減小，這導(dǎo)致估計(jì)的可靠性降低。為消除這種傾向，引入調(diào)整后的，記為，即 （2-21）其中，為樣本容量，為預(yù)測(cè)變量的個(gè)數(shù)。由上式可看出，預(yù)測(cè)變量個(gè)數(shù)增加時(shí)，未必增大，這樣便可消除對(duì)預(yù)測(cè)變量個(gè)數(shù)的依賴傾向。如圖2-3所示，模型（2-16）的調(diào)整后的為0.974，擬合效果很好，且其F統(tǒng)計(jì)量的值約為0.000，而另外兩個(gè)模型的F統(tǒng)計(jì)量的值都顯著大于0.05。 圖2-3擬合過程1.4基于多元線性回歸的養(yǎng)老床位需求預(yù)測(cè)對(duì)于建立的多元線性回歸模型（2-14），通過回歸診斷，建立最終的回歸模型： （2-16）由此為預(yù)測(cè)未來10年內(nèi)養(yǎng)老服務(wù)床位需求，需對(duì)變量進(jìn)行未來10年的時(shí)序預(yù)測(cè)，故而通過統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)其分別進(jìn)行曲線擬合以及時(shí)間序列預(yù)測(cè)，以比較其預(yù)測(cè)效果。1、曲線擬合預(yù)測(cè)

對(duì)預(yù)測(cè)變量年末總?cè)丝诘那€擬合，本文選取線性、一次、二次、三次增長(zhǎng)模型進(jìn)行擬合，從中選取擬合效果最佳的模型進(jìn)行變量年末總?cè)丝诘臅r(shí)序預(yù)測(cè)。擬合結(jié)果如下圖2-4所示，其曲線擬合系數(shù)檢驗(yàn)、方差分析如圖2-5所示。圖2-4曲線擬合效果圖 圖2-5曲線擬合系數(shù)檢驗(yàn)與方差分析顯然，根據(jù)曲線擬合效果圖、擬合系數(shù)檢驗(yàn)以及方差分析，線性模型的擬合效果最佳，據(jù)此對(duì)預(yù)測(cè)變量年末總?cè)丝谶M(jìn)行線性擬合預(yù)測(cè)，其擬合預(yù)測(cè)結(jié)果如下表2-4所示。 表2-4線性擬合預(yù)測(cè)結(jié)果年份真實(shí)值擬合結(jié)果年份真實(shí)值擬合結(jié)果2006131448131428.28572019140005140171.28572007132129132100.82422020140843.82422008132802132773.36262021141516.36262009133450133445.90112022142188.90112010134091134118.43962023142861.43962011134735134790.9782024143533.9782012135404135463.51652025144206.51652013136072136136.0552026144879.0552014136782136808.59342027145551.59342015137462137481.13192028146224.13192016138271138153.67032029146896.67032017139008138826.20882030147569.20882018139538139498.74732、時(shí)間序列預(yù)測(cè)通過軟件中時(shí)間序列預(yù)測(cè)中的專家建模器方法，對(duì)變量年末總?cè)丝谶M(jìn)行時(shí)序預(yù)測(cè)，其擬合結(jié)果如下圖2-6所示，相關(guān)模型摘要與模型統(tǒng)計(jì)量見圖2-7與圖2-8所示。圖2-6時(shí)序擬合圖2-7相關(guān)模型摘要圖2-8相關(guān)模型統(tǒng)計(jì)量根據(jù)時(shí)序擬合圖對(duì)預(yù)測(cè)變量年末總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測(cè)，其擬合結(jié)果如下表2-5所示。 表2-5時(shí)序預(yù)測(cè)結(jié)果年份真實(shí)值擬合結(jié)果年份真實(shí)值擬合結(jié)果2006131448131448201914000514006820071321291321292020140472200813280213281020211409392009133450133475202214140620101340911340982023141873201113473513473220241423402012135404135379202514280720131360721360732026143274201413678213674020271437412015137462137492202814420820161382711381422029144675201713900813908020301451422018139538139745根據(jù)變量年末總?cè)丝诘那€擬合以及時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果，對(duì)未來十年養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果如圖2-9所示，圖2-9的預(yù)測(cè)效果Matlab代碼見附錄，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)見表2-6。圖2-9養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)Y預(yù)測(cè)效果圖 表2-6養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)單位：萬張年份養(yǎng)老床位數(shù)實(shí)際值由線性擬合數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)養(yǎng)老床位數(shù)由時(shí)間序列預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)養(yǎng)老床位數(shù)2006153.5162.8095714164.36712482007212.8215.9401099218.16587372008234.5269.0706484271.9652009266.2321.2.011868324.50000152010314.9375.3317253373.71700462011353.2428.4622637423.80300132012416.5481.5928022474.91599952013493.7534.